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培优专题 21 与概率有关的创新问题探究
（含转盘、比赛、创新题探究等）
【巩固训练】
1．（2022·河北保定·二模）嘉嘉用大小和形状都完全一样的正方形按照一定规律排放了一组图案（如图所
示），每个图案中他只在最下面的正方形上写“城”字，寓意“众志成城，抗击疫情”．其中第（1）个
图案中有1个正方形，第（2）个图案中有3个正方形，第（3）个图案中有6个正方形，…按照此规律，
从第（10）个图案中随机抽取一个正方形，抽到带“城”字正方形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知图形得出第10个图形中，正方体一共有1＋2＋3＋……＋9＋10＝55个，再用带
“城”字的正方体个数除以总个数即可得．
【详解】解：∵第1个图形中正方体的个数为1，
第2个图形中正方体的个数3＝1＋2，
第3个图形中正方体的个数6＝1＋2＋3，
∴第10个图形中，正方体一共有1＋2＋3＋……＋10＝55（个），其中写有“城”字的正方体有10个，
∴抽到带“城”字正方体的概率是 = ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查概率公式及图形的变化规律，解题的关键是得出第10个图形中正方体个数和概率公
式．
2．（2022·全国·九年级课时练习）“新冠病毒”的英语单词“”中，字母“o”出现的频率是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据频率的定义求解即可．
【详解】解：“新冠病毒”的英语单词“Novelcoronavirus”中共有16个字母，“o”出现了3次，
∴字母“o”出现的频率是
故选：B．
【点睛】本题考查频数与频率，解题的关键是理解频率的定义，属于中考常考题型．
3．（2021·江苏·九年级专题练习）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取
出 粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出 粒豆子，发现其中 粒有
刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（ ）粒．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可．
【详解】设瓶子中有豆子 粒豆子，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，
答：估计瓶子中豆子的数量约为 粒．
故选： ．
【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计
学中最常用的估算方法．
4．（2022·山东烟台·九年级期末）小南观察某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，
当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用概率的意义即可求出出遇到绿灯的概率.
【详解】解：∵红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，
∴遇到绿灯的概率是 ＝ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考察概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键.5．（2022·全国·九年级单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均
每场有12次3分球未投中．
(1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？
(2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分
球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)共投出640个3分球，共投中160个3分球
(2)说法不正确；理由见解析
【分析】（1）设该运动员共出手x个3分球，则3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根据“某篮球运动
员去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可；
（2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个
值；由此加以理解即可．
（1）
解：设该运动员共投出x个3分球．
∵3分球的命中率为0.25，
∴3分球的未命中率为1－0.25＝0.75．
根据题意，得 ＝12．
解得x＝640．
∴0.25x＝0.25×640＝160(个)．
答：运动员去年的比赛中共投出640个3分球，共投中160个3分球．
（2）
解：小明的说法不正确；3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽
然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员在这场比赛中不一定投中了5个3分球．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、概率的意义．解题的关键是理解概率的意义．
6．（2022·山西大附中一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物
满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘
除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券
18 9 18
（元）
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为
实惠．
【答案】(1)
(2)方案一，见解析；
【分析】（1）根据列表法（或画树状图法）求指针分别指向一红区和一蓝区的概率即可；
（2）根据（1）的树状图求出方案二的平均收益即可判断；
(1)
解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转盘B中蓝色区域
的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向蓝色区域的情况
有5种，∴P(一红区和一蓝区)=
(2)
由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ，
∴P(两个红区)= ，P(两个蓝区)= ，
∴方案二的平均收益为： ，
∵13<20，
∴若只考虑获得最多的礼品券，选择方案一更加实惠；
