文档文本内容
专题08 平面向量初步9 大题型
考点01 向量的加、减、数乘运算
考点02 向量的线性表示
考点03 向量共线定理证明点共线问题
考点04 向量共线定理证明平行问题
考点05 平面向量基本定理的理解
考点06 向量的坐标运算
考点07 坐标法解决向量共线问题
考点08 向量在几何中的应用
考点09 向量在物理中的应用
考点01 向量的加、减、数乘运算
1．下列命题中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，故A 错误；
因为
，故B 错误；
因为
，故C 错误；
根据向量加法的三角形法则可知
，故D 正确.
故选：D
2．若
为
内一点，且
，则
的形状为（ ）．
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【详解】由
化简得
，
而
，所以可得
，
即以
为邻边所作的平行四边形的对角线相等，所以这个平行四边形是矩形，
即
是直角三角形.
故选：C．
3．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
4．已知
所在平面内一点
满足
，则
的面积是
的面积的（ ）
A．5 倍
B．4 倍
C．3 倍
D．2 倍
【答案】A
【详解】设
的中点为
，因为
，
所以
，所以
，
所以点
是线段
的五等分点，
所以
,
所以
的面积是
的面积的5 倍．
故选：A.
5．如图，在正六边形
中，若
，则
.
【答案】
【详解】如图所示，过
点作
的垂线，垂足为
，
根据直角三角形的性质：
，
，
根据勾股定理，在
中，
，
因此
.
故答案为：
.
考点02 向量的线性表示
6．平行四边形
中，点
是
的中点，点
是
的一个三等分点 （靠近
），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由题意：
是
的中点，点
是
的一个三等分点，
∴
.
故选：D.
7．如图，在
中，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
所以
，
，
又因为
，
所以
，
所以
，
故选：C.
8．在平行四边形ABCD 中，
，
，G 为EF 的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D.
9．在
中，点
为
的重心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
分别是
的中点，
由于
的重心
为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，
所以
.
故选：B.
10．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦
图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，
，
，
，
分别是
，
，
，
的中点，若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】由题意可得
，
因为
是平行四边形，所以
，所以
，所以
，
因为
，所以
，
则
．
故选:D
11．（多选）在矩形
中，已知
分别是
上的点，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】如图，
由
，可得
，
，
则
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 正确；
由题意有，
，
，
联立两式消去
可得：
，即
，故D 正确．
故选：ACD．
考点03 向量共线定理证明点共线问题
12．已知向量
，
，
，
，
，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D
B．A，B，C
C．A，C，D
D．B，C，D
【答案】A
【详解】因为
，故A，B，D 三点共线，A 对；
因为
，
，故
，
不一定共线，B 错；
因为
，
，所以
，
不一定共线，C 错；
因为
，
，则
，
不一定共线，D 错.
故选：A.
13．在
中，若
，则点
（ ）
A．在直线
上B．在直线
上
C．在直线
上
D．为
的外心
【答案】A
【详解】因为
，
所以
，
所以
和
共线，
因为
和
有公共端点
，
所以
三点共线，
所以点
在直线
上，
故选：A
14．设
是平面内的一组基底，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
【答案】C
【详解】A 选项，设
，则
，无解，故
三点不共线，A 错误；
B 选项，设
，则
，无解，故
三点不共线，B 错误；
C 选项，
，
，
故
，故
三点共线，C 正确；
D 选项，
，
设
，则
，无解，故
三点不共线，D 错误.
故选：C
15．
是
所在平面内一点，
，则
点必在（ ）
A．
内部
B．在直线
上
C．在直线
上
D．在直线
上
【答案】B
【详解】
，
，
，即
与
共线
∴
点一定在
边所在直线上.
故选：B．
16．已知
，
是不共线的向量，
，
若
三点共线，则实数
满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
,
,
因为
三点共线，所以
,故
，所以
故选：D
考点04 向量共线定理证明平行问题
17．已知
，
是平面上的非零向量，则“存在实数
，使得
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为
分别表示与
方向相同的单位向量，所以由
可知，
方向相同；
“存在实数
，使得
”即
共线，包含
方向相同或方向相反两种情况．
所以，“存在实数
，使得
”不能推出是“
”；
“
” 可以推出“存在实数
，使得
”，
所以“存在实数
，使得
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B.
18．设是单位向量，
，
，
，则四边形
是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
【答案】B
【详解】解：因为
，
，
所以
，即
，
，
所以四边形
是平行四边形，
因为
，即
，
所以四边形
是菱形.
