文档文本内容
专题07 统计与概率12 大题型
考点01 分层抽样
考点02 统计图的分析
考点03 平均数、中位数、众数在具体数据中的应用
考点04 极差、方差、标准差在具体数据中的应用
考点05 百分位数在具体数据中的应用
考点06 频率分布直方图的相关计算
考点07 用样本平均数和样本方差估算总体
考点08 事件关系的判断
考点09 简单古典概型的计算
考点10 互斥与对立
考点11 事件独立性的判断
考点12 独立事件概率的计算
考点01 分层抽样
1．某工厂生产A，B 两种不同型号的产品，产量之比为
，现用分层抽样的方法抽取一个容量为
的样
本，若样本中
型号的产品有40 件，则
（ ）
A．80
B．100
C．120
D．200
【答案】B
【详解】
A，B 产品产量之比为
，
型号的产品有40 件
B 型号的产品有60 件，
．
故选：B．
2．一支田径队有男运动员
人，女运动员
人，若按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个
容量为的样本，那么应抽取女运动员的人数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设女运动员抽取的人数为
，由分层抽样得
，解得
.
故选：B.
3．（多选）某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为
，为了了解学生的视力情况，现要求按
分层抽样的方法抽取一个样本容量为
的样本，若样本中男生比女生多12 人，则下列结论正确的是
（ ）
A．样本中有60 名女生
B．样本容量为132
C．高一学生共有1430 人
D．高一有720 名男生
【答案】ABD
【详解】依题意可得
，解得
，则样本容量为
，男生数为
，
抽取了
（名）女生．
4．中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按
的
比例录取，若某年会试录取人数为400，则中卷录取人数为（ ）
A．40
B．70
C．110
D．150
【答案】A
【详解】依题意，中卷录取的比率为：
，
故会试录取人数为400 时，中卷录取人数为
.
故选：A.
5．学校书法类公益类音乐类兴趣小组的报名人数分别为
､
､
，
，
.根据兴趣小组的报名人数，采用
按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取
人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小
组抽取 人.
【答案】
【详解】由分层抽样可得应从书法类兴趣小组抽取
人，
故答案为：
.
考点02 统计图的分析
6．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70 百分位数是中位数的两倍，
则x 的值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．14
【答案】A
【详解】该组数中位数为
，70 百分位数为
，所以
，故
.
故选：A.
7．某学校组织了一场体育测试，现抽出60 个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60
人的分数，下列说法正确的是（ ）
A．众数是85
B．中位数是80
C．众数是21
D．中位数是12
【答案】A
【详解】从统计图中知，85 分出现的次数最多，故众数是85；
把分数按大小排列，最中间的两个数是第30 与31 个数，
而
，故中位数是
；
故只有选项A 正确；
故选：A．
8．从某学校高二年级随机抽取10 名学生进行数学能力测试，测试成绩为
，
设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】平均数
，
数据从小到大排列为：
，第五个数为79，第六个数为81，所以中位数
，
出现次数最多的是众数，所以众数
，
所以
.
故选：C.
9．（多选）已知一组数据共有6 个数，其中5 个数为2，1，4，1，0.下列叙述正确的是（ ）
A．这组数据的标准差一定不为0
B．这组数据的众数一定不为3
C．这组数据的中位数一定小于平均数
D．这组数据的极差可能小于平均数
【答案】AB
【详解】对于A，若这组数据的标准差为0，根据标准差的公式
，
可得每个数应均与平均数相等，显然不是，故A 正确；
对于B，这组数据中没有3，所以众数一定不为3，故B 正确；
对于C，这组数据的中位数与平均数不确定，故C 错误；
对于D，设这组数据的第6 个数为
，若
，则平均数为
，极差为
，可得
；
若
，平均数为
，极差为4，可得
；
若
，则平均数为
，极差为
，
，综上可得极差不可能小于平均数，故D 错误.
故选：AB.
10．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是
、
、
、
、、
，若这组数据的平均数
与众数的和是中位数的
倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 .
