文档内容
数学试题参考答案及评分标准
一!选择题"本题共#小题#每小题$分#共%&分’
!!#命题意图$本小题主要考查现实情况下两个变量的相关性与理想状态下两个变量相关性的认
识%从测量数据的随机性进行分析!考查化归与转化等数学思想%考查数据分析&数学运算等数
学核心素养!本题根据教材选必三第!&%页第(题改编!
#答案$)
#解析$根据这些数据可得这两个变量具有相关性%而且具有正相关性!
*!#命题意图$本小题主要考查学生对条件概率等基础知识的认识!既检验了学生对条件概率概
念的理解%又考查了他们的数学运算能力%还能够提升数学抽象&数学运算和逻辑推理等核心
素养!
#答案$)
"!#$" * *
#解析$由条件概率的计算公式求解即可!由题意%知 +"!#"+ ,(+ !
"!$"#" !$ $
(!#命题意图$本小题主要考查排列组合的应用%特别是当元素分组且组与组之间有顺序时的排
列问题!题目通过设置一个实际情境%即书籍的排列问题%来考查学生对排列组合原理的理解
和应用能力!同时%题目也考查了学生的逻辑思维能力和数学运算能力!通过解决这类问题%学
生不仅能够加深对排列组合知识的理解%还能够提高解决实际问题的能力%培养数据分析%数
学抽象等数学核心素养!本题根据教材选必三习题-.*第*-页第$题改编!
#答案$/
#解析$根据题意%将全部的书放在书架上%且不使同类的书分开%则数学书有 0% 种放法%物理
%
书有 0$ 种放法%化学书有 0( 种放法%(种书共有 0( 种排法%共有 0%0$0(0( 种放法’
$ ( ( % $ ( (
%!#命题意图$本小题考查正态分布的性质和应用%特别是对称性和概率计算!通过设置生态鱼生
长量的实际问题%考查学生对正态分布的理解和运算能力!本题旨在培养学生的数据分析&逻
辑推理和数学运算等核心素养!本题根据教材选必三习题1.$第#1页第*题改编!
#答案$2
#解析$因为%!&!(&&%*$"%所以 !+(&&%"+$%因为"!*#$#’$(&$"+"!(&&3!$#’$
!
(&&4$"+"!(&&3("#’$(&&4""+ ,!&.-#*14&.""1("+&.#%!
*
$!#命题意图$本小题考查了极值点的定义与性质%特别是结合函数与方程参变分离的解题方法!
题目通过设置具体函数%要求学生判断极值点的存在性并求解参数的取值范围%旨在考查学生
高二数学答案 第!!!!!页!共"页"
{#{QQABaYQUogCAAJBAAAgCAQWICkAQkAGAASgOAFAAMAAAAQNABAA=}#}
书书书的逻辑思维能力和数学运算能力!通过解决这类问题%学生能够加深对极值点知识的理解%培
养逻辑推理&数学运算等数学核心素养!本题根据教材选必二第"$页例1改编!
#答案$/
#解析$由题意()!’"+!’4!"5’4*+&有大于3!的根%即方程3*+!’4!"5’ 有大于3!的
根%而当’%3!时%+!’"+!’4!"5’&!&%46"%所以*的取值范围为!36%&"!
-!#命题意图$本小题旨在考查学生对二项式定理展开式中特定项系数及所有项系数和的求解能
力%进一步加深对二项式定理的理解!通过本题%培养学生逻辑推理&数学运算等核心素养!本
题根据教材选必三复习参考题-第(#页第"题改编!
#答案$0
#解析$令’+!%便可以得到各项的系数和%!!4’"*4!!4’"(4!!4’"%4’4!!4’"!!+
%!!3*!&"
**4*(4’4*!!+ +%&"*!
!3*
因为!!4’", 展开式的第-4!为. +)-’-!所以!!4’"* 没有含’( 项%!!4’"( 中含’( 项
-4! ,
的系数是)(%!!4’"% 中含’( 项的系数是)(%’%!!4’"!!中含’( 项的系数是)( !
( % !!
所以!!4’"*4!!4’"(4!!4’"%4’4!!4’"!!的展开式中含’( 项的系数为)(4)(4)(4
( % $
’4)( +)%4)(4)(4’4)( +)%4)(4’4)% +)% +%"$!
!! % % $ !! $ $ !! !*
1!#命题意图$本小题考查函数的单调性与导数的关系及最值问题%需要学生利用导数判断函数
单调性%进而求解最值!题目旨在提升学生的数学运算能力和逻辑推理能力%培养数学抽象&数
据分析和逻辑推理等核心素养!
