8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：平面的基本概念............................................................. 2
考点二：三个基本公理及其推论.................................................... 2
考点三：点、线、面的位置关系的表示............................................3
考点四：空间中直线与直线之间的位置关系......................................4
考点五：平面与平面之间的位置关系...............................................4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：空间符号的正确使用....................................................... 4
题型二：基本事实与推论的理解.................................................... 5
题型三：点共面与线共面的问题.................................................... 7
题型四：线共点与点共线问题......................................................11
题型五：直线与直线的位置关系...................................................14
题型六：异面直线所成角........................................................... 18
题型七：直线与平面的位置关系...................................................23
题型八：平面与平面的位置关系...................................................26
题型九：平面分空间的区域数量...................................................29
模块三：综合巩固....................................................................... 31
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
模块一：基础知识
考点一：平面的基本概念
①平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限延展的，不计重量的抽象
的概念
②平面的画法：通常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的
2 倍，如图1 所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来，如
图2 所示
③平面的表示方法：
1.用一个希腊字母α，β，γ等来表示，如上图1 中的平面记为平面α
2.用两个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1 中平面记为平面AC 或
平面BD
3.用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1 中的平面记为平面ABC
或平面BCD 等
4.用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形顶点)来表示，如上图1 中的平面可记为平面ABCD
5.点与直线（平面）、直线与平面的位置关系
（1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”，
（2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
考点二：三个基本公理及其推论
公理1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
文字语言
过不共线的三点，有且只有一个平面
图形
语言
符号语言
A，B，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
作用
确定平面
证明点共面
公理2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
图形
语言
符号语言
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
作用
判断点在平面内
判断直线在平面内
用直线检验平面
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
文字语言
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共
直线
图形语言
符号语言
P∈α∩β⇒α∩β＝l 且P∈l
作用
(1)
判定平面相交
(2)
证明点共线
(3)
证明线共点
考点三：点、线、面的位置关系的表示
A 是点，l，m 是直线，α，β是平面.
文字语言
符号语言
图形语言
A 在l 上
A∈l
A 在l 外
A∉l
A 在α内
A∈α
A 在α外
A∉α
l 在α内
l⊂α
l 在α外
l⊄α
或
l，m 相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
考点四：空间中直线与直线之间的位置关系
①异面直线
1.概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
2.异面直线的画法：如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来
衬托．
②空间两条直线的位置关系
1.相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点．
2.平行直线——同一平面内，没有公共点．
3.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．
③两条异面直线所成的角(夹角)
1.定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O 作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直
角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
考点五：平面与平面之间的位置关系
①空间中直线与平面的位置关系
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
4.画法：直线l 在平面α内，如图a 所示；直线l 与平面α相交于点M，如图b 所示；直线l 与平面α平行，
如图c 所示．
②两个平面之间的位置关系
1.两个平面平行——没有公共点；
2.两个平面相交——有一条公共直线．
3.符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l．
4.画法：两个平面α、β平行，如图a 所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b 所示．
模块二：题型分类
题型一：空间符号的正确使用
1.如图所示，用符号语言可表述为（
）
A．
m
，n ，m
n
A
B．
m
n
m
n
A
，
，
C．
m
n
A
m
A
n
，
，
，
D．
m
n
A
m
A
n
，
，
，
【答案】A
【解析】由题可知平面,
相交于直线m ，直线n 在平面内，两直线
,
m n 交于点A ，
所以用符号语言可表示为
m
，n ，m
n
A
，故选：A.
2.若点A 在直线b 上，b 在平面上，则点A ，直线b ，平面之间的关系可以记作（
）
A．A
b
B．A
b
C．A
b
D．A
b
【答案】B
【解析】点与直线的位置关于用,
表示
直线在平面内或不在平面内用
,
表示
由题意可知A
b
故选:B.
3.下面表述与结论都正确的是（
）
A．
A
，B
，
AB
B．
a
，a
，
a
C．
A
a
，a
，
A
D．
A
a
，a
，
A
【答案】C
【解析】对A ，
A
，B
，所以直线AB 在平面内，即AB
，故A 错误；
对B ，直线a 在平面内，应为a
，故B 错误；
对C ，
A
a
，a
，
A
，故C 正确；
题型二：基本事实与推论的理解
1.下列条件不能确定一个平面的是（
）
A．不共线三点
B．直线和直线上一点
C．两条平行直线
D．两条相交直线
【答案】B
【解析】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A 不符合题意；
经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B 符合题意；
经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C 不符合题意；
经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D 不符合题意．故选：B．
2.已知直线l 和平面，若l
∥
，P
，则过点P 且平行于l 的直线（
）．
A．只有一条，不在平面内
B．只有一条，且在平面内
C．有无数条，一定在平面内
D．有无数条，不一定在平面内
【答案】B
【解析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，
因为点P 在平面内，所以这条直线也应该在平面内. 故选：B
3.（多选）下列结论中正确的是（
）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点A 既在平面内，又在平面内，则与相交于b ，且点A 在b 上
D．任意两条直线不能确定一个平面
【答案】ABC
【解析】由基本事实3 可知，若两个不重合的平面有一个公共点，
则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，
因此选项A 正确；选项B 正确；选项C 符合基本事实3，因此选项C 正确；
若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D 错误．故选：ABC
4.已知、为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理中错误的是（
）
A．A
a
，A
，B
a
，B
，则a
B．M
，M
，N
，N
，则直线MN
，直线MN
C．A
，A
，则
I
A
D．A 、B 、M
，A 、B 、M
，且A 、B 、M 不共线，则、重合
【答案】C
【解析】对于A 选项，A
a
，A
，B
a
，B
，由基本事实2 可知a
，A 对；
对于B 选项，M
，N
，则直线MN
，同理可知，直线MN
，B 对；
对于C 选项，A
，A
，则A 为平面、的一个公共点，
但平面、相交于过点A 的一条直线，而不是点A ，C 错；
对于D 选项，A 、B 、M
，且A 、B 、M 不共线，则A 、B 、M 可确定平面，
同理可知，A 、B 、M 可确定平面，故、重合，D 对.故选：C.
5.下列图形中，满足α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB 的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：对于选项A 和选项B 中有直线不在平面内，
对于选项D，两直线不与交线AB 平行
故选：C．
6.用符号语言表示下列语句，正确的个数是（
）
（1）点A 在平面内，但不在平面内：A
，A
．
（2）直线a 经过平面外的点A，且a 不在平面内：A
a
，A
Ï
，a
．
（3）平面与平面相交于直线l，且l 经过点P：
l
，P
l
．
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B
【详解】（1）错误，点A 在平面内应表示为：A
，点A 不在平面内应表示为A
,故错误.
