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专题08 等式与不等式
题型一：解分式不等式
题型二：解含绝对值的不等式
题型三：解一元二次不等式（含参）
题型四：基本不等式常用技巧（直接法）
题型五：基本不等式常用技巧（凑配法）
题型六：基本不等式常用技巧（分离法）
题型七：基本不等式常用技巧（换元法）
题型八：基本不等式常用技巧（“1”的代换法）
题型九：基本不等式常用技巧（消元法）
题型十：一元二次方程根与系数关系的应用
题型十一：一元二次方程实根分布问题
题型十二：恒成立问题
题型一：解分式不等式
1．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】
即为
即
，故
，
故解集为
.
故选：C.
2．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把给定不等式进行等价转换，解等价不等式即可.
【详解】由题知：
，则
.
等价于
，
解得
，
故选：B.
3．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，即可求解.
【详解】由
，得到
，整理得到
，
等价于
且
，解得
，
故选：C.
4．不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】转化为一元二次不等式
，解出即可.
【详解】原不等式转化为
，解得
，
则其解集为
.
故答案为：
.
5．不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合分式不等式的解法，即可求解．
【详解】
，即
，
解得：
或
，
故不等式的解集为：
，
故答案为：
．
6．不等式
的解集是 .
【答案】
【分析】移项得
，然后转化为
且
，利用一元二次不等式求解即可.
【详解】由
移项通分得：
，则
且
，
从而解得：
或
，即不等式
的解集为
.
故答案为：
7．已知
，则关于
的不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据分式不等式解法计算即可.
【详解】因为
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
题型二：解含绝对值的不等式
8．下列不等式中，与
的解集相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据绝对值不等式、分式不等式及一元二次不等式解法求解判断即可.
【详解】由
，则
，解得
.
对于A，由
，则
，解得
；
对于B，由
，则
，解得
；
对于C，由
，则
，解得
或
；
对于D，由
，则
，解得
.
故选：A.
9．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】变形不等式，利用平方法去绝对值符号，再利用因式分解法求解.
【详解】不等式
，
而
，解得
或
，
所以原不等式的解集为
或
.
故选：B
10．不等式
的最小整数解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解不等式
，可得出满足此不等式的
的最小整数值.
【详解】当
时，则
，可得
，此时，
；
当
时，则
恒成立，此时，
；
当
时，则
，解得
，此时，
.
综上所述，不等式
的解集为
，
则满足原不等式的最小整数解为
，
故选：C.
11．若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数
的取值范围为
【答案】
【分析】根据集合之间的包含关系和充分必要条件的对应关系，列出不等式组，求出参数范围.
【详解】不等式
的解为
；
不等式
的解为
；
若“
”是“
”的充分不必要条件，有
，可得
．
经验证，符合题意，
故答案为：
.
12．不等式
的解集为 .
【答案】
或
【详解】①当
时，得
，则有
，解得
；②当
时，得
.因为
，所以
，且
，所以
恒
成立.综上所述，原不等式的解集为
或
.
13．若“
”是“
”的充分非必要条件，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解不等式得到
，
，则
或
，得到
，解得答案.
【详解】
，
当
时，
，解得
，故
；
当
时，
，不成立；
当
时，
，解得
，故
；
综上所述：
，
，则
或
，
由题意可得：
，解得
，即
.
故答案为：
.
14．设
，则不等式
的等号成立时x 的取值范围为
【答案】
【分析】根据x 的范围分类讨论，去掉绝对值求解即可.
【详解】
，
所以
的等号成立时，
即
或
或
，
解得：
，
故答案为：
题型三：解一元二次不等式（含参）
15．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】由题可得不等式解集.
【详解】
或
，则得
或
.
则解集为
或
.
故选：B
16．不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】先对不等式因式分解，再根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由
，得
，
解得
或
，则不等式
的解集为
或
.
故选：B.
17．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．{
或
}
D．
或
【答案】A
【分析】由一元二次不等式的解法求解.
【详解】由
可得
，
所以不等式的解集为
，
故选：A
18．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】将不等式化为
，应用一元二次不等式、绝对值不等式解法求解集.
