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专题 07 抛物线 9 大考点
考点 01 求抛物线的标准方程
考点 02 抛物线定义的判断及应用
考点 03 抛物线的筒单性质
考点 04 抛物线的轨迹方程
考点 05 直线与抛物线的位置关系
考点 06 抛物线的弦长问题
考点 07 抛物线的中点弦问题
考点 08 抛物线的最值范围问题
考点 09 直线与抛物线的综合问题
考点 01 求抛物线的标准方程
1．抛物线
的焦点为
，点
在 上，
，则
（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【详解】因为抛物线
，点
在 上，所以
，
因为
，所以
，即
，
因为抛物线
的焦点为
，准线
，
，
根据抛物线定义可知
，解得
，
故选：B.
2．若抛物线
上一点
到其焦点的距离为 ，则该抛物线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由焦半径公式可知
，解得
，
所以抛物线方程为
，
故选：A.
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3．已知正方形
的边长为 2，其中三个顶点在抛物线
上，则
.
【答案】
【详解】因为正方形
的边长为 2，其中三个顶点在抛物线
上，
根据抛物线和正方形的对称性，不妨设 在坐标原点，则点 和点
关于 轴对称，
由正方形
的边长为 2，所以
，
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
4．已知点
在抛物线
上，则该抛物线的准线方程为
.
【答案】
【详解】因为点
在抛物线
上，
所以
，解得
，
所以抛物线方程为
，则
，
所以该抛物线的准线方程为
，
故答案为：
考点 02 抛物线定义的判断及应用
5．已知抛物线
的焦点为
，点
在 上.若
到直线
的距离为 5，则
.
【答案】
【详解】如图，
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由题意知，抛物线的准线方程为
，
又点
到直线
的距离为 5，
所以点
到准线的距离为
，
由抛物线的定义知
.
故答案为：
6．抛物线
上的一点 到 轴的距离为 12，则 与焦点
间的距离
．
【答案】
【详解】设点
，则
，所以
，所以
，
所以
，
故答案为：
.
7．设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l．P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作
于 Q，则线段
FQ 的垂直平分线（
）
A．经过点 O
B．经过点 P
C．平行于直线 OP
D．垂直于直线 OP
【答案】B
【详解】如图所示，P 为抛物线上异于 O 的一点，连接
，则
，
所以 QF 的垂直平分线经过点 P．
故选：B
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8．已知抛物线
的焦点为
，准线为
为抛物线上一点，作
于点
，若
为等边
三角形，则 点的横坐标为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】由抛物线的定义可知
，且
，过
作
，
可知 D 为
的中点，
则
，即
，所以 点的横坐标为 3.
故选：C
考点 03 抛物线的筒单性质
9．已知抛物线 ：
与圆 ：
（
）交于 ， 两点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】A
【详解】设
，
（
），
由
，得
，所以
．
因为
在圆 上，所以
，得
，
故选：A．
10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
上，则这个等边三角形的
边长为
.
【答案】
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【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
上，
则另外两个顶点关于 x 轴对称，如图所示：
设等边三角形边长为 a，
，则 A 点横坐标为
，
则
，代入
得
，解得
（
舍去），
故等边三角形的边长为
.
故答案为：
.
11．已知抛物线
的焦点为
，
是 上一点，且 到
的距离与 到 的对称轴的
距离之差为 2，则
（
）
A．
B．1
C．2 或 4
D．4 或 36
【答案】D
【详解】因为
是 上一点，
所以
，所以
，
由抛物线的定义可得 到
的距离为
，
点 到 的对称轴的距离为
，
则
，解得
或
.
故选：D.
12．抛物线
上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为 10 和 6，则该点的横坐标
是
．
【答案】1 或 9
【详解】抛物线
的准线方程为
，对称轴为 轴，
设该点的坐标为
，
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由题意可得，
，则
，
即
，解得
或
，
因为
，所以
或 .
故答案为：1 或 9.
13．在同一坐标系中，方程
与
的曲线大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，方程
表示焦点在 轴上的椭圆，
得
，因
，故该方程表示焦点在 轴上开口向左的抛物线.
故选：D.