（2）正确. 由题意点A 在直线a 上，不在平面内，直线a 不在平面内.
故表示为：A
a
，A
Ï
，a
，所以表示正确.
（3）正确. 平面与平面相交于直线l，表示为
l
l 经过点P，点P 在直线l 上，P
l
.故正确.
故选：B.
题型三：点共面与线共面的问题
1.在正方体中，E 、F 、G 、H 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E 、F 、G 、H 四点共面的是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于选项A ，如下图，点E 、F 、H 、M 确定一个平面，
该平面与底面交于FM ，而点G 不在平面EHMF 上，故E 、F 、G 、H 四点不共面；
对于选项B ，连结底面对角线AC ，由中位线定理得
//
FG
AC ，
又
/ /
EH
AC ，则
//
EH
FG ，故E 、F 、G 、H 四点共面
对于选项C，显然E 、F 、H 所确定的平面为正方体的底面，
而点G 不在该平面内，故E 、F 、G 、H 四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，
即点E 、G 、H 确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ ，
而点F 不在直线PQ 上，故E 、F 、G 、H 四点不共面．
故选：B
2.（多选）以下四个命题中，不正确的命题是（
）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点
, ,
,
A B C D 共面，点, , ,
A B C E 共面，则, , ,
,
A B C D E 共面
C．若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
【答案】BCD
【解析】A 选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，
则与四点不共面矛盾，
则任意三点不共线，A 正确；
B 选项：若
, ,
A B C 三点共线，直线DE 与直线AC 异面，此时
, ,
,
,
A B C D E不共面，B 错误；
C 选项：,a b 共面，,a c 共面，此时,b c可为异面直线，C 错误；
D 选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D 错误.故选：BCD
3.如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，O为DB 的中点，直线
1AC 交平面
1
C BD 于点M ，则下列结论
正确的是（
）
A．
1
C ，M ，O三点共线
B．
1
C ，M ，O，C 四点共面
C．
1
C ，O，A ，M 四点共面
D．
1
D ，D ，O，M 四点共面
【答案】ABC
【解析】在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，O为DB 的中点，直线
1AC 交平面
1
C BD 于点M ，
在选项A 中，直线
1AC 交平面
1
C BD 于点M ，
M
平面
1
C BD ，M 直线
1AC ，又
1AC 平面
1
1
ACC A ，
M
平面
1
1
ACC A ，
O
为DB 的中点，BD 平面
1
C BD ，底面ABCD为正方形，所以O为AC 的中点，
O
平面
1
C BD ，且O平面
1
1
ACC A ，
又
1
C 平面
1
C BD ，且
1
C 平面
1
1
ACC A ，
1
C
，M ，O三点共线，故选项A 正确；
在选项B 中，
1
C
，M ，O三点共线，
1
C
，M ，O，C 四点共面，故B 正确；
在选项C 中，
1
C
，M ，O三点共线，
1
C
，M ，O，A 四点共面，故C 正确；
在选项D 中，直线
1
1
OM
CC
C
，
1
1
//
DD
CC ，
1
D
，D ，O，M 四点不共面，故D 错误．故选：ABC ．
4.已知A 、B 、C 、D 、E 是空间五个点，且线段CE 、AC 和BD两两相交，求证：A 、B 、C 、D 、E
这五个点在同一平面上．
【答案】证明见解析
【解析】证明：设CE
BD
M
，CA
BD
N
，
∵CA
CE
C
，∴CA ，CE 确定一个平面．
∵M
CE
，∴M
，同理N
．
∴直线MN 即直线BD
，∴B
，D
．
∴A ，B ，C ，D ，E 这五个点在同一平面上．
5.如图所示，1
2
l
l
A
，2
3
l
l
B
，1
3
l
l
C
．求证：直线1l ，2l ，3l 在同一平面内．
【答案】证明见解析
【解析】证明
方法一（纳入平面法）
∵1
2
l
l
A
，∴1l 和2l 确定一个平面．
∵2
3
l
l
B
，∴
2
B
l
．又∵2l
，∴B
．同理可证C
．
∵
3
B
l
，
3
C
l
，∴3l
．∴直线1l ，2l ，3l 在同一平面内．
方法二（辅助平面法）
∵1
2
l
l
A
，∴1l 和2l 确定一个平面．
∵2
3
l
l
B
，∴2l ，3l 确定一个平面．
∵
2
A
l
，2l
，∴A
．∵
2
A
l
，2l
，∴A
．
同理可证B
，B
，C
，C
．
∴不共线的三个点A ，B ，C 既在平面内，又在平面内，
∴平面和重合，即直线1l ，2l ，3l 在同一平面内．
6.已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在A 图中，分别连接
,
,
,
PS QR AB CD ，
由正方体可得四边形ABCD为矩形，则
//
AB CD ，
因为
,
P S 为中点，故
//
PS AB ，则
//
PS QR ，所以
, , ,
P S R Q 四点共面.
在B 图中，设
,
E F 为所在棱的中点，分别连接
,
,
,
,
,
PS SR RF FQ EQ PE ，
由A 的讨论可得
//
PS ER ，故
, ,
,
P S E R 四点共面，
同理可得
//
ER QF ，故
//
PS QF ，同理可得
//
EP RF ，
//
SR EQ
故F 平面PRS ，Q 平面PRS ，所以
, ,
,
,
,
P S R Q E F 六点共面.
在C 图中，由,
P Q 为中点可得
//
PQ AB ，同理
//
RS AB ，
故
//
PQ RS ，所以
, , ,
P S R Q 四点共面.
在D 图中，
,
PQ RS 为异面直线，
故选：D.
7.(多选)如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F.G 分别是BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，
A1B1C1D1的中心，则（）
A．A，C，O1，D1四点共面
B．D，E，C，F 四点共面
C．A，E，F，D1四点共面
D．E，G，O1，O2四点共面
【答案】ACD
【解析】如下图，根据题意可得
1
O 是
1
AD 的中点，所以点
1
O 在平面
1
ACD 内，故A 正确；
F 在平面DEC 外，故B 错误；
根据题中条件可确定
1
1
//
//
EF BC
AD ，所以A，E，F，D1四点共面，故C 正确；
连接
2
GO 并延长交
1
1
A D 于H ，连接
1
HO ，可得
1//
HO
GE ，
所以E，G，O1，O2四点共面，故D 正确.故选：ACD.
8.如图，1
2
//
l
l ，3l 与1l 、2l 分别交于A 、B 两点，4l 与1l 、2l 分别交于C 、D 两点，E
AD
．求证：A 、B 、
C 、D 、E 五点共面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为1
2
//
l
l ，则直线1l 、2l 可确定一个平面，记该平面为，
因为A 、
1
C
l
，B 、
2
D
l
，则A 、B 、C 、D
，则AD
，
因为E
AD
，则E
，故A 、B 、C 、D 、E 五点共面.
