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限时跟踪检测(五十六) 抛物线(二)
一、单项选择题
1．(2024·辽宁大连模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两
点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(2024·浙江杭州模拟)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到
x轴的最短距离为( )
A． B．
C．1 D．2
3．(2024·广西玉林陆川中学模拟)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M为抛物线上一
点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p
＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．(2024·湖南雅礼中学、河南实验中学联考)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与
抛物线C交于P，Q两点，与抛物线的准线交于点M，且FM＝3FP，则|FP|＝( )
A． B．
C． D．
5．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
A． B．(0,0)
C．(1,2) D．(1,4)
6．(2024·山东百师联盟测试)若点M为抛物线y＝x2上任意一点，点N为圆x2＋y2－2y
＋＝0上任意一点，设函数f(x)＝log (x＋2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则|MP|＋|
a
MN|的最小值为( )
A．2 B．
C．3 D．
7．(2024·江西南昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，点M是抛物线上一点，若
圆M过点A(3，0)且与直线l相切，则圆M与y轴相交所得的弦长是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
8．(2024·山东济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，
交点从左到右依次为A，B，C．若AB＝BF，则线段BC的中点到准线的距离为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
9．(2024·山东泰安模拟)已知以F为焦点的抛物线y2＝－2x上的两点A，B(点A的横坐
标大于点B的横坐标)，满足OA－OB＝λFA(O为坐标原点)，弦AB的中点M的横坐标为－，
则实数λ＝( )
A． B．C．3 D．4
二、多项选择题
10．(2024·河北名校联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过焦点的直线l与抛物线
C交于A(x，y)，B(x，y)两点，则下列说法一定正确的是( )
1 1 2 2
A．|AB|≥8
B．xx＝4，yy＝－16
1 2 1 2
C．以AF为直径的圆与直线x＝－2相切
D．若点P(－2,0)，则有k ＋k ＝0
AP BP
11．(2024·山东聊城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过
F的直线l交抛物线C于两点A，B，则( )
A．C的准线方程为x＝－2
B．若|AF|＝4，则|OA|＝
C．若|AF|·|BF|＝4p2，则l的斜率为±
D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝4
三、填空题与解答题
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且
仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程________，此时该弦中点到y轴的距离为
________．
13．(2024·湖南长沙一中等名校联考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过
第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设C(2p，0)，直线AF与BC相交于
点D．若|CF|＝|AF|，且△ACD的面积为，则直线AC的斜率k＝________，抛物线的方程
为________．
14．(2024·安徽皖南八校联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C
交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
0
高分推荐题15．(多选)(2024·江苏苏州模拟)已知点A(－1，0)，B(1,0)，G(0,1)，抛物线C：y2＝4x.
过点G的直线l与C交于P(x，y)，Q(x，y)两点，直线AP，AQ分别与C交于另一点E，
1 1 2 2
F，则下列说法中正确的是( )
A．y＋y＝yy
1 2 1 2
B．直线EF的斜率为
C．若△POE的面积为(O为坐标原点)，则OE与OP的夹角为
D．若M为抛物线C上位于x轴上方的一点，|AM|＝t|MB|，则当t取最大值时，△ABM
的面积为2
解析版
一、单项选择题
1．(2024·辽宁大连模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两
点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设点A(x ，y)，B(x ，y)，根据抛物线定义得x ＋x ＋p＝4①，因为AB的中点
1 1 2 2 1 2
到y轴的距离是1，所以＝1②，由①②可知p＝2，故选B．
答案：B
2．(2024·浙江杭州模拟)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到
x轴的最短距离为( )
A． B．
C．1 D．2
解析：设抛物线的焦点为F(0,1)，AB的中点为M，准线方程为y＝－1，则点M到准线
的距离d＝(|AF|＋|BF|)≥|AB|＝3，即点M到准线的距离的最小值为3，所以点M到x轴的最
短距离为2.故选D．
答案：D
3．(2024·广西玉林陆川中学模拟)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M为抛物线上一
点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p
＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：由题意知△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为
9π，∴圆的半径为3.又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，∴p＝4，故选B．
答案：B
4．(2024·湖南雅礼中学、河南实验中学联考)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与
抛物线C交于P，Q两点，与抛物线的准线交于点M，且FM＝3FP，则|FP|＝( )
A． B．
C． D．
解析：如图，不妨设Q点在第一象限，过P作PN垂直于抛物线的准线，垂足为N.由抛物线的定义可知，|PF|＝|PN|.