14．已知点
关于 轴的对称点在曲线
上，且过点 的直线
与曲线 相交于点
，则
.
【答案】16
【详解】因为曲线 的方程为
，即
，
所以由题意及抛物线的对称性，知点 在抛物线
上，且在 轴的下方，
因为直线
过此抛物线的焦点
.
设
，
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联立
，得
，
则
，
所以由抛物线的焦点弦长公式得
.
故答案为：16.
考点 04 抛物线的轨迹方程
15．若圆 与 轴相切且与圆
外切，则圆 的圆心的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设圆心坐标为
，依题意可得
，化简得
，
即圆 的圆心的轨迹方程为
.
故选：C
16．已 知 是直线
上的一个动点，过点 作抛物线
的两条切线
，
，切点分别为
， ，则
的重心
的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，
，
的重心为
．
由定理 1.1 知
，则由三角形的重心坐标公式，
可得
，
．
于是，
，
，
由点 在直线
上得
，即
．
其中定理 1.1 及证明：如图，抛物线
上两个不同的点 ， 的坐标分别为
，
，
以 ， 为切点的切线
，
相交于点 ，我们称弦
为阿基米德
的底边．
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定理 1.1．点 的坐标为
；
证明：由
，则
，
所以过点 的切线方程为
，
过点 的切线方程为
，联立这两个方程
，
消去 ，可得
，再将
代入点 处的切线方程，
可得
．
这表明，点 的坐标为
．
故选：B．
17．已知 A，B 两点的坐标分别是
，
，直线
，
相交于点 M，且
，则点 M 的
轨迹方程为
．
【答案】
，
【详解】设
，则
，
整理，得
，
．
动点
的轨迹方程是
，
．
故答案为：
，
．
18．在平面内，到定点
的距离比到定直线
的距离大 1 的动点
的轨迹方程是
．
【答案】
【详解】由已知可得动点
满足到定点
的距离等于到定直线
的距离，
由抛物线定义知动点
的轨迹方程为焦点在 x 轴上的抛物线，且焦点为
，则
，
.因此轨迹
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方程为：
．
故答案为：
.
19．已知抛物线
，过点
的直线与抛物线交于 ， 两点，则线段
中点
的轨迹方程
为
.
【答案】
【详解】由题意知直线
的斜率不为 0，设
的方程为
，
联立抛物线方程
，得
，
，
设
，则
，
设线段
中点
，则
，
即
，故线段
中点
的轨迹方程为
，即
，
故答案为：
20．设抛物线
的焦点为
，过点
作直线 交抛物线于 ， 两点，再以
，
为邻边作平
行四边形
，求动点 的轨迹方程．
【答案】
【详解】设直线
，代入抛物线方程
，得
，
设
，
，则
，即
，
所以
，
法一：设
，因为
，
的中点坐标相同，且
，
则
，即
，消去 得
，
由于
，则
，故动点 的轨迹方程为
；
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法二：设
，易知
，则平行四边形
对角线的交点 为
，
而
，两式相减得
，则
，
为直线
的斜率，且 在直线 上得
，
，代入上式得
，
又因为点 在抛物线的内部，可得
，
所以
，故动点 的轨迹方程为
.
考点 05 直线与抛物线的位置关系
21．已知抛物线
的焦点为
，过点
且与抛物线 有唯一公共点的直线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【详解】由抛物线的方程为
知
．
当过点 的直线斜率不存在，即直线与 轴重合时，满足直线与地物线 有唯一公共点．
当过点 的直线斜率为 0 时，直线方程为
，满足直线与抛物线 有唯一公共点．
当过点 的直线斜率存在且不为 0 时，设直线方程为
，
由
得关于 的方程
，
令
，解得
，此时满足条件的直线有 1 条．
综上，过点 与抛物线 有唯一公共点的直线有 3 条，
故选：C．
22．已知直线
和抛物线
，则“
”是“直线 与抛物线 恰有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
【答案】A
【详解】分析充分性：
当
时，将
代入抛物线 的方程
，
整理得
，此时
，
即直线
与抛物线 恰有一个公共点，因此充分性成立；
分析必要性：
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将直线
代入抛物线
，整理得
，
当
时，令
解得
.