题型四：线共点与点共线问题
1.在三棱锥A
BCD
的边AB
BD
AC
CD
、
、
、
上分别取E、F、G、H 四点，如果EF
HG
P
，则点P（
）
A．一定在直线AD 上
B．一定在直线BC 上
C．在直线AD 或BC 上
D．不在直线AD 上，也不在直线BC 上
【答案】A
【解析】由
,
E
AB F
BD
，则EF 平面ABD ，由EF
HG
P
，则P 平面ABD ，
同理可得P 平面ACD ，由平面ABD 平面ACD
AD
，则P
AD
.故选：A.
2.如图所示，ABC
在平面外，它的三边所在直线分别交平面于P、Q、R 三点．求证：P、Q、R 三点
在同一直线上．
【答案】详见解析.
【解析】由AB
P
及AB 平面ABC , 可知P 平面ABC , P
，
因此点P 在平面ABC 与平面的交线上，
同理点Q, R 均在平面ABC 与平面的交线上，
所以P、Q、R 三点共线.
3.在空间四边形ABCD的各边AB
BC
CD
DA
、
、
、
上的依次取点E
F
G
H
、、、
，若EH
FG
、
所在直线相交
于点P ，则
A．点P 必在直线AC 上
B．点P 必在直线BD 上
C．点P 必在平面DBC 外
D．点P 必在平面ABC 内
【答案】B
【解析】如图：连接EH、FG、BD，
∵EH、FG 所在直线相交于点P，
∴P∈EH 且P∈FG，
∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，
由∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，故选B．
4.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点M
N
E
F
，，，
分别是棱
1
1
CD
AB
DD
AA
，
，
，
上的点，若MN 与EF
交于点Q，求证：D
A
Q
，，
三点共线.
【答案】证明见解析
【解析】证明：
MN
EF
Q
，
Q
直线MN ，Q 直线EF .
又
M
直线CD ，N 直线AB ，CD 平面ABCD，AB 平面ABCD，
,
M N
平面ABCD.
MN
平面ABCD.
Q
平面ABCD.
同理，Q 平面
1
1
ADD A .
又∵平面ABCD 平面
1
1
ADD A
AD
，
Q
直线AD ，即D
A
Q
，，
三点共线.
5.如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C 与截面DBC1交于O 点，AC，BD 交于M 点，求证：C1，O，M 三点
共线．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，因为C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1
∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1
∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M 也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点
∴C1M 是平面A1ACC1与平面DBC1交线
∵O 是A1C 与平面DBC1的交点，∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1
∴O 也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点
∴O∈直线C1M，即C1，O，M 三点共线．
6.如图，已知平面,
，且
l
，设在梯形ABCD中，AD
BC
∕∕
，且
,
AB
CD
.求证：
,
,
AB CD l
共点．
【答案】证明见解析
【解析】如图，梯形ABCD中，因为AD
BC
∕∕
，
所以AB 与CD 必交于一点，
设AB 交CD 于点M ，则
,
M
AB M
CD
，
又因为
,
AB
CD
，所以
,
M
M
，
又因为
l
，所以M
l
，
所以
,
,
AB CD l 共点．
题型五：直线与直线的位置关系
1.若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是（
）
A．相交
B．平行
C．异面
D．平行或异面
【答案】D
【解析】因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D.
2.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，与对角线AC 成异面直线的棱有（
）
A．3 条
B．4 条
C．6 条
D．8 条
【答案】C
【解析】由图可知与直线AC 为异面直线的棱分别是
1
BB 、
1
DD 、
1
1
A D 、
1
1
B A 、
1
1
B C 、
1
1
C D 共6条.
3．下列命题中，真命题的个数是（
）
①分别在两个平面内的两条直线是异面直线；
②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；
③和两条异面直线都相交的两条直线必定异面；
④与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【解析】略
4．在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
（三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫作直三棱柱）中，若
90
BAC
，
1
AB
AC
AA
，则异面直线
1
BA 与
1
AC 所成的角等于（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】C
【分析】
把三棱柱补成正方体，找到异面直线所成角进而求解.
【详解】
根据已知条件可以把直三棱柱补成正方体（如图所示），
连接AD 和
1
DC ，由正方体结构特征知：
1
1
/ /
BA
DC ，
所以，
1
AC D
(或其补角)即为异面直线
1
BA 与
1
AC 所成角，
由于
1
ADC
△
为正三角形，所以
1
60
AC D
，
即异面直线
1
BA 与
1
AC 所成角为60.
故选：C.
5.已知a 与b 相交，且b 与c 是异面直线，那么a 与c 的位置关系是（
）
A．异面
B．相交
C．平行
D．都有可能
【答案】D
【解析】如图所示：令
,
AB
a BC
b
，
当
1
DD
c
时，a 与c 的位置关系是异面；
当
1
AA
c
时，a 与c 的位置关系是相交；
当
1
1
C D
c
时，a 与c 的位置关系是平行，故选：D
6. ,a b为异面直线，且
,
a
b
.若
l
，则直线l 必定（
）
A．与a，b 都相交
B．与a，b 都不相交
C．至少与a，b 之一相交
D．至多与a，b 之一相交
【答案】C
【解析】由题意直线l 与a 、b 可都相交，也可只与一条相交，故A、B 错误；
但直线l 不会与两条都不相交，若l 与a 、b 都不相交，因为l 与a 都在内，
所以l
a
// ，同理/ /
l
b，所以
/ /
a
b ，这与a 、b 异面直线矛盾，
故直线l 至少与a 、b 中之一相交．故选：C.
7.如图，已知直线a 、b 是异面直线，直线c 、d 分别与a 、b 都相交，则关于直线c 、d 的位置关系说法
正确的是（
）
A．可能是平行直线
B．一定是异面直线
C．可能是相交直线
D．平行、相交、异面都有可能
【答案】C
【解析】设c与a ，b 的交点分别为A ，B ，d 与a ，b 的交点分别为C ，D ，
若c ，d 是平行直线，则存在平面，使得c
，d
，
∵A
c
，B
c
，C
d
，D
d
，
∴A
，B
，C
，D
，
又A
a
，C
a
，B
b
，D
b
.
∵直线c,d 是平行直线，
∴A、C 不重合，B、D 不重合，∴a
，b
，
∴a ，b 共面，与a ，b 是异面直线矛盾，
∴c ，d 不是平行直线，故A、D 错误；
当点B ，D 重合即c
d
D
时，满足题意，
故c ，d 可能相交, 故B 错误，C 正确.故选：C.