【详解】不等式可化为
，即
，解得
．
故选：B
19．使不等式
成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】解不等式，再利用充分不必要条件判断得解.
【详解】不等式
，即
，解得
或
，
对于A，
不能推出
或
，A 不是；
对于B，
不能推出
或
，B 不是；
对于C，
能推出
或
，反之，
或
不能推出
，C 是；
对于D，
或
是不等式
成立的充要条件，D 不是.
故选：C
20．一元二次不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】不等式
化为
，
即
，解得
，
所以原不等式的解集为
，
故选：A
题型四：基本不等式常用技巧（直接法）
21．若“
”是真命题，则实数m 的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】由题意有
，利用均值不等式即可求解.
【详解】由题意有
，由
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
，
即实数m 的最小值为
，
故选：B.
22．
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式，可得答案.
【详解】由题意得
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最小值为
．
故选：D.
23．已知
，且
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】由基本不等式求最值即可.
【详解】因为
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
故选：D
24．已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
【答案】A
【分析】根据基本不等式，可得答案.
【详解】由于
，则
，
故
，
当且仅当
，即
时取等号，
即
的最小值为
.
故选：A.
25．已知
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用重要不等式，注意等号成立条件，可得答案.
【详解】由题意可得
，当且仅当
时，等号成立，则
.
故答案为：
.
题型五：基本不等式常用技巧（凑配法）
26．已知
，求
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
因此
取到最大值
．
故选：B.
27．已知
，则
的最小值为（ ）
A．25
B．6
C．10
D．5
【答案】D
【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值.
【详解】由题意得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
故
的最小值为5．
故选：D
28．已知函数
，则当
时，
取最小值为 .
【答案】 4 5
【详解】因为
，所以
，所以
，当且仅当
，即
，
时，等号成立.
29．已知
，则
的最小值为 ．
【答案】3
【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可.
【详解】由于
，所以
，故
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故答案为：3
30．（1）已知
，求
取得最大值时x 的值；
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
题型六：基本不等式常用技巧（分离法）
31．设
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
变形后，利用基本不等式求解.
【详解】
，则
，
，
当且仅当
时，等号成立，则
.
故选：D.
32．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AC
【分析】凑“积”为定值后利用基本不等式判断A；分
和
两种情况结合基本不等式可判断B；作
差后转化为完全平方式可判断C；根据
得到
，再根据基本不等式判断D.
【详解】对于A，因为
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，故A 正确；
对于B，当
时，
，
当且仅当
，即
时等号成立；
当
时，
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，
则
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，故D 错误.
故选：AC.
33．函数
的值域是 ．
【答案】
【分析】分
三种情况讨论，运用基本不等式求值域.
【详解】当
时，
当
，
.
若
时，
，当且仅当
，即
时等号成立，此时
，即
.
若
时，
，当且仅当
，即
时等号成立，此
时
，即
.
综上所述，函数的值域为
.
故答案为：
34．（1）已知
，求
的最小值；
【答案】（1）
；（2）.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
；
5．当
时，求函数
的最小值.
【答案】
【分析】将函数变形成
，再利用重要不等式即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以函数
的最小值为
.
题型七：基本不等式常用技巧（换元法）
35．已知
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求最值.
【详解】对于A：由
，得
，当且仅当
时，等号成立，
，解得
，即
，故A 不正确；
对于B：由
，得
，当且仅当
时，等号成立，
即
，解得
，或
（舍去），故B 错误；
对于C：
，
令
，
，即
，故C 正确；
对于D，
，令
，
，即
，故D 不正
确，
故选：C．
36．（多选）已知
、
均为正实数，且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】ACD
【分析】对A，利用基本不等式即可解得；
对B，将2 换成
，进而利用基本不等式得到答案；
对C，将原式化简为
，进而根据
代换，然后得到答案；
对D，将原式变化为
，进而化简，然后设
,
，而后用
进行
代换，最后用基本不等式得到答案.
【详解】对于A 选项，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，
的最大值为
，A 对；
对于B 选项，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，
的最小值为
，B 错；
对于C 选项，
，
当且仅当
时，即当
或
时，等号成立，
所以，
的最小值为
，C 对；
对于D 选项，
，
设
，
，可得
，
则上式
，
当且仅当
时，即当
时，即当
时，等号成立，
所以，
的最小值为
，D 对.