#答案$0
’
#解析$通过求出函数/+ 的导函数%得到该函数在!36%!"为增函数%在!!%46"为减函
5’
! 785 " 78* 78’
数%所以该函数的最大值*+ + %&%0+79:;8 #&%1+ %&%而通过求导得到/+
5 5 1 * ’
为!&%5(的增函数%所以*%1!从而*%1%0!
#!#命题意图$本小题考查学生对组合数在立体几何中应用的理解%以及空间几何中异面直线概
念的应用!本题旨在培养学生的空间直观想象&逻辑推理和数学运算等核心素养!本题根据教
材选必三复习参考题-第*-页第(题改编!
#答案$2
#解析$如图%从这#个点中任取%点得)%%四点共面的情况有%-个表
#
面%每个表面的%点共面)%个对角面!面$$22%面 #33# %面
! ! ! !
$32# %面#23$ "%每个面的%点共面%所以这#点形成 )%3-3
! ! ! ! #
%+-&个四面体%每个四面体(对异面直线%所以这些直线最多能组成
!#&对异面直线!
高二数学答案 第!!!!*页!共"页"
{#{QQABaYQUogCAAJBAAAgCAQWICkAQkAGAASgOAFAAMAAAAQNABAA=}#}二!选择题"本题共(小题#每小题-分#共!#分!
"!#命题意图$本小题旨在考查学生对样本相关系数-的理解与应用%涉及统计与概率的基础知
识!通过选项辨析%考查学生的对相关系数的认识和逻辑推理能力!本题旨在培养学生的数学
抽象&逻辑推理等核心素养!本题根据教材选必三第"-页!!&(页提炼改编!
#答案$0)
#解析$解答该问题%我们需要理解样本相关系数-的基本性质!样本相关系数-的取值范围是
*3!%!(%因此选项 0是正确的%而选项2是错误的!"-"越接近!%表示两变量的线性相关程度
越强%因此选项)是正确的!相反%"-"越接近&%表示两变量的线性相关程度越弱%因此选项/
是错误的!
!&!#命题意图$本小题考查了条件概率&全概率公式及分类加法计数原理等概率统计知识%强调
了对概率模型的构建及概率计算的理解与应用!本题旨在培养学生的逻辑推理&数学运算和
数据分析等核心素养!本题根据教材选必三习题1.!第$*页第!题改编!
#答案$0/
#解析$0选项%用# %# 分别表示抽到的员工是技术部门员工&非技术部门员工%用$表示
! *
抽到的员工持有学士学位!
由题意得"!# "+%&<%"!# "+-&<%"!$"# "+#&<%"!$"# "+-&<%
! * ! *
#
则"!#$"+"!# ""!$"# "+(*<+ %
! ! ! *$
#
故抽到的学生是技术部门员工且持有学士学位的概率为 %0正确)
*$
!1
2选项%由全概率公式得"!$"+"!# ""!$"# "4"!# ""!$"# "+-#<+ %2错误)
! ! * * *$
"!$# " #
)选项%由2选项可得"!#"$"+ ! + %)错误)
! "!$" !1
"
/选项%由)选项可得"!#"$"+!3"!#"$"+ %/正确’
* ! !1
!!!#命题意图$本小题旨在考查导数在函数极值与单调性中的应用%通过探究三次函数的特性%
考查学生的逻辑推理与转化能力!同时%本题也强调了对函数图象与性质的理解与运用%意在
培养数学抽象&逻辑推理和数学运算等核心素养!本题根据教材选择性必修二第#1页例(
改编!
#答案$2)
! !
#解析$函数(!’"+ ’(3 ’*3*’4!的定义域为!!对(!’"求导数%得
( *
()!’"+’*3’3*+!’4!"!’3*"!所以(!’"的两个零点为’+3!%或’+*!
高二数学答案 第!!!!(页!共"页"
{#{QQABaYQUogCAAJBAAAgCAQWICkAQkAGAASgOAFAAMAAAAQNABAA=}#}’ !36%3!" 3! !3!%*" * !*%46"
()!’" 4 & 3 & 4
极大值 极小值
(!’" 单调递增 !( 单调递减 1 单调递增
(!3!"+ (!*"+3
- (
所以 0错误%)正确’
对于2%+)!’"是一个关于’的二次函数%二次函数不一定有零点%故+!’"不一定有+驻点,%
但是+))!’"是一个关于’的一次函数%一次函数一定有零点%故+!’"一定有+拐点,%故2
正确)
对于/%当*%&且+)!’"没有零点时%+!’"为!上的增函数%无减区间%故/错误!