故选：B
19．已知
是平面四边形，设
：
，
：
是梯形，则
是
的条件（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】在四边形
中，
若
，
则
，且
，
即四边形
为梯形，充分性成立；
若当
，
为上底和下底时，
满足四边形
为梯形，
但
不一定成立，即必要性不成立；
故
是
的充分不必要条件.
故选：A
20．如图，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E 为BC 中点，用向量方法证明
且
．
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，因为O、E 分别BD、BC 的中点，
故
．
所以
且
．
21．如图所示，已知梯形
中，
，E，F 分别是
的中点，求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】延长
到M，使
，连接
，得平行四边形
．
由平行四边形法则得
．
由于
，所以
共线且同向，根据平面向量基本定理，存在正实数
，使
．
由三角形法则得
且
，
所以
，
所以
．
由于E，D 不共点，所以
．
考点05 平面向量基本定理的理解
22．在平行四边形
中，
，
是线段DE 的中点，连接
交
于O，若
，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
又因为
，所以
，
设
，则
，
所以
，解得
，
故选：B.
23．在
中，
是线段
的中点，过点
的直线与线段
分别交于点
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，则
.
因为
是线段
的中点，所以
.
因为
三点共线，所以
，
所以
解得
.
故选：D.
24．已知
中，过
中点
的直线分别与直线
交于点
，且
，
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．
C．7
D．
【答案】B
【详解】因为
为
的中点，故
，
而
三点共线，故存在实数
，使得
，
所以
，而
不共线，
故
，所以
，
故
，
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为
，
故选：B.
25．在
中，点P 满足
，过点P 的直线与
所在的直线分别交于点
，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，即
，
，
，
，
，
，
，
三点共线，则
.
，
当且仅当
，即
时，等号成立，因此，
的最小值为
.
故选：B.
26．如图，在
中，点
在边
上，过点
的直线与
，
所在的直线分别交于点
，
，且
是
的中点，若
，
（
，
），则
的最小值为 .
【答案】
【详解】因为点
在
上，所以
，
因为
是
的中点，所以
，
又因为
，
（
，
），
所以
，
所以
，
，计算可得
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
27．如图，已知平行四边形ABCD 边AB 的中点为E，F 为AD 上的一点，且
，BF、CE 交于点K，
求
的值．
【答案】
.
【详解】设
，
为一组基底，则
∵
，
.
∴
设
，则
.
易求得
.
又B、K、F 三点共线，∴存在实数t，使
，
即
，
由平面向量基本定理得
，
∴
，即
.
考点06 向量的坐标运算
28．已知向量
，
，在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则
（ ）
A．8
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，建立直角坐标系，则
，
所以
，
所以
，
故选：C.
29．平面向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【详解】因为
，
，所以
，所以
，解得
.
故选：B.
30．已知
，
，
，则点
的坐标为
【答案】
【详解】设点
，
则
，
，
因为
，所以
，解得
，
所以点
的坐标为
.
故答案为：
.
31．向量
，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量
共线，则
λ 等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，
则
，可得
，
因为向量
与共线，可得
，解得
.
故选：C．
32．已知四边形
的顶点坐标为
、
、
，且
.
(1)若点
在第一象限，求实数
的取值范围；
(2)若点
为直线
外一点，
为四边形
对角线的交点，
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
、
，所以
.
设点
的坐标为
，
，
，则
.
由
，得
，解得
，
因为点
在第一象限，所以
，
，则
，解得
.
故实数
的取值范围是
.
（2）由
得
，
即
，所以
.
因为
，所以
，
又点
恰为四边形
对角线的交点，
所以
，则
，
又
，所以
.
考点07 坐标法解决向量共线问题
33．已知平面向量
，
，
，若
，
，
三点共线，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为A，B, C 三点共线，所以
与
共线，因为平面向量
，
，
，
故可得
，
整理可得
，
化为关于
的一元二次方程为
，因为
存在实数解，
故
，即
，
解得
或
，
即
或
，
故选：
.
34．已知向量
，
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．0
【答案】D
【详解】由
可得
，解得
.
故选：D.
35．已知非零向量
，
，则“
”是“
”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】易知
，
由
，
得
，解得
或
（舍去），
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
36．若两个非零向量
，
，则
是
与
共线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】令
，则
，
，即向量
与
共线；
取
，
，满足
与
共线，而
不成立，
所以
是
与
共线的充分不必要条件.
