8.7 二面角和面面垂直
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：二面角的概念................................................................ 2
考点二：平面与平面垂直概念....................................................... 2
考点三：平面与平面垂直的判定定理...............................................2
考点四：平面与平面垂直的性质定理...............................................2
考点五：平面与平面垂直的其他性质...............................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：二面角的求法（小题）.................................................... 3
题型二：二面角的求法（大题）.................................................... 5
题型三：面面垂直的判定与性质.................................................... 9
题型四：面面垂直的证明............................................................. 9
题型五：面面垂直性质的应用......................................................15
题型六：折叠与垂直问题........................................................... 19
题型七：动点问题在面面垂直中的探究..........................................21
题型八：由二面角大小求线段长度或距离....................................... 23
题型九：空间垂直的转化思想......................................................25
模块三：综合巩固....................................................................... 27
8.7 二面角和面面垂直
模块一：基础知识
考点一：二面角的概念
1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2、相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
3、画法：
4、记法：二面角
l
或
AB
或P
l
Q
或P
AB
Q
.
5、如上3 图，二面角的平面角：若有①O
l
；②OA
，OB
；
③OA
l
，OB
l
，则二面角
l
的平面角是
AOB
．
考点二：平面与平面垂直概念
1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2、图形语言：
3、符号语言：α⊥β.
考点三：平面与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：
,
l
l
考点四：平面与平面垂直的性质定理
1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：
l
a
a
a
l
4、作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线
考点五：平面与平面垂直的其他性质
1.如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即
,
,
A
A
b b
b
，
2.如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即
,
∥
；
3.如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即
,b
b
b
∥或
；
4. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即
,
,
l
l
；
5.三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即
,
,
,
,
,
,
,
l
m
n
l
m m
n l
n
6.垂直问题转化关系如下所示
模块二：题型分类
题型一：二面角的求法（小题）
1.如图，已知PA
，PB
，垂足为A 、B ，若
60
APB
，则二面角
l
的大小是______．
2.如图，大小为120的二面角
l
的棱上有两个点A，B，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面
内，并且都垂直于棱l.若
2
MN
，
3
PM
，
4
NQ
，则PQ _____________.
3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，
如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2 倍，
则侧面与底面的夹角的正切值为___________．
4.三棱锥
P
ABC 中，若二面角
,
,
P
AB
C P
AC
B P
BC
A
所成的平面角均相等，则点P 在底面ABC
上的投影点为ABC
的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
5．（多选）在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
E F 分别是
1
1
,
BC A D 的中点，下列说法正确的是（
）
A．四边形
1B EDF 是菱形
B．直线AC 与
1
BC 所成的角为4
C．直线
1
AC 与平面ABCD所成角的正弦值是
3
3
D．平面
1A BD 与平面ABCD所成角的余弦值是
6
3
6.如图,正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长都为2,则平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值为（
）
A．
7
7
B．2 7
7
C．
21
7
D．
7
7
7.（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，设E 是棱BC 的中点，则（
）
A．
1
BD 平面
1
C DE
B．
1
BC
AC
^
C．平面
1
1
A BC 与平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
D．三棱锥
1
D
ACD
与三棱锥
1
B
ACD
体积相等
题型二：二面角的求法（大题）
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
(1)求异面直线
1
AB 与
1
BC 所成的角的大小；
(2)求二面角
1
C
AB
C
的大小.
2.如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AC
AA
，
45
ABC
.
(1)求直线
1
BA 与平面
1
1
BCC B 所成的角；
(2)求二面角
1
A
AC
B
的正切值.
3.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面
,
,
3
ABC CA
CB
AOC
，点O在棱AB 上且是ABC 的外心（三角形
三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心即外接圆的圆心），点G 是AOC
的内心（三角形的内心是三角
形三条角平分线的交点即内切圆的圆心），
2
PA
AB
.
(1)求证：平面OPG 平面PAC ；
(2)求二面角P
OG
B
的正弦值.
4.如图所示，在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2 的正三角形，△ACD 是直角三角形，且AD=CD，且
BD=2，E 为DB 的中点．
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC．
(2)求二面角E
AC
B
的大小．
5.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
E
BB
，截面
1A EC 侧面
1
AC .