8．若直线a∥平面α，直线b⊂α，则a 与b 的位置关系是（
）
A．a∥b
B．a⊥b
C．a，b 异面
D．a∥b 或a 与b 异面
【答案】D
【详解】直线a∥平面α，直线b⊂α，所以a 与b 无公共点，所以a 与b 平行或异面．
【考查意图】
线面平行的定义．
9．已知直线a，b 和平面，a ，b
，则“
//
a
”是“ //
a b ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据题意，由空间中的线面关系，即可判断.
【详解】根据线面平行的判定定理可得，若//
a b ，则
//
a
，即必要性成立，
若
//
a
，则//
a b 不一定成立，故充分性不成立，
所以“
//
a
”是“ //
a b ”的必要不充分条件.
故选：B
10.在底面半径为1 的圆柱
1
OO 中，过旋转轴
1
OO 作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E 是弧BC 的中
点，F 是AB 的中点，则（
）
A．AE=CF，AC 与EF 是共面直线
B．AE
CF
，AC 与EF 是共面直线
C．AE=CF，AC 与EF 是异面直线
D．AE
CF
，AC 与EF 是异面直线
【答案】D
【分析】
2
2
=
+
= 6
AE
AB
BE
，
2
2
=
+
= 5
CF
BC
BF
，在ABC
中，根据中位线可得
//
OF AC ，由此能求
出结果．
【详解】在底面半径为1 的圆柱
1
OO 中，过旋转轴
1
OO 作圆柱的轴截面ABCD，
其中母线
=2
AB
，E 是
BC 的中点，F 是AB 的中点，如图，
2
2
2
=
+
= 4+
2
= 6
AE
AB
BE
，
2
2
=
+
= 4+1= 5
CF
BC
BF
，
AE
CF
，
在ABC
中，O是BC 的中点，F 是AB 的中点，
//
OF AC
，
AC
与OF 是共面直线，若AC 与EF 是共面直线,则
, , , ,
O F A C E 在同一平面，显然矛盾，故AC 与EF 是
异面直线
故选：D．
题型六：异面直线所成角
1.如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
3
AA
，
2
AB
，则异面直线
1A B 与
1B C 所成角的余弦值为（
）
A．5
13
B．7
13
C．9
13
D．12
13
【答案】B
【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于
1A B ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.
【详解】
取
1
1
AC 的中点D，连接
1
BC 交
1B C 于点E，连接DE，
则
1
/ /
DE
A B 且
1
1
2
DE
A B
，则
1
DEB
为异面直线
1A B 与
1B C 所成的角或其补角．
易求
1
1
13
A B
B C
，
1
3
B D
，则
1
13
2
DE
B E
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
13
13
3
7
4
4
cos
2
13
13
13
2
2
2
DE
B E
B D
DEB
DE B E
.
故选：B．
2.在正四面体ABCD 中，点E，F，G 分别为棱BC，CD，AC 的中点，则异面直线AE，FG 所成角的余弦
值为（
）
A．1
2
B．
3
5
C．
3
3
D．
6
3
【答案】C
【分析】作出辅助线，找到异面直线AE，FG 所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦
定理求出答案.
【详解】连接DE，因为点F，G 分别为棱CD，AC 的中点，
所以FG / / AD，
所以
EAD
或其补角为异面直线AE，FG 所成角，
设正四面体的边长为a，
则
3
2
AE
DE
a
，AD
a
，
由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
4
4
cos
2
3
3
2
2
a
a
a
AE
AD
DE
EAD
AE AD
a
，
所以异面直线AE，FG 所成角的余弦值为
3
3
.
故选：C
3.在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
AB
BC
，
1
3
AA
，则异面直线
1
AD 与
1
DB 所成角的余弦值为
A．1
5
B．
5
6
C．
5
5
D．
2
2
【答案】C
【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则
1
1
B P
AD
∥
，连接DP ，
易求得
1
= 5
DB
DP
，
1
2
B P
，则
1
DB P
是异面直线
1
AD 与
1
DB 所成的角，
由余弦定理可得
2
2
2
1
1
1
1
1
5
4
5
5
cos
2
5
4 5
DB
B P
DP
DB P
DB PB
.
故选C.
4.已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
120
ABC
，
2
AB
，
1
1
BC
CC
，则异面直线
1
AB 与
1
BC 所
成角的余弦值为
A．
3
2
B．
15
5
C．
10
5
D．
3
3
【答案】C
【解析】如图所示，补成直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，
则所求角为
2
1
1
1
1
,
2,
2
1
2 2 1 cos60
3,
5
BC D
BC
BD
C D
AB
，
易得
2
2
2
1
1
C D
BD
BC
，因此
1
1
1
2
10
cos
5
5
BC
BC D
C D
，故选C．
5.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,I 平面ABCD=m,
平面AB B1A1=n,则m、
n 所成角的正弦值为
(A)
3
2
(B)
2
2
(C)
3
3
(D) 1
3
【答案】A
【解析】如图，设平面
1
1
CB D 平面ABCD =
'
m ，平面
1
1
CB D 平面
1
1
ABB A =
'
n ，因为∥平面
1
1
CB D ，
所以
',
'
m
m n
n
∥
∥
，则
,
m n 所成的角等于
', '
m n 所成的角.过
1
D 作
1
1
D E
B C
∥
，交AD 的延长线于点E,连
接CE ，则CE 为
'
m .连接
1A B ，过B1 作
1
1
1
B F
A B
∥
，交
1
AA 的延长线于点
1F ，则
1
1
B F 为
'
n .连接BD，
则
1
1
1
,
BD
CE B F
A B
∥
∥
，则
', '
m n 所成的角即为
1 ,
A B BD 所成的角，为60，故
,
m n 所成角的正弦值为
3
2
，选A.
6.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，P 为
1
1
B D 的中点，则直线PB 与
1
AD 所成的角为（
）
A. π
2
B. π
3
C. π
4
D. π
6
【答案】D
【详解】
如图，连接
1
1
,
,
BC PC PB ，因为
1
AD ∥
1
BC ，所以
1
PBC
或其补角为直线PB 与
1
AD 所成的角，
因为
1
BB 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，所以
1
1
BB
PC
，又
1
1
1
PC
B D
，
1
1
1
1
BB
B D
B
，
所以
1
PC 平面
1
PBB ，所以
1
PC
PB
，
设正方体棱长为2，则
1
1
1
1
1
2 2,
2
2
BC
PC
D B
，
1
1
1
1
sin
2
PC
PBC
BC
，所以
1
6
PBC
.故选：D
7.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，异面直线
1
BC 与
1
1
B D 所成的角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】C
【分析】
根据给定条件，利用几何法求出异面直线所成的角.