三!填空题"本题共(小题#每小题$分#共!$分!
%
!*!#答案$3
$
#命题意图$本小题主要考查线性回归方程的应用%特别是通过给定的数据点求解回归系数的
能力-题目旨在考查学生的数据分析&数学建模和数学运算等核心素养%通过解决实际问题%
培养学生运用数学知识解决实际问题的能力-
! !
#解析$槡’+ ,!!4*4(4%"+*.$%/ ’ + ,!$.$4%4(.$4("+%%点!槡’%/ ’"在直线4 /+
% %
%
0’4-上%则%+0,*.$4-%解得0+3 !
$
!(!#命题意图$本小题考查组合计数原理&分组分配问题的实际应用%以及分类讨论的数学思想!
通过解决实际问题%旨在提升学生解决实际问题的能力!考查学生的逻辑推理&数学运算和数
学建模等核心素养!
#答案$(!$&
#解析$由题意可得恰有%名女生人选的选法有)%,)!+*&种%恰有$名女生人选的选法有
$ %
)$,)&+!种%将$名大学生按要求分成(组%可以按照+!4*4*,和+!4!4(,进行分组%共
$ %
)!,)*,)*
有 $ % *4)(+*$%将三个组分配到三个项目中去有-种分法%所以最后的分配方法有
0* $
*
*!,*$,-+(!$&!种"%故答案为(!$&!
!%!#命题意图$本小题考查学生利用三角函数的导数回归性&函数与方程思想解决复杂问题的能
力%以及对函数周期性和零点存在性的理解!本题旨在培养数学抽象&逻辑推理和数学运算等
核心素养!
#答案$(!
高二数学答案 第!!!!%页!共"页"
{#{QQABaYQUogCAAJBAAAgCAQWICkAQkAGAASgOAFAAMAAAAQNABAA=}#}! "(
#解析$当’& &% 时%()!’"+3:;8’%且/+=>:’和/+37>9’仅!个交点%即(!’"4
* "$
7>9’+&仅!根%
"$
!" " ! ""
当’& %46 时%(!’"+()’3 %
* *
!" ( " ! "( ! "" ! ""
当’& %" 时%’3 & &% %则(!’"+()’3 +3:;8 ’3 +=>:’%
* * * * *
! ("( " !" ( ! "" ! ""
当’& "% 时%’3 & %" %则(!’"+()’3 +3:;8 ’3 +=>:’%
* * * * *
以此类推得出(!’"+=>:’%而"$&*(&"%(!"(%
当’&!&%*""有(个交点%以后每个周期*"内/+=>:’和/+37>9’有*个交点%且在区
"$
(&
间!(&"%"$"无交点%所以共有!4 ,*+(!个交点%即关于’的方程(!’"47>9’+&根的
* "$
个数为(!!
四!解答题"本题共$小题#共11分!
!$!!!(分"
#命题意图$本小题旨在考查二项式定理的应用%特别是二项式系数之和与展开式通项公式的
应用%很好的锻炼了学生的逻辑思维和运算能力-本题要培养出的高中数学核心素养包括逻
辑推理&数学运算和数据分析-
#解析$!!"由题意可得%*,+-%%解得,+-!………………………………………………… $分
! *", ! *"-
!*"’4 + ’4 %
’* ’*
!*"-
二项展开式的通项为. +)-!’"-3- +*-)-’-3(-!
-4! - ’* -
由-3(-+&%得-+*!
所以%展开式的常数项为**)*+-&! ……………………………………………………… !(分
-
!-!!!$分"
#命题意图$本小题考查导数在几何中的应用%特别是切线方程的求解与函数图象的关系-题
目旨在通过切线与函数图象的对比%培养学生的几何直观与逻辑思维能力-同时%也锻炼了
学生分析图象&推导不等式等数学能力-本题要培养高中数学中的逻辑推理&直观想象和数
学运算等核心素养-本题根据教材选择性必修二第#"页例%改编-
! ! !
#解析$因为(!’"+78’%+!’"+!3 %所以()!’"+ %+)!’"+ !
’ ’ ’*
!
!!"设切点为!’%78’"%则5./+ !’3’"478’%
& & ’ & &
&
!
代入!&%3!"得%3!+ !&3’"478’%解得’+!%
’ & & &
&
高二数学答案 第!!!!$页!共"页"
{#{QQABaYQUogCAAJBAAAgCAQWICkAQkAGAASgOAFAAMAAAAQNABAA=}#}所以5./+’3!!……………………………………………………………………………… $分
!*"当’+!时%()!’"++)!’"+!)当&#’#!时%+)!’"%()!’"%!)当’%!时%&#+)!’"#
()!’"#!!
