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专题 08 排列组合 10 大考点
考点 01 排列数、组合数的计算
考点 02 排列数、组合数相关的方程及不等式
考点 03 相邻问题及不相邻问题
考点 04 位置有限制问题
考点 05 定序问题
考点 06 分组分配问题
考点 07 最短路线和台阶问题
考点 08 相同元素的分配问题
考点 09 元素配对问题
考点 10 排列组合与古典概型
考点 01 排列数、组合数的计算
1．
可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
（ ）
A．0
B．56
C．1
D．42
3．（多选）下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）已知
，
，
，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
考点 02 排列数、组合数相关的方程及不等式
5．不等式
的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）已知
，则满足不等式
的 的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
1 / 7
7．若
，则正整数 的值为
.
8．若正整数 n 满足不等式
，则
.
9．解下列方程.
(1)若
，求 .
(2)
(3)
.
考点 03 相邻问题及不相邻问题
10．某人计划到山东旅游，打算用连续 5 天时间游玩泰山、崂山、蓬莱阁 3 个景点，其中泰山、崂山 2 个
景点分别安排连续的两天游玩，则不同的日程安排种数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
11．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生
均不能相邻的站法总数是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（多选）为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱 6 首风格不同的
歌曲，设编号分别为 A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这 6 首歌的演唱顺序进行一定调整，则（ ）
A．若歌曲 B、C、D 必须三首连续进行演唱，则有 144 种安排方式
B．若歌曲 B、C、D 任意两首不连续进行演唱，则有 144 种安排方式
C．若歌曲 必须在歌曲
之前进行演唱，则有 120 种安排方式
D．若歌曲 必须第一个进行演唱，歌曲
不能最后进行演唱，则有 96 种安排方式
13．甲、乙均在内的 5 人坐在一排的 5 个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不
同的坐法有
种.
14．在图所示的 10 块地中，选出 6 块种植
这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若
必须横向相邻种在一起，
与
在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有
种.
2 / 7
15．用 1、2、3 三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个 1 相邻出现，则这样的四位数有
个．（用数字作答）
16．7 个人站成两排照相，前排 3 人，后排 4 人；其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻（若两人分站两
排视为不相邻），则共有
种不同安排方式．
考点 04 位置有限制问题
17．某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人必须去社
区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，若甲去文明社区，乙不去富强社区，则不同的安排方
法有（ ）
A．16 种
B．12 种
C．7 种
D．6 种
18．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了 6 场线上讲座，其中讲座 只能安排在
第一或最后一场，讲座 和 必须相邻，问不同的安排方法共有（
）
A．24 种
B．48 种
C．72 种
D．96 种
19．甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城
这 4 个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选
择方法共有
.
20．袋中有 7 个小球，其中 2 个白球，2 个红球和 3 个黄球.每次不放回从袋中随机取出一个球，当三种颜
色的球都取到时停止，则停止摸球时共取出 5 个球的概率为
.
21．从数字 ， ， ， ， 中不重复地选取组成五位数，若该数满足千位和十位上的数字均比各自相邻数
字大（形如“低一高一低一高一低”），则称其为“龙脉数”，则所组成的数为“龙脉数”的概率为
.
22．甲、乙等 5 名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各 1 名.若甲、乙
均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有
（用数字作答）种.
考点 05 定序问题
23．让 6 名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法．
(1)甲在乙的左边；
(2)甲在乙的左边，乙在丙的左边．
24．5 人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有
种情况.
3 / 7
25．掷一枚质地均匀的骰子 3 次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为 x，y，z，则
的概率为
．
26．如图，3 根绳子上共挂有 7 只气球，绳子上的气球个数依次为 2，2，3，每枪只能打破一只气球，而且
同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法有
种（请用
数字作答）
27．书架上某一层有 本不同的书，新买了 本不同的书插进去，要保持原来 本书的顺序不变，则不同的
插法种数为
.（用数字作答）
28．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香
菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡
脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有
种.
