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专题06 立体几何小题综合
一、单选题
1．（2023·浙江金华·统考模拟预测）如图位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早､
规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，已
知正四棱锥的高为 ，其侧棱与底面的夹角为 ，则该正四棱锥的体积约为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·校联考三模）已知半径为4的球 ，被两个平面截得圆 ，记两圆
的公共弦为 ，且 ，若二面角 的大小为 ，则四面体
的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）将一个体积为 的铁球切割成正三棱锥的机床零
件，则该零件体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）建筑物的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，这种
建筑叫攒（cuán）尖建筑，其屋顶叫攒尖顶.其特点是屋顶为锥形，没有正脊，顶部集
中于一点，即宝顶，该顶常用于亭､榭､阁和塔等建筑.1981年温州江心屿的东西双塔列
为温州市第一批文物保护单位.江心屿东塔为六角攒尖顶，其檐平面呈正六边形，它有
着与其角数相同的垂脊和围脊，如图所示，它的轮廓可近似看作一个正六棱锥.假设东
塔的围脊为 ，垂脊为 ，则攒尖坡度（屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值）为
（ ）A． B． C． D．
5．（2023·浙江·校联考二模）在平行四边形 中，角 ，将
三角形 沿 翻折到三角形 ，使平面 平面 .记线段 的中点为
，那么直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，
邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧
棱垂直底面的四棱锥.在 底面 ，且底面 为正方形的阳马中，若
，则（ ）
A．直线 与直线 所成角为
B．异面直线 与直线 的距离为
C．四棱锥 的体积为1
D．直线 与底面 所成角的余弦值为
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中记
载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面 为正方形， 平面
，四边形 为两个全等的等腰梯形， ，且 ，
则此刍甍体积的最大值为（ ）A． B． C． D．
8．（2023·浙江·高三专题练习）已知正方体 的棱长为 为空间内一
点且满足 平面 ，过 作与 平行的平面，与 交于点 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2023·浙江·高三专题练习）已知菱形 的边长为 ，对角线 长为 ，将
沿着对角线 翻折至 ，使得线段 长为 ，则异面直线 与 所△成
角的余弦值为（ ） △
A． B． C． D．
10．（2023·浙江绍兴·统考二模）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽发现并采用的，一
种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法.由于其采用的模型像一个牟合的方
形盒子，故称为牟合方盖.本质上来说，牟合方盖是两个半径相等并且轴心互相垂直的
圆柱体相交而成的三维图形，如图1所示.刘徽发现牟合方盖后200多年，祖冲之及他
的儿子祖暅，推导出牟合方盖八分之一部分的体积计算公式为 （ 为构成牟合
方盖的圆柱底面半径）.图2为某牟合方盖的 部分，且图2正方体的棱长为1，则该牟
合方盖的体积为（ ）A． B． C． D．
11．（2023·浙江·统考二模）已知三棱锥 ，底面 是边长为 的正三角
形，顶点P到底面 的距离为2，其外接球半径为5，则侧棱 与底面 所成
角的正切值的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
12．（2023·浙江·高三专题练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱
的中点，则下列各图中，不满足直线 平面ABC的是（ ）
A． B． C．
D．
13．（2023·浙江·校联考模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为
“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇
形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2， ， 、 ， 均与曲池的底面 垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角
为 ，则图中四面体 的体积为（ ）．
A． B．1 C． D．
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形 中，
，取 中点 ，将 沿 翻折（如
图2），记四面体 的外接球为球 （ 为球心）. 是球 上一动点，当直线
与直线 所成角最大时，四面体 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·浙江绍兴·统考二模）如图， 为直角梯形，
.连 ，将 沿 翻折成三棱锥
，当三棱锥 外接球表面积的最小值时，二面角 的余弦值
为（ ）A． B．0 C． D．
二、多选题
16．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，正四棱柱 中， ， 、
分别为 的中点，则（ ）
A．
B．直线 与直线 所成的角为
C．直线 与直线 所成的角为
D．直线 与平面 所成的角为
17．（2023·浙江·高三专题练习）某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次
