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限时跟踪检测(五十五) 抛物线(一)
一、单项选择题
1．(2024·山西临汾第一次适应性训练)已知抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为
(0，－9)，则C的方程为( )
A．x2＝6y B．x2＝12y
C．x2＝18y D．x2＝36y
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x，y)是C上一点，|AF|＝x，则x＝( )
0 0 0 0
A．1 B．2
C．4 D．8
3．抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准
线l的距离为( )
A．6 B．8
C．4 D．1
4．(2024·山东滨州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一
点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－，则△PAF的面积为( )
A．2 B．4
C．8 D．8
5．(2024·湖北四地七校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点P
在抛物线C上，若|PF|＝4，则以线段PF为直径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－4x－4y＋2＝0
B．x2＋y2－2x－2y＋4＝0
C．x2＋y2－4x－4y＋4＝0
D．x2＋y2－2x－2y＋2＝0
6．(2024·湖南长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为
36π，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
7．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则d＋|
PQ|的最小值为( )
A．5 B．＋1
C．－1 D．4
8．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，
则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9．(2024·山东日照模拟)如图，PQ为经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任一弦，抛
物线的准线为l，PM垂直l于M，QN垂直l于N，PQ绕l旋转一周所得旋转面的面积为
S，以MN为直径的球的面积为S，则( )
1 2A．S>S B．S0)的焦点为
F，焦点到准线的距离为2，Q为C上的一个动点，则( )
A．C的焦点坐标为(1,0)
B．若M(3,5)，则△QMF周长的最小值为11
C．若M(0,4)，则|QM|的最小值为2
D．在x轴上不存在点E，使得∠QEF为钝角
三、填空题与解答题
12．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
13．(2024·广东茂名模拟)以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，
交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________.
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x
轴上方，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为
M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
高分推荐题15．(2024·重庆巴蜀中学月考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点
P作l的垂线，垂足为Q.若M(3,0)，N(－1，0)，PF与MQ相交于点T，且TN＋TP＝MT，
则△TMF的面积为________．
解析版
一、单项选择题
1．(2024·山西临汾第一次适应性训练)已知抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为
(0，－9)，则C的方程为( )
A．x2＝6y B．x2＝12y
C．x2＝18y D．x2＝36y
解析：由题可知，抛物线C开口向上，设C的方程为x2＝2py(p>0)，则抛物线C的焦
点坐标为，准线方程为y＝－，所以＝－，解得p＝6，所以C的方程为x2＝12y.故选B．
答案：B
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x，y)是C上一点，|AF|＝x，则x＝( )
0 0 0 0
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由题意知抛物线的准线方程为x＝－.因为|AF|＝x ，所以根据抛物线的定义可得
0
x＋＝|AF|＝x，解得x＝1.故选A．
0 0 0
答案：A
3．抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准
线l的距离为( )
A．6 B．8
C．4 D．1
解析：过P作PD⊥l于D(图略)，由抛物线的定义可知|PF|＝|PD|＝8，设抛物线的准线
l与y轴交于点A，则|FA|＝4，故PF的中点M到C的准线l的距离为(|FA|＋|PD|)＝6.故选
A．
答案：A
4．(2024·山东滨州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一
点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－，则△PAF的面积为( )
A．2 B．4
C．8 D．8
解析：由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，如图，设抛物线y2＝4x的准线与x轴
的交点为D，则|DF|＝2.又直线AF的斜率为－，所以∠AFD＝60°，因此|AF|＝2|DF|＝4，
∠FAP＝60°.由抛物线的定义可得|PA|＝|PF|，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以
△PAF的面积为×4×4×sin 60°＝4.故选B．答案：B
5．(2024·湖北四地七校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点P
在抛物线C上，若|PF|＝4，则以线段PF为直径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－4x－4y＋2＝0
B．x2＋y2－2x－2y＋4＝0
C．x2＋y2－4x－4y＋4＝0
D．x2＋y2－2x－2y＋2＝0
解析：因为P在抛物线C上，所以a2＝2p×，得a＝p，所以P，又F，所以PF⊥x轴，
|PF|＝p＝4，则以线段PF为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为2，所以所求圆的方程为
(x－2)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4x－4y＋4＝0.
