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专题08 直线与圆的位置关系
题型一：判断直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数
题型三：直线与圆相交问题
题型四：求切线方程
题型五：切线长（切点弦）问题
题型六：已知切线求参数
题型七：圆的弦长与中点弦问题
题型八：已知圆的弦长求方程或参数
题型九：圆内接三角形面积
题型十：直线与圆的实际应用
题型十一：直线与圆中的定点定值问题
题型十二：根据直线与圆位置关系求距离最值
题型十三：直线与圆综合问题
题型一：判断直线与圆的位置关系
1．已知圆
，直线
，则直线与圆
的公共点个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．与
有关，不能确定
【答案】C
【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数.
【详解】由直线
恒过定点
，而
，
所以点
在圆
内，故直线恒与圆
相交，故有两个交点，
故选：C
2．已知圆
：
，将直线：
绕原点按顺时针方向旋转
后得到直线
，则
（ ）
A．直线
过圆心
B．直线
与圆
相交，但不过圆心
C．直线
与圆
相切
D．直线
与圆
无公共点
【答案】B
【分析】首先得到直线的倾斜角，即可得到直线
的倾斜角，从而求出直线
的方程，再求出圆心到直线
的距离，即可判断.
【详解】直线：
即
，斜率为
，倾斜角为
，
将直线绕原点顺时针方向旋转
得到直线
，则直线
的倾斜角为
，
所以直线
的方程为
，即
，
圆
：
的圆心坐标为
，半径
，
圆心到直线
的距离
，
直线
与圆
相交但不过圆心.
故选：B.
3．已知直线
与圆
，点
，则下列说法正确的是（ ）
A．点
在圆
上，直线与圆
相切
B．点
在圆
内，直线与圆
相离
C．点
在圆
外，直线与圆
相切
D．点
在圆
上，直线与圆
相交
【答案】A
【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】圆心为
，半径为
，
圆心
到直线的距离为
，所以直线与圆
相切，
因为
，故点
在圆
上.
故选：A.
4．已知圆
的圆心在抛物线
上，且圆
过定点
，则圆
与直线
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相离
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
根据抛物线的定义可知，
到焦点的距离等于到准线的距离，
所以圆
与直线
相切，
又因为抛物线
的图象在
轴的右侧，
所以圆
与直线
相交.
故选：A.
5．直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．都有可能
【答案】C
【分析】将圆的方程化为标准方程可得圆心坐标为
，圆的半径为
.直线
恒
过定点
，根据定点
在圆内，可知直线与圆相交.
【详解】将圆的方程化为标准方程为
，所以圆心坐标为
，圆的半径为
.
直线
可化为
，恒过定点
.
∵
，∴点
在圆内，所以直线与圆相交.
故选：C.
题型二：由直线与圆的位置关系求参数
6．若直线
与圆
相离，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解.
【详解】圆C 的圆心为
，半径
，
到直线
的距离
，解得
，
又
，所以
.
故选：B.
7．若直线
与圆
相切，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】由题意得圆的圆心为
，半径为
，
，根据直线与圆相切即可列方程求解.
【详解】圆
即圆
，所以
，
且圆的圆心为
，半径为
，
若直线
与圆
相切，则
，解得
.
故选：A.
8．“
”是“直线
与圆
相交”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据直线与圆的位置关系求出a 的取值范围，再集合的包含关系得条件关系..
【详解】由题知，圆的圆心为
，半径为1，
设圆心到直线
的距离为
则
，解得：
.
而
为
的真子集，
故“
”是“
”的必要不充分条件，
即“
”是“直线
与圆
相交”的必要不充分条件，
故选：B
9．若直线
与曲线
有两个交点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】把斜率为1 的直线平行移动与曲线
表示的图形有两公共点，根据图象即可求解．
【详解】由题意，曲线
表示的曲线为圆心在原点，
半径为1 的圆在
轴以及
轴上方的部分．
在同一坐标系中，作出斜率为1 的直线，在直线平移的过程中可发现，
直线过
时先与半圆形有2 个交点，此时
.
再将直线向上平移一直到最后与半圆相切，此时
，且
,
即
，
所以满足条件的
的取值范围
.
故选：D.
10．已知直线l：
，圆C：
，则“
”是“直线l 与圆C 相切”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线l 与圆C 相切，可得
，利用包含关系分析充分、必要条件.
【详解】圆C：
的圆心为
，半径
，
若直线l 与圆C 相切，则
，解得
，
显然
是
的真子集，所以“
”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件.
故选：A.
11．点
在圆
上运动，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，将目标转化为直线与圆存在交点的问题，利用
即可.
【详解】设
，则
，
因点
在圆
上运动，且在直线
上，
则直线
与圆
有交点，
则圆心
到直线
的距离
，得
或
，
故
的取值范围是
.
故选：D
题型三：直线与圆相交问题
12．直线
与圆
交于M、N 两点，O 为坐标原点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出
，根据向量数量积可求答案.
【详解】联立
,得
，
则
，即
，所以
，
设
，则：
，
，
故选：C
13．已知直线
与圆
交于
，
两点，
为坐标原点，则
，
.
【答案】
【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理、勾股定理求出弦长，设
，
，联立直线与圆的方程，列出韦达定理，利用数量积的坐标表示计算可得.
【详解】圆
的圆心为
，半径
，
圆心到直线
的距离
，
所以
，
设
，
，
由
，消去
整理得
，则
，
，
又
，
，
所以
.
故答案为：
；
14．已知圆
，过点
的直线与
交于点
，
，且
.
(1)求的方程；
(2)设
为坐标原点，求
.
