文档内容
高二数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系 中，点 关于平面 对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在空间直角坐标系 中，一个点 关于平面 对称的点的坐标为 ，据此即
可得到答案．
【详解】由空间直角坐标系，可得点 关于平面 对称的点的坐标为 .
故选：C
2. 已知空间向量 ， ，则 （ ）
A. B. 19 C. 17 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出 的坐标，再求出其模
【详解】因为 ， ，
所以 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：D.
3. 某公司利用无人机进行餐点即时的送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点
处起飞，6秒后到达点 处，15秒后到达点 处，若 ，则 （ ）
A. B. 120 C. 150 D. 210
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量加法的坐标运算求得 ，可求 .
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
4. 已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则实
数 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面垂直，可知 ，由此可得两向量坐标之间有倍数关系，即可求得答案.
【详解】当 时， ，所以 ，
则 ，解得 ， ．
故选：C．
5. 在平行六面体 中， ， 分别是 ， 的中点.设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】
由题意可得， .
故选：A
的
6. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上 投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为： .
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学科网（北京）股份有限公司故选：D.
7. 如图，圆柱 的母线长和底面直径相等， 分别是下底面圆 和上底面圆 的直径，且
，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线 与 所成角的余弦值.
【详解】以点 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，在底面圆 中，
过点 且垂直于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ，则 ，
所以 ，
设异面直线 与 所成的角为 ，
则 .
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司8. 在正三棱锥 中， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则 （
）
A. -2 B. -4 C. -8 D. -10
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算，先把 向量用 来表示，再用空间向量数量积运算即
可求解
【详解】在正三棱锥 中， ，所以 ，
则 ，又 ，
，
所以
.
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理判断各选项即可.
【详解】因为 是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A正确;
是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；
因为 ，所以 是共面向量，不能构成空间的一个基
底，故C错误；
因为 ，所以 是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错
误.
故选：AB.
10. 已知正方体 的棱长为2，若 ， 的中点分别为 ， ，则（ ）
A. B. 平面 平面
C. D. 点 到平面 的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据面面平行的判定定理判断B，建立空间直角坐标系，利用向量法判断线线关系判断 AC，根
据点面距离的向量公式求解距离判断D.
【详解】因为 ∥ ，且 ，则 为平行四边形，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ∥ ，且 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，因为 ∥ ，且 ，则 为平行四边形，
可得 ∥ ，且 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 ∥平面 ，故B正确；
如图，
分别以 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
， ，
， ，
故 不成立， 成立，故A错误，C正确；
设平面 的法向量 ， ，
则 ，令 ，则 ，即 ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故点 到平面 的距离为 ，故D正确.
故选：BCD
11. 在平行六面体 中， ， ，若
，其中 ， ， ，则下列结论正确的为（ ）
A. 若点 在平面 内，则 B. 若 ，则
C. 当 时，三棱锥 的体积为 D. 当 时， 长度的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得 ，进而求解判断
A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得 ，
，进而结合 即可求解判断B；由题易知四面体 为
正四面体，设 在平面 内的射影为点 ，进而可得当 时， 到平面 的距离为 ，
进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得
，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D.
【详解】对于选项A，若点 在平面 内，易知有 ，
所以 ，
又 ，则 ，故A正确；
对于选项B，由题意易得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，且 ，
又 ，即 ，
故 ，解得 ，故B正确；
对于选项C，由题易知四面体 为正四面体，
的
设 在平面 内 射影为点 ，
则 为 的中心，易得 ， ．
当 时， 到平面 的距离为 ，
所以 ，故C错误；
对于选项D，由B知，
，
又 ，
由基本不等式可知 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 长度的最小值为 ，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用空间向量的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易
的问题进行解决.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如果空间中 三点共线，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】由 三点共线，则有 与 共线，列出等式求出 即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
由 三点共线，则有 与 共线，所以 ，解得 .
故答案为： .
13. 在空间直角坐标系 中，已知 ，则三棱锥 的体积为
_________．
【答案】2
【解析】
【分析】通过已知点的坐标，求出底面 的面积，高的数值，然后求出三棱锥 的体积．
【详解】由题意得 ，所以
所以 的面积为 ，
点 都在平面 上，点 到平面 的距离3，
所以三棱锥 体的积为 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
14. 已知正方体 的棱长为 ，点 在线段 上（不含端点）.若 是锐角，则线
段 长度的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设 ， ，根据 是锐角，得到 ，
求出 的取值范围，再由 求出 的取值范围.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
，
设 ， ，则 ，则 ，
所以 ， ，
显然 与 不可能同向，
因为 是锐角，所以 ，
则 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，又 ，
所以 ，即线段 长度的取值范围为 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知空间向量 .