当
时，此时直线方程为
，此时直线与抛物线恰有一个公共点
.
综上可知，当直线 与抛物线 恰有一个公共点时，
或
，
故“
”是“直线 与抛物线 恰有一个公共点”的充分不必要条件.
故选：A
23．已知抛物线 C 的方程为
，过点
和点
的直线 l 与抛物线 C 没有公共点，则实数 t
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，直线
，与抛物线
有交点，所以
，
设直线
的方程为
，
联立直线与抛物线方程，得
，消元整理，得
，
由于直线与抛物线无公共点，即方程
无解，故有
，解得
或
.
故选：A
24．（多选）已知抛物线
过点
，则（
）
A．拋物线 的标准方程可能为
B．抛物线 的标准方程可能为
C．过点 与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点 与抛物线只有一个公共点的直线有两条
【答案】ABD
【详解】对于选项 A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为
，将
代入抛物线 中得
，则拋物线 的方程为
，故 A 正确；
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对于选项 B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为
，将
代入拋物线 中得
，则
抛物线 为
，故 B 正确；
对于 C、D 选项，过点 与对称轴平行的直线，以及抛物线在点 处的切线都与抛物线只有一个公共点，故
C 错误，D 正确.
故选：ABD.
25．若抛物线
图像上一点到直线
距离的最小值为
，则
（
）
A．
B．8
C．8 或
D．
【答案】B
【详解】由
得：
，
由题意知直线与抛物线无交点，
所以
，
设抛物线上任一点为
，
则点 到直线
的距离为：
，
因为
，所以
，
所以
，
所以当
时，
，
解得：
，
故选：B.
26．已知抛物线
的焦点为
，以
和 的准线上的两点为顶点可以构成边长为
的等
边三角形．
(1)求 的方程；
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(2)讨论过点
的直线 与 的交点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）由题意得焦点
，准线方程为
，
以焦点和 的准线上的两点为顶点可以构成边长为
的等边三角形
，
而这个等边三角形的高为
，
即焦点到准线的距离
，解得
（负值舍去），
所以 的方程为
．
（2）若直线 的斜率存在，设 的方程为
．
由方程组
可得
．
（Ⅰ）当
时，解得
，此时方程只有一个实数解， 与 只有一个公共点；
（Ⅱ）当
时，方程的根的判别式为
，
（ⅰ）由
，解得
或 ，此时方程有两个相等的实数解， 与 只有一个公共点；
（ⅱ）由
，解得
或
，此时方程有两个不等的实数解， 与 有两个公共点；
（ⅲ）由
，解得
，或
，此时方程没有实数解， 与 没有公共点；
若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为
，易知 与 没有公共点．
综上，当 的方程为
或 的斜率
或
时， 与 的交点个数为 0；当 的斜率
或
1 或
时， 与 的交点个数为 1；当 的斜率
时， 与 的交点个数为 2．
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考点 06 抛物线的弦长问题
27．已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交抛物线于 ， 两点，若
，则
（ ）
A．12
B．10.5
C．9
D．7.5
【答案】C
【详解】抛物线
的焦点为
，准线为
.如图，
取
的中点为 ，分别过
作准线的垂线，垂足分别为
.
由抛物线的定义可知，
则
.
设
，则
，
，又
，
，
所以
，
又
，即
，解得
.
所以
.
故选：C
28．设抛物线
的焦点为
，不经过
的直线与 交于 、 两点，与 轴交于点 ，已
知点 的坐标为
，且
与
的面积之比是
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】由题知点
在抛物线
上，故
，即
.
所以抛物线 的方程为
，焦点为
，准线方程为
，
如图，
，
，
所以
，
又由点
知
，故
，
所以
故选：B
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29．已知抛物线
的焦点为
，斜率为 的直线 与抛物线 交于
，
两点，则
的值为
．
【答案】
【详解】由直线 与抛物线 交于
，
，设
，
，直线 的斜率为 ，
由抛物线定义，可得
，
，
又弦长
，
所以
.
故答案为：
30．已知抛物线
的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 交于 P，Q 两点，线段 PQ 的中
点的纵坐标为 1，且
，则
.