(1)求证：
1
BE
EB
；
(2)若
1
1
1
AA
A B
，求平面
1A EC 与平面
1
1
1
A B C 所成二面角（锐角）的度数.
题型三：面面垂直的判定与性质
1.已知直线l 、m 与平面、，l ，m
，则下列命题中正确的是（
）
A．若//
l m ，则必有
//
B．若l
m
，则必有
C．若l
，则必有
D．若
，则必有m
2.已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（
）
A．若
/ / ,
,
m
n
则
//
m
n
B．若
,
,
/ / ,
n m
m
n
则
C．若
,
,
则
/ /
D．若
,
,
m m
则
3.m，n 表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，
③若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，
④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m，
其中正确的结论个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4.已知，是两个不同的平面，“存在直线l ，l
，l
”是“
∥
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5.设
,
m n 是两条不同的直线，,
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若
,
,
m
n
∥
，则m
n
∥
B．若
,
,
m
n
∥
∥
，则m
n
C．若
,
,
m
n m
n
∥
∥
，则
D．若
,
,
m
n m
n
∥
，则
∥
题型四：面面垂直的证明
1.如图，在几何体P
ABCD
中，已知PA 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，
π
2
ABC
BAD
，
2
AD
，
1
AB
BC
．求证：平面PCD 平面PAC ；
2.如图，V 是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB 是底面圆的一条直径，且点C 是弧AB 的中点，点D 是AC
的中点，
2
AB
，
2
VA=
．
（1）求圆锥的表面积；
（2）求证：平面VAC 平面VOD ．
3.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，
1
1
2
AC
BC
AA
，D 是棱AA1的中点.
证明：平面BDC1⊥平面BDC.
4.如图所示，在四棱锥S
ABCD
中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC 平面ABCD，E 为SA的中点，
求证：平面EBD 平面ABCD.
5.已知AB 平面BCE ，
//
CD AB ，BCE
是正三角形，
2
AB
BC
CD
.求证：平面ADE 平面ABE ；
6.如图，四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，
π
2
BAD
BCD
，
1,
2
AB
BC
PA
BD
．过点C 作
直线AB 的平行线交AD 于
,
F G 为线段PD 上一点．
(1)求证：平面PAD 平面CFG ；
7.如图，四棱锥P
ABCD
的底面是菱形，PA 平面ABCD，点E ，F 分别为棱
,
AB PD 的中点.
(1)求证：平面PBD 面PAC ；
(2)求证：
//
AF
平面PCE .
8.图1 是直角梯形
,
,
90 ,
2,
3,
3,
2
ABCD AB
DC
D
AB
DC
AD
CE
ED
∥
，以BE 为折痕将BCE 折起，
使点C 到达
1
C 的位置，且
1
6
AC
，如图2．
(1)求证：平面
1
BC E 平面ABED ；
(2)已知点P 为线段
1
DC 上一点，且
1
2
PC
PD
，求三棱锥
1
B
PEC
体积．
9.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是矩形，O是BC 的中点，
3
PB
PC
，
2
2
PD
BC
AB
.
(1)求证：平面PBC 平面ABCD；
(2)求点A 到平面PCD的距离.