考点 06 分组分配问题
29．把 6 名技术员分到 3 个车间工作，分到 3 个车间的人数各不相同，每个车间至少 1 人，则不同的分配
方案共有（
）
A．270 种
B．540 种
C．720 种
D．360 种
30．要安排 4 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则
不同的安排方法共有（
）
A．12
B．14
C．16
D．20
32．某高校 7 名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参
观一个地点，每个地点至少有 2 名学生参观的不同方案共有（ ）
A．105 种
B．210 种
C．630 种
D．1260 种
33．某校安排高一年级
班共 个班去
五个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基
地，每个基地至少安排一个班，则高一
班恰被安排到 基地的排法种数为（
）
A．
B．
C．
D．
34．（多选）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一
才女”之称．现将李清照不同的 9 本诗集全部奖励给 3 名同学（每人至少会分到 1 本），则下列选项正确的
有（ ）
A．若刚好每人分到 3 本书，则有 1680 种不同的分法
B．若每人至少分到 2 本书，则有 11508 种不同的分法
C．若刚好有 1 人只分到 1 本书，则有 6326 种不同的分法
4 / 7
D．若每人至多分到 4 本书，则有 13020 种不同的分法
考点 07 最短路线和台阶问题
35．甲 、乙 、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（
）
A．156
B．210
C．211
D．216
36．从一楼到二楼共有 12 级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求 8 步从一楼到二楼共有走法．
A．12
B．8
C．70
D．66
37．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个
的长方体框架（如图），小红欲从 处行走至 处，则
小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有
A．360 种
B．210 种
C．60 种
D．30 种
38．如图是一个某城市街道图，其中虚线部分为不可通过的荷塘．李四家住 A 处，学校在 B 处，问李四从
家里上学的最短路径有多少条不同的路线？
39．沿图中的网格线从顶点 到顶点 ，最短的路线有
条．
40．如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从
西南角 A 地到东北角 B 地的最短路线共有
条.（用数字作答）
5 / 7
考点 08 相同元素的分配问题
41．三元一次方程
的正整数解的组数为（
）
A．21
B．28
C．35
D．42
42．10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有（ ）种不同分配方案．
A．9
B．36
C．84
D．120
43．方程
的正整数解共有（ ）
A．50 组
B．58 组
C．60 组
D．66 组
44．已知随机变量
，
，则将
个人分到 3 个不同的地方，每个人必去一个地方，每
个地方至少去 1 人的分配方案共有
种．
45．若方程
，其中
，则方程的自然数解的个数为
.
考点 09 元素配对问题
46．有四对双胞胎共 8 人，从中随机选 4 人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（
）
A．48
B．72
C．96
D．192
47．有 3 对双胞胎孩子站成一排拍照，则每对双胞胎必须相邻的排法有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．48 种
D．96 种
48．A 家庭有一对夫妻和两个女儿，B 家庭有一对夫妻和两个儿子，共 8 人，一起去游乐场游玩，坐在共有
8 个座位的一排座位上，A 家庭的两个女儿要相邻，B 家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸
爸要坐在两端．那么这 8 人的排座方法种数为
．
49．现有 5 双鞋子，从中任取 4 只鞋子，则取出的 4 只鞋子中，恰好有 1 双的取法总数为
.
50．
双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出 只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1) 只鞋子没有成双的；
(2) 只鞋子恰成两双；
(3) 只鞋中有 只成双，另 只不成双．
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考点 10 排列组合与古典概型
51．现有 5 瓶溶液标签缺失，已知其分别为
，若从中任取 2 瓶混合，则会
发生复分解反应的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
52．2025 年正好是一个平方年（
），纵观历史，从 1250 年到 1900 年，所有平方年对应的朝代如
下表所示：
1296
1369
1444
1521
1600
1681
1764
1849
元朝
明朝
明朝
明朝
明朝
清朝
清朝
清朝
某位历史老师将从这 8 个年份中随机选取 3 个年份，对当年的历史进行深入研究，则他选取的年份至少有 2
个在明朝的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
53．如图，在某城市中，
两地之间有整齐的方格形道路网，其中
是道路网中位于一条对角线上
的 4 个交汇处，今在道路网
处的甲乙两人分别要到 N,M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，
以相同的速度同时出发，直到到达 N 处为止，则下列说法错误的是（ ）
A．甲从 M 必须经过
到达 N 处的方法有 9 种
B．甲乙两人相遇的概率为
C．甲乙两人在
处相遇的概率为
D．甲从 M 到达 N 处的方法有 20 种
54．6 名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是
．
55．平面上有一个点，等可能地向前、后、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，则经过 4 次移
动后回到出发点的概率为
．
56．《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对
哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共
个人物手办，小明从 个盲盒中（ 个盲盒内的人物一定不同）任意抽取 个盲盒，则包含哪吒和至多一
位龙王的概率是
.
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