文档内容
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册综合检测卷（拔尖C卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 ， ，再通过 求 在 上的投影向量即可.
【详解】由题意 ， ，
， ，
在 上的投影向量为
故选：B.
2．如果直线 经过点 ， ，那么直线 的倾斜角的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据两点间斜率公式，可求得斜率的取值范围，即可由倾斜角与斜率关系求得倾斜角的范围.
1【详解】直线 经过点 ， ，
由斜率公式可得 ，
由二次函数性质可知 ，
设倾斜角为 ，即 ，
所以由正切函数图像与性质可知 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了两点间斜率公式，倾斜角与斜率关系，属于基础题.
3．已知长方体 中， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角
坐标系，设 ，求出 的坐标，利用 得 坐标，然后利用 可得 ．
【详解】以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，设 ，
则 ． ，
2，解得 ，
，
，
，解得 ．
故选：C．
4．已知点 在直线 上的射影为点B，则点B到点 距
离的最大值为（ ）．
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】先判断直线l恒过点 ，根据题意知点B在以线段 为直径的圆上，再利用圆的几何性质
求解即可,
【详解】将直线l整理得到 ，
于是 ，解得 ，所以直线l恒过点 ，
因为点 在直线 上的射影为点B，
所以 ，则点B在以线段 为直径的圆上，该圆的圆心坐标为 ，
半径大小为 ，
又 ，
所以点B到点 距离的最大值为 ，
故选：C．
35．已知两条直线 ， ，且 ，当两平行线
距离最大时， （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】求出 恒过的定点 ，故 ， 距离的最大值为 ，所以 ，
求解即得出答案.
【详解】 ，由 ，
解得 ，故 过定点 ．
，由 ，
解得 ，故 过定点 ，
故 ， 距离的最大值为 ．
此时， ，则 ， ，
解得 ，故 ．
故选：C．
6．公元前 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此
著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为
1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点 和 ，且该平面
内的点P满足 ，若点P的轨迹关于直线 对称，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
4【答案】B
【分析】由题意计算得 的轨迹方程为 ，根据对称性可得圆心在直线方程上，即
，从而利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】设点 的坐标为 ，因为 ，则 ，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
因为 点的轨迹关于直线 对称，
所以圆心 在此直线上，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故选：B.
7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于 ， 两点，若
的最大值为10，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆定义得到 ，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，进而可得
，即得．
【详解】∵ ， 为椭圆 的两个焦点，
5∴ ， ，
的周长为 ，
即 ，
若 最小，则 最大．
又当 轴时， 最小，此时 ，
故 ，
解得 ．
故选：C.
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，抛物线 与双曲线
有相同的焦点.设 为抛物线与双曲线 的一个交点，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】设 ， ，根据 和抛物线性质得出 ，再根据双曲线性质得
出 ， ，最后根据余弦定理列方程得出 、 间的关系，从而可得出离心率．
【详解】过 分别向 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为 、 ，不妨设 ， ，
6则 ，
为双曲线上的点，则 ，即 ，得 ， ，
又 ，在 中，由余弦定理可得 ，
整理得 ，即 ， ，解得 或 .
故选：D.
【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中
档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知向量 是平面 的一个法向量，点 在平面 内，则下列点也在平面 内的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，结合数量积的坐标运算验证 ， ， ， 是否与
7垂直即可．
【详解】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，
则 ， ， ， ，又 ，
，故 与 不垂直，故A错误；
，故 与 垂直，故B正确；
，故 与 垂直，故C正确；
，故 与 垂直，故D正确；
故选：BCD.
10．设椭圆 的右焦点为 ，直线 与椭圆交于 两点，则（ ）
A． 为定值
B． 的周长的取值范围是
C．当 时， 为直角三角形
D．当 时， 的面积为
【答案】ACD
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由 为定值以及 的范围判断B；求出
坐标，由数量积公式得出 ，得出 为直角三角形判断C；求出 坐标，由面积公式
得出 的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为 ，则
所以 为定值，A正确；
8的周长为 ，因为 为定值6，
所以 的范围是 ，所以 的周长的范围是 ，B错误；
将 与椭圆方程联立，可解得 ，
又因为 ，∴
所以 为直角三角形，C正确；
将 与椭圆方程联立，解得 ， ，所以 ，D正确.