10.如图所示，圆锥的高
2
PO
，底面圆O 的半径为R，延长直径AB 到点C，使得BC
R
，分别过点A，
C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E，点D 是切线CE 与圆O 的切点．
(1)证明：平面PDE 平面POD ；
11.如图，已知在四棱锥S
ABCD
中，
1
2
AB
AD
，
90
BAD
ADC
，
2
tan
3
BCD
，平面SAC ⊥平面
ABCD
．
(1)求证：平面SBD ⊥平面SAC ；
(2)若直线BD 平面
，直线SC 平面
O
，直线
//
SA
平面，求SC
SO 的值．
题型五：面面垂直性质的应用
1.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为正方形，平面PAD 平面ABCD，Q 为棱PD 的中点，
2
PA
AD
PA
AB
，
．求证：PA 平面ABCD；
2.如图，四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD为梯形，其中
//
,
2
2
4,
60
AB DC AB
BC
CD
BCD
，平
面PBD 平面ABCD.证明：PB
AD
；
3.如图，在四棱锥P
ABCD
中，平面PAD 底面ABCD，CD
AB
∥
，
2
PA
PD
AD
DC
，
=4
AB
，
60
DAB
．证明：BD
PA
4.如图，四棱锥B
AEDC
中，平面AEDC 平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且
/ /
AE
DC ，
=90
ACD
，
2
DC
AC
AB
AE
．证明：EP 平面BCD
5．如图，在三棱锥A
BCD
中，
1,
2
AD
CD
AB
BC
AC
，平面ACD 平面ABC ，则三棱锥
A
BCD
外接球的表面积为（
）
A．3π
B．8 π
3
C．7 π
3
D．2π
6．将一副三角板排接成平而四边形ABCD（如图），
1
BC ，将其沿BD 折起，使得而ABD⊥面BCD．若
三棱锥A-BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（
）
A．2π
B．7π
3
C．8π
3
D．3π
7．已知A，B，C，D 为空间四点，在△ABC 中，AB＝2，AC＝BC＝
2 ，等边三角形ADB 以AB 为轴运
动，则当平面ADB⊥平面ABC 时，CD＝
．
8．如图，在面内有线段
1
AB 和
2
BC
，且
,
AB
BC CD
面，
3
CD
，则A D
､
之间的距离
为
．
9．如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
ABB A 平面
1
1
1
1
1
π
,
,
4,
2,
2
AB C BB
AB AB
AA
AB
BAC
.
(1)证明：AC 平面
1
1
ABB A ；
(2)若直线BC 与
1
1
B C 距离为3，求平面
1
1
ABB A 与平面
1
1
BCC B 夹角的余弦值.
10．已知三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
AAC C 平面
1
1
1
A B C ，
1
1
1
AA
B C
，若
1
1
1
1
1
60
1
2.
AC C
AC
CC
B C
,
,
(1)求证：
1
1
B C
AC
；
(2)求
1
AB 与平面
1
1
B C CB所成角的正弦值.
题型六：折叠与垂直问题
1.如图，在等腰梯形ABCD，
//
AB CD ，
2
2
2
AB
CD
AD
，
60
ABC
.将ACD
沿着AC 翻折，使得
点D 到点P ，且
AP
BC .
（1）求证：平面APC 平面ABC ；
（2）求点C 到平面APB 的距离.
2.如图1，在直角梯形ABCD中，
/ /
AB
CD ，AB
AD
，且
1
1
2
AB
AD
CD
，现以AD 为一边向梯形外
作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ED
DC
，M 为ED 的中点，如图2．
（1）求证：
/ /
AM
平面BEC ；
（2）求证：平面BCE 平面BDE ；
3.如图甲，已知四边形ABCD 是直角梯形，E，F 分别为线段AD，BC 上的点，且满足AB
CD
EF
∥
∥
，
2
4
4
AB
EF
CD
，AB
BC
，
45
A
．将四边形CDEF 沿EF 翻折，使得C，D 分别到
1
C ，
1
D 的位置，
并且
1
3
BC
，如图乙．
（1）求证：
1
1
ED
BC
；
（2）求点E 到平面
1
1
ABC D 的距离．
4.（多选）菱形ABCD 中，
2
AB
，
60
BAD
，将
ABD
△
沿对角线BD 翻折到
PBD
△
位置，连结PC，
得到三棱锥P
BCD
，则（
）
A．PC
BD
B．存在某个位置，使PB
CD
C．三棱锥P
BCD
的体积最大值为3
D．存在某个位置，使PC 平面BCD
5.（多选）如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM
沿直线AM 翻折成
1
AB M
，连结
1B D，N 为
1B D
的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（
）
A．存在某个位置，使得
1
CN
AB
B．翻折过程中，CN 的长是定值
C．若AB
BM
，则
1
AM
B D
D．若
1
AB
BM
，当三棱锥