所以%(!’"%+!’"在!&%46"上都是增函数!在区间!&%!"上%+!’"的图象比(!’"的图象要
+陡峭,)在区间!!%46"上%+!’"的图象比(!’"的图象要+平缓,!
所以%(!’"%+!’"的图象依次是图中的3%3!!只要判断出这个结果就可以了"
* !
根据图象和第!!"的切线%可以写出以下不等式%并给出一个不等式的证明均可!
! !
#78’(!3 )$’3!(78’)%’3!(!3 !’%&")
’ ’
!
下面证明#78’(!3 !
’
! !" ! ! ’3!
设6!’"+78’3 !3 %则6)!’"+ 3 + !’%&"
’ ’ ’* ’*
! ! ’3!
当&#’#!时%6)!’"+ 3 + #&%所以6!’"为减函数%
’ ’* ’*
! ! ’3!
当’%!时%6)!’"+ 3 + %&%所以6!’"为增函数%
’ ’* ’*
!
所以6!’"(6!!"+&%即78’(!3 %命题得证!………………………………………… !$分
’
下面证明$’3!(78’)
7!’"+78’3’4!%
! !3’
7)!’"+ 3!+ %’%&%
’ ’
当&#’#!时%7)!’"%&%所以7!’"为增函数%
当’%!时%7)!’"#&%所以7!’"为减函数%
所以7!’"$7!!"+&%即78’$’3!%命题得证!………………………………………… !$分
!
下面证明%’3!(!3 !’%&"!
’
即证’*3*’4!(&!’%&"%
而’*3*’4!+!’3!"*(&恒成立%
!
所以’3!(!3 !’%&"得证!…………………………………………………………… !$分
’
!1!!!$分"
#命题意图$主要考查学生对统计数据的理解和分析能力%包括数据的整理&表格解读以及概
率计算等!通过本题%旨在培养学生的数据分析&逻辑推理和数学运算等核心素养%提升其解
决实际问题的能力!
高二数学答案 第!!!!-页!共"页"
{#{QQABaYQUogCAAJBAAAgCAQWICkAQkAGAASgOAFAAMAAAAQNABAA=}#}#解析$!!"根据统计表格数据可得列联表如下.
学习竹编
性别 合计
后起之秀 先锋
男 " (! %&
女 !# ** %&
合计 *1 $( #&
零假设为8 .性别与学习竹编情况独立%即性别因素与学习竹编无关)
&
根据列联表的数据计算可得
#&!",**3!#,(!"* *%&
# *+ *1,$(,%&,%& + $( )%.$%*.1&-+’ &.! !
根据小概率值$+&.!的独立性检验%推断8 不成立%
&
即该地区性别因素与学习竹编有关系%此推断犯错误的概率不超过&.!!……………… 1分
!*"易知样本中+爱好者,共!&名%其中-名男生%%名女生%
所以9的所有可能取值为&%!%*%(%
且9服从超几何分布.
)&)( ! )!)* "
"!9+&"+ - %+ %"!9+!"+ - %+ %
)( (& )( (&
!& !&
)*)! !$ )()& *& $
"!9+*"+ - %+ %"!9+("+ - %+ + !
)( (& )( !*& (&
!& !&
故所求分布列为
9 & ! * (
! " !$ $
"
(& (& (& (&
! " !$ $ !#
可得:!9"+&, 4!, 4*, 4(, + +!.#! ……………………………… !$分
(& (& (& (& !&
!#!!!1分"
#命题意图$通过考查学生对概率基础知识的理解和应用%特别是在条件概率和独立事件概率
计算方面的掌握情况%培养学生运用数学知识解决实际问题的能力-本题旨在培养学生的数
学运算&逻辑推理和数据分析核心素养-
#解析$!!"记+输入的数据集质量高,为事件#%+一次数据能被软件准确分析,为事件$%
由题意可知."!# *"+&.!%"!$"#"+&.#%"!$"# *"+&.(%则"!#"+!3"!# *"+&."%
所以"!$"+"!$"# *""!# *"4"!$"#""!#"+&.1$!