【答案】
【详解】设丢失的数据为
，则这七个数的平均数为
，众数为
，
因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的
倍，分以下几种情况讨论：
若
，则中位数为
，此时，
，解得
；
若
，则中位数为
，此时，
，解得
；
若
，则中位数为
，此时，
，解得
.
综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为
.
故答案为：
.
考点03 平均数、中位数、众数在具体数据中的应用
11．已知某9 个数的平均数为5，方差为
.现又加入一个新数5，此时这10 个数的平均数为
，方差为
，
则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】∵
，
∴
，解得
.
故选：B
12．（多选）已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法不正确的是（ ）
A．极差是5
B．众数不等于平均数
C．方差是
D．
分位数是3
【答案】ABC
【详解】将
，从小到大排列，得
.
对于
，由已知样本数据的最大值为
，最小值为
，所以极差为
，故
不正确；
对于
，样本数据的众数为
，平均数为
，所以众数等于平均数，故
不正确；
对于
，方差为
，故
不正确；
对于
，因为
，所以
分位数是第6 个数，即，故
正确.
故选：ABC.
13．（多选）一组数据
的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记
，
的平均值为
，方差为
，极差为，中位数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】由题意可得，
，
，
，
.
故选：AD
14．已知数据
均为整数且互不相等，若该组数据的平均数、中位数、极差均为4，则这组数
据的方差为 ．
【答案】2
【详解】不妨设
．因为这组数据的平均数、中位数均为4，所以
．
因为这组数据的极差为4，所以这组数据只能是2，3，4，5，6，
方差为
故答案为：2.
15．已知15 个数
，
， ，
的平均数为6，方差为9，现从中剔除
，
，
，
，
这5 个数，且
剔除的这5 个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10 个数
，
， ，
的方差为 ．
【答案】
【详解】由题意知，
，
，
所以
，所以剩余的10 个数的平均数为
．
根据方差公式
，
得
，
，
即
，
，
所以
，
所以剩余的10 个数的方差为
．
故答案为：
．
考点04 极差、方差、标准差在具体数据中的应用
16．已知一组数据：
的平均数为
.则该组数据的
分位数为（ ）
A．11.5
B．12
C．12.5
D．13
【答案】C
【详解】由题意平均数：
，解得：
，
则这组数按从小到大排列为：
，共个，
则
，
所以第
百分位数为
，
故选：C.
17．样本数据
，
，
，
，
，
，
，
的第
百分位数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，将样本数据按从小到大顺序排列为
，
，
，
，
，
，
，
，
由于
，所以该组数据的第
百分位数为
.
故选：D
18．若数据3，5，6，8，9，
，18，21 的上四分位数为15，则
的值为（ ）
A．12
B．15
C．21
D．22
【答案】A
【详解】因为
，
若
，则
，解得
，若
，则上四分位数为
，不合题意，
若
，则上四分位数为
不合题意，
故选：A.
19．为了解某校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10 名学生称重，得到的数据整理成茎叶图
如图所示，估计这个学校学生体重的第三四分位数为（ ）
A．51
B．58
C．59
D．58.5
【答案】B
【详解】第三四分位数，即75 百分位数，
，
故将10 名学生体重从小到大排序，选取第8 个数作为第三四分位数，即58.
故选：B
20．（多选）一组数据
、
、
、
、
，满足
，若去掉
、
后组成一组新数据，则新数
据与原数据相比（ ）
A．极差变小
B．平均数变小
C．第
百分位数变小
D．方差变小
【答案】AD
【详解】对于A 选项，原数据的极差为
，新数据的极差为
，
因为
，
，则
，由不等式的基本性质可得
，
故极差变小，A 对；
对于B 选项，不妨取
，
则原数据的平均数为
，新数据的平均数为
，
此时，原数据和新数据的平均数不变，B 错；
对于C 选项，对于原数据，因为
，则原数据的第
百分位数为
，
对于新数据，因为
，故新数据的第
百分位数为
，
由不等式的性质可得
，故第
百分位数变大，C 错；
对于D 选项，去掉两个数据
、
后，极差变小，样本数据波动性变小，故方差变小，D 对.
故选：AD.