（1）求 ；
（2）判断 与 以及 与 的位置关系.
【答案】（1）
（2） ； .
【解析】
【分析】（1）直接利用向量线性运算和数量积的坐标运算求解即可.
的
（2）利用向量垂直和平行 判定直接判断即可.
【小问1详解】
由题知， ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ；
因为 ，
所以 ，所以 .
16. 在空间直角坐标系中，已知点 ， ， ，设 ， ．
（1）若 与 互相垂直，求 的值；
（2）求点 到直线 的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求得 与 的坐标，再根据 与 互相垂直求解；
（2）由 求解.
【小问1详解】
由题意知 ， ，
所以 ， ．
又 与 互相垂直，
所以 ，解得 ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由（1）知 ， ，
所以 ，
所以点 到直线 的距离 ．
17. 如图，在长方体 中， ， ， ， ， ， 分别为棱 ，
， ， 的中点.
（1）证明： ， ， ， 四点共面；
（2）若点 在棱 ，且 平面 ，求 的长度.
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）连接 ， ， ，先可得到四边形 为平行四边形，进而得到
，结合 即可得到 ，进而求证；
（2）建立空间直角坐标系，设 ，结合空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：连接 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ， ， 分别为棱 ， ， ， 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面.
【小问2详解】
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
由 ， ， ， ， ， 分别为棱 ， ， ， 的中点，
可得 ， ， ， ，
则 ， ，
设 ，即 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 平面 ，故 ，
即 ，解得 ，
所以 .
18. 如图，在四棱锥 中， ，
，点 为棱 上一点．
（1）证明： ；
（2）当点 为棱 的中点时，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）当二面角 的余弦值为 时，求 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先由勾股定理得到 ，再由线面垂直的判定定理证明 平面 即可；
（2）建立如图所示坐标系，求出平面 的一个法向量再代入空间线面角的公式求解即可；
（3）设 ，求出平面 和平面 的一个法向量代入空间二面角公式求出
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学科网（北京）股份有限公司即可；
【小问1详解】
证明：因为 ，
所以 ，所以 ，
又 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
【小问2详解】
因为 ，所以 ，则 ．
由（1）可知 两两垂直，以 为原点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立
如图所示的空间直角坐标系 ．
则 ，
当点 为棱 的中点时， ．
设平面 的一个法向量 ，
则 即 令 ，解得 ，故 ，
为
设直线 与平面 所成角 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【小问3详解】
由（2）可知 ，
设 ，则 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 即 令 ，解得 ，
故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 令 ，解得 ，故 ，
所以 ，
即 ，整理，得 ，解得 或 （舍去）．
故 ．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球 的半径为 ， 为球面上
三点，劣弧 的弧长记为 ，设 表示以 为圆心，且过 的圆，同理，圆 ， 的劣弧
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学科网（北京）股份有限公司的弧长分别记为 ，曲面 （阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角 ， ，
分别为 ， ， ，则球面三角形的面积为 .
（1）若平面 ，平面 ，平面 两两垂直，求球面三角形 的面积；
（2）若将图一中四面体 截出得到图二，若平面三角形 为直角三角形， ，设
， ， .
①求证： ；
②延长 与球 交于点 ，连接 ，若直线 与平面 所成的角分别为 ， ，
， ， 为 中点， 为 中点，设平面 与平面 的夹角为 ，求 的
最小值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；② .
【解析】
【分析】（1）根据平面 ，平面 ，平面 两两垂直，得 ，即可求解；
（2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明；
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学科网（北京）股份有限公司②建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面 的法向量，利用向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
解：因为平面 ，平面 ，平面 两两垂直，
所以 ，
所以球面三角形ABC的面积 ；
【小问2详解】
解：①证明：由余弦定理可得：
，且 ,
所以 ，
即 ，
消去 ，则有：
即 ；
②由题意可知 是球的直径，则有 ,
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ,
又因为 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为直线 与平面 所成的角分别为 ， ，
所以 ，
不妨令 ，
则 ， ，
又因为 , , ,
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，过点 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系：
设 ，
则
可得 ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
所以 ；
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
所以 ，
要使 取最小值，则 取最大值，
因为
令 ，
则 ，
所以
当且仅当 时等号成立，
则 的最大值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 取最小值为 .
【点睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些.
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学科网（北京）股份有限公司