【答案】1
【详解】设直线 PQ 的方程为
，
，
.
由
消去 得
，
，
则
，
.
因为线段 PQ 的中点的纵坐标为 1，所以
，则
.
因为
，所以
，
即
，解得
.
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故答案为：
31．已知
是抛物线
的焦点， 是准线，过
作圆
的切线，与抛物线 交于
点
、
两点（
在
的上方），过
作 的垂线，垂足为 ，则
的面积为
．
【答案】
【详解】由题可得抛物线
的焦点
，准线 方程为：
，
过
作圆
的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为：
,
由于圆
的圆心为
,半径
,
则
，解得：
,
根据对称性，不妨取切线斜率为
，则切线方程为
，
联立
，得：
,
解得：
或
,
因为
在
的上方，所以点
,
由于过
作 的垂线，垂足为 ，则
，
所以
,点
到直线
的距离
,
则
,
故答案为：
32．已知 为坐标原点，
为抛物线 ：
的焦点， 是 上异于 的一点，且点 到
的
距离比到 轴的距离大 1.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若经过点
的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且
，求 的方程.
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【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设点
，由题可知
，由抛物线定义知
，
所以
，所以
，则抛物线 的方程为
.
（2）易知 的斜率一定存在，设 的方程为
，设
.
由
消去 得
，
则
，且
，
，
由
，化简整理得
，解得
（舍去）或
，
所以
，即 的方程为
.
33．已知抛物线 的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若抛物线 的焦点在 x 轴上，一条斜率为
的直线过该抛物线 C 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，求弦
的长度.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】
【详解】（1）若抛物线 焦点在 轴上，则可设
，
抛物线 经过点
，
，解得：
，
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抛物线方程为：
；
若抛物线 焦点在 轴上，则可设
，
抛物线 经过点
，
，解得：
，
抛物线方程为：
，
综上所述：抛物线 的方程为：
或
.
（2）由（1）知：抛物线 的方程为：
，焦点为
，
则直线
，
代入抛物线方程，消去 得
，则
，显然
，
所以
，
，
则
.
考点 07 抛物线的中点弦问题
34．直线
被抛物线
截得的线段
的中点坐标是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】联立
，则
，
设直线
与抛物线交点
，
则
，故
，
所以线段
的中点坐标是
.
故选：B.
35．已知抛物线
，直线
与抛物线相交于
，且
的中点为
，则
．
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【答案】
【详解】又中点
在直线
上，
所以
，即
，故直线
的方程为
设
，联立方程
得
，
所以
，
，
因为
的中点为
，
所以
，解得
，满足判别式，
故
.
故答案为：
36．若直线 经过抛物线
焦点，且与抛物线相交于
两点，且
，则
的中点横坐标
为
.
【答案】
【详解】记 为焦点
到准线的距离，
则
，
，
分别过点
作准线的垂线，垂足分别为
，
直线 经过抛物线
焦点，且与抛物线相交于
两点，
根据抛物线的定义得到
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
19 / 37
的中点 横坐标为
，
故答案为： .
37．在平面直角坐标系
中，点 到点
的距离比它到直线
的距离小 3，记动点 的轨迹为曲线
．
(1)求曲线 的方程；
(2)已知直线 与曲线 交于
两点，且
的中点为
，求证：以
为直径的圆过点 ．
【答案】(1)
.
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由点 到点
的距离比它到直线
的距离小 3，
则点 到点
的距离等于点 到直线
的距离，
因此点 的轨迹是以点
为焦点，直线
为准线的抛物线.
设曲线 的方程为
，则
，得
，
所以点 的轨迹 的方程为
.
（2）由题意可得直线 的斜率存在且不为 0，设为 ，
则直线 的方程为
，
设
，联立
，得
，
则
，
，
因为
的中点为
，所以
，即
，所以
，
故
，
，
20 / 37
所以
，
所以
，所以以
为直径的圆过点 .
38．在抛物线
中，若直线 与抛物线相交于
两点，
是弦
的中点，弦
所
在直线的斜率为
，求证：
．
【答案】证明见解析
【详解】如图：
设
两点的坐标分别为
，则有
① ②，得
．所以
．
又因为
，
，
所以
．
39．已知抛物线
的准线方程为
，焦点为 F，
是抛物线上的一点，O 为坐标
原点.