又因为FM＝3FP，所以PM＝2FP，
所以|PM|＝2|PF|＝2|PN|，
在Rt△PNM中，cos∠MPN＝＝，由抛物线焦点弦的性质，知|FP|＝＝＝.故选C．
答案：C
5．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
A． B．(0,0)
C．(1,2) D．(1,4)
解析：设与直线y＝4x－5平行的直线为y＝4x＋m(m≠－5)，由平面几何的性质可知，
抛物线y＝4x2上到直线y＝4x－5的距离最短的点即为直线y＝4x＋m与抛物线相切的点．
而对y＝4x2求导得y′＝8x，又直线y＝4x＋m的斜率为4，所以8x＝4，得x＝，此时y＝4×2
＝1，即切点为.故选A．
答案：A
6．(2024·山东百师联盟测试)若点M为抛物线y＝x2上任意一点，点N为圆x2＋y2－2y
＋＝0上任意一点，设函数f(x)＝log (x＋2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则|MP|＋|
a
MN|的最小值为( )
A．2 B．
C．3 D．
解析：函数f(x)的图象恒过定点P(－1,2)，抛物线的方程为x2＝4y，焦点为F(0,1)，准
线l的方程为y＝－1，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝，其圆心为F(0,1)，半径r＝.过点M作
MQ⊥l于点Q，由抛物线定义可知|MQ|＝|MF|，则|MP|＋|MN|≥|MP|＋|MF|－r＝|MP|＋|MQ|
－≥|PQ|－≥2＋1－＝(当P，M，Q三点共线时取等号)，所以|MP|＋|MN|的最小值为.故选
B．
答案：B
7．(2024·江西南昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，点M是抛物线上一点，若
圆M过点A(3，0)且与直线l相切，则圆M与y轴相交所得的弦长是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：由题意得，C：y2＝4x，则准线l为x＝－1，设M(x ，y)，因为圆M与直线l相
0 0
切，所以圆的半径为r＝x＋1，则圆的标准方程为(x－x)2＋(y－y)2＝(x＋1)2，又圆M过点
0 0 0 0
A(3,0)，所以(3－x)2＋(0－y)2＝(x ＋1)2①.又y＝4x ②，由①②，解得x ＝2，则r＝3.设圆
0 0 0 0 0
M与y轴交于点B，C，则|BC|＝2＝2＝2.故选D．答案：D
8．(2024·山东济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，
交点从左到右依次为A，B，C．若AB＝BF，则线段BC的中点到准线的距离为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由抛物线的方程可得焦点F(1，0)，准线的方程为x＝－1，
由AB＝BF，可得＝.
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线的位置关系如图所示，作 BE垂直准线
于点E，准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE|，
故＝＝，故cos∠ABE＝＝，即∠ABE＝，
而BE∥x轴，故∠AFN＝，所以直线AB的倾斜角为，
所以直线AB的方程为y＝x－1.
设B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2
联立整理可得x2－6x＋1＝0，
可得x＋x＝6，
1 2
所以BC的中点的横坐标为3，
则线段BC的中点到准线的距离为3＋1＝4.
答案：B
9．(2024·山东泰安模拟)已知以F为焦点的抛物线y2＝－2x上的两点A，B(点A的横坐
标大于点B的横坐标)，满足OA－OB＝λFA(O为坐标原点)，弦AB的中点M的横坐标为－，
则实数λ＝( )
A． B．
C．3 D．4
解析：由题意可得抛物线y2＝－2x的焦点F.弦AB的中点M的横坐标为－，由已知条
件可知直线AB的斜率k存在．∵OA－OB＝BA＝λFA，∴直线AB过点F.设直线AB的方程
为y＝k，A(x ，y)，B(x ，y)(x>x)，则联立消去y得k2x2＋(k2＋2)x＋＝0，∴xx ＝.又弦
1 1 2 2 1 2 1 2AB的中点M的横坐标为－，∴x ＋x ＝－，∴x ＝－，x ＝－，∴点A到准线的距离为－x
1 2 1 2 1
＝＋＝，点B到准线的距离为－x ＝＋＝2，∴＝，∴＝，又OA－OB＝BA，OA－OB＝
2
λFA，故λ＝4.
