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微重点 11 立体几何中的动态问题
“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、
线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，
也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问
题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化．
考点一 动点轨迹问题
例1 (2022·运城模拟)如图，正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，线段CD 上有两个动点
1 1 1 1 1
E，F，且EF＝1，点P，Q分别为AB ，BB 的中点，G在侧面CDD C 上运动，且满足
1 1 1 1 1
BG∥平面CDPQ，下列命题错误的是( )
1 1
A．AB⊥EF
1
B．多面体AEFB 的体积为定值
1
C．侧面CDD C 上存在点G，使得BG⊥CD
1 1 1
D．直线BG与直线BC所成的角可能为
1
答案 D
解析 对于A，如图，连接C D，
1
因为ABCD－ABC D 为正方体，所以DC ∥AB，又DC ⊥CD，EF与CD 是同一条直线，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以DC ⊥EF，则AB⊥EF，故A正确；
1 1
对于B，根据题意，得EF＝1，E，F在线段CD 上运动，且点A到直线CD 的距离不变，
1 1
故△AEF的面积为定值，又点B 到平面ACD 的距离h也为定值，
1 1
故 ＝S h为定值，故B正确；
△AEF
对于C，取C D，C C的中点分别为M，N，连接BM，MN，NB ，如图所示，
1 1 1 1 1易知在△C DC中，MN∥CD，又PD∥BM，MN∩BM＝M，CD∩PD＝D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
MN，BM⊂平面BMN，CD，PD⊂平面CDPQ，故平面BMN∥平面CDPQ，
1 1 1 1 1 1 1
又点G在侧面CDD C 上运动，且满足BG∥平面CDPQ，故点G的轨迹即为线段MN；
1 1 1 1
因为 ABCD－ABC D 为正方体，故 CD⊥平面 BCC B ，又 BN⊂平面 BCC B ，故
1 1 1 1 1 1 1 1 1
BN⊥CD，
1
则当点G与点N重合时，BG⊥CD，故C正确；
1
对于 D，因为 BC∥BC ，故直线 BG 与 BC 所成角即为直线 BG 与 BC 所成角，即
1 1 1 1 1 1
∠C BG，
1 1
在Rt△BC G中，C G ＝C N＝，C G ＝＝＝，
1 1 1 max 1 1 min
故tan∠C BG＝＝C G∈，
1 1 1
而当直线BG与直线BC所成的角为时，
1
tan ＝∉，故直线BG与直线BC所成的角不可能为，故D错误．
1
规律方法 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定．
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算．
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．
跟踪演练1 (2022·江西联考)已知点P在棱长为2的正方体ABCD－ABC D 的表面上运动，
1 1 1 1
且PB＝PD，则点P所形成的轨迹为多边形，以下结论中正确命题的个数为( )
1
①该多边形是共面的正六边形；
②BD 垂直于该多边形所在的平面；
1
③AC平行于该多边形所在的平面；
④该多边形的周长为6.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 点P的轨迹是过BD 的中点O且垂直于BD 的平面与正方体ABCD－ABC D 的表面
1 1 1 1 1 1
的交线EFGHSR，如图所示．该多边形是共面的正六边形，
∴①正确；
∵BD⊥SR，BD⊥ER，SR∩ER＝R，SR，ER⊂平面EFGHSR，
1 1
∴BD⊥平面EFGHSR，∴②正确；
1
∵连接AC，AC∥RS，RS⊂平面EFGHSR，AC⊄平面EFGHSR，
∴AC∥平面EFGHSR，∴③正确；
∵边长RS＝，∴该多边形的周长为6，∴④正确．
考点二 折叠、展开问题
例2 (2022·德州模拟)如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上
(不含端点)且BE＝BF.将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A ，
1
在图2，则下列结论正确的有( )
①AD⊥EF；
1
②当BE＝BF＝BC时，三棱锥A－EFD的外接球体积为π；
1
③当BE＝BF＝BC时，三棱锥A－EFD的体积为；
1
④当BE＝BF＝BC时，点A 到平面EFD的距离为.
