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专题07 圆的一般方程
题型一：圆的一般方程的理解
题型二：求圆的一般方程
题型三：圆的一般方程与标准方程转化
题型四：点与圆的位置关系
题型五：求动点的轨迹方程
题型六：与圆有关的最值问题
题型七：圆的对称问题
题型八：圆的综合问题
题型一：圆的一般方程的理解
1．若点
在圆
外，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可求出
，将圆化为标准方程则
，即可得出答案.
【详解】因为点
在圆
外，
所以
，则
.
又因为圆
化为标准方程可得：
，
所以
，则
，解得：
或
.
所以
的取值范围为：
.
故选：D.
2．若点
在圆
外，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过方程表示圆及点在圆外，构造不等式求解即可.
【详解】由
，
化为标准方程可得：
，
则
，即
，①
又
在圆外，可得：
，解得：
或
，②
由①②取交集可知，实数
的取值范围是
，
故选：C.
3．若点
在圆C：
的外部，则m 的取值可能为（ ）
A．5
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出
的范围得解.
【详解】因为点
在圆C：
的外部，
所以
，解得
，
又方程表示圆，则
，即
，
所以
，结合选项可知，m 的取值可以为
.
故选：C
4．已知点
关于直线
对称的点Q 在圆C：
外，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】设
，利用点关于线对称列方程求得Q 坐标，代入圆方程得出不等式计算即可.
【详解】设点
关于直线
对称的点
，则
，解得
.
因为
在
外，所以
，可得
且
表示圆可得
，即得
综上可得
.
故选：C.
5．已知
，方程
表示圆，则圆心坐标是 ．
【答案】
【分析】由条件结合圆的一般方程的特点列关系式求
，再确定圆心坐标.
【详解】因为方程
表示圆，
所以
①，
②，
由①可得
或
．
当
时，
，不满足要求，舍去，
当
时，
，满足要求，
所以圆的方程为
，
即
，圆心为
；
故答案为：
.
6．已知方程
表示一个圆，则实数
的取值范围是 ．半径
的最大值
为 ．
【答案】
【分析】先对方程配方形成圆的标准式，进而求出实数
的取值范围即可；再由
，进而求出半径
的最大值即可.
【详解】由题意知：
，所以
，
所以
的取值范围为
；
由因为
，当且仅当
时，
.
故答案为：
；
.
题型二：求圆的一般方程
7．已知
、
，则以
为直径的圆的一般方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
的中点和
可得以
为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将
其转化为一般方程即可得解.
【详解】已知
、
，则
中点坐标为
即
.
，
所以以
为直径的圆的圆心为
，半径为
.
所以圆的标准方程为
，展开可得
，
整理得
.
故选：B.
8．过
三点的圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解.
【详解】设圆的方程为
，
代入三点
，有
解得
，
故圆的方程为
，
故圆的标准方程为
.
故答案为：
9．过
三点的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解.
【详解】设圆的方程为
，
代入三点
，有
解得
故圆的方程为
,
故圆的标准方程为
.
故答案为：
10．过三点
的圆的一般方程为 ．
【答案】
【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆
的一般方程.
【详解】设所求圆的方程为
．
由已知，点
的坐标满足上述方程，分别代入方程，
可得关于
的三元一次方程组
，
解方程组得
，
于是得到所求圆的一般方程为
．
故答案为：
.
11．已知
圆
过
两点且圆关于直线
对称，求
的的方程．
【答案】
【分析】根据对称性可得圆心在直线
上，再由一般方程代入点
解方程组可得结果.
【详解】设圆的方程为
，则圆心是
，
因为圆关于直线
对称，则直线
经过圆心，即圆心在直线
上，
可得
，即
．
又圆过点
，由此可得
，
解得
，
故
的一般方程是
．
题型三：圆的一般方程与标准方程转化
12．以
为直径的两个端点的圆的一般方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解.
【详解】因为
，则
，且
中点为
，
所以以
为直径的两个端点的圆的标准方程为
，展开得
，
故选：A.
13．圆
的圆心和
的范围分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，进而求解.
【详解】由
，得
，
所以圆心为
，由
，得
，
故选：A
14．经过
，
，
三个点的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设经过
，
，
三个点的圆的方程为
，代入三点坐标
可得答案.
【详解】设经过
，
，
三个点的圆的方程为
，
由题意可得
，解得
，
且满足
，
所以经过
，
，
三个点的圆的方程为
，
即为
.
故选：C.
15．已知圆
的方程是
，则圆心
的坐标是 ．
【答案】
【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标.
【详解】圆
的方程是
，即
，
所以圆心
的坐标为
.
故答案为：
16．求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)圆心为
，半径为
；
(2)圆心为
，半径为3
【分析】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，结合圆的标准方程，即可求解.
【详解】（1）解：圆
，可得化为
，
可得圆心坐标为
，半径为
.
（2）解：圆
，可得化为
，
可得圆心坐标为
，半径为.
