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专题08 直线与圆的位置关系
题型一：判断直线与圆的位置关系
题型二：由直线与圆的位置关系求参数
题型三：直线与圆相交问题
题型四：求切线方程
题型五：切线长（切点弦）问题
题型六：已知切线求参数
题型七：圆的弦长与中点弦问题
题型八：已知圆的弦长求方程或参数
题型九：圆内接三角形面积
题型十：直线与圆的实际应用
题型十一：直线与圆中的定点定值问题
题型十二：根据直线与圆位置关系求距离最值
题型十三：直线与圆综合问题
题型一：判断直线与圆的位置关系
1．已知圆
，直线
，则直线与圆
的公共点个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．与
有关，不能确定
2．已知圆
：
，将直线：
绕原点按顺时针方向旋转
后得到直线
，则
（ ）
A．直线
过圆心
B．直线
与圆
相交，但不过圆心
C．直线
与圆
相切
D．直线
与圆
无公共点
3．已知直线
与圆
，点
，则下列说法正确的是（ ）
A．点
在圆
上，直线与圆
相切
B．点
在圆
内，直线与圆
相离
C．点
在圆
外，直线与圆
相切
D．点
在圆
上，直线与圆
相交
4．已知圆
的圆心在抛物线
上，且圆
过定点
，则圆
与直线
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相离
5．直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．都有可能
题型二：由直线与圆的位置关系求参数
6．若直线
与圆
相离，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若直线
与圆
相切，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
8．“
”是“直线
与圆
相交”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
9．若直线
与曲线
有两个交点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知直线l：
，圆C：
，则“
”是“直线l 与圆C 相切”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．点
在圆
上运动，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：直线与圆相交问题
12．直线
与圆
交于M、N 两点，O 为坐标原点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
13．已知直线
与圆
交于
，
两点，
为坐标原点，则
，
.
14．已知圆
，过点
的直线与
交于点
，
，且
.
(1)求的方程；
(2)设
为坐标原点，求
.
15．已知直线
与圆
相交，若
为直线与圆交点坐
标，求k．
16．已知圆
关于直线
对称，且经过点
和
.
(1)求圆
的标准方程；
(2)求过点
且与圆
相切的直线方程；
(3)过点
的直线与圆
交于
两点，若
（
为坐标原点），求直线的方程.
题型四：求切线方程
17．过点
作圆
的切线，则切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．已知圆
，点
，则经过点
且与圆
相切的直线方程为 .
19．过点
作圆
的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可）
20．（1）求经过圆
上点
的圆的切线方程；
（2）求经过点
且与圆
相切的直线的方程．
21．已知直线
与圆
交于
，
两点，且
.
(1)求
的值；
(2)求过点
的
的切线方程.
22．已知圆
的圆心在直线
上，且直线
被圆
截得的弦长
为
.
(1)求圆
的方程；
(2)过点
作圆
的切线，求切线的方程.
题型五：切线长（切点弦）问题
23．已知圆
，圆
，点P 在圆N 上运动，直线
与圆M 相切于点
A，则
的最大长度为（ ）
A．8
B．7
C．
D．
24．一条光线从点
射出，经
轴反射后与圆
相切于点
，则光线从
点到
点所经过的路程的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．3
25．过坐标原点
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
26．过点
向圆
作切线，切点为
，则
.
27．过圆O:
外一点
作圆O 的切线，切点分别为A、B，则
.
题型六：已知切线求参数
28．过点
可以作圆
的两条切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
30．若直线
与圆
相切，则实数
的值为（ ）
A．
或
B．1 或
C．
或3
D．
或
31．（多选）已知直线
与圆
相切，则实数
的值可能为（ ）
A．
B．8
C．
D．18
32．直线
与曲线
有两个公共点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
33．已知圆
，过
作圆
的切线，则直线的倾斜角为 ．
题型七：圆的弦长与中点弦问题
34．已知圆
内一点
，直线过点
且与圆
交于
，
两点．
(1)求圆
的圆心坐标和面积；
(2)若直线的斜率为
，求弦
的长．
35．已知圆
过
，
，
三点，直线l 过点
.