【点睛】本题主要考查列表法（或画树状图法）求概率，掌握概率的求解方法是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级专题练习）为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，
进行如下试验：将200只白鼠随机分成 两组，每组100只，其中 组白鼠给服甲离子溶液， 组白鼠
给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在
白鼠体内离子的百分比．
按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：
离子残留百分比
分组
给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12
给服乙离子白鼠（只
5 a 15 b 20 15
数）
（注：表中 表示实验数据 的范围为 ）
若记 为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到 的估计值为
0.70．
（1） _______； _______．
（2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分
比的平均值估计如下： ，用上述方法
估计乙离子残留百分比的平均值．
（3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．
离子残留百分比
中位数 众数 方差
分组
给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38
给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8
【答案】（1）10；35；（2） ；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位
数5.9 6.3，甲好，甲离子众数6.0 6.3，甲好，从方差看甲离子方差1.38 1.8，甲好．
【分析】（1）根据题意可求a+b=45，由 的估计值为0.70，则 解方程求出b，再求a即可；
（2）根据样例给定的方法求即可；
（3）由甲离子中位数5.9 6.3，甲离子众数6.0 6.3，从甲离子方差看甲离子方差1.38 1.8做决策即可．
【详解】解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45，
因为 的估计值为0.70，
则 ，
解得b=35，a=45-b=45-35=10，
故答案为：10；35；
（2） ；
（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.9 6.3，甲好，甲离子众数6.0
6.3，甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方差1.38 1.8
说明甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好．
【点睛】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数据，平
均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键．
8．（2021·江苏·九年级专题练习）有A、A、A 三个舞蹈演员在舞台上跳舞，面对观众作队形变化，其
1 2 3
变化规律是：一个舞蹈演员A 跳舞，面对观众作队形变化的情况有1种，即A；二个舞蹈演员A、A 跳
1 1 1 2
舞，面对观众作队形变化的情况有2种（即1×2），即AA、AA；三个舞蹈演员A、A、A 跳舞，面对
1 2 2 1 1 2 3
观众作队形变化的情况有6种（即1×2×3），即AAA、AAA、AAA、AAA、AAA、AAA；请
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
你猜测：(1) 四个舞蹈演员A、A、A、A 跳舞，面对观众作队形变化的情况有几种？请你列出这四个舞蹈演员跳
1 2 3 4
舞时演员A 和A 相邻的所有情况，并计算演员A 和A 相邻的可能性是多少？
1 2 1 2
(2) n个舞蹈演员跳舞，面对观众作队形变化的情况有多少种？
(3) 用1、2、3、4、5、6、7共7个数字排列成7位数的电话号码（在同一个电话号码内每个数字只能用一
次），可能排成多少个电话号码？
【答案】（1）24种， 0.5,见解析；（2）1×2×3×…×n；（3）5040．
【分析】(1)根据已知列举出所有可能结果即可得出演员A 和A 相邻的可能性；
1 2
(2)根据已知得出n个舞蹈演员跳舞，面对观众作队形变化的规律是1×2×3×…×n；
(3)结合(2)直接得出可能排成的电话号码个数．
【详解】(1) ∵面对观众作队形变化的情况有24种，A 和A 相邻的情况有：AAAA、AAAA、
1 2 1 2 3 4 1 2 4 3
AAAA、AAAA、AAAA、AAAA、AAAA、AAAA、AAAA、AAAA、
3 1 2 4 3 4 1 2 4 1 2 3 4 3 1 2 2 1 3 4 2 1 4 3 3 2 1 4 3 4 2 1
AAAA、AAAA；
4 2 1 3 4 3 2 1
∴演员A 和A 相邻的可能性是0.5；
1 2
(2)∵n个舞蹈演员跳舞，
∴面对观众作队形变化的情况有：1×2×3×…×n；
(3)∵根据(2)中规律得出：1×2×3×…×7=5040．
【点睛】此题主要考查了规律性问题以及可能性大小有关知识，得出面对观众作队形变化的规律是解决问
题的关键．
7．（2018·贵州遵义·中考模拟）在一次数学调考中，小明有一道选择题（四选一）不会做，随机选了一个
答案，小亮有两道选择题不会做，他也猜了两个答案，他估算了一下，只要猜对一道题，这次测试就可上
100分；小宁有三道选择题不会做，临交卷时随机填了三个答案；
（1）小明随机选的这个答案，答错的概率是 ；
（2）小亮这次测试不能上100分的概率是 ，要求画出树形图；
（3）小宁三道选择题全错的概率是 ；
（4）这个班数学老师参加集体阅卷，在改卷的过程中，发现一个学生12道选择题一题也没选对，请你根
据（1）（2）（3）发现的规律，推出12道选择题全错的概率是 （用幂表示）．
【答案】(1)0.75;(2) ;(3) ;(4) （ ）12
【详解】分析：（1）错误答案有3个，除以答案总数4即可；
（2）这次测试不能上100分，那么2道题都答错，找到2道题都答错的情况占所有情况的多少即可；（3）小宁三道选择题全错的概率为3个 的积；
（4）12道选择题全错的概率是12个 的积．
详解：（1）答错的概率是3÷4=0.75；
（2）画树状图为：
共有16种情况，2道都答错的情况有9种，所以概率是 ；
（3）由（2）得2道题都答错的概率是（ ）2，小宁三道选择题全错的概率为（ ）3= ；
（4）12道选择题全错的概率是（ ）12．
点睛：概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比．对于第（4）题，解决本题的关键是得到n道题都
答错的概率是（ ）n．