1
A．①③ B．①④
C．①③④ D．②③④
答案 C
解析 对于①，在正方形ABCD中AD⊥AE，DC⊥FC，
由折叠的性质可知AD⊥AE，AD⊥AF，
1 1 1 1
又∵AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，
1 1 1 1 1 1
∴AD⊥平面AEF，
1 1
又∵EF⊂平面AEF，
1
∴AD⊥EF，故①正确；
1
对于②，当BE＝BF＝BC＝2时，
AE＝AF＝2，EF＝2，
1 1在△AEF中，AE2＋AF2＝EF2，
1 1 1
则AE⊥AF，
1 1
由①可知，AD⊥AE，AD⊥AF，
1 1 1 1
∴三棱锥A －EFD的三条侧棱AD，AE，AF两两相互垂直，把三棱锥A －EFD放置在长
1 1 1 1 1
方体中，可得长方体的体对角线长为＝2，则三棱锥A－EFD的外接球半径为，
1
体积为πR3＝π×()3＝8π，故②错误；
对于③，当BE＝BF＝BC＝1时，
AE＝AF＝3，EF＝，
1 1
在△AEF中，cos∠EAF＝
1 1
＝＝，
∴sin∠EAF＝，
1
则 ＝AE·AF·sin∠EAF
1 1 1
＝×3×3×＝，
∴
＝××4＝，故③正确；
对于④，设点A 到平面EFD的距离为h，则在△EFD中，
1
cos∠EDF＝＝＝，
∴sin∠EDF＝，
则S ＝DE·DF·sin∠EDF
△EFD
＝×5×5×＝，
∴ ＝·S ·h＝××h＝，
△EFD
即h＝，故④正确．
规律方法 画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、
不变的数量关系．
跟踪演练2 (2022·湖州模拟)如图，已知四边形ABCD，△BCD是以BD为斜边的等腰直角
三角形，△ABD为等边三角形，BD＝2，将△ABD沿直线BD翻折到△PBD.在翻折的过程
中，下列结论不正确的是( )
A．BD⊥PCB．DP与BC可能垂直
C．直线DP与平面BCD所成角的最大值是45°
D．四面体PBCD的体积的最大值是
答案 C
解析 对于A，如图所示，取BD的中点M，连接PM，CM，
∵△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，∴BD⊥CM，
∵△ABD为等边三角形，
∴BD⊥PM，CM，PM⊂平面PMC，
又CM∩PM＝M，
∴BD⊥平面PMC ，∵PC⊂平面PMC，∴BD⊥PC ，故A正确；
对于B，假设DP⊥BC，又BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC，
又PB＝2，BC＝，PC＝∈(－1，＋1)，故DP与BC可能垂直，故B正确；
对于C，当平面PBD⊥平面BCD时，PM⊥平面BCD，∠PDB即为直线DP与平面BCD所
成角，
此时∠PDB＝60°，故C错误；
对于 D，当平面 PBD⊥平面 BCD 时，四面体 PBCD 的体积最大，此时的体积为 V＝
S ·PM＝××××＝ ，故D正确．
△BCD
考点三 最值、范围问题
例3 (2022·芜湖模拟)已知四棱锥P－ABCD的高为，底面ABCD为矩形，BC＝3，AB＝2，
PC＝PD，且平面PCD⊥平面ABCD.现从四棱锥中挖去一个以CD为底面直径，P为顶点的
半个圆锥，得到的几何体如图所示．点N在 上，则PN与侧面PAB所成的最小角的正弦
值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图所示，连接CD，分别取AB，CD的中点为E，F，连接EF，EF与 交于点H.
记点N到侧面PAB的距离为d，PN与侧面PAB所成的角为θ，由于PN的长为定值，因此当
且仅当d最小时，PN与侧面PAB所成的角最小，即点N在H点处时，θ＝∠HPE.
由平面PCD⊥平面ABCD易知PF⊥EF，又PF＝，EF＝3，HF＝1，则PH＝EH＝2，
所以θ＝∠HPE＝∠PEF，所以tan θ＝＝，即sin θ＝.
