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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题29 立体几何大题综合 （新高考通用）
1．（2021春·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）如图，在以 为顶点，母
线长为 的圆锥中，底面圆 的直径 长为2， 是圆 所在平面内一点，且
是圆 的切线，连接 交圆 于点 ，连接 、 ．
(1)求证：平面 平面 ．
(2)当二面角 的大小为 时，求四棱锥 的体积．
2．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在多面体 中，四边形 与
均为直角梯形， ， ， 平面 ， ，
．
(1)已知点 为 上一点，且 ，求证： 与平面 不平行；
(2)已知直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求该多面体 的体积．
3．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在边长为4的正三角形 中， 为边 的
中点，过 作 于 .把 沿 翻折至 的位置，连接 ､ .(1) 为边 的一点，若 ，求证： 平面 ；
(2)当四面体 的体积取得最大值时，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
4．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知四棱锥 的底面 是平行
四边形，侧棱 平面 ，点 在棱 上，且 ，点 是在棱 上
的动点（不为端点）.（如图所示）
(1)若 是棱 中点，
（i）画出 的重心 （保留作图痕迹），指出点 与线段 的关系，并说明理
由；
（ii）求证： 平面 ；
(2)若四边形 是正方形，且 ，当点 在何处时，直线 与平面
所成角的正弦值取最大值.
5．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）如图，五棱锥 中， ，
， ， ， ， ， ， ，
O，H分别是线段 的中点， ．(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
6．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）如图，在三棱柱 中，
AC⊥BC，AC＝BC＝2， ，BC 与 交于点E，平面 平面ABC，
1
，是侧棱 上一点．
(1)若D为 的中点，证明： 平面BCD．
(2)是否存在点D，使得二面角 的正弦值为 ？若存在，指出点D的位
置；若不存在，请说明理由．
7．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）如图，直三棱柱 内接于圆柱，
，平面 平面 ．(1)证明： 为圆柱底面的直径；
(2)若M为 中点，N为 中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
8．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）如图1，在长方形ABCD中，已知 ，
，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂
线分别交AF，AB于O，K两点．现将 折起，使得 （如图2）．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线DF与平面 所成角的最大值．
9．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）如图①，在 中， ， ，
，D，E分别是边AB，AC的中点，现将 沿着DE折起，使点A到达点P
的位置，并连接PB，PC，得到四棱锥 ，如图②，设平面 平面
(1)证明： 平面PBD；
(2)若点B到平面PDE的距离为 ，求平面PEC与平面PBD夹角的余弦值.
10．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图在三棱柱 中， 为 的中点，， .
(1)证明： ；
(2)若 ，且满足：______，______（待选条件）.
从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角 的正弦值.
①三棱柱 的体积为 ；
②直线 与平面 所成的角的正弦值为 ；
③二面角 的大小为60°；
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
11．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥 中，D，E，P分别在棱AC，
AB，BC上，且D为AC中点， ， 于F.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)当 ， ，二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所
成角的正弦值.
12．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）如图，在三棱锥 中，平面 平
面 ， ，点 在棱 上，且 .(1)证明： 平面 ；
(2)设 是 的中点，点 在棱 上，且 平面 ，求二面角 的余
弦值.
13．（2023·浙江·模拟预测）如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧 上一
动点（点P与点A，D不重合）， ．
(1)证明： ；
(2)若点P在平面ABCD的射影为点H，设 的中点为E点，当点P运动到某个位置
时，平面 与平面 的夹角为 ，求此时DH的长度．
14．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）如图，在直三棱柱 中，
分别是棱 的中点， .
(1)证明： ；
(2)若 ，平面 与平面 所成的锐二面角的角余弦值为 ，求直线
与平面 所成角的正弦值.
15．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知四边形ABCD中，， ，O是AC的中点，将 沿AC翻折
至 ．
(1)若 ，证明： 平面ACD；
(2)若D到平面PAC的距离为 ，求平面PAC与平面ACD夹角的大小．
16．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在菱形 中，G是对角线 上异于端点的一
动点（如图1），现将 沿 向上翻折，得三棱锥 （如图2）.
(1)在三棱锥 中，证明： ；
(2)若菱形 的边长为 ， ，且 ，在三棱锥 中，当
时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17．（2023·安徽·统考一模）如图，四棱锥 中， 为等腰三角形，
， .
(1)证明： ；
(2)若 ，点 在线段 上， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18．（2023·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥 的底面是平行四边形，
侧面PAB是等边三角形， ， ， ．
(1)求证：面 面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且 平面
BEQF，是否存在点Q，使得平面 平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若
不存在，说明理由．
19．（2023·湖南邵阳·统考二模）如图所示，在四棱锥 中，底面 是等
腰梯形， ， ．平面 平面 ， 为 的中点，
， ，E，F，G分别为 ， ， 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的正切值．
20．（2023·湖南·模拟预测）如图，在三棱柱 中，平面ABC⊥平面 ，
侧面 为菱形 ， ，底面ABC为等腰三角形， ，O是
AC的中点．(1)证明： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求三棱柱 的体积．
21．（2023·湖南·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，
， ， ， ，侧面 是等腰三角形，
.
(1)求证： ；
(2)若侧面 底面 ，侧棱 与底面 所成角的正切值为 ， 为侧
棱 上的动点，且 .是否存在实数 ，使得平面 与平面
的夹角的余弦值为 ？若存在，求出实数 若不存在，请说明理由.
22．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，圆锥的轴截面 是等腰直角三角形，且
，点 在线段 上，且 ，点 是以 为直径的圆上一动点．(1)当 时，证明：平面 平面 ；
(2)当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值．
23．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，在斜三棱柱
中， 是边长为2的正三角形， ，侧棱 与底面
所成角为60°.
(1)求三棱柱 的体积；
(2)在线段 （含端点）上是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角为60°?
若存在，请指出点 的位置；若不存在，请说明理由.
24．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在斜三棱柱 中，底面 是边
长为2的正三角形，侧面 为菱形，已知 ， ．
(1)当 时，求三棱柱 的体积；
(2)设点P为侧棱 上一动点，当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值
的取值范围．25．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）如图1，在菱形 中， 为 的中点，
.现将 沿 翻折至 ，并连接 ，得到如图2所示
的四棱锥 ，且 .
(1)证明： ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由.
26．（2023·山东日照·统考一模）如图，已知圆锥 ，AB是底面圆О的直径，
且长为4，C是圆O上异于A，B的一点， .设二面角 与二面角
的大小分别为 与 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
27．（2023·山东威海·统考一模）在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆 的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且
平面BCE.
(1)求证： ；
(2)若 ，二面角 的正弦值为 ，求三棱锥 的体积.
28．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）如图，在边长为4的等边三角形
中，平行于 的直线分别交线段 于点 .将 沿着 折起至 ，
使得二面角 是直二面角.
(1)若平面 平面 ，求证： ；
(2)若三棱锥 的体积为1，求二面角 的正弦值.
29．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图所示，六面体 的底面
是菱形， ，且 平面
，平面 与平面的交线为 .
(1)证明：直线 平面 ；
(2)已知 ，三棱锥 的体积 ，若 与平面 所成角为
，求 的取值范围.
30．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图四棱锥
在以 为直径的圆上， 平面 为
的中点，
(1)若 ，证明： ⊥ ；
(2)当二面角 的正切值为 时，求点 到平面 距离的最大值.