答案：D
二、多项选择题
10．(2024·河北名校联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过焦点的直线l与抛物线
C交于A(x，y)，B(x，y)两点，则下列说法一定正确的是( )
1 1 2 2
A．|AB|≥8
B．xx＝4，yy＝－16
1 2 1 2
C．以AF为直径的圆与直线x＝－2相切
D．若点P(－2,0)，则有k ＋k ＝0
AP BP
解析：因为焦点弦中通径最短为2p＝8，所以|AB|≥8，A正确；根据焦点弦的有关性质，
得xx ＝＝4，yy ＝－p2＝－16，所以B正确；以AF为直径的圆与y轴相切，以焦点弦AB
1 2 1 2
为直径的圆与直线x＝－2相切，所以C错误；设直线AB：x＝my＋2，代入抛物线C：y2＝
8x整理，得y2－8my－16＝0，所以y＋y＝8m，yy＝－16，所以k ＋k ＝＋＝＝
1 2 1 2 AP BP
＝
＝＝0，D正确．故选ABD．
答案：ABD
11．(2024·山东聊城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过
F的直线l交抛物线C于两点A，B，则( )
A．C的准线方程为x＝－2
B．若|AF|＝4，则|OA|＝
C．若|AF|·|BF|＝4p2，则l的斜率为±
D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝4
解析：因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物
线方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线为x＝－1，故A错误；
若|AF|＝4，则x ＝3，所以y＝4x ＝12，所以|OA|＝＝，故B正确；
A A
可设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
直线AB的方程为x＝my＋1，与抛物线y2＝4x联立，
消去x，可得y2－4my－4＝0，
可得y＋y＝4m，yy＝－4，
1 2 1 2由抛物线的定义可得
|AF|·|BF|＝(x＋1)(x＋1)
1 2
＝(my＋2)(my＋2)＝16，
1 2
即m2yy＋2m(y＋y)＋4＝16，
1 2 1 2
即－4m2＋8m2＋4＝16，
解得m＝±，则直线AB的斜率为±，故C正确；
对于D，若x轴平分∠HFB，则∠OFH＝∠OFB，又AH∥x轴，
所以∠AHF＝∠OFH＝∠OFB＝∠FAH，又AF＝AH，
所以HF＝AF＝AH，
所以＝x ，即x ＝3，所以|AF|＝x ＋1＝4，故D正确．
F A A
故选BCD．
答案：BCD
三、填空题与解答题
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且
仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程________，此时该弦中点到y轴的距离为
________．
解析：抛物线的焦点弦中通径最短，其长度为2p，∴2p<2，不妨令2p＝1，则抛物线
方程为y2＝x，此时抛物线的准线方程为x＝－.易知该弦中点到准线的距离为1，则此时该
弦中点到y轴的距离为1－＝.
答案：y2＝x(满足00)的焦点为F，准线为l，过
第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设C(2p，0)，直线AF与BC相交于
点D．若|CF|＝|AF|，且△ACD的面积为，则直线AC的斜率k＝________，抛物线的方程
为________．
解析：如图所示，F，C(2p,0)，
∴|CF|＝.
∵|CF|＝|AF|，|AB|＝|AF|，
∴|CF|＝|AB|＝，又AB∥x轴，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∴|CD|＝|BD|，
∴|AB|＝x ＋＝，解得x ＝p，
A A
代入y2＝2px可得y ＝p.
A由S ＝S ＝×××p＝，
△ACD △ABC
解得p＝2，∴y2＝4x，
∴k＝＝－.
答案：－ y2＝4x
14．(2024·安徽皖南八校联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C
交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
0
解：(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，焦点为F.
∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2.
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y)在抛物线C上，
0
∴y＝＝1.又∵F(0,1)，
0
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由消去y并整理得x2－4kx－4＝0.
设A(x ，y)，B(x ，y)，则x ＋x ＝4k，xx ＝－4，MA＝(x ＋2，y －1)，MB＝(x ＋
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2
2，y－1)．
2
∵MA⊥MB，∴MA·MB＝0，
∴(x＋2)(x＋2)＋(y－1)(y－1)＝0，
1 2 1 2
又y＝kx＋1，y＝kx＋1，
1 1 2 2
∴可得xx＋2(x＋x)＋4＋k2xx＝0，
1 2 1 2 1 2
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
高分推荐题
15．(多选)(2024·江苏苏州模拟)已知点A(－1，0)，B(1,0)，G(0,1)，抛物线C：y2＝4x.
过点G的直线l与C交于P(x，y)，Q(x，y)两点，直线AP，AQ分别与C交于另一点E，
1 1 2 2
F，则下列说法中正确的是( )
A．y＋y＝yy
1 2 1 2
B．直线EF的斜率为
C．若△POE的面积为(O为坐标原点)，则OE与OP的夹角为
D．若M为抛物线C上位于x轴上方的一点，|AM|＝t|MB|，则当t取最大值时，△ABM
的面积为2
解析：对于A，易知x＝，x＝，
1 2
所以直线PQ的方程为4x－(y＋y)y＋yy＝0.
1 2 1 2
因为直线PQ过点G(0,1)，所以y＋y＝yy，
1 2 1 2
故A正确．对于B，设E，F，
所以直线PE的方程为4x－(y＋y)y＋yy＝0，
1 3 1 3
因为直线PE过点A(－1,0)，所以yy＝4，同理可得yy＝4，
1 3 2 4
所以k ＝＝＝＝＝1，
EF
故B错误．
对于C，OP·OE＝·＋yy＝5，
1 3
设∠POE＝α，则|OP|·|OE|cos α＝5.
因为S ＝|OP|·|OE|sin α＝，
△POE
所以tan α＝，所以OE与OP的夹角为，故C正确．
对于D，易知B为抛物线的焦点，过M作MD垂直抛物线C的准线x＝－1于点D，图
略．
由抛物线的定义知，＝＝，
即t＝，
又0<∠MAD<，所以当t取最大值时，∠MAD取最小值，
即直线AM与抛物线C相切时，∠MAD取得最小值．
设直线AM的方程为y＝k(x＋1)，
由消去y并整理得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，
此时k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，即x2－2x＋1＝0，解得x＝1，又点M在x轴上方，故
M(1,2)，所以S ＝|AB|·|y |＝×2×2＝2，故D正确．故选ACD．
△ABM M
答案：ACD