21．样本数据5，5，6，7，9 的80 百分位数为
【答案】8
【详解】因为
，
故数据5，5，6，7，9 的80 百分位数应是第4 个数与第5 个数的平均数，
即
.
故答案为：8.
考点05 百分位数在具体数据中的应用
22．胡晓统计了他爸爸9 月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60 次.胡晓按每次通话的时间长
短进行分组（每组为左闭右开），画出了频率分布直方图.
以下说法正确的是（ ）（多选）
A．手机通话时长在区间
的次数为9
B．手机通话时长的众数为2.5
C．手机通话时长的平均数为11.6
D．手机通话时长在10 分钟以上的频率为0.5
【答案】ABC
【详解】对于A，手机通话时长在区间
的次数为
，故A 正确；
对于B，手机通话时长的众数为
，故B 正确；
对于C，手机通话时长的平均数为
，故C 正确；
对于D，手机通话时长在10 分钟以上的频率为
，故D 错误.
故选：ABC.
23．（多选）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于
年
月
日发射成功．某学校举行了一次航
天知识竞赛活动，有
名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方
图．则下面结论正确的是（ ）
A．直方图中
的值为
B．在参加学校决赛的
名学生中，成绩落在区间
内的有
人
C．如果规定
分以上学生为一等奖，估计有
的学生获得一等奖
D．根据此频率分布直方图可计算出这
名学生成绩的上四分位数为
分
【答案】ABD
【详解】对于A，由频率分布直方图可得
，
解得
，故A 正确；
对于B，成绩在
内的人数为
人，B 正确；
对于C，90 分以上的频率为
，故估计有
的学生获一等奖，故C 错误；
对于D，上四分位数即为第
百分位数，
而前3 组的频率之和为
，
前4 组的频率之和为
，
故
名学生成绩的上四分位数为
分，
故选：ABD.
24．抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需
了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了
名游客，把这
名游客对餐饮服务工
作认可程度给出的评分分成
、
、
、
、
五组，得到如图所示的频率分
布直方图．则直方图中
的值为 ，评分的平均数为 ．
【答案】
【详解】因为频率分布直方图中所有矩形面积之和为，
则有
，解得
，
评分的平均数为
.
故答案为：
；
.
25．某校60 名同学数学竞赛的成绩（满分：100 分）均在
之间，进行适当分组后（每组为左闭右开
区间），画出频率分布直方图如图所示，若从这60 名参赛者中随机选取1 人，试估计其成绩在
的
概率为 ．
【答案】0.05
【详解】由图可知，
，解得
，
成绩在
的频率为
，以频率为概率估计概率为0.05．
故答案为：0.05
26．对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在
及以下的部分，收费标准为3
元
；季度用水量超过
但不超过
的部分，收费标准为4 元
；季度用水量超过
的部分，
收费标准为6 元
．
(1)求某户居民用水费用
（单位：元）关于季度用水量
（单位：
）的函数关系式；
(2)为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了2024 年第三季度本市1000 户居民每户的季度用水量，统计
分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000 户居民中，季度用水费用超过200 元的有400 户，求直
方图中
的值以及季度用水量的第75 百分位数．
【答案】(1)
；
(2)
，季度用水量的第75 百分位数为
．
【分析】
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
所以
与
之间的函数关系式为
.
（2）由（1）知，当
时，
，即季度用水量超过
的占
，
结合频率分布直方图知
，解得
．
设第
分位数为，
因为季度用水量低于
的所占比例为
，低于
的占
，
所以第
分位数在
内，故
，解得
，
即季度用水量的第
分位数为
．
27．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计
划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x 的部
分按平价收费.超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200 位居民每人的
月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9 组.制成了如图所示的频率分布直方图.其
中0.4a=b.
(1)求直方图中a.b 的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数；
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x 的值．
【答案】(1)a=0.15.b=0.06，众数为4.5 吨.
(2)5.8
【分析】
【详解】（1）由题意可得
.
解得
，
.
由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数为
吨.
（2）因为前6 组的频率和为
，
前5 组的频率和为
.
所以
，由
，解得
，
所以估计月用水量标准为
吨时，
的居民每月的用水量不超过标准．
28．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是
（单位：厘米），样本数据分组为
.