规律方法 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解
题思路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法
求目标函数的最值．
跟踪演练3 (2022·菏泽质检)如图，等腰Rt△ABE的斜边AB为正四面体A－BCD的侧棱，
AB＝2，直角边AE绕斜边AB旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E－BCD体积的取值范围
是__________________．
答案
解析 如图，令F为CD的中点，O为AB的中点，则点E在以O为圆心，1为半径的圆上
运动，
由图可知当F，O，E三点共线，且O在F，E之间时，三棱锥E－BCD的体积最大，当运
动到E 的位置时，E－BCD的体积最小，
1
在Rt△BOF中，BO＝1，BF＝，OF＝，
sin∠BFO＝，FE＝＋1，FE＝－1，
1
设E，E 到平面BCD的距离分别为h，h，则
1 1 2
h＝＝，
1h＝＝，
2
S ＝×2×＝，
△BCD
所以三棱锥E－BCD体积的最大值为
××＝，
三棱锥E－BCD体积的最小值为
××＝，
所以三棱锥E－BCD体积的取值范围为.
专题强化练
1．(2022·佛山模拟)在棱长为3的正方体ABCD－ABC D中，M是AB 的中点，N在该正方
1 1 1 1 1
体的棱上运动，则下列说法正确的是( )
A．存在点N，使得MN∥BC
1
B．三棱锥M—ABC 的体积等于
1 1
C．有且仅有两个点N，使得MN∥平面ABC
1 1
D．有且仅有三个点N，使得点N到平面ABC 的距离为
1 1
答案 C
解析 对于A，显然无法找到点N，使得MN∥BC ，故A错误；
1
对于B，
＝×××3×3＝，故B错误；
对于C，如图所示，设N ，N 分别为BB，BC 的中点，则有MN ∥平面ABC ，MN ∥平
1 2 1 1 1 1 1 1 2
面ABC ，故C正确；
1 1
对于D，如图所示，设BD交平面ABC 与平面ACD 分别于点O ，O ，易证BD⊥平面
1 1 1 1 1 2 1
ABC ，BD⊥平面ACD ，且BO＝OO＝OD＝BD＝，
1 1 1 1 1 1 1 2 2 1
所以有B，A，C，D 四点到平面ABC 的距离为，故D错误．
1 1 1 1
2．(2022·北京顺义模拟)如图，设E，F分别是长方体ABCD－ABC D 棱CD上的两个动点，
1 1 1 1
点E在点F的左边，且满足2EF＝DC＝BC，有下列结论：①BD⊥平面BEF；
1 1 1
②三棱锥D－BEF的体积为定值；
1 1
③AA∥平面BEF；
1 1
④平面AADD ⊥平面BEF.
1 1 1
其中，所有正确结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
答案 C
解析 对于①，BD 与DC 显然不垂直，而EF∥C D ，因此BD 与EF显然不垂直，从而
1 1 1 1 1 1 1 1
BD⊥平面BEF是错误的，①错误；
1 1 1
对于②， ，在三棱锥B －DEF中，平面DEF即平面CDD C ，B 到平面
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CDD C 的距离为BC ，是定值，在△DEF中，EF的长不变，D 到EF的距离不变，故
1 1 1 1 1 1
△DEF的面积为定值，因此三棱锥D－BEF的体积是定值，②正确；
1 1 1
对于③，平面BEF就是平面BADC，而AA 与平面BADC相交，故AA与平面BEF相交，
1 1 1 1 1 1 1 1
③错误；
对于④，在长方体中，CD⊥平面ADDA，CD⊂平面BADC，所以平面ADDA⊥平面
1 1 1 1 1 1
BADC，即平面AADD ⊥平面BEF，④正确．
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3.(2022·北京模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，P为线段AB上的动点
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(不含端点)，则下列结论正确的个数是( )
①平面DAP⊥平面AAP；
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②∠APD 的取值范围是；
1
③三棱锥B－DPC的体积为定值；
1 1
④DC ⊥DP.
1 1
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵DA⊥平面AAP，DA⊂平面DAP，∴平面DAP⊥平面AAP，①正确；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
如图，连接AD ，若P是AB上靠近A 的一个四等分点，则DP2＝1＋2＝，此时AP2＝AA＋
1 1 1 1AP2－2AA×AP×cos 45°＝，DP2＋AP2
