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专题09 圆与圆的位置关系
题型一：判断圆与圆的位置关系
题型二：求两圆交点坐标
题型三：由圆的位置关系确定参数
题型四：由圆与圆的位置关系确定圆的方程
题型五：相交圆的公共弦方程
题型六：两圆的公共弦长
题型七：圆的公切线条数
题型八：圆的公切线方程
题型一：判断圆与圆的位置关系
1．已知圆
的面积被直线
平分，圆
，则圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．外离
B．相交
C．内切
D．外切
【答案】B
【分析】由圆
的面积被直线
平分，可得圆心在直线上，求出
，进而利用圆心距与半径和
以及半径差的关系可得圆
与圆
的位置关系．
【详解】因为圆
的面积被直线
平分，所以圆
的圆心
在直线
上，
所以
，解得
，所以圆
的圆心为
，半径为．
因为圆
的圆心为
，半径为，所以
，
故
，所以圆
与圆
的位置关系是相交．
故选：B．
2．圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
【答案】C
【分析】利用几何法可判断出两圆的位置关系.
【详解】圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为
，
圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为
，
圆心距为
，
故圆
与圆
外切.
故选：C.
3．圆
：
与圆
：
的位置关系为（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定
【答案】B
【分析】求出两圆的圆心坐标及半径，再求出圆心距即可判断.
【详解】圆
：
的圆心
，半径
，
圆
：
的圆心
，半径
，
则
，
所以两圆相交.
故选：B
4．已知圆
与圆
，则圆
与圆
的位置关系是（ ）
A．相交
B．外离
C．外切
D．内含
【答案】A
【分析】利用几何法可判断两圆的位置关系.
【详解】由题意可知，圆
的圆心为
，半径为
，
圆
的圆心为
，半径为
，
因为
，所以，
，
因此，圆
与圆
相交.
故选：A.
5．圆
与圆
的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可.
【详解】由题设，
且对应半径为
，
且对应半径为
，
所以
，故
，即两圆相交.
故答案为：相交
6．圆
与圆
的位置关系 .
【答案】相交
【分析】首先将圆
的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心
距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解.
【详解】由题意圆
的标准方程为
，
所以圆
的圆心
、半径
，
由
，可知圆
的圆心
，半径
，
所以两圆的圆心距
，所以
，
所以圆
与圆
的位置关系是相交.
故答案为：相交.
题型二：求两圆交点坐标
7．两圆
和
相交于
两点，若点
坐标为(1，2)，则点
的坐
标为 ．
【答案】
【详解】因为两圆的圆心分别为
、
,且圆心距垂直平分两圆的公共弦
,所以点
(1，2)关于两圆心确定的直线对称,又因两圆心确定直线方程为
,故点
的坐标为
.
8．判断圆
与圆
的位置关系并说明理由.若有公共点，
则求出公共点坐标.
【答案】内切，公共点为
【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解.
【详解】圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为
，
圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为
，
圆心距为
，
则两圆内切，
联立
，则
，
则公共点坐标为
.
9．求圆
与圆
的交点的坐标．
【答案】
、
【分析】联立两圆方程可得
，将其代入其中一个圆的方程中求出点坐标.
【详解】由题设，
，相减可得
，
所以
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
；
所以交点坐标为
、
.
题型三：由圆的位置关系确定参数
10．已知圆
与圆
有三条公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解.
【详解】由题知，两圆外切，由圆
方程得
，半径
，
由圆
方程得
，半径
，则
，解得
.
故选：D
11．若圆
和圆
相切，则等于（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】B
【分析】由两圆的位置关系列式计算即可.
【详解】由题意圆
的圆心为
，半径为
；
圆
的圆心为
，半径为
；
则
，所以当两圆外切时，
，解得
；
当两圆内切时，
，解得
，不合题意；
所以
.
故选：B
12．已知圆
与圆
外切，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的
性质列出等式求解
的值.
【详解】对于圆
，其圆心坐标
，半径
.
对于圆
，即
，
其圆心坐标
，半径
，
因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和.
两圆的圆心距
，
根据两圆外切性质
，即
，解得
.
故选：B.
13．已知圆
和圆
相切，则
【答案】
或
或
【分析】根据两圆相内切和外切时，圆心距与两圆半径的关系列出等式计算即可.
【详解】由圆
可知圆心
，半径
，
由圆
可知圆心
，半径
，
所以当两圆相内切时，圆心距
，解得
；
当两圆相外切时，圆心距
，解得
或
，
所以
的值为
或
或
.
故答案为：
或
或
14．若圆
与圆
外切，则
.
【答案】
【分析】由两圆外切可得圆心距等于半径，即可得解.
【详解】由已知，圆
的圆心
，半径为，
圆
的圆心
，半径为
，
因为圆
与圆
外切，所以
，解得
.
故答案为：
.
15．已知圆
与圆
相内切，则ab 的最大值为
【答案】
/0.25
【分析】根据
与
内切，得到
，再利用基本不等式求解.