答案：C
6．(2024·湖南长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为
36π，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：依题意得，△OFM的外接圆半径为6，△OFM的外接圆圆心应位于线段OF的
垂直平分线x＝上，圆心到准线x＝－的距离等于6，即有＋＝6，解得p＝8.故选D．
答案：D
7．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则d＋|
PQ|的最小值为( )
A．5 B．＋1
C．－1 D．4
解析：∵抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)，∴P到直线x＝－1的距离等于|PF|，∴P到y轴的距离d＝|PF|－1，∴d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1.又点Q在抛物线外部，∴当
F，P，Q三点共线时，|PF|＋|PQ|取得最小值|QF|.∵Q(－3，3)，F(1，0)，∴|QF|＝5，
∴d＋|PQ|的最小值为5－1＝4.故选D．
答案：D
8．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，
则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意可知，点F的坐标为，又F为△ABC的重心，故＝，即x ＋x ＋x ＝.又
A B C
由抛物线的定义可知|FA|＋|FB|＋|FC|＝x ＋x ＋x ＋＝＋＝3.故选C．
A B C
答案：C
9．(2024·山东日照模拟)如图，PQ为经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任一弦，抛
物线的准线为l，PM垂直l于M，QN垂直l于N，PQ绕l旋转一周所得旋转面的面积为
S，以MN为直径的球的面积为S，则( )
1 2
A．S>S B．S0)的焦点为
F，焦点到准线的距离为2，Q为C上的一个动点，则( )
A．C的焦点坐标为(1,0)
B．若M(3,5)，则△QMF周长的最小值为11
C．若M(0,4)，则|QM|的最小值为2
D．在x轴上不存在点E，使得∠QEF为钝角
解析：选项A，抛物线C：x2＝2py(p>0)，焦点到准线的距离为p＝2，则C：x2＝4y，
焦点F(0,1)，故A错误．
选项B，∵M(3,5)，F(0,1)，∴|MF|＝＝5.设点Q到准线y＝－1的距离为d，点M到准
线y＝－1的距离为d′＝5－(－1)＝6，则△QMF的周长为|MF|＋|FQ|＋|QM|＝5＋d＋|QM|≥5
＋d′＝5＋6＝11，当且仅当QM⊥x轴时等号成立，故B正确．
选项C，设Q，M(0,4)，
则|QM|＝
＝
＝，
当x＝8时，|QM|取得最小值2，故C正确．
选项D，设E(t,0)，∵Q，F(0,1)，
∴EF＝(－t,1)，EQ＝，
∴EF·EQ＝(－t,1)·＝－tx ＋t2＋＝2≥0，
0
∴cos∠QEF＝≥0，则∠QEF不可能为钝角，故D正确．故选BCD．
答案：BCD
三、填空题与解答题
12．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝＝＝＝.所以当x＝时，|AB|取得最小值，
且|AB| ＝.
min
答案：
13．(2024·广东茂名模拟)以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，
交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________.
解析：由抛物线方程知＝1，
∴F(1,0)．不妨设点A在第一象限，如图所示，由|AB|＝8，y2＝4x得A(4,4)，
∴圆的半径为r＝＝5，
∴|DE|＝2＝2＝2.
答案：2
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x
轴上方，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为
M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，∴p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知，点A的坐标是(4,4)．
由题意，得B(0,4)，M(0,2)，
又∵F(1,0)，∴k ＝.
FA
∵MN⊥FA，∴k ＝－，
MN
∴直线FA的方程为
y＝(x－1)①，
直线MN的方程为
y＝－x＋2②，
由①②联立，得x＝，y＝，
∴点N的坐标为.
高分推荐题
15．(2024·重庆巴蜀中学月考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点
P作l的垂线，垂足为Q.若M(3,0)，N(－1，0)，PF与MQ相交于点T，且TN＋TP＝MT，
则△TMF的面积为________．
解析：由TN＋TP＝MT得，TM＋TN＝－TP.
又因为F(1,0)，M(3,0)，N(－1,0)，所以F为MN的中点，
所以TM＋TN＝2TF，
所以2TF＝－TP，
所以T为PF的三等分点，且|TP|＝2|TF|.
又因为PQ∥MF，
所以△TMF∽△TQP，且＝＝，
所以|QP|＝2|MF|＝4.由抛物线的对称性，不妨设P(x，y)，且在第一象限，如图所示，
0 0
|QP|＝x＋＝x＋1＝4，所以x＝3.
0 0 0
因为点P(x，y)在抛物线上，
0 0
所以y＝2，
0
所以根据相似关系可得y ＝y＝，
T 0
所以S ＝|MF|·y ＝.
△TMF T
答案：