(1)求出
的值；
(2)已知样本中身高小于100 厘米的人数是36，求出总样本量
的数值；
(3)根据频率分布直方图提供的数据及（2）中的条件，求出样本中身高位于
的人数.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
人.
【分析】
【详解】（1）由题意
，解得
.
（2）设样本中身高小于100 厘米的频率为
，则
.
而
，故
.
（3）样本中身高位于
的频率
，
身高位于
的人数
（人）.
考点06 频率分布直方图的相关计算
29．用抽签法抽取的一个容量为10 的样本
的平均数为12，方差为6，用随机数表法抽取的一个
容量为20 的样本
的平均数为15，方差为9，则样本
的方差为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】B
【详解】由题知
的平均数为
，
则所求方差
.
故选：B.
30．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽
样的方法抽取样本，样本中有39 名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21 名男员工，男
员工的平均体重为70kg，标准差为4．则样本中所有员工的体重的方差为 ．
【答案】
【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为
，
则样本中所有员工的体重的方差
，
所以样本中所有员工的体重的方差为
.
故答案为：
31．已知甲、乙两校高一年级的学生人数之比为
．在一次数学考试中，甲校高一学生成绩的平均数为
、方差为
，乙校高一学生成绩的平均数为
、方差为
，则甲、乙两校高一年级所有学生成绩的
平均数为 ，方差为 ．
【答案】
【详解】由已知可得平均数为
，
方差为
，
故答案为：
，
.
32．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取
100 份作为样本，将样本的成绩（满分100 分，成绩均为不低于40 分的整数）分成六段：
，
，…，
，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中
的值；
(2)试估计样本成绩的众数和平均数；
(3)已知落在
的平均成绩是54，方差是7，落在
的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合
并后的总平均数和总方差.
【答案】(1)
(2)众数为75，平均数为74
(3)总平均数为60，总方差为23
【分析】
【详解】（1）
各组小矩形的面积之和为1，
，
.
（2）由频率分布直方图可知：众数为75，
平均数为
.
故估计样本成绩的众数为75，平均数为74.
（3）由图可知，成绩在
的人数为
，成绩在
的人数为
，
故两组成绩合并后的总平均数为
，
总方差为
.
考点07 用样本平均数和样本方差估算总体
33．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；
②“当x 为某一实数时，可使
”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从100 个灯泡中取出5 个，5 个都是次品”是随机事件．
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确，
对于②，“当x 为某一实数时，可使
”是不可能事件，所以②正确，
对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误，
对于④，“从100 个灯泡中取出5 个，5 个都是次品”是随机事件，所以④正确.
故选：C
34．对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为（ ）
A．样本空间
B．必然事件
C．不可能事件
D．随机事件
【答案】C
【详解】解：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1，2，3，4，5，6，
所以在掷一枚骰子的试验中，出现零点是不可能事件，
故选：C．
35．如图，由A，B 两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（ ）
A．A 灯亮，B 灯不亮
B．A 灯不亮，B 灯亮
C．A，B 两盏灯均亮
D．A，B 两盏灯均不亮
【答案】C
【详解】由A，B 两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B 两盏灯均亮.
故选：C.
36．现有10 个同类产品，其中7 个是正品，3 个是次品.有以下事件：从这10 个产品中任意抽取4 个产品，
①4 个产品都是正品；②至少有1 个次品；③4 个产品都是次品；④至少有1 个正品.其中随机事件为
，不可能事件为 ，必然事件为 .（填序号）
【答案】 ①② ③ ④
【详解】10 个同类产品，其中7 个是正品，3 个是次品.，从中任意抽取4 个产品，则至少有一个是正品，
故④为必然事件，而不可能4 个产品都是次品，故③为不可能事件，可能会4 个产品都是正品，可能会至
少有1 个次品，所以①②是随机事件
故答案为：①②；③；④
考点08 事件关系的判断
37．打靶3 次，事件Ai表示“击中i 发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（ ）
A．全部击中
B．至少击中1 发
C．都未击中
D．击中3 发
【答案】B
【详解】
表示击中1 发或2 发或3 发，即至少击中1 发.