故选：ACD.
37．若实数
，
满足
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】已知条件可化为
，故可设
，从而目标代数式可化为
，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由
，得
，
设
，其中
，则
，
从而
，
故
记
，则
，
要求最大值，则只需考虑
，则
,
当且仅当
，即
时取等号，即最大值为
.
故答案为：
.
38．已知
，
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可.
【详解】由
可得：
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
则
，
因为
，所以由基本不等式得：
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
.
故答案为：
.
39．设x、y 为实数，若
，则
的最大值是 ．
【答案】
/
【分析】方法一：消元法.令
，则
，代入
，整理得
，
转化为关于
的一元二次方程有解即可求解.
方法二：基本不等式法.关键是将式子
变形为
，再利用基本不等式求解即
可.
【详解】方法一：令
，则
，代入
，整理得
，其
，
解得
，当
时，
.
故
的最大值是
．
方法二：由
，即
，
当
时，
.
故
的最大值是
．
故答案为：
题型八：基本不等式常用技巧（“1”的代换法）
40．已知
为正数，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
【答案】C
【分析】
，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可.
【详解】因为
为正数，
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故选：C
41．已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解.
【详解】由题意得
，
当且仅当
时，即
时，
取得最小值9．
故选：D.
42．已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．12
C．
D．27
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由
，
，得
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值是
.
故选：C
43．已知
，
，则
的最小值是 .
【答案】9
【分析】先求出
的最小值，再将
化为
，即可求得答案.
【详解】因为
，
，
故
，
当且仅当
，结合
，即
时等号成立，
所以
，即
的最小值为，
故答案为：.
44．已知
，且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】由基本不等式的常数代换，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，且
，所以
，
所以
．
当且仅当
时，即
，即
时，取等号．
故答案为：
45．已知正实数x，y 满足
，求
的最小值．
【答案】
【分析】利用不等式中“1”的妙用，即可求得结果.
【详解】
，
当且仅当
，即
，
时取等号．
故
的最小值为
.
题型九：基本不等式常用技巧（消元法）
46．已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】变形得到
，根据
为正数，得到不等式，求出
，并且
，
换元后得到
，由基本不等式求出最小值，得到答案.
【详解】正数
满足
，
故
，
由于
，故
，即
，等价于
，
解得
，
，
令
，则
，
则
，
当且仅当
，即
时，即
，等号成立.
故选：C
47．已知
为正数，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
【答案】C
【分析】
，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可.
【详解】因为
为正数，
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故选：C
48．已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解.
【详解】由题意得
，
当且仅当
时，即
时，
取得最小值9．
故选：D.
49．已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．12
C．
D．27
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由
，
，得
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值是
.
故选：C
50．已知
，
，则
的最小值是 .
【答案】9
【分析】先求出
的最小值，再将
化为
，即可求得答案.
【详解】因为
，
，
故
，
当且仅当
，结合
，即
时等号成立，
所以
，即
的最小值为，
故答案为：.
51．已知
，且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】由基本不等式的常数代换，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，且
，所以
，
所以
．
当且仅当
时，即
，即
时，取等号．
故答案为：
52．已知正实数x，y 满足
，求
的最小值．
【答案】
【分析】利用不等式中“1”的妙用，即可求得结果.
【详解】
，
当且仅当
，即
，
时取等号．
故
的最小值为
.
题型十：一元二次方程根与系数关系的应用
53．若关于
的方程
的两个实数根的平方和等于11，则
等于（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设方程
的两个实数根为
，结合根的判别式和韦达定理求解即可.
【详解】设方程
的两个实数根为
，
则
，即
，
且
，
由题意，得
，
则
，解得
（舍去）或
.
故选：C.
54．已知方程
的两根为
，且满足
，则实数
（ ）
A．4
B．1
C．-1
D．-5
【答案】C
【分析】由题意得
，解得
或
，再由根与系数的关系可得
，结合题
意利用完全平方公式列出方程即可求解.
【详解】由方程
的两根为
，得
，
即
，解得
或
；
由根与系数的关系可得
，
所以
，
整理可得
，解得
或
（舍）.