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据圆的弦长公式即可结合点到直线的距离公式求解，
（2）联立直线与圆的方程得韦达定理，即可根据向量数量积的坐标运算求解.
【详解】（1）将
化为标准方程，得
，
则
的圆心为
，半径
.
当直线的斜率不存在时，的方程为
.
此时圆心
到的距离
，不符合题意.
故直线的斜率存在，设的方程为
，
即
.
圆心
到的距离
.
由垂径定理可得
，即
，解得
.
故直线的方程为
.
（2）联立
整理得
.
设
，则
.
.
故
.
15．已知直线
与圆
相交，若
为直线与圆交点坐
标，求k．
【答案】1
【分析】联立直线与圆的方程得
，应用判别式求k 范围，由韦达定理及已知等量
关系列方程求k 值.
【详解】由
过定点
，代入圆有
，定点在圆外，
将直线代入圆并整理得：
，
则
，即
，
(x1,y1)、(x2,y2)为直线与圆的交点坐标，
所以
，而
，
由
，则
，
综上，
.
16．已知圆
关于直线
对称，且经过点
和
.
(1)求圆
的标准方程；
(2)求过点
且与圆
相切的直线方程；
(3)过点
的直线与圆
交于
两点，若
（
为坐标原点），求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）圆心
在直线
上，且在
的垂直平分线上，联立两直线方程求得圆心
，半径
，即可得圆
的标准方程；
（2）由题意点
在圆
上，求出
，则得切线斜率，由点斜式方程求出切线方程；
（3）由题意可知直线的斜率一定存在，故可设直线
，与圆
的方程联立，根据韦达定理，结
合数量积的运算求出
即可.
【详解】（1）因为圆
关于直线
对称，所以圆心
在直线
上，
因为圆
经过点
，所以圆心
在
的垂直平分线上，
因为
，
中点为
，
所以
的垂直平分线方程为
，即
，
则
，所以圆心为
，
半径
，所以圆
的标准方程为
.
（2）因为
，所以点
在圆
上，
又
，则切线斜率为
，
所以切线方程为
，即为
，
所以过点
且与圆
相切的直线方程为
.
（3）由题意可知直线的斜率一定存在，故可设直线
，
设
，
则
，
则
，
故
，
，
因为
，
则
，解得
或
（舍去），
所以直线的方程为
.
题型四：求切线方程
17．过点
作圆
的切线，则切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由圆E 的方程可得圆心E 的坐标，将P 点的坐标代入圆的方程，可得P 点在圆上，求出直线PE
的斜率，得到过P 点的切线的斜率，再求出过P 点的切线方程.
【详解】由圆
的方程，可得圆心坐标为
，
将
的坐标代入圆的方程，得
，则
点在圆上，
又
，所以过点
与圆相切的直线的斜率为1，
所以过点
的切线方程为
，即
.
故选：D.
18．已知圆
，点
，则经过点
且与圆
相切的直线方程为 .
【答案】
【分析】将点
坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直
线方程.
【详解】
，即
，
，
∵
，即点
在圆
上，
设切线为，则
，
，
∴
，
∴切线
，即
.
故答案为：
.
19．过点
作圆
的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可）
【答案】
或
（写出一条即可）
【分析】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】由
可知：直线一定有斜率，
故设：
，
则
，化简可得
，故
或
，
当
时，切线方程为
，当
时，切线方程为
，
故切线方程为：
或
，
故答案为：
或
，
20．（1）求经过圆
上点
的圆的切线方程；
（2）求经过点
且与圆
相切的直线的方程．
【答案】（1）
；（2）
或
．
【分析】（1）分直线的斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解.
（2）当所求直线的斜率不存在，易得直线方程为
；当所求直线的斜率存在，设直线方程为
，根据题意可得圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案.
【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为：
，与圆相交；
当直线的斜率存在时，设直线方程为：
，即
，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
，
即
，解得
，
所以直线方程为
，即
.
（2）由题意知，圆
的圆心为
，半径为2，
若所求直线的斜率不存在，
由直线过点
，得所求直线方程为
，
此时圆心
到直线
的距离为2，直线与圆相切，符合题意；
若所求直线的斜率存在，设直线方程为：
即
，
则圆心
到直线
的距离为
，解得
，
此时所求直线方程为
，
综上，所求直线的方程为
或
.
21．已知直线
与圆
交于
，
两点，且
.
(1)求
的值；
(2)求过点
的
的切线方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据
求出
；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为
，利用圆心
到直线的距离等于半径得到方程，解得即可.
【详解】（1）圆
即
，
圆心为
，半径
，
则圆心到直线
的距离
，
又
，所以
，即
，解得
；
（2）由（1）可得
，则
，即点
在圆
外，
当过点
的直线斜率不存在时，直线方程为
，符合题意；
当过点
的直线斜率存在时，设直线方程为
，即
，
所以
，解得
，
所以切线方程为
，即
，
综上可得，过点
的圆的切线方程为
或
.
22．已知圆
的圆心在直线
上，且直线
被圆
截得的弦长
为
.
(1)求圆
的方程；
(2)过点
作圆
的切线，求切线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果；
（2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果.
【详解】（1）圆
的圆心为
，
由圆心在直线
上可得
，即圆心
；
易知圆心到直线
的距离为
，
由弦长公式可得
，解得
；
所以圆
的方程为
；
（2）当切线斜率不存在时，过点
的直线方程为
，
显然
到
的距离等于3，符合题意；
当切线斜率存在时，可设过点
的直线方程为
，
则圆心
到
的距离为
，解得
；
此时切线方程为
，即
；
综上可知，切线的方程为
或
.