故选：B.
38．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A 表示事件“点数大于3”，B 表示事件“点数为偶数”，
则事件“点数为5”可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
表示“点数为2”，
表示“点数5”，
表示“点数为3 或2 或1 或4 或6”，
表示“点数为1 或3 或4 或5 或6”，
故选：B
39．（多选）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：
“点数大于2”，
“点数不大于2”，
“点数大于3”，
“点数为4”，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，
“点数大于3”，
“点数大于2”，显然
，A 正确；
对于B，
“点数为4”，
“点数大于3”，
，B 正确；
对于C，由A 选项知，
，则
，C 错误；
对于D，
“点数大于2”，
“点数不大于2”，显然不能同时发生，则
，D 正确.
故选：ABD.
40．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件
“两次都击中飞机”，事
件
“两次都没击中飞机”，事件
“恰有一次击中飞机”，事件
“至少有一次击中飞机”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于A，事件A 包含于事件D，故A 正确；
对于B，由于事件B，D 不能同时发生，故
，故B 正确；
对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况：
两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故
，故C 正确；
对于D，由于
，不是必然事件，而
为必然事件，故D 不正确．
故选：ABC
41．（多选）同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为
，则
表示的随机事件不可能是（ ）
A．第一枚掷出5 点，第二枚掷出2 点
B．第一枚掷出3 点，第二枚掷出3 点
C．第一枚掷出1 点，第二枚掷出2 点
D．第一枚掷出6 点，第二枚掷出2 点
【答案】ABC
【详解】因为记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为
，
所以第一枚掷出5 点，第二枚掷出2 点时，
，
第一枚掷出3 点，第二枚掷出3 点时，
，
第一枚掷出1 点，第二枚掷出2 点时，
，
第一枚掷出6 点，第二枚掷出2 点时，
，
所以
表示的随机事件不可能是A,B,C，可能是D.
故选：ABC
42．（多选）从个女生和
个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：
“至少有一个是女
生”，
“至少有一个男生”，
“恰有一个男生”，
“两个都是女生”，
“恰有一个女
生”.下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
，
【答案】AD
【详解】对于A，事件
均为：“选出的两个人是个男生和个女生”，则
，A 正确；
对于B，事件
：“选出的两个人是个男生和个女生或者
个女生”，事件
：“选出的两个人是个男
生和个女生或者
个男生”，则
，B 错误；
对于C，事件
包含的样本点都不相同，则
，C 错误；
对于D，事件
包含的样本点都不相同，则
；
事件
：“选出的两个人是个男生和个女生或者
个男生”；事件
：“选出的两个人是
个女生”，
则
包含了样本空间中所有的样本点，
，D 正确.
故选：AD.
考点09 简单古典概型的计算
43．已知某运动员每次投篮命中的概率都为
，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次
命中的概率：先由计算机产生0 到9 之间取整数值的随机数，指定
表示命中，
表示不命
中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12 组随机数：
，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】这12 组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：
共3 组，
故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
.
故选：A.
44．从某校高一年级学生60 名女生中，经调查偏理科的40 人，偏文科的20 人，利用分层抽样抽取6 人，
随机抽取3 人，至少有2 人偏理科的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】60 名女生中，偏理科与偏文科的人数比为
，
所以分层抽样抽取6 人，偏理科的人数为
，设为
，
偏文科的人数为
，设为
，
故随机抽取3 人，一共有以下情况，
，
，
，共20 种情况，
其中至少有2 人偏理科的情况为
，
，
共16 种情况，所以随机抽取3 人，至少有2 人偏理科的概率是
.
故选：D
45．若将，
，，
，这个数字不重复填入如下表格中，有
个表格中数字不能确定，用字母
，
，
，
表示，但可以确定
为奇数，则
的概率为 ．
【答案】
【详解】由已知数组
的所有情况有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
对应实数对
的所有情况有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
种，
其中满足
的有
，
，
，
，共
种，
所以满足
的概率
，
故答案为：
.