有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，
是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），
底面 为平行四边形，设棱锥高为 ，体积为 ，现将容器以棱 为轴向左侧倾
斜，如图乙，这时水面恰好经过 ，其中 分别为棱 的中点，则（ ）A．水的体积为
B．水的体积为
C．图甲中的水面高度为
D．图甲中的水面高度为
18．（2023·浙江·高三专题练习）如图，多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正
三角形，则（ ）
A． B．平面 平面FAB
C．直线EA与平面ABCD所成的角为 D．点E到平面ABF的距离为
19．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为 分
别是棱 的中点， 是棱 上的一动点，则（ ）
A．存在点 ，使得
B．对任意的点C．存在点 ，使得直线 与平面 所成角的大小是
D．对任意的点 ，三棱锥 的体积是定值
20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）球面几何是几何
学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A,B,C是
球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中
任意两点的大圆的劣弧分别为 ，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面
，定义 为经过 两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为 ，
北极为点N，点P，Q是地球表面上的两点，则（ ）
A．
B．若点 在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则
C．若点 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面 的面积
D．若 ，则球面 的面积为
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）直三棱桂 中，
为棱 上的动点， 为 中点，则（ ）
A．
B．三棱锥 的体积为定值C．四面体 的外接球表面积为
D．点 的轨迹长度为
22．（2023·浙江·高三专题练习）已知正方形 中， ， 是平面 外
一点.设直线 与平面 所成角为 ，设三棱锥 的体积为 ，则下列命题
正确的是（ ）
A．若 ，则 的最大值是 B．若 ，则 的最大值是
C．若 ，则 的最大值是 D．若 ，则 的最大值是
23．（2023·浙江·统考二模）已知棱长为1的正方体 ，平面 与对角
线 垂直，则（ ）．
A．正方体的每条棱所在直线与平面 所成角均相等
B．平面 截正方体所得截面面积的最大值为
C．直线 与平面 内任一直线所成角的正弦值的最小值为
D．当平面 与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
24．（2023·浙江温州·统考三模）如图，圆柱的轴截面 是边长为2的正方形，
为圆柱底面圆弧 的两个三等分点， 为圆柱的母线，点 分别为线
段 上的动点，经过点 的平面 与线段 交于点 ，以下结论正确的是
（ ）A．
B．若点 与点 重合，则直线 过定点
C．若平面 与平面 所成角为 ，则 的最大值为
D．若 分别为线段 的中点，则平面 与圆柱侧面的公共点到平面 距
离的最小值为
25．（2023·浙江金华·统考模拟预测）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷11中
这样定义棱柱：一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是
相对的､相等的，相似且平行的，其它各面都是平行四边形.显然这个定义是有缺陷的，
由于《几何原本》作为“数学圣经”的巨大影响，该定义在后世可谓谬种流传，直到
1916年，美国数学家斯顿（J.C.Stone）和米利斯（J.F.Millis）首次给出欧氏定义的反
例.如图1，八面体 的每一个面都是边长为2的正三角形，且4个顶点
A，B，C，D在同一平面内，取各棱的中点，切割成欧氏反例（如图2），则该欧氏反
例（ ）
A．共有12个顶点 B．共有24条棱
C．表面积为 D．体积为26．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）在平行六面体
中， ， ， ，以下选
项正确的是（ ）
A．平行六面体 的体积为 B．
C． 面 D．二面角 的余弦值为
27．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥 中，对棱 所成角为 ，
平面 和平面 的夹角为 ，直线 与平面 所成角为 ，点 为平面
和平面 外一定点，则下列结论正确的是（ ）
A．过点 且与直线 所成角都是 的直线有2条
B．过点 且与平面 和平面 所成角都是 的直线有3条
C．过点 且与平面 和平面 所成角都是 的直线有3条
D．过点 与平面 所成角为 ，且与直线 成 的直线有2条
三、填空题
28．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）浑仪（如图）是中国古代用于测量天
体球面坐标的观测仪器，它是由一重重的同心圆环构成，整体看起来就像一个圆球.学
校天文兴趣小组的学生根据浑仪运行原理制作一个简单模型：同心的小球半径为1，
大球半径为R.现要在大球内放入一个由六根等长的铁丝（不计粗细）组成的四面体框
架，同时使得小球可以在框架内自由转动，则R的最小值为__________.
29．（2023·浙江·校联考三模）将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面
体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为
_____________．30．（2023·浙江·二模）若圆台 的上底面面积为下底面面积的一半，体积为 ，表面
积为 ，则 的最大值是______.