题型五：切线长（切点弦）问题
23．已知圆
，圆
，点P 在圆N 上运动，直线
与圆M 相切于点
A，则
的最大长度为（ ）
A．8
B．7
C．
D．
【答案】C
【分析】利用圆的切线长公式以及点到圆的距离的位置关系求解.
【详解】由题，圆
，圆
，
所以圆
的圆心为
，半径为
，
圆
的圆心为
，半径为
，
作图如下，
因为
,
由几何性质可知，当
的坐标为
时，
有最大值为
，
此时
最大，最大值为
，
故选:C.
24．一条光线从点
射出，经
轴反射后与圆
相切于点
，则光线从
点到
点所经过的路程的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】设点
关于x 轴的对称点为
，然后利用圆的性质可求
即可.
【详解】∵圆
，
∴圆心
，半径为1，
设点
关于x 轴的对称点为
，则
，
∴
，
所以光线从P 点到Q 点所经过的路程的长度为
.
故选：B.
25．过坐标原点
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】
根据题意可得
为等边三角形，可得结果.
【详解】圆
化为标准方程为
，
其圆心为
，半径为1，
由题意知，
,
,
,
,
所以
,所以
.
所以
,且
,
所以
为等边三角形，
所以
.
故选:C．
26．过点
向圆
作切线，切点为
，则
.
【答案】
【分析】根据圆切线的性质求切线长即可.
【详解】由圆
，圆心坐标为
，半径为2，
因为过点
向圆
作切线，切点为
，且
，
所以
.
故答案为：
27．过圆O:
外一点
作圆O 的切线，切点分别为A、B，则
.
【答案】
【分析】根据题意，由切线长公式可得
，则点A、B 在以
为圆心，半径为
的圆
上，求出该圆方程，与圆
的方程联立可得直线
的方程，结合直线与圆的位置关系可得答案.
【详解】根据题意，圆O:
的圆心为
，半径
，
若
，则
，
圆O:
外一点
做圆O 的切线，切点分别为A、B，
则
，
故点A、B 在以
为圆心，半径为
的圆上，
该圆的方程为
，
联立两个圆的方程：
，
两式作差可得
，则直线
的方程为
，
圆O 的圆心O 到直线
的距离
，
则
.
故答案为：
题型六：已知切线求参数
28．过点
可以作圆
的两条切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】由圆的一般式方程知：
，
所以，
，即
，解得
或
，
又知过点
可作两条切线，得点
在圆外，
即
，即
，综上可知：
.
故选：A
29．过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由直线与圆相切得到直角三角形利用边长求解即可.
【详解】
中，
，即
故选：A
30．若直线
与圆
相切，则实数
的值为（ ）
A．
或
B．1 或
C．
或3
D．
或
【答案】C
【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得.
【详解】由
圆心为
，半径为，
即
，
则
，
解得
或
.
故选：C.
31．（多选）已知直线
与圆
相切，则实数
的值可能为（ ）
A．
B．8
C．
D．18
【答案】AB
【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得
的值.
【详解】圆
的圆心为
，半径为.
由于直线
与圆
相切，
所以
，解得
或
.
故选：AB
32．直线
与曲线
有两个公共点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】曲线
表示的是一个以原点为圆心，3 为半径的左半圆，直线
的斜率为
1，作出图形，由图形确定直线与曲线有两个公共点时的条件.
【详解】方程
，即
，表示的是一个以原点为圆心，3 为半径的左半圆，
直线
的斜率为1，连接
和
，
要使直线与该半圆有两个交点，直线必在
以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切（不含相切），
则可求出直线的两个临界位置对应的
的值.
当直线与
重合时，
，
当直线与半圆相切时，圆心
到
的距离
3，即
，
解得
或
（舍去）.
所以
的取值范围是
）.
故选：D
33．已知圆
，过
作圆
的切线，则直线的倾斜角为 ．
【答案】
（或写为
）
【分析】分析可知，点
在圆
上，根据圆的几何性质可知
，求出直线的斜率，即可得出直线
的倾斜角.
【详解】因为
，所以，点
在圆
上，直线
的斜率为
，
由圆的几何性质可知，
，则直线的斜率为
，
设直线的倾斜角为
，则
，则
，故
.
即直线的倾斜角为
（或
）.
故答案为：
（或写为
）.
题型七：圆的弦长与中点弦问题
34．已知圆
内一点
，直线过点
且与圆
交于
，
两点．
(1)求圆
的圆心坐标和面积；
(2)若直线的斜率为
，求弦
的长．
【答案】(1)圆心坐标为
，面积为
(2)
【分析】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径；
（2）先求圆心到直线的距离
，再利用勾股定理计算可得.
【详解】（1）由
可得
，
则圆
的圆心坐标为
,半径
，面积
；
（2）依题意直线的方程为
，
即
，
圆心到直线的距离
，
所以
；
35．已知圆
过
，
，
三点，直线l 过点
.
(1)求圆M 的标准方程；
(2)直线被圆
截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长.
【答案】(1)
(2)垂直，
，
【分析】（1）根据圆的几何性质，求圆心和半径，即可求解；
（2）由弦长公式结合圆的几何性质可知，当点
是弦的中点时，此时弦长最短，根据直线的方程，结合
弦长公式，即可求解.
【详解】（1）由已知可得
，
，
，满足
，
所以
为以O 为直角的直角三角形，取AB 中点为M，
则
，所以圆心
，半径
，圆M 标准方程为
；
（2）由
，可知，点
在圆内，
当直线l 垂直于MP 时截得弦长最短.直线
，直线l 的斜率为
，
则直线l 方程为
，此时圆心M 到直线l 的距离为
，最短弦长为
.