46．一个袋子中有4 个红球，
个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．已知取出的2 个球
都是红球的概率为
，那么
．
【答案】6
【详解】设事件
“两次取出的都是红球”，则
.
因为
，所以
，
所以
，解得
．
故答案为：6.
47．一个电路中有
，
，
三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看
成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：
“电路是通路”，并求出
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
，
【分析】
【详解】（1）分别用
，
和
表示元件
，
和
的可能状态，则这个电路的工作状态可用
表示．
进一步地，用1 表示元件的“正常”状态，用0 表示“失效”状态，
则样本空间
.
（2）“电路是通路”等价于
，
，且
，
至少有一个是1，
所以
.
所以
.
48．某高校承办了2024 年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了 100 名候选者的面试成
绩并分成五组:第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制
成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a、b 的值，并估计这100 名候选者面试成绩的平均数及中位数(保留一位小数)；
(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5 人，然后再从这5 人中选出2 人，求选出的两个来自
不同组的概率.
【答案】(1)
，
；平均数：
；中位数约为
.
(2)
【分析】
【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，则
，
解得
，又因
，解得
.
故候选者面试成绩的平均数为：
；
因前2 组的频率之和为
，前3 组的频率之和为
，
故中位数在第3 组，设为
，依题意，
，解得
；
（2）由图知，第四、第五两组志愿者分别有20 人，5 人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，
分别设为
，
第五组志愿者人数为1，设为，从这5 人中选出2 人，所有情况有
共10 种，
其中选出的两个来自不同组的情况有
共4 种，故选出的两个来自不同组的概率为
.
考点10 互斥与对立
49．金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100 米跑和200 米跑这四个项目中选
择两个项目参加.设事件
“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件
“甲、乙两人所选项目完
全不同”，事件
“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件
“甲、乙两人均未选择100 米跑项
目”，则（ ）
A．A 与C 是对立事件
B．C 与D 相互独立
C．A 与D 相互独立
D．B 与D 不互斥
【答案】C
【详解】设跳高、跳远、100 米跑和200 米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100
米跑和200 米跑中选择两个项目参加的情况有：
（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），
（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），
（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），
（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），
（2434），（3434），共36 种，
其中A 有24 种情况，B 有6 种情况，C 有6 种情况，D 有9 种情况，则
，
，
，
.
由
可得A 与C 不是对立事件，选项A 错误.
，C 与D 不相互独立，选项B 错误.
，A 与D 相互独立，选项C 正确.
由B 与D 不可能同时发生可知B 与D 互斥，选项D 错误.
故选：C.
50．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6 的6 个小球，从中任意摸
出两个球．设事件
“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件
“摸出的两个球的编号都大于3”，
事件
“摸出的两个球中有编号为4 的球”，则（ ）
A．事件
与事件
是相互独立事件
B．事件
与事件
是对立事件
C．事件
与事件
是互斥事件
D．事件
与事件
是互斥事件
【答案】D
【详解】解：由题意可知：所以基本事件为：
，
；
；
，
所以
，
，
，
对于A，因为
，而
，故错误；
对于B，因为
，
所以事件
与事件
不是对立事件，故错误；
对于C，因为
，
则
，
所以事件
与事件
不是互斥事件，故错误；
对于D，因为
，
，
所以
，
所以事件
与事件
是互斥事件，故正确.
故选：D.
51．（多选）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件
：“两次掷出的点数之和是11”，记事件
：“第二
次掷出的点数是偶数”，记事件
：“两次掷出的点数相同”，记事件
：“至少出现一个奇数点”，则
（ ）
A．
与
互斥
B．
与
对立
C．
与
独立
D．
与
对立
【答案】AC
【详解】解：因为
，
，
，
，
所以
，所以
与
互斥，故选项A 正确；
，
所以
与
不互斥，故选项B 错误；
，所以
与C 不互斥，故选项D 错误；
，所以
，
所以
与
独立，故选项C 正确；
故选：AC
52．（多选）10 件同类产品中，有8 件是正品，2 件是次品，从中任意抽出3 件，与事件“1 件正品2 件次
品”互斥而不对立的事件为（ ）
A．恰有1 件次品
B．至多有1 件次品
C．至少有1 件次品
D．都是正品
【答案】AD
【详解】10 件同类产品中，有8 件是正品，2 件是次品，从中任意抽出3 件，
在A 中，“恰有1 件次品”与事件“1 件正品2 件次品”互斥而不对立的事件，故A 正确；
在B 中，“至多有1 件次品”与事件“1 件正品2 件次品”是对立事件，故B 错误；
在C 中，“至少有1 件次品”与事件“1 件正品2 件次品”能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；
在D 中，“都是正品”与事件“1 件正品2 件次品”互斥不对立，故D 正确.