【详解】在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，连接
1
1
,
AB AD ，四边形
1
1
ABC D 是其对角面，
则四边形
1
1
ABC D 是矩形，
1
1
/ /
BC
AD ，于是
1
1
AD B
是异面直线
1
BC 与
1
1
B D 所成的角，
而
1
1
1
1
2
AB
AD
B D
AB
，即
1
1
AB D
为正三角形，
1
1
π
3
AD B
，
所以异面直线
1
BC 与
1
1
B D 所成的角为π
3 .
故选：C
8．若直线l 与平面α所成的角为3
，直线a 在平面α内且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值
范围是（
）
A．(0，2
3
]
B．[ 3
，2
3
]
C．[ 2
，2
3
]
D．[ 3
，2
]
【答案】D
【详解】
如图，设直线l 与平面α的交点为A，过点A 在α内作直线b∥a，则直线l 与直线b 所成的角即为直线l 与
直线a 所成的角．而两条直线所成的角的取值范围是(0，2
]，所以所成的角的最大值是2
．又由最小角
定理知直线l 与直线b 所成角的最小值即为直线l 与平面α所成的角，所以最小值为3
．因此所求角的取值
范围是[ 3
，2
].
9．如图所示，在三棱锥A
BCD
中，
,
,
,
AB
CD AB
CD E F
分别为
,
BC AD 的中点，求EF 与AB 所成的
角．
【答案】45
【分析】
如图，取BD 的中点G ，连接
,
EG FG .根据中位线的性质确定线线角，结合EG
FG
即可求解.
【详解】
如图所示，取BD 的中点G ，连接
,
EG FG .
因为
,
E F 分别为
,
BC AD 的中点，AB
CD
，
所以
/ /
,
/ /
EG
CD GF
AB，且
1
1
,
2
2
EG
CD GF
AB
.
所以
GFE
(或其补角)就是EF 与AB 所成的角，EG
FG
.
因为AB
CD
，所以EG
FG
.故
90
EGF
.
所以EFG
为等腰直角三角形．得
45
GFE
，
即EF 与AB 所成的角为45.
题型七：直线与平面的位置关系
1．已知直线a 与平面满足
/ /
a
，直线b
，下列结论正确的是（
）
A．a 与b 无公点
B．a 与b 异面
C．
/ /
a
b
D．a
b
【答案】A
【分析】
利用线面关系的性质、线线的位置关系进行判断即可
【详解】
因为
/ /
a
，所以直线a 与平面无公共点，
而b
，所以a 与b 平行或异面，所以两者无公共点．
故选：A.
2．已知,
是空间中两个不同的平面，
,
m n 是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（
）
A．若
,m
，则
/ /
m
B．若
/ / ,
/ / ,
/ /
m
n
，则
//
m
n
C．若
,
/ / ,
m
m
n n
，则
D．若
,
/ / ,
m
n
，则m
n
【答案】C
【分析】
根据题意，结合线面位置关系的判定与性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，若
,m
，则
/ /
m
或m
，所以A 错误；
对于B 中，若
/ / ,
/ / ,
/ /
m
n
，则
//
m
n，所以m 和n相交、平面或异面，所以B 错误；
对于C 中，由
,
/ /
m
m
n
，可得n
，又因为n ，所以
，所以C 正确；
对于D 中，如图所示，若
,
/ / ,
m
n
，此时m 与n 不一定垂直，所以D 不正确.
故选：C.
3.下列说法中，正确的个数是（
）
①如果两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线也与这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③已知两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行;
④分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】易知①正确，
对②，如图所示：
在长方体中，直线,a b为异面直线，a
，//
b ，故②正确；
对③，如图所示：
在长方体中，直线,a b为相交直线，
/ /
a
，b 与相交，故③错误；
对④，如图所示：
在长方体中，满足,a b 为异面直线，//
c a ，//
b d ，此时c和d 相交，故④错误.故选：C
4.若直线l 与平面有两个公共点，则l 与的位置关系是（
）
A．l
B．//
l
C．l 与相交
D．l
【答案】A
【解析】若直线l 与平面有两个公共点，
则直线在平面内，即l .故选：A
5.如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，直线
1
1
B D 与长方体的六个面之间的位置关系如何？
【答案】见解析．
【解析】
1
1
B D 在平面
1
1
1
1
D
C
B
A
内，
1
1
B D 与平面
1
1
BCC B ，
1
1
ABB A ，
1
1
ADD A ，
1
1
CDD C 都相交，
1
1
B D 与平面ABCD平行．
6．已知、表示两个不同的平面，m 是一条直线且m
，则m
是
的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系判断即可.
【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，m 为平面内的一条直线，如果m
，则
，故充分性
成立；
反过来m 为平面内的一条直线，由
可能有
/ /
m
或m
或m 与相交（不垂直）三种情况，故
必要性不成立．
所以“ m
”是“
”的充分非必要条件．
故选：A．
7．（多选）设直线l 不在平面内，直线m 在平面内，则下列说法不正确的是（
）
A．直线l 与直线m 没有公共点
B．直线l 与直线m 异面
C．直线/与直线m 至多一个公共点
D．直线l 与直线m 不垂直
【答案】ABD
【分析】根据空间中直线与直线的位置关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，直线l 不在平面内，则l 与平面平行或者相交，直线l 与m 可以相交，故A 错误；
对于B，直线l 不在平面内，直线m 在平面内，但是，直线l 与m 可以相交也可以平行，故B 错误；
对于C，直线l 不在平面内，直线m 在平面内，则直线l 与直线m 可以平行或者相交或者异面，不可能
重合，所以，直线l 与直线m 至多一个公共点，故C 正确；
对于D，直线l 不在平面内，直线m 在平面内，则当直线l 垂直于平面时，直线l 与直线m 垂直，故
D 错误.
故选：ABD
8．已知直线a ，b 和平面，且a
b
r
r ，a
，则b 与的位置关系是
．
【答案】b
或//
b
【分析】根据线面的位置关系进行分类讨论，分别利用线面垂直的性质进行说明即可．
【详解】当b
时，a
，则a
b
r
r ，当//
b 时，a
，则a
b
r
r ；
故当a
b
r
r ，a
时，有b
或//
b .
故答案为：b
或//
b
题型八：平面与平面的位置关系
1．若三个不同的平面
,
,
满足
,
,
则,
之间的位置关系是（
）
A．
/ /
B．
C．
/ /
或
D．
/ /
或与相交
【答案】D
【分析】利用正方体中的面面关系即可求解.