36．已知以点
为圆心的圆A 与直线：
相切，直线
：
．
(1)求圆A 的标准方程，并求直线
所过的定点坐标；
(2)求直线
被圆A 截得的最短弦长及此时直线
的方程．
【答案】(1)
，定点
；
(2)
，
.
【分析】（1）利用切线的性质求出半径即得圆
的方程，再求出直线
所过定点坐标.
（2）判断定点
与圆
的位置，利用圆的性质及弦长公式求解.
【详解】（1）依题意，点
到直线：
的距离即为圆A 的半径
，
所以圆A 的标准方程为
；
直线
，由
，解得
，
所以直线
过定点
.
（2）由（1）知
，点
在圆
内，
当直线
时，直线
被圆A 截得的弦长最短，最短弦长为
，
因直线
的斜率
，则直线
的斜率为2，方程为
，即
.
37．已知曲线
的方程为
．
(1)若曲线
表示圆，求
的取值范围；
(2)当
时，直线
与曲线
交于
两点，求
.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）将方程化为标准方程，列式求解即可；
（2）根据题意可得圆心和半径，结合垂径定理求弦长.
【详解】（1）由曲线
的方程整理可得
，
则
，解得
或
，
所以
的取值范围为
.
（2）若
，则曲线
：
，可知圆心
，半径为
，
则圆心
到线
的距离
，
所以
.
38．已知圆
，直线
．
(1)证明直线恒过定点，并求定点的坐标；
(2)当
时，求直线被圆
所截得的弦长．
【答案】(1)证明见解析，定点坐标为
(2)
【分析】（1）将直线的方程变形，即可求出直线所过定点的坐标；
（2）求出圆心坐标和圆的半径，当
时，可求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得直线被
圆
所截得的弦长.
【详解】（1）直线的方程可化为
，
由得
得
，所以直线恒过定点
．
（2）圆
的标准方程为
，
圆心
，半径
．
当
时，直线的方程为
，则圆心
到直线的距离
，
所以直线被圆
所截得的弦长为
.
39．已知直线l：
恒过点C，且以C 为圆心的圆与直线
相切．
(1)求点C 的坐标；
(2)求圆C 的标准方程；
(3)设过点
的直线与圆C 交于A，B 两点，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由直线的点斜式方程求定点；
（2）根据圆心到直线的距离等于半径，求圆的方程；
（3）根据圆的弦长公式求解.
【详解】（1）直线l：
，即
，
所以直线l 恒过点
．
（2）圆C 的圆心为
．
圆C 的半径
，
所以圆C 的标准方程为
．
（3）由于点D 在圆内部，
所以当直线AB 与直线CD 垂直时，
取最小值．．
，
，即
的最小值为
.
题型八：已知圆的弦长求方程或参数
40．平面内一动点
到点
与
的距离之比为
．
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)斜率为1 的直线与曲线
交于
、
两点，且
，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设动点
，根据
结合两点间距离公式运算求解；
（2）设直线
，根据垂径定理可得圆心
到直线的距离
，列式求解即可.
【详解】（1）设动点
，
因为
，则
，
整理可得
，
所以动点
的轨迹方程为
.
（2）由（1）可知：曲线
是以圆心为
，半径
的圆，
设直线
，即
，
由题意可得：圆心
到直线的距离
，
则
，解得
，
所以直线的方程为
.
41．在平面直角坐标系
中，已知圆
的方程为
，点
为圆
上一点.
(1)若点
为
的中点，求动点
的轨迹
的方程；
(2)过坐标原点
的直线被曲线
截得的弦长为
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据圆的定义可得动点
的轨迹
的方程；
（2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由题意得，圆
，
故
，所以
，
故动点
的轨迹
的方程为
.
（2）因为直线被曲线
截得的弦长为
，所以圆心
到直线的距离为1.
当直线的斜率不存在时，直线
符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，故
，解得
，
故
综上，直线的方程为
或
.
42．已知O 为坐标原点，动点M 到两个定点
，
的距离的比为
，记动点M 的轨迹为曲线
C．
(1)求曲线C 的标准方程；
(2)若直线l 过点
，曲线C 截l 所得弦长等于
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
(2)
或
．
【分析】（1）根据题干条件列出等式，化简即可得到结果.
（2）首先假设斜率不存在，判断是否满足题意；再假设斜率存在，设出直线方程，利用弦长公式即可求
得结果.
【详解】（1）由题知，设点
，
则
，所以
，
即
，整理得
，
所以曲线C 的标准方程为
．
（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为：
，
与C 的交点坐标为
，
，此时弦长等于
，符合题意．
若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：
，
设曲线C 的圆心到直线l 的距离为d，
由（1）知曲线C 的圆心为
，
所以
，
因为曲线C 截l 所得弦长等于
，
所以
，解得
．
所以
，解得
．
所以直线l 的方程为：
．
综上，直线l 的方程为：
或
．
43．已知圆C 经过三点
(1)求圆C 的标准方程；
(2)若过点
的直线l 与圆C 交于A，B 两点，且
，求直线l 的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）设圆的一般方程，将三点的坐标代入可得参数的值，即求出圆的方程，化简为标准方程即
可；
（2）由弦长公式可得圆心C 到直线的距离d，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设直线的方
程，由点到直线的距离公式，可得参数的值，即求出直线的方程．
【详解】（1）设圆C 的方程为：
，
将
代入圆的方程得
，
解得
，
，
，
所以圆的方程为：
，
即圆C 的标准方程为：
.