(1)求抛物线 C 的方程及
；
(2)已知直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，使点
恰为
的重心，求直线 l 的斜率 k.
【答案】(1)
，
；
(2)3.
【分析】
【详解】（1）抛物线
的准线方程为
，则
，解得
，
抛物线 的方程为
，由
是抛物线 上，得
，解得
，
21 / 37
所以抛物线 C 的方程为
，
.
（2）设
，由点
为
的重心，得
，
解得
，由点
在抛物线 上，得
，
两式相减，得
，即
，
所以直线 l 的斜率
.
40．已知圆
的圆心
是抛物线 的焦点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 于 、 两点，是否存在直线 ，使得点
是弦
的中点？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】
【详解】（1）圆
的方程可化为
，
故圆心的坐标为
.
设抛物线 的方程为
，所以
，所以
，
所以抛物线 的方程为
.
（2）不存在符合题意的直线 ，理由如下：
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方法一：假设存在符合题意的直线 ，设
，
则
两式相减，得
，即
，
所以直线 的斜率
，
若点
是
的中点，则
，所以
，
所以直线 的方程为
，即
.
联立方程组
，消去 得
，
，方程组无解
即该直线与抛物线没有两个交点，不符合题意，即直线 不存在.
方法二：假设存在符合题意的直线 ，设
，
依题直线 的斜率不为 0，设其方程为
，
联立方程组
，消去 x 得
，
所以
，
则
，解得
，
所以
，解得
，
此时
，与
矛盾，
所以假设不成立，即符合题意的直线 不存在.
考点 08 抛物线的最值范围问题
41．过抛物线
的焦点
作两条互相垂直的弦
，
，设 为抛物线上的一个动点，
，若
，则
的最小值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．4
【答案】A
【详解】抛物线方程为
，根据抛物线的标准形式，其焦点为
，准线方程为
.
因
与
垂直，故直线
的斜率 存在且不为 0，直线
过焦点
，
设直线
的方程为
.
23 / 37
将直线方程代入抛物线方程
，联立得：
，
所以
，方程
的判别式
，
设
、
，
由韦达定理得：
因
，
，故：
因
，故直线
的方程为
.
同理可得
.
根据题设
，将
、
代入得
，
即
，解得
，故抛物线方程为
，
此时焦点
，准线方程为
.
设点 到准线
的垂线段为
（
为垂足），
则
，因此
，
表示点 到准线的距离与到点
的距离之和.
根据几何最短路径原理，当点 为线段
与抛物线
的交点时，距离和最小.
此时
的坐标为
，则
，即
.
综上，
的最小值为 .
故选：A
42．在平面直角坐标系
中，已知两点
，点 在直线
上，若 为抛物线
上一
点，则
的最小值为（
）
24 / 37
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】方法一：因为直线
的斜率
，所以直线的方程为
，即
，
易知抛物线
与直线
没有交点，
设点
，则点 到直线
的距离
，
所以当
时， 取得最小值，
.
方法二：设直线 与直线
平行，
，且 与抛物线相切，
联立
得
，令
解得
，
则
与
的切点为 ，则
.
故选：C
43．已知
是抛物线
上的动点，
是圆
上的动点，若 的焦点为
，则
的最小值为
.
【答案】 /
【详解】由题意知 的准线为
，设点
到 的距离为
，
则由抛物线定义可得
，
圆 的圆心为
，半径为 ，则 到 的距离
，
则
，
当且仅当
都在直线
上，且
在 下方时，等号成立，
25 / 37
所以
的最小值为 .
故答案为： .
44．如图所示点
是抛物线
的焦点，点 、 分别在抛物线
及圆
的实线部分
上运动，且
总是平行于 轴，则
的周长的取值范围是
．
【答案】
【详解】过点 作准线
的垂线，垂足为 ，
则
的周长为
，
由
可得：
，所以
，故
的周长的取值范围为
.