【详解】由
,
,
可得
/ /
或与相交，
比如在正方体中，
平面
1
1
ADD A 平面ABCD，平面
1
1
BCC B 平面ABCD，则平面
1
1 / /
BCC B
平面
1
1
ADD A ，
又平面
1
1
ADD A 平面ABCD，平面
1
1
BDD B 平面ABCD，但是平面
1
1
BDD B 与平面
1
1
ADD A 相交，
故选：D
2.可使平面和重合的条件是它们的公共部分中有（
）
A．三个点
B．1 个点和一条直线
C．无数个点
D．两条平行直线
【答案】D
【解析】对于A：若三个点共线，则两个平面可能相交于三点共线的直线，故A 错误；
对于B：若点在直线上，则两面可能相交于这条直线，故B 错误；
对于C：若无数个点共线，则两个平面可能相交于无数个点共线的直线，故C 错误；
对于D：因为过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，
所以它们的公共部分中有两条平行线时一定存在不共线三点，故D 正确．故选：D．
3.命题“如果两个平面有无数多个公共点，那么这两个平面重合”是______．（填“真命题”或“假命题”）
【答案】假命题
【解析】两个平面有无数多个公共点，这两个平面可能重合，也可能相交.故错误.
4.如图，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P∉l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M，N，P 三点确定的平面
记为γ，则β∩γ是（
）
A．直线MP
B．直线NP
C．直线PR
D．直线MR
【答案】C
【解析】因为MN⊂γ，R∈MN，所以R∈γ，
又α∩β＝l，MN∩l＝R，所以R∈β，
又P∈β，P∈γ，所以P，R 均为平面γ与β的公共点，所以β∩γ＝PR，
而
,
M N
，所以直线
,
,
MP NP MR
.故选：C.
5.若A面，B面，C 面，则平面ABC 与平面的位置关系_________.
【答案】相交
【解析】因A面，B面，C 面，则面ABC 与面有公共点A，且不重合，
所以面ABC 与面的位置关系是相交.
6.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，直线
1
AB 与直线
1
1
DC 所成角的大小为
；平面ABCD与平面
1
ACB 夹
角的余弦值为
．
【答案】
45/ 4
3
3
【分析】根据线线角、面面角等知识求得正确答案.
【详解】由于
1
1
//
AB D C ，所以
1
B AB
是异面直线
1
AB 与直线
1
1
DC 所成角或其补角，
而四边形
1
1
ABB A 是正方形，所以
1
45
B AB
.
连接BD 交AC 于O，则AC
BD
，连接
1
OB ，
由于
1
1
AB
B C
，O是AC 的中点，所以
1
OB
AC
，
所以
1
B OB
是平面ABCD与平面
1
ACB 夹角，
设正方体的边长为2 ，则
2
2
1
1
2,
2,
2
2
6
BB
OB
OB
，
所以在直角三角形
1
OBB 中，
1
2
3
cos
3
6
B OB
.
故答案为：45；
3
3
题型九：平面分空间的区域数量
1．三个不互相重合的平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出n 的值.
【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7 部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8 部分.
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；
综上，可以为4 、6、7 、8部分，不能为5部分，
故选：B.
2．一个平面把空间分为
部分；两个平面把空间分为
部分；三个平面把空间分为
部分．
【答案】
2
3或4
4或6或7 或8
【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可；
【详解】一个平面把空间分为2 部分；
两个平行平面将空间分成3部分，两个相交平面可以将空间分成4 部分，
故两个平面将空间分成3 或4部分；
当三个平面互相平行时，将空间分成4 部分，如图1 所示；
当有两个平面平行，第三个平面与这两个面都相交，此时将空间分成6部分，如图2 所示；
当三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3 所示；
当三个平面两两相交，且三条直线互相平行时，将空间分成7 部分，如图4 所示；
当两个平面竖着相交，第三个平面与这两个平面相交，
即三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，此时可将空间分成8 部分，如图5 所示；
综上可得三个平面把空间分为4 或6或7 或8部分.
故答案为：2 ；3或4 ；4 或6或7 或8
3．正方体的6 个面无限延展后把空间分成
个部分
【答案】27
【分析】正方体的6 个面无限延展后把空间分成27 个部分，得到答案.
【详解】正方体的6 个面无限延展后把空间分成3 9
27
个部分.
故答案为：27
4．空间两个平面最多将空间分成
部分.（填数字）
【答案】4
【分析】当两个平面相交时可得答案.
【详解】当两个平面相交时，可讲空间分成最多的部分，分成4 部分.
故答案为：4.
模块三：综合巩固
1.用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A 在平面内，点B 在平面外；
（2）直线a 经过平面外的一点M．
【答案】（1）A
，B
，图形见解析；（2）M
，M
a
，图形见解析.
【解析】（1）由题设知：A
，B
，如下图．
（2）由题设知：M
，M
a
，如下图．
2.若点Q 在直线b 上，b 在平面内，则Q ，b ，之间的关系可记作（
）
A．Q
b
B．Q
b
C．Q
b
D．Q
b
【答案】B
【解析】因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以Q
b
.
又因为直线b(集合)在平面(集合)内,
所以b
.所以Q
b
.故选：B
3.下列关于点、线和面的关系表示错误的是（
）
A．点A平面
B．直线l 平面
A
C．直线l 平面
D．平面平面
m
【答案】A
【解析】根据点，线，面的位置关系的符号表示，
可知A.错误，应改为点A平面；BCD.正确.故选：A
4.下列命题正确的是（
）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【答案】D
【解析】A. 由于在一条直线上的三点不能确定一个平面，所以该选项错误；
B. 一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面，所以该选项错误；
C. 两条异面直线不能确定一个平面，所以该选项错误；
D. 梯形可确定一个平面，所以该选项正确.故选：D
5.（多选）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】BC
【解析】对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确；
对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确；
对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；
当三条直线交于一点时，三条直线最多确定三个平面，故③正确；
对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，
这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正确.故选：BC
6.下列推断中，错误的是（
）
A．若M
，M
，
l
，则M
l
B．A
，A
，B
，B
AB
C．l
，A
l
A
D．
, ,
A B C
，
,
,
A B C
，且
,
,
A B C 不共线
,
重合
【答案】C
【解析】对于A，因为M
，M
，
l
，由基本事实3 可知M
l
，A 对；
对于B，A
，A
，B
，B
，故直线AB
，AB
，即
AB
，B 对；
对于C，若l
A
I
，则有l
，
A
l ，但A
，C 错；
对于D，有三个不共线的点在平面,
中，故,
重合，D 对.故选：C.
