文档内容
☆ 问题解决活动：最短距离
1.能利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的
变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
2.在将实际问题抽象成几何模型的过程中，提高分析能力、解决问
题的能力及渗透数学建模思想．
3.将现实生活数字化、数学生活化，培养学生的抽象能力和应用意
识．
重点：体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
难点：如何利用轴对称、平移变换将最短路径问题转化为线段和最
小问题．
知识链接我们以前学过“两点间的所有连线中，线段最短”“连接直线
外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，我们称这种问
题为最短路径问题，今天我们将探究新情境下的最短路径问题．
创设情境
如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿
着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工
厂上班．已知该地下通道长度为a m，那么地下通道的两个出入口
应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路程最
短？
请你用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题．与同伴进行交
流．
如图，点A，B在直线l的两侧，在直线l上存在线段CD=a，当CD
在什么位置时，AC＋CD＋DB的值最小？思考：AC，CD，DB哪些值不确定？什么情况下有最小值？
AC和DB的值不确定，当AC＋DB有最小值时，AC＋CD＋DB的值
最小．
思维转化：AC＋CD＋DB的最小值➡AC＋a＋DB的最小值➡AC＋
DB的最小值．
问题1：两条线段的和最小，你想到了什么性质？
两点之间，线段最短．
问题2：怎么使线段AC和DB有公共端点呢？
如图，把线段DB向左平移a m到CE，此时DB=CE．
思维转化：AC＋DB的最小值➡AC＋CE的最小值．当A，C，E三
点共线时，AC＋CE有最小值．此时AC＋CD＋DB的值最小．
问题3：CD应该设计在哪里？如图，过点B作BE∥l，使BE=a m，连接AE，AE与直线l的交点
就是点C，在直线l上作CD=a m即可使得AC＋CD＋DB的值最
小．
两个居民小区A和B在河岸l的同侧，现计划在河岸边建一个长
度为s米的绿化带CD，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之
和最小．请在图中画出绿化带的位置．
解：如图，点C，点D即为所求．
1.某地发展旅游业，下面是该地某村的一个旅游项目．如图①是示
意图，游船从湖岸l 的码头D将游客送往亭子M停留观赏，然后将
1
游客送往湖岸l 的码头C，最后再回到码头D．请在图②中画出游船
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的最短行驶路径，并确定两个码头的位置．解：作亭子M关于湖岸l 的对称点M′，作亭子M关于湖岸l 的对
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称点M″，连接M′M″，交湖岸l ，l 于码头D、码头C，则
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D→M→C→D为游船的最短行驶路径．
2.如图，有一所小学与中学分别位于一条封闭式街道的两旁，现准
备合作修建一座过街天桥，方便两所学校的交流．已知小学离较近
街道的一边距离为200米，中学离较近街道的一边距离为300米，
小学与中学的水平距离为500米，街道宽度为700米（街道两边平
行）．请问天桥建在何处才能使由小学到中学的路线最短（天桥必
须与街道垂直）？请在图中画出修建的位置，并计算出最短路线的
距离．解：如图，线段DF即为天桥的位置．过点C作CH⊥AE交AE的延
长线于点H．在Rt△ECH中，∠H=90°，CH=500米，EH=200＋
300=500米，∴CE= = =500 米．∴最短路径
√EH2＋CH2 √5002＋5002 √2
的长=AD＋DF＋CF=AE＋EC=（700＋500√2）米．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
最短距离→最短路径问题→运用平移、轴对称等构建几何模型（两
点之间，线段最短或者垂线段最短）
本节课以实际问题引入，引导学生抽象为数学模型，通过平移等变
换解决最短路径问题，学生体会到转化思想的作用．例题练习巩固了几何变换应用，多数能完成作图．后续可增加变式，对比不同变
换，提升学生灵活解题的能力．