所以一次数据能被软件准确分析的概率&.1$!…………………………………………… $分
(
!*"由!!"可知."!$"+&.1$+ %
%
高二数学答案 第!!!!1页!共"页"
{#{QQABaYQUogCAAJBAAAgCAQWICkAQkAGAASgOAFAAMAAAAQNABAA=}#}! (" (,
#依题意%%!$,% %所以%的方差2!%"+ ) …………………………………… "分
% !-
!("#! (",3# !("#!!",3#
$可知"!%+#"+)# !3 +)# %
, % % , % %
!("#!!",31
)#
!("#!!",3# * ,4! % % ,4!
令*+)# %则 ,4!+ + %
, , % % * !("#!!",3# %!,31"
, )#
, % %
,4!
令 %!%解得,$"%可知当,$"%可得* %*)
%!,31" ,4! ,
,4!
令 #!%解得,(!&%可知当,(!&%可得* #*)
%!,31" ,4! ,
于是*#*#*’#* %* %* %’
! * ( !& !! !*
所以当,+!&时%* 最大%即,+!&时%"!%+#"的值最大!…………………………… !1分
,
!"!!!1分"
#命题意图$本小题主要考查应用导数解决函数的单调性&极值判断与求解%以及参数取值范
围的确定!题目涉及导数应用&不等式性质等知识点%考查逻辑推理&数学运算和直观想象等
核心素养!通过本题%旨在提升学生综合应用数学知识解决问题的能力!
#解析$!!"由题知()!’"+5’4*’3!%
即+!’"+5’4*’3!%则+)!’"+5’4*%它为增函数%
当*(&时%+)!’"%&%+!’"在!36%46"为增函数%
当*#&时%函数+)!’"+5’4*的零点’+78!3*"%
所以在区间!36%78!3*""上%+)!’"+5’4*#&%则+!’"为减函数%
在区间!78!3*"%46"上%+)!’"+5’4*%&%则+!’"为增函数!………………………… -分
!*"#()!&"+5&4*,&3!+&%
!&"当*(&时%()!’"+5’4*’3!在区间!&%46"为增函数%
所以()!’"%()!&"+&%(!’"为区间!&%46"的增函数%不符合题意!
!’"当*#&时%()!’"+5’4*’3!在区间!36%78!3*""为减函数%
在区间!78!3*"%46"为增函数%
* ! (
所以()!’" +()!78!3*""+3*4*78!3*"3!+*78!3*"3 3! %
?;8 *
当*+3!时%()!’" +&%此时()!’"(&%(!’"增函数%无极值点%不合题意%舍去!
?;8
当*+3!时%
! ! ! ’4!
令6!’"+78!3’"3 3!!’#&"%6)!’"+ 4 + %
’ ’ ’* ’*
当’#3!时%6)!’"#&%6!’"为减函数%
高二数学答案 第!!!!#页!共"页"
{#{QQABaYQUogCAAJBAAAgCAQWICkAQkAGAASgOAFAAMAAAAQNABAA=}#}当’%3!时%6)!’"%&%6!’"为增函数%
所以6!’"%6!3!"+&%故()!’" +()!78!3*""#&%
?;8
若3!#*#&%则由78!3*"#&且()!’"在区间!78!3*"%46"为增函数得%()!’"在
!&%46"为增函数%
所以()!’"%()!&"+&%
所以()!’"在!&%46"无零点%即(!’"无正数极值点!
若*#3!%则由’,46得()!’",46%
又因为78!3*"%&且()!’" +()!78!3*""#&%
?;8
所以存在’%&%使得()!’"+&%
&
且当&#’#’%()!’"#&%(!’"为减函数%当’%’%()!’"%&%(!’"为增函数%
& &
所以’ 是极小值点%即(!’"存在正数极值点’!
& &
综上所述%*的取值范围是!36%3!"!…………………………………………………… !*分
!35’
&
$由!!"知%()!’"+5’ &4*’3!+&%则*+ %其中’%&%
& & ’ &
&
(!’"3 (3’ &+5’ &4 ! *’*3’4 ’ & 3( +5’ &4 ! ’* !35’ & 3 ’ & 4( +!!3 ! ’"5’ &3 ( %
& * * & & * * & ’ * * & *
&
! ’" ( !!3’"5’
令7!’"+ !3 5’3 !’%&"%7)!’"+ %
* * *
于是&#’#!时%7)!’"%&%7!’"单调递增%
’%!时%7)!’"#&%7!’"单调递减%
故7!’"在’+!处取得最大值%
53(
故7!’"$7!!"+ #&%所以7!’"#&%
* &
(3’
所以%(!’"# &! ……………………………………………………………………… !1分
& *
高二数学答案 第!!!!"页!共"页"
{#{QQABaYQUogCAAJBAAAgCAQWICkAQkAGAASgOAFAAMAAAAQNABAA=}#}