7.已知A，B，C 表示不同的点，l 表示直线，,
表示不同的平面，则下列推理中错误的是（
）
A．
,
,
,
A
l A
B
l B
l
B．
,
,
,
A
A
B
B
AB
C．
,
l
A
l
A
D．
,
A
A
l
，l
l
A
【答案】C
【解析】对于A，
,
,
,
A
l A
B
l B
表示
,
A B 既在直线l 上，也在平面内，
故l ，故A 正确.
对于B，
,
,
,
A
A
B
B
表示
,
A B 既在平面内，也在平面内，
故
AB
，故B 正确.
对于C，l
表示/ /
l
或l
, 有一个交点，若该交点为A ，则A
，故C 错误.
对于D，
,
A
A
l
表示
,l
有一个公共点，而l
表示/ /
l
或l
, 有一个交点，
故l
A
I
，故D 正确.故选：C.
8．
,
,
,
E F G H 分别是空间四边形ABCD的边
,
,
,
AB BC CD DA的中点，则
,
EG FH 的位置关系是（
）
A．异面
B．平行
C．相交
D．重合
【答案】C
【分析】根据中位线定理，结合平面的确定方法，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
因为
,
H G 分别为
,
AD CD 的中点，所以
//
HG AC 同理可得
//
EF AC ，则
//
HG EF ，
所以
,
,
,
E F G H 四点共面，则HF 与EG 相交.
故选：C.
9．设平面与平面相交于直线l ,直线a
，直线b
, a
b
M
,则M
l （用符号表示）．
【答案】
【分析】利用平面的基本性质即得.
【详解】因为a
b
M
，直线a
，直线b
，
所以
,
M
M
，又平面与平面相交于直线l ，
所以点M 在直线l 上，即M
l
.
故答案为：.
10.如图，已知A，B，C，D 是空间四点，且点A，B，C 在同一直线l 上，点D 不在直线l 上．求证：直线
AD，BD，CD 在同一平面内．
【答案】证明过程见解析.
【解析】因为点A，B，C 在同一直线l 上，点D 不在直线l 上．
所以点A，B，D 确定唯一的一个平面，设为，
所以l ，因为C
l
，所以C
，因为
, ,
,
A B C D
，
所以
,
,
AD
BD
CD
，即直线AD，BD，CD 在同一平面内．
11.如图，已知直线a
b
c
∥∥，l
a
A
，l
b
B
，l
c
C
．求证：a，b，c，l 共面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为
/ /
a
b ，所以a 与b 共面，
又由l
a
A
，l
b
B
，所以, ,
a b l 三线共面；
同理可证, ,
a c l 三线共面，
所以四条直线, , ,
a b c l 共面.
12.如图，在四面体A
BCD
中作截面PQR ，若
,
PQ CB 的延长线交于点
,
,
M RQ DB 的延长线交于点N ，
,
RP DC 的延长线交于点K ．则
,
,
M N K 三点的位置关系是_______．
【答案】共线
【解析】因为M
PQ
，直线PQ 平面PQR ，M
BC
，直线BC 平面BCD，
所以M 是平面PQR 与平面BCD的一个公共点，
所以M 在平面PQR 与平面BCD的交线上．
同理可证，
,
N K 也在平面PQR 与平面BCD的交线上．
所以
,
,
M N K 三点共线．
故答案为：共线
13.如图，在三棱锥A
BCD
中，E
G
，
分别是EC
AB
，
的中点，点F 在CD 上，点H 在AD 上，且有
:
:
2:3
DF FC
DH HA
.试判定直线EF
GH
BD
，
，
的位置关系.
【答案】直线EF
GH
BD
，
，
三线共点
【解析】如图，连接
,
,
GE HF 因为E
G
，
分别是BC
AB
，
的中点，所以GE 为ABC
的中位线,
所以GE
AC
且
1
2
GE
AC
，又
:
:
2:3
DF FC
DH HA
所以HF
AC
,且
2
5
HF
AC
.
由公理4，GE
HF
,且GE
HF
,
所以GH
EF
，
共面且不平行，因此延长GH
EF
，
交于I .
则I
GH
且I
EF
，
又因为面ABD 面CBD
BD
,所以由公理3 I
BD
故EF
GH
BD
，
，
三线共点
14.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
2
B P
PA
，
1
1
2
C Q
QA
．求证：直线
1
AA ，BP，CQ 相交于一点．
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接PQ．
由
1
1
2
B P
PA
，
1
1
2
C Q
QA
，得
1
1
PQ
B C
∥
，且
1
1
1
3
PQ
B C
．
又
1
1
BC
B C
∥
，∴PQ
BC
∥
，且
1
3
PQ
BC
，
∴四边形BCQP 为梯形，∴直线BP，CQ 相交．
设交点为R，则R
BP
，R
CQ
．
又BP 平面
1
1
AA B B，且CQ 平面
1
1
AAC C ，
∴R 平面
1
1
AA B B ，且R 平面
1
1
AAC C ，
∴R 在平面
1
1
AA B B 与平面
1
1
AAC C 的交线上，即
1
R
AA
，
∴直线
1
AA ，BP，CQ 相交于一点．
15．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 为棱
1
1
DC 的靠近
1
D 上的三等分点.设AE
与平面
1
1
BB D D 的交点为O，则（
）
A．三点
1,
,
D O B 共线，且
1
2
OB
OD
B．三点
1,
,
D O B 共线，且
1
3
OB
OD
C．三点
1,
,
D O B 不共线，且
1
2
OB
OD
D．三点
1,
,
D O B 不共线，且
1
3
OB
OD
【答案】B
【分析】
连接
1
AD ，
1
BC 利用公理2 可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果.
【详解】
连接连接
1
AD ，
1
BC ，
O
直线
,
AE AE 平面
1
1,
ABC D
O
平面
1
1
ABC D .
又
O
平面
1
1
BB D D ，平面
1
1
ABC D 平面
1
1
1,
BB D D
BD
O
直线
1
BD
∴三点
1,
,
D O B 共线.
1
1
1
1
,
:
:
3:1,
3
ABO
ED O
OB OD
AB ED
OB
OD
.
故选：B.
16．如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，,
E F 分别为
1
,
AB AA 上的点且
1
D F
CE
M
．求证：点
,
,
D A M
三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】
由题意可证M 平面
1
1
A D DA，M 平面ABCD，进而M
AD
，即可证明.
【详解】
因为
1
D F
CE
M
，且
1
D F 平面
1
1
A D DA，所以M 平面
1
1
A D DA，
同理M 平面ABCD，
从而M 在两个平面的交线上，
因为平面
1
1
A D DA∩平面ABCD
AD
，所以M
AD
成立．
所以点
, ,
D A M 三点共线．
17．如图所示，ABC
在平面外，三边AB，AC，BC 所在直线分别交平面于P，Q，R 三点．求证：P，
Q，R 三点在同一直线上．
【答案】证明见解析
【分析】
根据平面的性质分析可知点P，Q，R 均在平面ABC 与平面的交线上，即可得结果.