（2）由（1）可得圆心
，半径
，
设圆心C 到直线l 的距离为d，由题意可得
，
可得
，即
，
当直线l 的斜率不存在时，则过点
的直线
，
此时圆心C 到直线的距离为
，符合题意；
当直线l 的斜率存在时，
设过点
的直线l 的方程为
，即
，
则圆心C 到直线l 的距离
，解得
，
即直线l 的方程为
，即
综上所述，直线的方程为：
或
44．已知直线l 过点
，圆C：
(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的方程；
(2)若直线l 与圆C 交于M、N 两点，
，求直线l 的方程.
【答案】(1)
；
(2)
或
【分析】（1）由圆C 的方程，可得圆心C 的坐标及半径r 的值，由直线l 的过的两点的坐标，可得直线l
的斜率，进而求出直线l 的方程；
（2）设圆心到直线的距离d，由弦长公式，可得d 的值，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设出
直线方程，由圆心C 到直线的距离可得参数的值，进而求出直线l 的方程．
【详解】（1）将圆C：
整理可得
，所以圆心
，半径
，
所以过点
，圆心C 的直线l 的斜率
，
所以直线l 的方程为
，即
；
（2）设圆心C 到直线l 的距离为d，由弦长公式可得
，解得
，
当过点P 的直线斜率不存在时，则直线l 的方程为
，则圆心C 到直线的距离为
，符合条件；
当过点P 的直线斜率存在时，则直线l 的方程为
，即
，
则圆心C 到直线的距离为
，解得
，
即此时直线l 的方程为
综上所述：直线l 的方程为
或
题型九：圆内接三角形面积
45．已知三点
，记
的外接圆为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程，再化为标准式即
可；
（2）由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得
，再由三角形的面积公
式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设
的方程为
，
由题意可得
，解得
，
所以
的方程为
，
化为标准方程可得
.
（2）由（1）可得圆心
，半径
，
所以圆心
到直线
的距离为
，
且
，
因此
的面积为
.
46．已知三点
，记
的外接圆为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法可求圆的一般方程；
（2）利用垂径定理求出弦长，从而可求
的面积.
【详解】（1）设
的一般方程为
，
由题意可知，
解得
，
所以
，
故
的标准方程为
.
（2）由（1）可知，
，半径
.
则圆心
到直线的距离为
，
所以
，
故
的面积为
.
47．已知
和
为圆
上两点.
(1)求圆
的方程；
(2)过点
向圆
作切线
，求切线
的方程；
(3)若过
的直线交
于另一点
，若
的面积最大，求此时的方程.
【答案】(1)
(2)
或
(3)
或
【分析】（1）将点
、
的坐标代入圆
的方程，可得出关于
、的方程组，解出这两个未知数的值，
即可得出圆
的方程；
（2）对直线
的斜率是否存在进行分类讨论，在直线
的斜率不存在时，直接检验即可；在直线
的斜
率存在时，设出直线
的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出参数值，综合可得出直线
的
方程；
（3）分析可知，当
时，
的面积最大，求出圆心到直线
的距离，然后对直线的斜率
是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设直线的方
程为
，利用点到直线的距离公式求出的值，由此可得出直线的方程.
【详解】（1）由题意可得
，解得
，故圆
的方程为
.
（2）圆
的圆心为
，半径为，
若直线
的斜率不存在，则直线
的方程为
，此时，圆心到直线
的距离为，合乎题意；
若直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，即
，
由题意可得
，解得
，
此时，直线
的方程为
，即
.
综上所述，直线
的方程为
或
.
（3）因为
，
当且仅当
时，等号成立，
此时，
是等腰直角三角形，且
，
则圆心
到直线
的距离为
，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为
，即
，
由题意可得
，整理得
，解得
或
，
因此，直线的方程为
或
，
即直线的方程为
或
.
48．已知
的外接圆为圆
.
(1)求圆
的方程；
(2)已知直线
与圆
交于E，F 两点，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法设圆
的方程为
，结合题意解出
即可求
解；
（2）由（1）得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长
，再用点到直线的距离公式可得
点
到直线的距离，继而利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）设圆
的方程为
，
则
，解得
，
所以圆
的方程为
.
（2）由
，得
，
所以圆
的圆心为
，半径
，
圆心
到直线的距离为
，
，
又点
到直线的距离为
，
所以
的面积为
.
49．在平面直角坐标系
中，已知
，
，动点
满足
，直线：
与动点
的轨迹交于
两点，记动点
轨迹的对称中心为点
，
则当
面积最大时，求直线的方程．
【答案】
【分析】利用
，求出点Q 的轨迹方程，求出直线l 过定点
，设
，结合直线与圆
的位置关系得到
，即可求出
面积最大时，直线l 的方程．
【详解】设
，
由题意可得
，整理可得
，
可知动点
的轨迹是以圆心为
，半径为
的圆，
由
，可得
．
则由
，解得
，所以直线过定点
，
因为
，所以点
在圆
的内部．
作直线
，垂足为
，
设
，因为
，
所以
，
所以
，
所以
．
所以当
，即
时，
．
此
，且
，可知直线的斜率为
，
所以直线的方程为
.
题型十：直线与圆的实际应用
50．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 千米的圆形区域内．已知小岛
中心位于轮船正西40 千米处，港口位于小岛中心正北30 千米处.
(1)如图，小岛中心在原点O 处，取10 千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置；
(2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由.
【答案】(1)作图见解析
(2)不会有触礁危险，理由见解析
【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可.
（2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，
即可判断.
【详解】（1）
（2）以小岛中心为原点
，东西方向为
轴，建立上图所示的直角坐标系，
为了运算的简便，取10 千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为
，
轮船所在位置坐标为
，
则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
，
轮船航线所在直线的方程为
即
，
由
，得
，
由
，可知方程组无解．
所以直线与圆
相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
51．如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东
方向
距O 岛
千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛2 千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正
方向，1 千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C 经过O，A，B 三点．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西
方向距O 岛4 千米处，正沿着北偏东
方
向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【答案】(1)
(2)该船没有触礁的危险．
【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解；
（2）首先求船
行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性.