(1)求圆M 的标准方程；
(2)直线被圆
截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长.
36．已知以点
为圆心的圆A 与直线：
相切，直线
：
．
(1)求圆A 的标准方程，并求直线
所过的定点坐标；
(2)求直线
被圆A 截得的最短弦长及此时直线
的方程．
37．已知曲线
的方程为
．
(1)若曲线
表示圆，求
的取值范围；
(2)当
时，直线
与曲线
交于
两点，求
.
38．已知圆
，直线
．
(1)证明直线恒过定点，并求定点的坐标；
(2)当
时，求直线被圆
所截得的弦长．
39．已知直线l：
恒过点C，且以C 为圆心的圆与直线
相切．
(1)求点C 的坐标；
(2)求圆C 的标准方程；
(3)设过点
的直线与圆C 交于A，B 两点，求
的最小值．
题型八：已知圆的弦长求方程或参数
40．平面内一动点
到点
与
的距离之比为
．
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)斜率为1 的直线与曲线
交于
、
两点，且
，求直线的方程．
41．在平面直角坐标系
中，已知圆
的方程为
，点
为圆
上一点.
(1)若点
为
的中点，求动点
的轨迹
的方程；
(2)过坐标原点
的直线被曲线
截得的弦长为
，求直线的方程.
42．已知O 为坐标原点，动点M 到两个定点
，
的距离的比为
，记动点M 的轨迹为曲线
C．
(1)求曲线C 的标准方程；
(2)若直线l 过点
，曲线C 截l 所得弦长等于
，求直线l 的方程．
43．已知圆C 经过三点
(1)求圆C 的标准方程；
(2)若过点
的直线l 与圆C 交于A，B 两点，且
，求直线l 的方程.
44．已知直线l 过点
，圆C：
(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的方程；
(2)若直线l 与圆C 交于M、N 两点，
，求直线l 的方程.
题型九：圆内接三角形面积
45．已知三点
，记
的外接圆为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，求
的面积.
46．已知三点
，记
的外接圆为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，求
的面积.
47．已知
和
为圆
上两点.
(1)求圆
的方程；
(2)过点
向圆
作切线
，求切线
的方程；
(3)若过
的直线交
于另一点
，若
的面积最大，求此时的方程.
48．已知
的外接圆为圆
.
(1)求圆
的方程；
(2)已知直线
与圆
交于E，F 两点，求
的面积.
49．在平面直角坐标系
中，已知
，
，动点
满足
，直线：
与动点
的轨迹交于
两点，记动点
轨迹的对称中心为点
，
则当
面积最大时，求直线的方程．
题型十：直线与圆的实际应用
50．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 千米的圆形区域内．已知小岛
中心位于轮船正西40 千米处，港口位于小岛中心正北30 千米处.
(1)如图，小岛中心在原点O 处，取10 千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置；
(2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由.
51．如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东
方向
距O 岛
千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛2 千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正
方向，1 千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C 经过O，A，B 三点．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西
方向距O 岛4 千米处，正沿着北偏东
方
向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
52．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8 米，在其南面有一条东西
走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10 米.在建筑物
底面中心
的东北方向
米的点
处，有一
全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.
(1)在西辅道上距离建筑物地面中心0 距离5 米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内?