【详解】因为
与
内切，
所以
．即
，
又
，当且仅当
时，等号成立，
故ab 的最大值为
．
故答案为：
题型四：由圆与圆的位置关系确定圆的方程
16．已知半径为1 的动圆与圆
相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可.
【详解】由
，圆心为
，半径为4，
设动圆圆心为
，若动圆与已知圆外切，则
，
即
；
若动圆与已知圆内切，则
，
即
.
综上所述，动圆圆心的轨迹方程是
或
.
故选：D.
17．以
为圆心，且与圆
相外切的圆C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
=16
D．
【答案】B
【分析】根据两圆外切求圆
的半径，即可求解.
【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆
的半径为，
因为两圆相外切，则
，得
，
所以圆
的方程为
.
故选：B
18．以
为圆心且与圆
外切的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆
的半径，即可得出圆
的方程.
【详解】设圆
的半径为，圆
的圆心为坐标原点
，半径为
，
两圆圆心距为
，故
，
因此，以
为圆心且与圆
外切的圆的方程为
.
故答案为：
.
19．以点
为圆心，且与圆
相切的圆的方程是 ．
【答案】
或
【分析】利用圆心距等于半径和与差，求出所求圆的半径，进而得到所求圆的标准方程．
【详解】解：由圆
，可得圆心坐标为
，半径为，
设所求圆的半径为，可得
或
，
解得
或
，所求圆的方程为
或
.
故答案为：
或
.
20．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，圆C 与圆
外切，写出一个圆C 的标准方程：
．
【答案】
（答案不唯一，只要方程满足
即可）
【分析】求出圆
的圆心和半径，利用两圆外切即可求出一个圆C 的标准方程.
【详解】由题意，
在
中，圆心
，半径
，
因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且圆C 与圆M：
外切，
设半径为
，则圆心
所以圆C 的方程为
．
∴一个圆C 的标准方程：
故答案为：
.
21．已知圆
．
(1)求直线
被圆截得弦长；
(2)已知圆
过点
且与圆
相切于原点，求圆
的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案；
（2）利用待定系数法和相切可求圆的方程.
【详解】（1）由
可得
，圆心为
，半径为
，
圆心
到直线
的距离为
，
所以直线
被圆截得弦长为
.
（2）设
，
则
，解得
，
；
因为圆
与圆
相切于原点，且圆
过点
，
所以
，
，
两边平方整理可得
，平方可求
，
代入可得
，所以圆
的方程为
.
题型五：相交圆的公共弦方程
22．已知圆
：
与圆
：
相交于A，B 两点，则直线
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程.
【详解】根据已知条件，
：
，化为：
，
：
，化为：
，
因为两圆相交，所以两圆方程相减得：
，
所以直线
的方程为：
.
故选：A
23．若圆
，圆
，则圆
与圆
的公共弦所在直线的方程
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题设，将两圆方程作差即可得公共线方程.
【详解】由题设，将两圆作差，有
，
整理可得
，即公共弦所在直线为
.
故选：B
24．已知圆
，圆
，则两圆的公共弦所在直线的方程为 ．
【答案】
【分析】将两圆相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程.
【详解】设两圆交点为
，
，
则
两点坐标是方程组
的解，
两式相减得
，即
，
所以
两点坐标均满足此方程，
所以
即为两圆的公共弦所在直线的方程，
故答案为：
25．圆
：
与圆
：
的相交弦所在直线方程为 ．
【答案】
【分析】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可.
【详解】圆
的方程是
，简化后为
，
联立
，两式相减，得到
，
化简可得
.
因此，过两圆交点的直线方程为
.
故答案为：
.
26．圆
与圆
相交于A、B 两点，则两圆公共弦AB 所在直线的方
程为 .
【答案】
【分析】两圆方程作差即可得到公共弦方程.
【详解】圆
，即
，圆心为
，半径
；
圆
，即
，圆心为
，半径
，
又
，所以
，所以两圆相交，
则两圆方程作差得到
，即公共弦
所在直线的方程为
.
故答案为：
题型六：两圆的公共弦长
27．圆
与
的公共弦长为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长.
【详解】圆
：
①，所以
，
.
圆
：
②，所以
，
.
因为
，所以圆
与圆
相交.
因此公共弦所在直线的方程为①
②：
，
圆
的圆心到公共弦的距离为
，
即公共弦长为
.
故选：A
28．圆
与圆
的公共弦长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解.
【详解】圆
与圆
，相减得
，
圆心
到直线
的距离
，又
则公共弦长为
．
故选：C．
29．圆
与圆
的公共弦长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出弦长即可.
【详解】圆
的圆心为
，半径
，
圆
，即
，圆心为
，半径
，
又
，即
，
所以两圆相交，
则两圆方程作差得到公共弦方程为
，
又圆心
到直线
的距离
，
所以公共弦长为
．
故选：B
30．圆
与圆
的公共弦长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解.
【详解】圆
与圆
，相减得
，
圆心
到直线
的距离
，
，则公共弦长为
．
故选：C．
31．圆
与圆
的公共弦长为 .
【答案】
【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出
到公共弦所在的直线的距离，再由
可得答案.