故选：A
37．已知向量
，若存在实数
，使得
与
的方向相同，则的一个取值为 ．
【答案】
（答案不唯一）
【详解】由向量
，存在实数x，使得
与
的方向相同，
则
，即
，可得
，所以
，则
,取
.
故答案为：
考点08 向量在几何中的应用
38．已知四边形
是矩形，
，
，
，
，
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
【详解】解：解法一 如图，以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立平面直角坐
标系，设
，则
，
，
，
.
∴
，
，
，
.
∴
，
.
∴
，
.
∵
，
∴
，即
.
又
，
所以
，
.
∴
.
∴
.
∵
，∴
.
故选：C.
解法二：∵
，
，
∴
.
∵
，∴
，得
.∴
，
.
∴
.
故选：C.
39．已知
是
内部（不含边界）一点，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】
【详解】如图，连接AD 并延长交BC 与点M,
设点B 到直线AD 的距离为
,点C 到直线AD 的距离为
,
因为
，
所以设
，
因为AM 与向量AD 共线，
设
,
,
所以
，
即
，
,
所以
故选：A
40．已知
是
内一点，
，设
的面积为
的面积为
，则
．
【答案】
【详解】过点
作
,交
于点
,交
于点
连接
并延长交
于点
,作
,垂足为
,
作
,垂足为
因为
，
,
所以
因为
,
所以
.
故答案为：
41．如图，在
中，点E 为边
上一点，点F 为线段
延长线上一点，且
，连接
交
于点D，求证：
.
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，以点B 为原点，
所在的直线为x 轴建立直角坐标系，不妨设
设
，
，
，
，则
，
，
所以
，所以
.
所以
，
.
因为E，D，F 共线，
所以
，
所以
化简得
.
因为
，
所以
.
所以
.
42．如图，在
中，点C 分
为
，点D 为
中点，
与
交于P 点，延长
交
于E，
求证：
.
【答案】证明见解析.
【详解】以点O 为坐标原点，
所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设
，
，
，
，则
.
因为点C 分
为
，所以
因为点D 为
的中点，所以
.
因为点A，P，D 共线，所以
.
又
，
，所以
.
同理由点B，P，C 共线，可得
，
由点O，P，E 共线，可得
.解得
.所以
.
考点09 向量在物理中的应用
43．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8 根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均
为
.已知礼物的质量为
，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的
大小（重力加速度
取
）最接近（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，
,
解得
．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．
故选：A.
44．（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度
，一艘船从河岸边的A 地出发，向河对岸航行.
已知船在静水中的速度
的大小
，水流方向为正东方向，其速度
的大小为
，这艘
船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（ ）
参考数据：
A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时，
B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min
C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min
D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短
【答案】AB
【详解】对于A：设
与
的夹角为
，船行驶的时间为，
，
当
为钝角时，
当
为锐角时，
当
为直角时，
则当
为钝角时，
，
当
为锐角时，
，
所以当船垂直于对岸行驶，即
，所用时间最短，故A 正确；
对于B：由A 可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为
，故B 正确，C 错误；
对于D：设点
是河对岸一点，
与河岸垂直，
那么当这艘船实际沿着
方向行驶时，船的航程最短，
由下图可知，设
，则
，
此时，船的航行时间
，故D 错误；
故选：AB
45．有两个分别为3 牛和5 牛的力作用在某物体上，则合力的最大值为 牛．
【答案】8
【详解】设两个力分别为
，且
，根据题意合力
.
则根据三角不等式有
，当且仅当
同向时取得.
故合力最大值为8．
故答案为：8.
46．已知作用在原点上的三个力
，
，
，求这些力的合力
的坐标．
【答案】
【详解】由题意
.
所以合力的坐标为
.
47．一人从点A 出发，向东走500 米到达点B，接着向北偏东60°方向走300 米到达点C，然后向东北方向
走100 米到达点D.选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移.
【答案】答案见解析
【详解】根据题意，画出图形，如图：
向量
为这个人的位移.
48．一条河的两岸平行，河宽
.一艘船从A 处出发航行到河的正对岸B 处.航行的速度
，水流的速度
，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.
（结果精确到0.1min）
【答案】所用的时间是3.1min
【详解】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示，
设该船航行时的速度为
，水流的速度为
，合速度为
，
已知
，
，
则
，
所以
.
所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1min.