【详解】（1）依题意，因
岛在
岛的北偏东
方向距
岛
千米处，则点
,
又
岛在
岛的正东方向距
岛2 千米处，则
，
设过O，A，B 三点的圆C 的方程为
，
则
,解得
，
所以圆C 的方程为
．
（2）因船D 在O 岛的南偏西
方向距O 岛4 千米处，则
，
而船D 沿着北偏东
方向行驶，
则船D 的航线所在直线l 的斜率为
，直线的方程为
，
由（1）知，圆C 的圆心为
，半径
，
则圆心
到直线的距离
，则
，
所以该船没有触礁的危险．
52．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8 米，在其南面有一条东西
走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10 米.在建筑物
底面中心
的东北方向
米的点
处，有一
全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.
(1)在西辅道上距离建筑物地面中心0 距离5 米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内?
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内
(2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为
米
【分析】（1）以
为原点，正东方向为
轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线
方程，判断
直线
与圆
的位置关系即可；
（2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点
的直线与圆
相切时的直线方程即可.
【详解】（1）以
为原点，正东方向为
轴正方向建立如图所示的直角坐标系
则
，观景直道所在直线的方程为
，
依题意得：游客所在点为
，
则直线
的方程为
，化简得
，
所以圆心
到直线
的距离
，故直线
与圆
相交，
所以游客不在该摄像头监控范围内.
（2）由图易知：过点
的直线与圆
相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，
所以设直线过
且恰与圆
相切，
①若直线垂直于
轴，则不可能与圆
相切；
②若直线不垂直于
轴，设
，整理得
，
所以圆心
到直线的距离为
，解得
或
，
所以直线的方程为
或
，
即
或
，
设这两条直线
与交于
，
由
，解得
，由
，解得
，
所以
，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为
米.
53．如图，某海面上有
三个小岛（面积大小忽略不计），
岛在
岛的北偏东
方向距
岛
千米处，
岛在
岛的正东方向距
岛
千米处．以
为坐标原点，
的正东方向为
轴的正方向，千
米为单位长度，建立如图的平面直角坐标系．圆
同时相切于线段
和
，切点分别为
，且
为
的中点．若圆
区域内有未知暗礁，现有一船
在
岛的南偏西
方向距
岛
千米处，正沿着北
偏东
方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？请说明理由．
【答案】该船没有触礁的危险，理由见解析
【分析】根据坐标可求得直线
，设圆心
，由直线与圆相切可构造方程求得
；根据坐标
可得该船航线所在直线的方程，由圆心到直线距离大于半径可得结论.
【详解】由题意知：圆心
在线段
与线段
的垂直平分线的交点处，
由条件可知
，则
，
线段
所在直线的方程为
，即
，
易知线段
的垂直平分线方程为
，
设圆心为
，
则圆心
到线段
的距离
，解得：
，
圆
的方程为
．
该船初始位置为点
，则
，且该船航线所在直线的斜率为，
故该船航行方向为直线
，即
，
则圆心
到直线的距离
，
该船没有触礁的危险．
54．在气象台
正西方向300 km 处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距
台风中心250 km 以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台
风的影响？说明理由．如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(精确到1min)，（参考数
据：
【答案】大约120 分钟后气象台所在地开始受到台风影响，持续时间约为
分钟.
【分析】首先计算点
到直线
的距离，再和
比较大小，即可判断是否有影响，再根据题意，转化
为以点
为圆心，半径为的
的圆与直线相交问题，结合几何关系，即可求解.
【详解】设台风中心的起点为
，以
为台风经过的路径所在的直线，
过点
作
于点
，
在
中，
，
，
，
，
所以气象台所在地会受到台风的影响；
设以
为圆心，以
为半径的圆与直线
交于
两点，
即以
点开始受影响，到
点结束影响，
在
中，
，
，
在
中，
，
，
所以气象台受影响的时间为
，
在
，
，
，
，
，
所以大约120 分钟后气象台所在地开始受到台风影响，持续时间约为
分钟.
题型十一：直线与圆中的定点定值问题
55．已知圆
分别与
、
轴正半轴交于
、
两点，
为圆
上的动点.
(1)过点
的直线截
所得弦长为
，求的方程；
(2)若点
为
上异于
，
的动点，直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，求证：
为定值.
【答案】(1)
或
.
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到
结果；
（2）分别由直线
的方程得到点
的坐标，代入计算，即可证明.
【详解】（1）根据垂径定理可得圆心到直线的距离
.
①当斜率不存在时，直线的方程为：
，
直线截所得弦长
，符合题意：
②当斜率存在时，设直线
，
圆心到直线的距离为
，解得
.
综上所述，直线的方程为
或
.
（2）根据题意，
，
，设
（
且
），则
，
直线
方程是
，令
，得
，
直线
方程是
，令
，得
，
所以
，
即
为定值.
56．已知
的顶点
，
，顶点
满足
，记顶点
的轨迹为
.
(1)求曲线
的方程.
(2)过点
的直线（斜率不为0）与曲线
交于不同的两点P，Q，O 为坐标原点，试判断直线OP，OQ 的
斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)定值，
【分析】（1）设
，结合题设列出方程即可求解；
（2）设
，
，
，联立直线与曲线
的方程，结合韦达定理求得
，进
而求解即可.
【详解】（1）设
，因为
，即
，
所以
，
整理得
，
所以曲线
的方程为
.
（2）设
，
，
.