【详解】将两个圆的方程作差得：
，
即公共弦所在的直线为
，
又知
，则
到直线
的距离为：
，所以公共弦长为
.
故答案为：
.
32．已知圆
过点
三点，圆
.
(1)求
的一般方程；
(2)若
与
交于
两点，求
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）设出圆
的一般方程，利用待定系数法求出方程.
（2）判定两圆相交并求出直线
方程，再利用弦长公式求得答案.
【详解】（1）设圆
的方程为
，
依题意，
，解得
，
所以
的一般方程为
.
（2）由（1）知，圆
的圆心
，半径
，圆
的圆心
，半径
，
则
，即圆
与
相交，
直线
方程为
，点
到直线
的距离
，
所以
.
题型七：圆的公切线条数
33．圆M：
与圆N：
的公切线条数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据题意，利用圆与圆的位置关系的判定方法，得出两圆相外切，进而得到公切线的条数.
【详解】由圆M:
，可得圆心
，半径为1，
又由圆N:
，化为标准方程为
，
可得圆心
，半径为6，可得
，且
，
所以
，所以圆
内切于圆
，所以圆
与圆
的公切线的条数为1 条.
故选：A
34．已知圆
与
，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查圆与圆的位置关系，以及公切线的数数量.由两圆的标准方程及两圆心的距离可得两圆相
切，因此两圆的公切线的条数为3 条.
【详解】由题可得，圆
的圆心为
，半径为
，圆
的圆心为
，半径
，
且
，所以两圆外切，所以两圆的公切线为3 条.
故选：C.
35．圆
与圆
的公切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用两圆的位置关系来确定公切线的条数.
【详解】由圆
可得：
，
所以该圆心
，半径
，
又由圆
可得：
，
所以该圆心
，半径
，
由于圆心距
，而
，
所以
，即两圆相外切，
所以两圆的公切线有3 条，
故选：C.
36．已知圆
与圆
的公切线条数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用圆与圆位置关系的判断方法，得到两圆的位置关系，即可求解.
【详解】由
，得到
，所以圆
的圆心为
，半径为
，
由
，得到
，所以圆
的圆心为
，半径为
，
又
，所以
，
故圆
与圆
外切，所以圆
与圆
的公切线条数是条，
故选：B.
37．已知圆
与圆
恰有三条公切线，则
.
【答案】
【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解.
【详解】由题知，两圆外切，
由圆
方程得
，半径
，
由圆
方程得
，半径
，
则
，解得
.
故答案为：
题型八：圆的公切线方程
38．（多选）圆
与圆
的公切线的方程可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据圆心距和半径的关系可判断两圆相交，结合圆的半径相等，可得切线斜率，即可由点到直线
的距离公式求解.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，圆
的圆心为
，半径
，
由题意得
，圆
与圆
的半径之和为
，半径之差为0，
因为
，所以圆
与圆
的位置关系为相交．
由题意得
，因为圆
与圆
的半径相等，所以公切线的斜率为2．
设公切线的方程为
，即
，由
，得
，
所以公切线的方程为
或
．
故选：CD
39．圆
与圆
的公切线的方程为 ．
【答案】
【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆
化为一般式，两式相减可得.
【详解】圆
的圆心为
，半径为1，圆
的圆心为
，半径为6，
因为
，所以两圆内切，只有一条公切线，
将圆
化为一般式得：
，
，
两式相减得
，即
，
所以圆
的公切线的方程为
.
故答案为：
40．已知圆
和圆
相交于
两点，求：
(1)线段
的长；
(2)两圆有公切线方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）两方程联立求出直线
的方程，利用垂径定理和勾股定理即可求出线段
的长；
（2）利用图象找出一条公切线，利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程.
【详解】（1）由题意，
联立方程组
，两式相减得到直线
的方程为
，
则原点
到直线
的距离为
，
根据勾股定理得
（2）由题意及（1）得，
在圆
中，
，
∴
，半径为
，
在圆
中，圆心
，半径为
，
可得直线
与两圆相切，即
为两圆的公切线，
则
关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，
由
和
，可得两圆心所在直线为
，
即
，
联立方程组
，解得
，
即交点坐标为
，
在直线
上任取一点
，
设点
关于直线
对称点为
，
可得
，解得
，
即对称点的坐标为
，
所求的另一条切线过点
，
可得其方程为
，
故所求切线方程为
或
.
41．证明圆
与圆
内切，并求切点坐标以及两个圆的公
切线方程.
【答案】证明见解析，
；
【分析】根据两圆方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离与半径之差的关系，即可根据两圆位置关
系的条件得出答案，由两圆公切线的求法将两圆方程作减得出公切线方程，再将公切线与其中一圆联立即
可得出切点坐标.
【详解】将两圆化为标准方程得：
，
，
即两圆的圆心坐标分别为
与
，半径分别为
，
，
则两圆心距离为
，
则
，故两圆内切，
两圆方程作减得两圆公切线：
，
与圆
联立，消去
得：
，解得
，
则
，故两圆的切点坐标为
.