1B
AMD
的体积最大时，三棱锥
1B
AMD
的外接球的表面积是4π
题型七：动点问题在面面垂直中的探究
1.三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
被平面
1
1
A B C 截去一部分后得到如图所示几何体，
1
BB 平面ABC ，
90
ABC
，
1
BC
BB
，E 为棱
1B C 上的动点（不包含端点），平面ABE 交
1AC 于点F ．
（1）求证：AB 平面
1
B BC ；
（2）求证：
//
EF AB ；
（3）试问是否存在点E ，使得平面ABE 平面
1
1
A B C ？并说明理由．
2.如图：
2
AD
，
4
AB
的长方形ABCD所在平面与正PAD
所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD
的中点．
（1）求证：
/ /
PA
平面MBD ；
（2）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面PCN 平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并
证明你的结论；若不存在，请说明理由．
3.如图示，边长为4 的正方形ABCD与正三角形ADP 所在平面互相垂直，M 、Q 分别是PC ，AD 的中点．
（1）求证：
/ /
PA
面BDM ；
（2）求多面体P
ABCD
的体积；
（3）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使面PCN 面PQB ？若存在，指出N 的位置，若不存在，请
说明理由．
4.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别为AB 和DD1的中点．
（1）求证：EF∥平面BCD1；
（2）在棱C1D1上是否存在一点M，使得平面MEF⊥平面BCD1？若存在，求出
1
1
C M
D M 的值；若不存在，请说明
理由．
5.如图，已知在四棱锥S
ABCD
中，底面ABCD是平行四边形，AC
BC
，
60
ABC
，
=4
SA
SB
SC
，
90
ASB
.
（1）求SC 与平面SAB 所成的角的正弦值；
（2）棱SC 上是否存在点M ，使得平面MAB 平面SCD ？若存在，求SM 的值；若不存在，请说明理由．
题型八：由二面角大小求线段长度或距离
1．已知正方形ABCD的边长为1，现将ACD
沿对角线AC 向上翻折，使得二面角D
AC
B
的夹角为π
3 ，
则点D 到平面ABC 的距离为（
）
A．
2
2
B．
6
4
C．
2
4
D．1
4
2．已知菱形ABCD的边长为2，
60
ABC
.将菱形沿对角线AC 折叠成大小为60°的二面角B
AC
D
.
设E 为B C
的中点，F 为三棱锥B
ACD
表面上动点，且总满足AC
EF
，则点F 轨迹的长度为（
）
A．3 3
2
B．
3
2
C．3 3
D．
3
3．已知二面角
l
为60°，点A
，AC
l
，C 为垂足，点B
，BD
l
，D 为垂足，且
3
AC
，
1
CD ，
2
DB 则线段AB 的长度为（
）
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．2 6
4．已知二面角
l
为60，点P 、Q 分别在、内且PQ
l
，P 到的距离为3 ，Q 到的距离
为
3
2
, 则PQ 两点之间的距离为（
）
A．
3
B．1
C．2
D．
2
5．在45的二面角的一个面上有一点P ，它到棱的距离等于
2 ，则点P 到另一个平面的距离为
．
6．一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为30，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成60角，沿这条直
道向上100 米后，升高了
米．
题型九：空间垂直的转化思想
1．如图，在四面体SABC 中，已知SA，SB，SC 两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，求：
(1)BC 与平面SAB 所成的角；
(2)SC 与平面ABC 所成角的正弦值．
2．如图，在四面体PACD 中，平面PAC 平面ADC，
90 ,
4,
60
APC
ADC
AC
DAC
，
45 ,
,
PAC
E F
分别为
,
AP CP 的中点，
1
4
CG
CD
，
1
4
AH
AD
.
(1)求证：点H 在平面EFG 内；
(2)求直线PD 与平面PAC 所成角的正弦值．
3．如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为a 的正方形，侧面PAD 底面ABCD，且
2
2
PA
PD
a
，设E 、F 分别为PC 、BD 的中点．
(1)证明：直线
//
EF
平面PAD ；
(2)求直线PB 与平面ABCD所成的角的正切值．
4．如图，已知四棱锥P
ABCD
的底面ABCD是菱形，
60
BCD
，PBC
是边长为2 的正三角形，平
面PBC 平面ABCD，E 为AD 的中点，点F 在PA 上，
3
AP
AF
.
(1)证明：PC∥平面BEF ；
(2)求三棱锥C
BEF
的体积.
5．如图，已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面边长是2，D 是侧棱
1
CC 的中点，直线AD 与侧面
1
1
BB C C 所成
的角为45.