联立方程组
得
，
所以
，
则
，
，
因为
，
所以
，
故直线OP，OQ 的斜率之积为定值，且定值为
.
57．在平面直角坐标系中，已知圆
经过原点和点
，并且圆心在
轴上，圆
与
轴正半轴的交点
为
.
(1)求圆
的标准方程；
(2)设
为圆
的动弦，且
不经过点
，记
、
分别为弦
、
的斜率.
（ⅰ）若
，求
面积的最大值；
（ⅱ）若
，请判断动弦
是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）1；（ⅱ）过定点
.
【分析】（1）设圆
的标准方程为
，根据已知条件代入求
即可；
（2）（i）由
可得
，且
，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；
（ⅱ）设直线
的方程为
，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入
求出
与
的关系进而可得定点.
【详解】（1）设圆
的标准方程为
，
由已知可得：
，解得：
，
，
，
所以圆
的标准方程为
.
（2）（ⅰ）由（1）知
，因为
，所以
，
从而直线
经过圆心，
是直角三角形，且
，
设
，
，则
，
又
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
.
（ⅱ）由已知得：直线
的斜率必存在，
设直线
的方程为
，
，
，
由
，消去
得：
，
当
时，
，
，（※）
又
，
即
，
代入（※）得：
，
即
，解得：
，或
，
当
时，此时直线
的方程为
，过定点
（舍去），
当
时，此时直线
的方程为
，过定点
，
故当
，动弦
过定点
.
58．已知半径为
的圆
的圆心在
轴的正半轴上，且直线
与圆
相切.
(1)求圆
的标准方程.
(2)已知
为圆
上任意一点，试问在
轴上是否存在定点
（异于点
），使得
为定值？若
存在，求点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程；
（2）假设存在定点
，设
，表示
，讨论是否存在定值；
【详解】（1）由题意设圆心坐标为
，则圆
的方程为
，
因为直线
与圆
相切，
所以点
到直线
的距离
，
因为
，所以
，
故圆
的标准方程为
；
（2）
假设存在定点
，设
，
设
，则
，
则
，
当
，即
，（
舍去）时，
为定值，且定值为
，
故存在定点
使得
为定值，
的坐标为
.
59．已知点
为线段
的中点，
，点
为圆
上动点.
(1)求
点的轨迹曲线
的方程；
(2)过点
且斜率不为零的直线与（1）中曲线
交于不同的两点
，
（i）求直线斜率的取值范围；
（ii）直线
，
的斜率分别为
、
，判断
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
，详见解析
【分析】（1）设
，
，利用相关点法即可求出轨迹方程；
（2）设直线的方程为
，
，
，联立直线和曲线
的方程，消去
后，（i）由
可求出斜率的取值范围；（ii）利用斜率公式及韦达定理可求出
.
【详解】（1）设
，
，由中点坐标公式得
，
因为点
为圆
上动点，所以
，
所以
，
整理得曲线
的方程为
.
（2）（i）设直线的方程为
，
，
，
联立
，消去
得：
，
所以
，
解得
，又
，
所以直线斜率的取值范围为
.
（ii）由（i）知，
，
，
则
，
所以
是定值5.
题型十二：根据直线与圆位置关系求距离最值
60．点
在曲线
上，求
的取值范围.
【答案】
【分析】
的取值范围转化为点
到直线
距离的5 倍，结合点到直线的距离公
式，数形结合即可求解.
【详解】如图，
曲线
为圆
的上半圆，圆心
，半径为2，
，
表示点
到直线
距离的5 倍，
点A 到直线
的距离
，
即直线
与圆相离，
点B 到直线
的距离
，
故
的最小值为
，
的最大值为
，
则
的取值范围为
.
61．已知圆
.
(1)若直线
方程为
与圆C 相交于A、B 两点，求
.
(2)在（1）的前提下，若点Q 是
圆上的点，求
面积的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由圆的弦长公式
结合点到直线距离公式即可计算求解；
（2）求出点Q 到直线
距离的最大值即可求解.
【详解】（1）由题意可得圆的标准方程为
，所以圆心
，半径
，
又直线
方程为
，
则圆心C 到直线
的距离
，直线AB 与圆相交，
所以
.
（2）圆
的圆心
，半径
，
则点
到直线
：
的距离为
，
所以点Q 到直线
距离的最大值为
，
所以
面积的最大值为
.
62．已知圆
，点
为圆
上任意一点，点
，点
是线段
的中
点．
(1)求点
的轨迹方程
；
(2)点
是轨迹
上任一点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相关点法，设出点
的坐标，利用中点公式结合圆的方程即可求解；
（2）根据题意令
，根据
的几何意义，令直线与圆相切求出
即可求解.
【详解】（1）
设
，根据题意有
，即
，
又因为点
在圆
上，所以有
，
整理得
，即
，
所以点
的轨迹为圆心为
，半径为的圆.
（2）
令
，则有
，
为直线的纵截距，
由题意可知，直线与圆有交点的情况下，
直线的纵截距越大，
越大；直线的纵截距越小，
越小.
由图可知，令直线与圆相切，
此时圆心
到直线
的距离为半径
，
由此可得
，解得
，
所以
的取值范围为
.