故答案为：
45．若点 是抛物线
上的一动点，点 是直线
上的一动点，则线段
的长度的最小
值为
．
【答案】
26 / 37
【详解】设与直线
平行且与抛物线
相切的直线方程为
，
联立
，得
，
所以
，得
，所以线段
的长度的最小值为两条平行线间的距离，
则
．
故答案为：
.
46．已知抛物线
的焦点为
，准线为 ，点 在抛物线上，
于点 ．若
是锐角三角形，
则
的取值范围是
．
【答案】
【详解】由题意得
，
由抛物线的定义得
，所以
，
由于
是锐角三角形，则
为锐角，
在 轴上取一点
，由
轴，所以
，则
为锐角，
设点
，
，
则
，所以
，
则
，
故答案为：
．
考点 09 直线与抛物线的综合问题
47．（多选）已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
，点
在 的准线上，过 的
直线与 交于不同的两点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
27 / 37
【答案】ABD
【详解】由题可知，
，故
，故抛物线
.
对于 A：
，故 A 正确；
对于 B：易知直线
的斜率存在，且不为 0，故可设直线
，
，
联立直线
与抛物线 可得，
，消 得
，
，
解得
或
，
.
，故 B 正确；
对于 C：过点
作准线
的垂线
，由抛物线的性质可知，
，
故
.
由 B 可知，
，
或
，由对称性，不妨令
，则
，则
，
，
，即
，故 C 错误；
对于 D：由 B 可知，
，
.
由抛物线的性质可知，
，
故
，故 D 正确.
故选：ABD.
48．在平面直角坐标系
中，已知抛物线
上一点
到焦点
的距离为 5.过
点
的直线 与抛物线交于不同的两点 、 .
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若
的面积为 20，求直线 的方程；
(3)若直线
交 轴于点 ，直线
交 轴于点 ，且
，
，求证：
为定值.
【答案】(1)
；
28 / 37
(2)
或
；
(3)证明见解析.
【分析】
【详解】（1）抛物线
的准线方程为
，
根据抛物线的定义，点
到焦点
的距离等于到准线的距离，
即：
，解得
，故抛物线的标准方程为
；
（2）由（1）得焦点
，又
，则
，
易得直线 的斜率是存在的，设直线 的方程为
，
联立
，消去 ，整理得：
，设
，
由
，得
，
由韦达定理，
，
，
故
的面积
，代入
得：
,得
，
又
，故：
，解得
满足
，因此直线 的方程为
或
；
（3）由
在抛物线
上，代入得
，
又
，故
，即
，
易得直线 的斜率是存在的，设直线 的方程为
，
，
，由（2）知
，
，
29 / 37
直线
的斜率为：
，
故直线
的方程为：
，
令
，得
，即
，又
故
，
，由
，得
故
，即
，
同理，直线
交 轴于
，得
，
故
代入
，
，得
故
，为定值.
49．在平面直角坐标系
中，直线
与 轴交于点 ，直线 与抛物线
有且
只有一个交点 ．
(1)求交点 的坐标及抛物线 的标准方程；
(2)在 轴上是否存在一点
异于点 )，使过该点的直线与抛物线 交于不同的两点
（异于点 ），
与直线
交于 点，且满足
，若存在，求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)存在点
【分析】
【详解】（1）联立方程组
消去 ，整理得
，
因为直线 与抛物线 有且只有一个交点 ，所以
，
解得
或
（舍去）．所以
，
即方程为
，即
，∴
30 / 37
∴
，
（2）由题意可知，该直线的斜率存在且不为 ，
故可设该直线方程为
，由
可知
，
在方程
中，令
，得
，
所以
，所以
，
联立
，得
，
，
设
，所以
，
而
，同理可得
，
所以
，
因为
，
得
，化简，得
，
所以
或
（舍去）．
综上可知，存在点
满足条件．
50．已知抛物线
，过焦点 F 的动直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M.
31 / 37
(1)当直线 l 的倾斜角为 时，
，求抛物线 G 的方程；
(2)对于（1）问中的抛物线 G，若点
，求证：
为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析，6.