故选：ACD
11．已知直线 ： 过抛物线 ： （ ）的焦点 ，且与抛物线 交于A， 两
点，过A， 两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为 ， ，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．线段 的长度为
C． D．线段 的中点到 轴的距离为
【答案】BD
【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得 ，即可判断A;联立方程求出A,B坐标，可得 ，判断B；确
定M,N坐标，可计算 ，判断C;求出线段 的中点坐标，即可判断D.
【详解】由题意不妨设点A在点 上方，直线 ： 与x轴交点 ，
又 经过 的焦点，故 ，可得 ，
即抛物线方程为 ： ，A正确．
由 ，可得 ，解得 或 ，
可得 ， ，所以 ，B错误．
9由以上分析可知， ， ， ，
可得 ，
则 ，即 ，C正确．
因为 ， ，故线段 的中点为 ，
则线段 的中点到 轴的距离为 ，D错误，
故选：BD．
12．已知圆 上的三个点分别为 ， ， ，直线 的方程为 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．圆 的方程为
B．过 作直线 与线段 相交，则直线 的斜率的取值范围为
C．若直线 被圆 截得的弦长为2，则 的方程为 或
D．当点 到直线 的距离最大时，过 上的点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则四边形
面积的最小值为
【答案】CD
10【分析】设圆 的方程为 ，列出方程组，求得 的值，可判断A错误；连接
， ，求得 和 ，得到 的斜率的取值范围，可判定B错误；由直线 被圆 截得的弦
长为2，得到圆心 到直线 的距离 ，求得 的值，可判定C正确；求得 ，
进而得到四边形 面积的最小值，可判定D正确.
【详解】设圆 的方程为 ，则 ，
解得 ，所以圆 的方程为 ，故A错误；
连接 ， ，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，可得过点 的直线
与线段 相交时， 的斜率的取值范围为 ，故B错误；
由圆 的标准方程为 ，
因为直线 被圆 截得的弦长为2，所以圆心 到直线 的距离 ，
则 ，解得 或 ，
故直线 的方程为 或 ，故C正确；
由直线 过定点 ，连接 ， ，当 时，点 到直线 的距离最大，
，
当 最小时，四边形 的面积最小，
11又由 ，所以四边形 面积的最小值为 ，故D正确.
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知A，B两点都在直线 上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为 ，则A，B两点间的
距离为 .
【答案】
【分析】设 ，则 ，然后利用两点间的距离公式求解即可
【详解】设点 ，则 ，
所以 ，
故答案为：
14．在三棱锥PABC中， 和 均为等边三角形，且二面角 的大小为120°，则异面直线
PB和AC所成角的余弦值为 ．
【答案】 /0.625
【分析】取BC的中点O，连接OP, OA，由题意可得AO⊥BC,PO⊥BC，从而得PAO⊥平面ABC，∠POA＝
120°，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】解：如图，
12取BC的中点O，连接OP, OA，
因为 和 均为等边三角形，
所以AO⊥BC,PO⊥BC， ,
所以BC⊥平面PAO， 平面ABC,
所以平面PAO⊥平面ABC，
且∠POA的大小就是二面角P-BC-A的大小，即∠POA＝120°，
建立空间直角坐标系如图所示，
设 ，
则点 ， ，B(0,1,0)， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为 .
故答案为：
15．已知双曲线 的中心为原点，焦点在 轴上，焦距为8，且 的离心率与它的一条渐近线的斜率之比
恰好为2，则 的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据题意及双曲线的性质列出关于a，b，c的方程求解即可.