63．已知点
是圆
上任意一点．
(1)求P 点到直线
的距离的最大值和最小值．
(2)求
的最大值和最小值．
(3)求
的最大值和最小值
【答案】(1)最大值为
，最小值为
(2)最大值为
，最小值为
(3)最大值为
，最小值为
【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值；
（2）解法一，转化为直线
与圆
有公共点，解法二，利用三角换元求最值；
（3）首先设
，再转化为直线
与圆
有交点，
【详解】（1）圆心
到直线
的距离为
．
∴P 点到直线
的距离的最大值为
，最小值为
．
（2）解法一 ：设
，则直线
与圆
有公共点，
∴
，解得
，
则
，即
的最大值为
，最小值为
．
解法二：设
，则
，其中
，
∴得
，即
的最大值为
，最小值为
．
（3）
表示圆上的点
与点
连线的斜率为k，
设
，即
，直线
与圆
有交点，
设
，
解得
．
则
，即
的最大值为
，最小值为
．
64．已知圆
过
，
，
三点.
(1)求圆
的标准方程；
(2)若点
在圆
上运动，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入圆方程求解参数即可.
（2）转化为点到直线的距离求解即可.
【详解】（1）设圆
的一般方程为
，
则
，解得
，
圆
的一般方程为
，
即标准方程为
.
（2）设
，则圆
的圆心
到直线
的距离
，
解得
，
的最大值为
.
题型十三：直线与圆综合问题
65．已知双曲线
的一条渐近线为
，且过点
．
(1)求
的方程；
(2)已知
为坐标原点，过
的右焦点
作直线与
的右支交于
，
两点．
（i）若
和
的面积的比值为2，求直线的方程；
（ii）若
关于
的对称点为
，试判断直线
与圆
的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）
或
；（ii）相切，理由见解析
【分析】（1）由题列出方程组，解方程组即可；
（2）（i）设直线的方程为
，
，
，与双曲线联立得到
，利用
和
的面积的比，可解从而得到直线方程；
（ii）根据题意可得直线
的方程
，根据圆心
到直线
的距离即可判断位置关系.
【详解】（1）设双曲线方程为
，则
，解得
所以
的方程为
．
（2）（i）
的右焦点为
），设直线的方程为
，
，
，
与方程
联立可得：
，
则由
，得
，
因为
和
的面积的比值为2，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
解得
，满足
，所以
，
所以直线的方程为：
或
．
（ii）依题意得
，则直线
的斜率
，
直线
的方程为
，即
．
圆心
到直线
的距离为
，
因为
，
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以直线
与圆
相切．
66．已知圆
，直线
．
(1)若直线与圆
相切，求实数的值；
(2)直线与圆
相交于
、
两点，且
，求圆
的半径．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）将圆
的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得
解；
（2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得
，即可得解.
【详解】（1）由圆
的一般方程
可得标准方程
，则
，即
.
所以圆心
到直线
的距离
，
因为直线与圆
相切，所以
，解得
，满足
.
所以，
.
（2）由题意，联立
可得
，
设
，
则
，解得
，
根据韦达定理可得
，
则
，
所以
，满足
.
所以，圆
的半径满足
，故
.
67．已知曲线
.
(1)在答题卡中画出C 的大致图形，并说明理由.
(2)若
是C 上的动点，
，
，证明：
为定值.
(3)若直线
与C 的所有交点的纵坐标之和大于
，求m 的取值范围.
【答案】(1)图形见解析，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件化简得出轨迹并画图；
（2）应用两点间距离公式计算求解即可证明；
（3）联立方程根据坐标关系计算列式解不等式.
【详解】（1）由
，得
或
，
所以C 由两条直线
与圆
组成.
故C 的图形如图所示.
（2）因为
，所以点P 在圆
上，
所以
，所以
为定值.
（3）将
代入
，得
，将
代入
，得
，则
.
因为
，所以l 不经过点
，（
，依题意可得，l 与圆
的所有交点的纵坐标之和大
于
.
当
时，l 与C 的所有交点的纵坐标之和为
，所以
不符合题意.
当
时，联立
消去x，得
.
因为l 过定点
，且该点在圆
的内部，所以l 与圆
总有两个交点.
设l 与圆
的交点为
，
，则
，解得
，
故m 的取值范围为
.
68．已知直线
，圆
，圆
：
.
(1)判断直线与圆
的位置关系，并说明理由；
(2)圆
与圆
交于
两点，求过
与
这三点的圆的方程.
【答案】(1)相交，理由见解析
(2)
【分析】（1）先求解定点，再把点代入圆内计算判断即可；
（2）法一：设圆的方程代入计算求解即可；法二：根据交点设圆的方程计算求参即可.
【详解】（1）由于
，则直线过定点
，
，故定点在圆内，直线与圆相交.
（2）法一：联立两圆方程
，解得
，
令所求圆方程为
，
代入三点，
，
得所求圆方程为
.
法二：令所求圆方程为
，
代入
，
，
解得
，故所求圆方程为
.
69．已知圆C：
，点P 是直线l：
上一动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别
为A，B．
(1)若P 的坐标为
，求过点P 的切线方程；
(2)试问直线AB 是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
(3)直线
与圆C 交于E，F 两点，求
的取值范围（O 为坐标原点）.
【答案】(1)
或
，
(2)
(3)
【分析】（1）设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径即可求得斜率即可得方程
（2）设
，可得
为直径得方程
，可求得直线
得方程为
，即可得定点.
(3)由
可得
，进而可得：
•
，可求得其
范围.
【详解】（1）
由图像易知：
是其一条切线，
设另切线方程为
，即
圆心坐标为
，半径
根据圆的切线的定义可知：
，即
解得：
代回方程可求得切线方程为：
所以
或
，
过点P 的切线方程为：
或
，
（2）
∵圆
∴圆心
，半径
，
设
，由题意知
在以
为直径的圆上，又
,
∴以
为直径的圆的方程为：
，即
又圆C：
，即
故直线
的方程为
，即
由
，解得
，
即直线AB 恒过定点
.
（3）由
，得
∴
设
，
∴
，
∴
，
∵
∴
∴
的取值范围为
.