故选：AD
53．（多选）将颜色分别为红、绿、白的3 个小球随机分给甲、乙、丙三个人，每人1 个，则（ ）
A．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”互斥
B．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”互斥
C．事件“甲分得红球，乙分得绿球”的对立事件是“丙分得红球或绿球”
D．事件“甲分得红球，乙分得绿球”发生的概率是
【答案】AB
【详解】试验的样本空间
(甲红,乙绿,丙白),(甲红,乙白,丙绿),(甲绿,乙白,丙红),(甲绿,乙红,丙白),(甲白,
乙绿,丙红),(甲白,乙红,丙绿) ，
对于A，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”不可能同时发生，它们互斥，A
正确；
对于B，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”不可能同时发生，它们互
斥，B 正确；
对于C，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”可以同时不发生，它们不对立，C
错误；
对于D，样本空间共有6 个样本点，事件"甲分得红球，乙分得绿球"发生的概率是
，D 错误.
故选：AB.
考点11 事件独立性的判断
54．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，
表示事件“两次掷出的点数之和是
），
表示事件“第二次掷
出的点数是偶数”，
表示事件“两次掷出的点数相同”，
表示事件“至少出现一个奇数点”，则
（ ）
A．
与
互斥
B．
C．
与
对立
D．
与
相互独立
【答案】D
【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1 到6 之间，
所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“
”的点数之和等于4，
故
与
不互斥，故A 错误；
“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”，
所以
，故B 错误；
由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B 与D 不是对立的，故C
错误；
先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组
有
种等可能的不同情况，
第二次掷出的点数为偶数的情况有
共18 种不同情况，
两次掷出的点数相同的情况有：
共6 种，
两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有
共3 种情况，
所以
，
所以
，所以
独立，故
正确．
故选：D.
55．已知
是一个随机试验中的两个随机事件，若
，
，则（ ）
A．
与
相互独立且
B．
与
不相互独立且
C．
与
相互独立且
D．
与
不相互独立且
【答案】C
【详解】由题设
，
，
，
所以事件
与事件
相互独立；
由概率的性质，有
.
故选：C
56．若事件
、
满足
，则
与
的关系是（ ）
A．互斥
B．互为对立
C．相互独立
D．互斥且相互独立
【答案】C
【详解】因为
，
.
又因为
，所以有
，
所以事件
与
相互独立，不互斥也不对立.
故选：B.
57．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 是“第1 枚为正面”，事件B 是“第2 枚为正面”，事件C
是“2 枚结果相同”，则事件A 与B，A 与C，B 与C 中相互独立的事件有（ ）
A．0 对
B．1 对
C．2 对
D．3 对
【答案】D
【详解】由题意，
．故
，即事件A 与B，A 与C，B 与C 中相互独立的事
件有3 对．
58．（多选）设样本空间
含有等可能的样本点，记事件
，事件
，事件
，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A 与事件B 相互独立
B．事件A 与事件C 相互独立
C．事件A 与事件B 互斥
D．事件A 与事件C 互斥
【答案】AD
【详解】对于A，
，因为
，则
，
所以
，即事件A 与事件B 相互独立，故A 正确；
对于B，
，所以
，而
，
所以
，故B 错误；
对于C，
，所以事件A 与事件B 不互斥，故C 错误；
对于D，
，所以事件A 与事件C 互斥，故D 正确；
故选：AD.
59．某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入
个标有一定金额的球
（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为
元，
元，
元的球分别有个，个，
个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸
次.规定：每人摸
出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额.