【详解】设 的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a，b，c，
由已知得 ，即 ，又焦距为8，
所以 ， ， ，
所以 的标准方程为 ．
故答案为： ．
16．椭圆 上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF＝ ，
13， ，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|
AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用a和c分别表示出|AF|和|BF|
代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出 即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴ =
即e= =
∵a∈[ ， ]，∴ ≤α+ ≤
∴ ≤sin（α+ ）≤1 ∴ ≤e≤
故答案为：[ ， ]
【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的灵活运用，
要特别利用好椭圆的定义，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1417．已知空间三点 ， ， ，设 ， ．
(1)设 ， ，求 ；
(2)求 与 的夹角；
(3)若 与 互相垂直，求k．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或
【分析】（1）由空间向量平行，得出 ，设 ，再利用 列方程，进而求得 ；
（2）先求得 ， ，再利用公式即可求得 的值，根据反三角函数即可求得向
量夹角；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于 的方程，解之即可求得 的值．
【详解】（1）由题可知， ，
由 ，得 ，设 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 或 ．
（2）因为 、 、 ， ， ，
所以 ， ，
15则 ，
所以 与 的夹角为 ．
（3）因为 ， ，
又 与 垂直，
所以 ，
解得 或 ．
18．已知圆 ，过点 作直线 交圆 于 、 两点．
（1）当 经过圆心 时，求直线 的方程；
（2）当直线 的倾斜角为 时，求弦 的长；
（3）求直线 被圆 截得的弦长 时，求以线段 为直径的圆的方程．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当直线l的倾
斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦
AB的长；（3）利用垂径公式，明确 是 的中点，进而得到以线段 为直径的圆的方程．
【详解】（ ）圆 的方程可化为 ，圆心为 ，半径为 ．
当直线 过圆心 ， 时， ，
∴直线 的方程为 ，即 ．
（ ）因为直线 的倾斜角为 且过 ，所以直线 的方程为 ，即 ．
圆心 到直线 的距离 ，
16∴弦 ．
（ ）由于 ，而弦心距 ，
∴ ，∴ 是 的中点．
故以线段 为直径的圆圆心是 ，半径为 ．
故以线段 为直径的圆的方程为 ．
19．已知直线 是抛物线 的准线， 是坐标原点， 是 上一点，过 作
，垂足为 ，已知 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过 的焦点 ，且与 交于 两点，若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把 用坐标表示出来，再把点 坐标代入抛物线方程，联立解得 和 ，得抛物线
方程；
（2）由垂直求得直线 的方程，设 ，直线 方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理
得 ，由此求得弦长 ，由点到直线距离公式求得三角形的高，从而可得面积．
【详解】（1）由题可知准线 的方程为 .
因为 ，所以 .
17又 ，所以 ，
故 的方程为 .
（2）由（1）可知 .
因为 ，所以直线 的方程为 ，设 ，
联立方程组 整理得 ，
则 ，故 .
点 到直线 的距离 ，
则 的面积 .
20．如图，四棱锥 的底面为正方形， ， 平面 ， 分别是线段
的中点， 是线段 上的一点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，且 点不是线段 的中点，求三棱锥 体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
18【分析】（1）由线面垂直判定可证得 平面 ，由中位线性质知 ，从而得到 平面
，由面面垂直判定可得结论；
（2）以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设 ， ，由线面角的向量求法可
构造方程求得 ，结合垂直关系可得 平面 的距离为 ，利用棱锥体积公式可求得结果.
【详解】（1）连接 ，
分别是线段 的中点， ，
底面四边形 为正方形， ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 .
（2）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设 ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
设直线 与平面 所成角为 ，
，
解得： 或 （舍）， ，
平面 ， 平面 ， ；
， ， 平面 ， 平面 ，
19到平面 的距离为 ，
.
21．已知椭圆 （ ）的两焦点为 和 ，过 的直线与椭圆C交于A，
B两点，且 的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若 的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）由椭圆的定义可知 的周长为 ,由此即可求出 ，再结合 ，即可求出答案.
（2）设出直线，联立直线与椭圆，消 ，利用韦达定理即可表示出 、 .利用
即可列出方程,即可求出答案.
【详解】（1）∵ 的周长为8，
∴ ，即 ，
又 ，且 ，
20∴ ， .
∴椭圆C的方程为 .
（2）依题意可设直线 的方程为： ，
联立 消去x得 .
设 ， ，则 ， .
∴ .
∴ ，解得 .
∴直线 的方程为： 或
22．已知双曲线 与圆 相切，过 的一个焦点且斜率为 的直线也
与圆 相切．
(1)求双曲线 的方程；
(2) 是圆O上在第一象限的点，过 且与圆 相切的直线l与 的右支交于A、B两点， 的面积为
，求直线l的方程．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】(1)通过几何关系可求得 ，从而求得双曲线方程；
(2)设出直线l，利用圆心到直线的距离等于半径建立等式，再联立直线和双曲线，得到韦达定理，再利用
面积等于 建立等式，从而求得直线方程.
21【详解】(1)∵双曲线 与圆 相切，∴ ，
过C的一个焦点且斜率为 的直线也与圆O相切，则 ，
∴ ，
故双曲线 的方程为 ；
(2)设直线l： ， ， ，
圆心 到直线l的距离 ，由 得 ，
由 得， ，
则 ， ，
＝
＝ ＝ ，
又 的面积 ，∴ ，
由 ， 解得k＝－1， ，
∴直线l的方程为 .
22