题型四：点与圆的位置关系
17．原点必位于圆：
的（ ）
A．内部
B．圆周上
C．外部
D．均有可能
【答案】C
【分析】将原点代入圆的方程，判断选项.
【详解】将原点
代入圆的方程，
，
所以原点必在圆的外部.
故选：C
18．点P（0，1）与圆
位置关系是（ ）
A．圆内
B．圆上
C．圆外
D．不确定
【答案】B
【分析】将点
代入圆方程即可得出.
【详解】将点
代入圆方程可得
，
故点
在圆上.
故选：B.
19．已知点
，圆
，则（ ）
A．A，B 都在C 内
B．A 在C 外，B 在C 内
C．A，B 都在C 外
D．A 在C 内，B 在C 外
【答案】D
【解析】根据点与圆的位置关系的判定方法，代入即可求解.
【详解】由题意，
，所以A 在C 内，B 在C 外.
故选：D.
20．点
与圆
的位置关系为（ ）
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．与
的值有关
【答案】A
【解析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果.
【详解】
在圆
外
故选：
【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题.
21．点
与圆
的位置关系为 ．（填“在圆上”“在圆外”“在圆内”）
【答案】在圆内
【解析】将点代入方程判断与
的大小关系即可判断.
【详解】将点
代入圆
，
可得
，
所以点在圆内，
故答案为：在圆内
题型五：求动点的轨迹方程
22．点
与圆
上任意一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设圆上任意一点为
，中点为
，由中点坐标公式可求得
，代入圆的方程即可
求得轨迹方程．
【详解】解：设圆上任意一点为
，中点为
，
则
，可得
，
代入
得
，
化简得
．
故选：D．
23．由动点
向圆
引两条切线
，切点分别为
，若四边形
为正方
形，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正方形可得动点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，求出方程即可.
【详解】因为四边形
为正方形，且
,所以
,
故动点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，其方程为
.
故选：B
24．已知
是圆
的切线，点
为切点，若
，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，由圆的定义可知点
的轨迹为圆，再由圆的方程即可得到结果.
【详解】因为
，所以
点到圆心的距离恒为
，
所以点
的轨迹方程是以
为圆心，
为半径的圆，即
，
故选：B
25．在
中，
，
，
，则点
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点
，分别表示
与
，化简即可.
【详解】设点
，
则
，
，
则
，
化简可得
，
故答案为：
.
26．已知过点
的动直线l 与圆
相交于不同的两点A，B．
(1)求圆
的圆心坐标；
(2)求线段
的中点M 的轨迹C 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果；
（2）根据题意，由
列出方程，化简即可得到结果.
【详解】（1）圆
的方程可变形为
，
故
的圆心坐标为
，半径为2.
（2）设
，因为点M 是
的中点，
，
，
故
，
由此可得
，
故轨迹方程为
，轨迹是以圆心为
，半径为
的圆.
题型六：与圆有关的最值问题
27．已知P 为圆
上一点，则点
到P 点的距离的最大值为（ ）
A．4
B．8
C．
D．
【答案】B
【分析】由
点坐标知道点
的轨迹是以原点为圆心的单位圆圆周，本题求两定圆上两动点距离的最大
值，利用几何关系
求解.
【详解】由
知圆心
为
，半径为
，
又
，所以Q 点的轨迹方程为
，
则圆心
为
，半径
，
故
，所以
．故选：B．
28．已知圆
，圆
，
分别为圆
和圆
上的动点，
为直线
上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求得圆
关于直线
对称的圆为圆
，将原问题转化为
到圆
和圆
上的动点距
离之和最小值问题求解.
【详解】圆
，即
，
圆心为
，半径
圆
，即
，
圆心为
，半径
，
设点
关于直线
对称的点为
，
则
，解得：
，
圆
关于直线
对称的圆为圆
，
其圆心为
，半径
，
则其方程为
，
设圆
上的点
与圆
上点
对称，则有
，
原问题可以转化为
到圆
和圆
上的动点距离之和最小值问题，
如图所示：
连接
，与直线交于点
，
此时点
是满足
最小的点，
此时
，
即
的最小值为
，
故答案为：
29．已知实数
满足关系：
，则
的最小值 ．
【答案】
【分析】转化为圆上的点
到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，
数形结合可得答案.
【详解】把圆的方程化为标准方程得：
，
则圆心
坐标为
，圆的半径
，
设圆上一点的坐标为
，
为圆上的点
到原点的距离；
如图
，
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
30．已知圆
及点
，点P、Q 分别是直线
和圆C 上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先找到点
关于直线
的对称点，然后结合两点之间线段最短即可求解.
【详解】如图所示：
设点A 于直线
的对称点为
，
则
解得
则
，因为
，
所以
的最小值为
．
故答案为：
31．已知
是圆
上的一个动点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
表示圆上的点
到原点
之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可
求解.
【详解】圆
的圆心
，半径
，
表示圆上的点
到原点
之间的距离，
因为
，
所以原点
在圆
外，
，
所以
，即
，
即
.
故答案为：
.