【分析】
【详解】（1）由题意知
，设直线 的方程为
，
由
得：
，所以
，
所以
，所以
，
故抛物线
的方程为
（2）由（1）抛物线
的方程为
，
当直线
的斜率为 0 时，直线
的方程为
，直线
与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，
故直线
的斜率不为 0，故可设
的方程为
消去 得：
，设
，
则
，
所以
，
，即
，
所以
.
所以：
为定值，该定值为 6.
51．已知抛物线
的焦点为 F，过点 F 的直线 与 C 交于 A，B 两点，且
，O
为坐标原点．
(1)求 C 的方程；
32 / 37
(2)若直线 与 C 的准线交于点 P，过点 P 作直线 交 C 于 M，N 两点，且直线 与 的倾斜角互补．
（ⅰ）求直线 所过定点的坐标；
（ⅱ）证明：A，B，M，N 四点共圆．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）直线 过定点
；（ⅱ）证明见解析
【分析】
【详解】（1）由题知
，设
两点的坐标分别为
，
显然直线 的斜率为 0 时不合题意，则设直线 的方程为
，
联立方程
消去 整理得
，
则
，
，
，
所以
，
所以
，解得
，
所以 的方程为
．
（2）（ⅰ）由（1）知 的准线方程为
，直线
的方程为
，
令
，得
，即点 的坐标为
，
由直线 的斜率为
，直线 与直线 的倾斜角互补，知直线 的斜率为
，
故直线 的方程为
，即
，
故直线 过定点
．
（ⅱ）设点
的坐标为
．
联立方程
消去 后整理得
，故
，
由（1）知
，
，
直线
的斜率为
，同理可得直线
的斜率为
．
33 / 37
又
，
所以直线
与直线
互相垂直，故点
在以线段
为直径的圆上，
同理可得点
在以线段
为直径的圆上，
故 ， ，
，
四点共圆．
52．已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
，点
是抛物线 上的动点（点 P 不在
x 轴上）．当
时，
．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)若
的角平分线与 y 轴相交于点
，直线 PQ 与抛物线 C 的准线相交于点 T．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）证明：
．
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】
【详解】（1）抛物线
的准线方程为
，
由点
在抛物线 上，所以
，可得
，
又
，则
，所以
，可得
，
故抛物线 的标准方程为
.
（2）（ⅰ）由（1）可得
，准线方程为
，
由点
在抛物线 上，有
，
当
时，解得
，不妨取
，此时
的角平分线为
，
令
可得
，即
，此时
，同理取
也可得到
；
当
时，可得直线
的方程为
，
34 / 37
又由
的角平分线与 轴交于点
，可得
，且点 到 轴的距离与到直线
的距离相等.
可得
，有
，
有
，有
，
有
，有
或
，
可得
或
，
又由
，可得
，故
；
综上可得
；
（ⅱ）当
时取
，此时
，所以
的方程为
，即
，
由
，解得
，即
，显然满足
；
当
时，由（ⅰ）可得
，可得直线
的方程为
，整理为
；
又由抛物线 的准线方程为
，代入
到直线
的方程，可得
，
可得点 的坐标为
；
直线
的斜率
，
又由
，所以
；
综上可得
.
53．已知
是抛物线
的焦点，过焦点的最短弦长为 .
35 / 37
(1)求抛物线 的方程；
(2)过动点
作抛物线 的两条切线，切点为
，
，直线
与抛物线交于
在第一象限）.
①求证：点 在定直线上；
②记
的面积分别为
，当
时，求点 的坐标.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】
【详解】（1）解：由抛物线的性质，可得抛物线中过焦点最短的弦长为通径，即
，得到
，
故抛物线 的标准方程为
.
（2）解：①设
，由
，得到
，所以
，
则直线
，即
，同理可得，
，
又点
在切线上，所以
，
故直线
的方程为
，即
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，可得
，所以点 在定直线
上，
②设
由①有直线
，过点
，直线
，
联立方程组
，整理得
，所以
，
又由方程组
，整理得
，所以
，
因为
，
因为
在第一象限，所以
，
36 / 37
又因为
，且
，可得，得到
，
两式相乘可得
，
因为
，所以
，得到
，
所以
，解得
，
由
，解得
或
，
当
时，
；
当
时，
，
又因为
，所以
，所以
.
37 / 37