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求二面角A－BD－C 的正切值.
模块三：综合巩固
1.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，二面角
1A
BC
A
的余弦值为（
）
A．
1
2
B．2
3
C．
2
2
D．
3
2
2.过正方形ABCD的顶点A 作AP 平面ABCD，且AP
AB
，则二面角P
CD
A
的大小是（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
3.设二面角
l
的大小为45°，A 为棱上一点，AB 在内与l 成45°角，则AB 与平面所成角的大
小为_____．
4.如图，若PA 平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，PA
AB
，则二面角P
BC
A
的大小为______.
5.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
E F 分别为AB 、
1
AA 的中点，则平面
1
CEB 与平面
1
1
D FB 所成二面
角的平面角的正弦值为______．
6．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中.
(1)求证：
1//
BC
平面
1
1
AB D ；
(2)作出二面角
1
1
B
AD
B
的平面角，并说明理由.
7．如图，正三棱锥S
ABC
中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，M 是BC 的中点．求：
(1) AM
SM 的值；
(2)二面角S
BC
A
的大小；
(3)正三棱锥S
ABC
的体积．
8．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，
2
1
AB
AF
，
，M 是线段EF 的中点．
(1)求证：AM // 平面BDE；
(2)求证：
AM
平面BDF；
(3)求二面角A
DF
B
的大小．
9．如图，已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱
1
CC
上的点，且
1
2
CN
C N
．
(1)求二面角
1B
AM
N
的平面角的余弦值；
(2)求点
1
B 到平面AMN 的距离．
10．如图，四棱锥S
ABCD
的底面是边长为1 的正方形，SD 垂直于底面
,
3
ABCD SB
．
(1)求证：BC
SC
；
(2)求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；
(3)设棱SA的中点为M，求异面直线DM 与SB 所成的角的大小．
11.设m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
12.设m，n 是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法不正确的是（
）
A．若m
∥
且m
，则
B．若m
，n
，
，则直线m 与n 相交或异面
C．若m
，n
∥
，
，则直线m 与n 一定垂直
D．若m
，n
，
∥
，则m 与n 异面或平行
13.已知直线m
n
，与平面
，，，则能使
成立的一个充分条件是（
）
A．
，
B．
,
,
m n
m n
C．
,
,
m
n m
n
D．m ∥，m
14.l ，m 是空间两条直线，，是空间两个平面，则（
）
A．//
l
m ，l ，m
，则
/ /
B．l
m
，l ，m
，则
C．
，//
l ，
/ /
m
，则l
m
D．l
，//
l
m ，m
，则
15.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，
2
2
PA
AB
AC
，
60
BAC
，F 为棱PC 上一点，满足
AF
PC
于F．求证：平面ABF 平面PBC ；
16.如图所示，圆锥的高
2
PO
，底面圆O 的半径为R，延长直径AB 到点C，使得BC
R
，分别过点A，C
作底面圆O 的切线，两切线相交于点E，点D 是切线CE 与圆O 的切点．证明：平面PDE 平面POD ；
17.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD 平面ABCD，PD//QA ，
1
2
QA
AB
PD
．证明：平面PQC
平面DCQ ．
18.如图，在正四棱锥P
ABCD
中，侧棱长为
3 ，底面边长为2，点E，F 分别为CD，CB 中点．求证：
（1）PA
EF
；
（2）平面PAD 平面PBC．
19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD为菱形，
π
3
BAD
，
2
2
BD
DE
BF
，DE
AC
，
BF
DE
．
(1)求证：平面ACF 平面BDEF ；
(2)当BF
CD
⊥
时，求三棱锥D
ACF
的体积．
20．在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD
＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C′ABD.当C′D＝
2 时，求证：平
面C′AB⊥平面DAB.
21．如图所示，在矩形ABCD中，已知
1
2
AB
AD
，E 是AD 的中点，沿BE 将ABE
折起至A BE
的位置，
使AC
A D
.求证：平面A BE
平面BCDE .