故选：C．
55．已知关于
的方程
的两个根分别是
、
，若
，则实数
的值为 ．
【答案】
或
【分析】根据韦达定理即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得
，
当
时，则
、
均是实数，
又因为
，则
，
即
，解得
，符合题意；
当
时，
、
均为虚数，
又
，则
，即
，
解得
，符合题意；
则实数的值为
或
.
故答案为：
或
.
56．已知方程
的两个根
满足
，则m 的值是 .
【答案】5
【分析】利用根与系数的关系可得
，结合已知可得
，求解即可.
【详解】因为
的两根为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，解得
，检验可得
，
所以
.
故答案为：.
57．设
是关于
的方程
的实数根，若
，则
.
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列方程，即可求解
的值.
【详解】由
，得
，
又
是关于
的方程
的实数根，
所以由根与系数的关系可得
，
，
从而
，解得
.
故答案为：.
58．已知
，关于
的方程
的两个实数根为
，且
，则
.
【答案】
【分析】根据韦达定理即可求解.
【详解】由题意，
，
且
，即
，
因为
，
则
，解得
，即
，
所以
.
故答案为：30.
59．已知方程
的两个根为
，
，则
．
【答案】3
【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解
【详解】因为方程
的两个根为
，
，
所以
，
则
．
故答案为：3
题型十一：一元二次方程实根分布问题
60．已知关于
的方程
两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解法及韦达定理，列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由题可得
，
解得
.
故选：B.
61．关于
的方程
有两个根，其中一个大于1，另一个小于1 时，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】根据方程根的个数以及根的分布情况解不等式即可求得结果.
【详解】根据方程
有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，
可知
，解得
.
故选：A
62．已知方程
有一正根一负根，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据两根之积小于0 列不等式，求解可得结果.
【详解】设方程的两根为
，由韦达定理得
.
∵方程有一正根一负根，
∴
，即
，解得
，
∴实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
63．“一元二次方程
有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条
件的是 ；
【答案】
（答案不唯一，
即可）
【分析】根据题意分析可得
，结合充分、必要条件可得结果.
【详解】由
解得
或
，
若一元二次方程
有一个正实数根和一个负实数根，
则
，解得
，
所以“一元二次方程
有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条
件的是
.
故答案为：
（答案不唯一，
即可）.
64．已知方程
的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数
的取值范围
.
【答案】
【分析】设
，结合题意，得到
，即可求解.
【详解】设
，
因为方程
的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足
，解得
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
题型十二：恒成立问题
65．若不等式
的解集为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分
和
，结合二次不等式解集的形式求参数
的取值范围.
【详解】若
，则原不等式可化为
，在
上恒成立；
若
，因为不等式
的解集为
，
所以
.
综上可得：
.
故选：B
66．若不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．9
【答案】D
【分析】化简可得
恒成立，再根据基本不等式求解
的最小值即可.
【详解】由题意
恒成立，即
恒成立.
又
，当且仅当
时取等号.
故实数
的最大值为9.
故选：D
67．若
，
，且
，
恒成立，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】A
【分析】将代数式
与
相乘，展开后利用基本不等式可求得
的最小值，可得出关于实数
的不等式，解之即可.
【详解】因为
，
，且
，
则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
的最小值为，
因为
恒成立，则
，
即
，解得
.
故选：A.
68．已知关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解集列不等式即可求解.
【详解】因为关于
的不等式
的解集为
，所以
，
解得
，即实数
的取值范围是
．
故答案为：
.
69．若不等式
对任意
都成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先将原不等式变形，然后分
和
两种情况进行讨论，当
时直接判断不等式是否恒
成立，当
时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出
的取值范围.
【详解】原不等式等价于
，
当
时，对
，不等式恒成立；
当
时，则有
，解得：
综上所述，实数
的取值范围是
故答案为：
.
70．若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为不等式
恒成立，则
,
因为
,所以
，当且仅当
取等号，
所以
.
故答案为：
.
71．若对任意
，
恒成立，求
的取值范围．
【答案】
【分析】根据题意得
，再利用基本不等式即可求得其最大值，进而即可求得
的取值
范围．
【详解】由
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
，
故
的取值范围为
．