题型七：圆的对称问题
32．点
在圆
上，且点
关于直线
对称，则该圆的半径是
.
【答案】
【分析】根据圆的对称性，结合配方法进行求解即可.
【详解】由
，该圆的圆心坐标为
，
因为点
在圆
上，且点
关于直线
对称，
所以圆心
在
上，即
，
所以该圆的半径为
，
故答案为：
33．圆
的一条对称轴的方程可以是 .
【答案】
（答案不唯一）
【分析】先求出圆心坐标，再根据对称性求解即可.
【详解】解：将圆
化为标准方程得
，
所以，圆心为
，
所以，圆
的一条对称轴的方程可以是过圆心的任意直线，不妨取
故答案为：
（答案不唯一）
34．若圆
自身关于直线l:
对称,则直线l 的斜率是
【答案】
【分析】由直线过圆心即可获解
【详解】
,即
由题知直线过圆心
所以
,即
所以斜率
故答案为：
35．已知a，b 为正实数，直线
将圆
平分，则
的最小值是 .
【答案】8
【分析】根据圆的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为直线
过圆心
，所以
，
因为a、b 为正实数，
所以
，当且仅当
时取等号，即
时
取等号，
故答案为：8
36．点
，
在圆
上，且点
，
关于直线
对称，则该圆的半径为
．
【答案】
【分析】由题意知，直线
经过圆心，由圆的方程写出圆心坐标，代入直线方程，求解出
，从而
求出圆的半径.
【详解】由题意，可知直线
经过圆心，因为圆的方程为
，得圆心坐标为
，代入直线方程得
，解得
，所以圆的方程为
，化为标准方
程得
，所以圆的半径为
.
故答案为：
37．已知圆C：
关于直线x＋2y－4＝0 对称，且圆心在y 轴上，求圆C 的标准方
程．
【答案】
.
【分析】由题设知圆心
，且在已知直线和y 轴上，列方程求参数D、E，写出一般方程，进而
可得其标准方程.
【详解】由题意知：圆心
在直线x＋2y－4＝0 上，即－
－E－4＝0.
又圆心C 在y 轴上，所以－
＝0.
由以上两式得：D＝0, E＝－4，则
，
故圆C 的标准方程为
.
题型八：圆的综合问题
38．已知点
，定义A，B 两点间的曼哈顿距离
，欧氏距离
．在平面直角坐标系xOy 中，已知点
，点
满足
，点
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用给定的定义求出点
的轨迹并画出图形，结合圆的性质求出最大值.
【详解】设
，由
，得
，因此点
在以原点为圆心，1 为半径的圆及内部，
设
，由
，得
，点
在以
为顶点的正方形
及内部，当且仅当点
与
之一重合时，
，
所以
.
故选：D
39．已知
点坐标为
，直线
与圆
交于
两点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由直线的方程可以判断直线过定点
，恰好为圆心
，所以
，且
，从而得
，由
，换元即可得到取值范
围，进而得到
的取值范围.
【详解】由
得
，所以圆心
，半径
由
得
，
由
得
，所以直线过定点
，即为圆心
，
所以
是圆
的直径的两端点，所以
，且
，
，
因为
，所以
，
，
令
，则
，
所以当
时，
取得最小值
；当
时，
取得最大值
，
所以
，
故选：C.
40．已知曲线
与曲线
交于A，B，C 三点，则
外接圆的面积为 .
【答案】
【分析】根据题意，联立两曲线方程，消去
可得关于
的一元三次方程，设出圆的一般式，分别将曲线
代入圆的方程，化简得到关于
的一元三次方程，然后对比，列出方程，即可得到圆的方程，从而得到结
果.
【详解】联立方程
，消去
可得
，
设过交点的圆的方程为
，
将
代入圆的方程，可得
，
即
，
再将
代入，即可得到
，
对比
，
可得
，解得
，
所以圆的方程为
，
配方可得
，
则圆的半径为
，
所以外接圆的面积为
.
故答案为：
.
41．已知两定点
，若动点
到两定点
的距离之比为
，则点
的轨迹是一个圆，该圆
称为阿波罗尼斯圆．已知点
是圆
上一动点，
，
，若
为
定值，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】设
，利用两点间的距离公式表示出
，
，结合条件
是圆
上一动
点，代入等式
可得
点坐标进而即可求解.
【详解】设
，则
，即
，
所以
，
因为
为定值，设为，所以
，
整理得
，
所以
，解得
，
或
（舍去），
所以
，
，
因为点
在圆
内部，
的最小值为
，
所以
的最小值为
，
故答案为：
42．阿波罗尼斯（约公元前262—190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知在
中，
，则
的面积最大值为 .
【答案】
【分析】构建如下图示的直角坐标系，令
，应用两点距离公式求
的轨迹，数形结
合确定三角形面积最大值.
【详解】由题设，构建如下图示的直角坐标系，令
，
由
，则
，
所以
，故
在以
为圆心，
为半径的圆上，
所以
的面积最大值为
.
故答案为：