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
53．如图，某海面上有
三个小岛（面积大小忽略不计），
岛在
岛的北偏东
方向距
岛
千米处，
岛在
岛的正东方向距
岛
千米处．以
为坐标原点，
的正东方向为
轴的正方向，千
米为单位长度，建立如图的平面直角坐标系．圆
同时相切于线段
和
，切点分别为
，且
为
的中点．若圆
区域内有未知暗礁，现有一船
在
岛的南偏西
方向距
岛
千米处，正沿着北
偏东
方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？请说明理由．
54．在气象台
正西方向300 km 处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距
台风中心250 km 以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台
风的影响？说明理由．如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(精确到1min)，（参考数
据：
题型十一：直线与圆中的定点定值问题
55．已知圆
分别与
、
轴正半轴交于
、
两点，
为圆
上的动点.
(1)过点
的直线截
所得弦长为
，求的方程；
(2)若点
为
上异于
，
的动点，直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，求证：
为定值.
56．已知
的顶点
，
，顶点
满足
，记顶点
的轨迹为
.
(1)求曲线
的方程.
(2)过点
的直线（斜率不为0）与曲线
交于不同的两点P，Q，O 为坐标原点，试判断直线OP，OQ 的
斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.
57．在平面直角坐标系中，已知圆
经过原点和点
，并且圆心在
轴上，圆
与
轴正半轴的交点
为
.
(1)求圆
的标准方程；
(2)设
为圆
的动弦，且
不经过点
，记
、
分别为弦
、
的斜率.
（ⅰ）若
，求
面积的最大值；
（ⅱ）若
，请判断动弦
是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
58．已知半径为
的圆
的圆心在
轴的正半轴上，且直线
与圆
相切.
(1)求圆
的标准方程.
(2)已知
为圆
上任意一点，试问在
轴上是否存在定点
（异于点
），使得
为定值？若
存在，求点
的坐标；若不存在，请说明理由.
59．已知点
为线段
的中点，
，点
为圆
上动点.
(1)求
点的轨迹曲线
的方程；
(2)过点
且斜率不为零的直线与（1）中曲线
交于不同的两点
，
（i）求直线斜率的取值范围；
（ii）直线
，
的斜率分别为
、
，判断
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
题型十二：根据直线与圆位置关系求距离最值
60．点
在曲线
上，求
的取值范围.
61．已知圆
.
(1)若直线
方程为
与圆C 相交于A、B 两点，求
.
(2)在（1）的前提下，若点Q 是
圆上的点，求
面积的最大值.
62．已知圆
，点
为圆
上任意一点，点
，点
是线段
的中
点．
(1)求点
的轨迹方程
；
(2)点
是轨迹
上任一点，求
的取值范围．
63．已知点
是圆
上任意一点．
(1)求P 点到直线
的距离的最大值和最小值．
(2)求
的最大值和最小值．
(3)求
的最大值和最小值
64．已知圆
过
，
，
三点.
(1)求圆
的标准方程；
(2)若点
在圆
上运动，求
的最大值.
题型十三：直线与圆综合问题
65．已知双曲线
的一条渐近线为
，且过点
．
(1)求
的方程；
(2)已知
为坐标原点，过
的右焦点
作直线与
的右支交于
，
两点．
（i）若
和
的面积的比值为2，求直线的方程；
（ii）若
关于
的对称点为
，试判断直线
与圆
的位置关系，并说明理由．
66．已知圆
，直线
．
(1)若直线与圆
相切，求实数的值；
(2)直线与圆
相交于
、
两点，且
，求圆
的半径．
67．已知曲线
.
(1)在答题卡中画出C 的大致图形，并说明理由.
(2)若
是C 上的动点，
，
，证明：
为定值.
(3)若直线
与C 的所有交点的纵坐标之和大于
，求m 的取值范围.
68．已知直线
，圆
，圆
：
.
(1)判断直线与圆
的位置关系，并说明理由；
(2)圆
与圆
交于
两点，求过
与
这三点的圆的方程.
69．已知圆C：
，点P 是直线l：
上一动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别
为A，B．
(1)若P 的坐标为
，求过点P 的切线方程；
(2)试问直线AB 是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
(3)直线
与圆C 交于E，F 两点，求
的取值范围（O 为坐标原点）.