22．如图几何体中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，
AE
平面ABC ，若
/ /
/ /
AE
CD
BF ，
5
AE ，
4
CD
，
3
BF
．
(1)求证：平面DEF 平面AEFB ；
(2)求该几何体的体积．
23．如图，在多面体ABCDE 中，A，B，E，D 四点共面，DA
ABC
平面
，
2
AB
AC
，
2
2
DA
，
3
EB
，
BE
DE
，F 为BC 的中点．
(1)求证：平面ADF 平面BCE；
(2)求点E 到平面ABC 的距离．
24．如图，在平行四边形ABCM 中，
3
AB
AC
，
90
ACM
，以AC 为折痕将
ACM
△
折起，使点M
到达点D 的位置，且AB
DA
．
(1)证明：平面ACD 平面ABC；
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且
2
3
BP
DQ
DA
，求三棱锥Q
ABP
．
25．如图，在平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，
,
/ /
PA
AB CD
AB ，且
2
4
PA
CD
AB
.将此平
面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P
DC
B
，连接
,
,
PA PB BD .证明：平面PBD 平面PBC .
26．如图在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是正方形，侧面PAD 底面ABCD，且
1
2
PA
PD
BD
，设
,
E F 分别为
,
PC BD 的中点．
(1)求证：平面PAB 平面PDC ；
(2)求直线EF 与平面ABCD所成角的大小．
27．如图，在三棱锥A
BCD
中，AB 平面BCD，平面ABC 平面ABD ，AC
AD
，AB
BD
．
(1)证明：BC
BD
；
(2)求二面角A
CD
B
的正切值．
28．如图，在棱长均为6 的三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D、
1
D 分别是BC 和
1
1
B C 的中点．
(1)求证：
1
1 / /
A D
平面
1
AB D ；
(2)若平面ABC 平面
1
1
BCC B ，
1
60
B BC
，求三棱锥
1
B
ABC
的体积．
29．在三棱锥A
BCD
中，
,
,
AB
AD CB
CD O
为BD 的中点.
(1)证明：BD ⊥平面OAC .
(2)若
2
AB
BC
BD
，平面ABD 平面BCD，求点B 到平面ACD 的距离.
30.如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC 沿AC 折起，使平
面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
31.在如图1 所示的等腰梯形CDEF 中，
2,
2
2 2
DE
CD
EF
，将它沿着两条高
,
AD BC 折叠成如图2
所示的四棱锥E
ABCD
（
,
E F 重合），点
,
M N 分别为线段
,
AB DE 的中点.
（1）证明：MN∥平面BEC ；
（2）求证：平面BEC 平面DEA.
32.点D 是Rt ABC
斜边AB 上一动点，
3
AC
，
4
BC
，将BCD
沿着CD 翻折，翻折后的三角形为
B CD
△
，
且平面B DC
平面ADC ，则翻折后AB的最小值是（
）
A．
21
B．13
C．2 2
D．
7
33.如图，在三棱台ABCDEF 中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE 上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G 点的
位置；若不存在，请说明理由．
34.如图，在四棱锥S
ABCD
中，底面ABCD 为矩形，
SAD
△
为等腰直角三角形，
2 2
SA
SD
，
=2
AB
，
F 是BC 的中点．
（1）在AD 上是否存在点E，使得平面SEF 平面ABCD，若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明
理由．
（2）
SBC
△
为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE 与平面SBC 所成角的正弦值．
35．已知菱形ABCD边长为1，
DAB
60
，将这个菱形沿AC 折成60的二面角，则
,
B D 两点的距离
为
.
36．如图，三棱锥
P
ABC 中，PA 底面ABC，AB
BC
，
2
AC
，
1
BC ，点M 满足
0
1
PM
PB
，
N 是PC 的中点．
(1)请写出一个的值使得
/ /
BC
平面AMN，并加以证明；
(2)若二面角P
BC
A
大小为45°，且
2
3
，求点M 到平面PAC 的距离．
37．如图所示，在五棱锥E
ABCDF
中，侧面AEF 底面ABC ，
AEF
△
是边长为2 的正三角形，四边形
ABDF 为正方形，BC
CD
，且BC
CD
，G 是
AEF
△
的重心，O是正方形ABDF 的中心.
(1)求证：
//
OG
平面BCE ；
(2)求二面角B
AE
D
的余弦值.