(1)当
时，求甲员工所获得的红包金额不高于
元的概率；
(2)当
时，设事件
“甲员工获得的红包总金额不低于
元”，事件
“甲员工获得的红包总金
额不高于
元”，试判断事件
是否相互独立，并说明理由.
【答案】(1)
(2)事件
不相互独立，理由见解析
【分析】
【详解】（1）因为
，即只摸次球，
红包总金额不高于
元，即为
元或
元，
从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为
元的概率为
，为
元的概率为
，
故甲员工所获得的红包金额不高于200 元的概率为
.
（2）当
时，
“甲员工获得的红包总金额为
元或
元或
元”，
因为
，所以
.
事件
的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为
元”，
所以
；
事件
的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为
元”，
因为
，所以
，
所以
，
所以事件
不相互独立.
考点12 独立事件概率的计算
60．在如图所示的电路图中，开关
，
，正常工作的概率分别为
，
，
，且是相互独立的，则灯亮
的概率是
【答案】
【详解】设“开关
，
，闭合”分别为事件
，
，
，则灯亮这一事件为
，且
，
，
相互独立，
互斥，
所以
，
故答案为：
.
61．甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2 局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为
，乙获
胜的概率为
，且各局比赛的胜负互不影响．
(1)求恰好比赛3 局后甲获胜的概率；
(2)求甲在4 局以内（包含4 局）赢得比赛的概率.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）记“甲在第
局获胜”为事件
，“恰好比赛3 局后甲获胜”为事件
，
所以
，则
，
所以恰好比赛3 局后甲获胜的概率为
.
（2）记“甲在4 局以内（包含4 局）赢得比赛”为事件
，则
，
因为
，
且
，
所以
，
即甲在4 局以内（包含4 局）赢得比赛的概率为
.
62．甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，
下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为
，乙发球
且乙赢的概率为
，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球.
(1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率；
(2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率；
(3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）设事件
表示甲发球甲获胜，事件
表示乙发球甲获胜；
事件
表示甲发球乙获胜，事件
表示乙发球乙获胜；
可知
.
则第二局比赛结束后乙获胜，即
；
（2）第四局比赛结束后甲获胜，则第四局一定是甲获胜，前三局甲胜2 局，乙胜1 局，
则事件概率为
；
（3）第六局比赛结束后甲获胜，则第六局一定是甲获胜，前面五局中甲获胜3 句，乙获胜2 局，则事件概
率为
；
则第六局比赛结束后甲获胜的概率为
.
63．小林和小郑都参加英语口语面试，小林通过的概率为
，小林和小郑都能通过的概率为
，并且在面
试过程中小林与小郑互不影响．
(1)求小郑通过的概率；
(2)求小林、小郑恰有一人通过的概率；
(3)求小林、小郑中至少有一人不通过的概率．
【答案】(1)小郑通过的概率为
.
(2)小林、小郑恰有一人通过的概率为
.
(3)小林、小郑中至少有一人不通过的概率为
.
【详解】（1）设事件A 为“小林通过”，事件B 为“小郑通过”，则事件A、B 为独立事件:
，
，
所以
，
故小郑通过的概率为：
.
（2）小林、小郑恰有一人通过分两种情况：①小林通过且小郑未通过；②小郑通过且小林未通过.则：
，
故小林、小郑恰有一人通过的概率为：
.
（3）小林、小郑中“至少有一人不通过”为“两人同时通过”的对立事件，即：
故小林、小郑中至少有一人不通过的概率为：
.
64．小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮
答对的概率为
，小胡每轮答对的概率为
，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也
互不影响．
(1)求小张在两轮比赛中至少答对1 题的概率；
(2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率．
【答案】(1)
．
(2)
．
【分析】
【详解】（1）记“小张在两轮比赛中至少答对1 题”为事件
，
所以
，即小张在两轮比赛中至少答对1 题的概率为
．
（2）记“小张在两轮比赛中答对题”为事件
，
“小胡在两轮比赛中答对题”为事件
，
“在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件
，
所以
，
，
，
，
所以
，
即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为
．