【详解】由AB
P
，可知点P
AB
，
且AB 平面ABC，可知点P 平面ABC，又P
，
所以点P 在平面ABC 与平面的交线上，
同理可得：点Q，R 均在平面ABC 与平面的交线上，
所以P，Q，R 三点共线．
18.异面直线是指（
）
A．不同在任何一个平面内的两条直线
B．平面内的一条直线与平面外的一条直线
C．分别位于两个不同平面内的两条直线
D．空间中两条不相交的直线
【答案】A
【解析】A. 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确；
B. 平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，
所以该选项错误；
C. 分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，
也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误；
D. 空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误.故选：A
19.若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是（
）
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行、相交或异面
【答案】D
【解析】如图，在长方体ABCD
A B C D
中，A D
所在直线为a，AB 所在直线为b，
已知a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，
则c 可以是长方体ABCD
A B C D
中的B C
，CC，DD.
故a 和c 可以平行、相交或异面．故选：D
20．长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
3,
4
AB
BC
AA
，则异面直线
1
AB 与
1A D 所成角的余弦值为（
）
A．16
25
B．
16
25
C．9
25
D．3
5
【答案】A
【分析】由异面直线所成角的概念与余弦定理求解，
【详解】由题意得
1
1
//
AB
DC ，则
1
1
A DC
（或其补角）为异面直线
1
AB 与
1A D 所成角，
在
1
1
A DC
△
中，由题可得
1
1
5
DA
DC
，
1
1
3 2
AC
，
由余弦定理得
2
2
2
1
1
5
5
(3 2)
16
cos
2 5 5
25
A DC
，
故选：A
21．如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E，F 分别是AB，AD 的中点，则异面直线
1B C 与EF 所成
的角的大小为（
）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【答案】B
【分析】连接
1
1
BD
B D
，
，可得
1
1
CB D
为异面直线
1B C 与EF 所成的角，利用正方体的性质结合条件即得.
【详解】连接
1
1
BD
B D
，
，
E
，F 分别是AB ，AD 的中点，
/ /
EF
BD
，又由正方体的性质可知
1
1
//
BD
B D ，
故
1
1
CB D
就是异面直线
1B C 与EF 所成的角或所成角的补角
连接
1
DC ，由题可知
1
1
CB D
为正三角形，即
1
1
60
CB D
故
1B C 与EF 所成的角为60°．
故选：B.
22．空间四边形ABCD 的两对边
3
AB
CD
，E、F 分别是AD、BC 上的点，且
7
EF
，
:
:
AE ED
BF FC
1: 2，则AB 与CD 所成角大小为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
【答案】C
【分析】作
/ /
EG
AB 交BD 于G ，连接FG ，可证得
/ /
FG
CD ，得
FGE
是AB 与CD 所成的角或其补角，
由平行线性质求得
,
EG FG ，由余弦定理求得
FGE
，从而得AB 与CD 所成的角．
【详解】作
/ /
EG
AB 交BD 于G ，如图，连接FG ，
则AE
BG
ED
GD
，又AE
BF
ED
FC
，所以BG
BF
GD
FC
，所以
/ /
FG
CD ，
所以
FGE
是AB 与CD 所成的角或其补角，
3
AB
CD
，
1
2
AE
AF
ED
FC
，所以
2
3
EG
ED
AB
AD
，
2
EG
，
1
3
FG
BF
CD
BC
，所以
1
FG ，
EFG
中，
2
2
2
2
2
2
2
1
( 7)
1
cos
2
2
2 1
2
FG
EG
EF
EFD
FG EG
，
EGF
是三角形内角，所以
120
EGF
，
所以AB 与CD 所成的角是60，
故选：C．
23．如图，是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确命题的选项是（
）
A．BM 与ED 平行
B．CN 与BM 成60°角
C．CN 与BE 是异面直线
D．DM 与BN 是异面直线
【答案】BD
【分析】画出直观图，根据异面直线和共面直线的判定，可知A 和C 错误，D 正确，再根据
ACN
△
是等
边三角形，得出B 正确.
【详解】正方体的直观图如图所示：
很显然，BM 与ED 不平行，A 错误；
连接AN，AC，易知
ACN
△
是等边三角形，CN 与BM 的夹角即为
60
ANC
，B 正确；
很显然，CN∥BE，C 错误；
DM 与BN 是异面直线，D 正确.
故选：BD.
24.如果直线a 平面，直线b 平面，
,
,
,
M
a N
b M
l N
l
，则（
）
A．l
B．l
C．l
M
D．l
N
【答案】A
【解析】∵
,
M
a a
，∴M
，同理，N
.
又
,
M
l N
l
，则l .故选：A.
25.若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（
）
A．直线与平面平行
B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内
D．直线上有无数多个点都在平面外
【答案】D
【解析】对于A，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，A 错误；
对于BC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，BC 错误；
对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外,D 正确.故选：D.
26.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是
什么？
（1）AM 所在的直线与平面ABCD；
（2）CN 所在的直线与平面ABCD；
（3）AM 所在的直线与平面CDD1C1；
（4）CN 所在的直线与平面A1B1C1D1.
【答案】（1）相交；（2）相交；（3）平行；（4）相交.
【解析】（1）
A
平面ABCD，M 平面ABCD，AM 所在的直线与平面ABCD 相交.
（2）
C
平面ABCD，N 平面ABCD，CN 所在的直线与平面ABCD 相交.
（3）因为在正方体中，平面
1
1 / /
ABB A
平面CDD1C1, AM 平面
1
1
ABB A ,
所以AM 所在的直线与平面CDD1C1平行.
（4）因为CN 所在的直线与平面ABCD 相交，平面
/ /
ABCD
平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，
所以CN 所在的直线与平面A1B1C1D1相交.
27.如图，已知a
，b
，a
b
A
，P
b
，
//
PQ a ；求证：PQ
.
【答案】证明见解析
【解析】证明:因为PQ∥a，所以PQ 与a 确定一个平面β，
所以直线a⊂β，点P∈β.
因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.
又因为a⊂α，P
a
，所以α与β重合，所以PQ⊂α.
28.平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（
）
A．相交
B．平行
C．垂直
D．相交或平行
【答案】D
【解析】如图1，若，则平面上任一点到平面距离相等，
故平面上一定存在三个不共线点到平面距离相等；
如图2，若与相交，
则平面上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面距离相等；
故平面与平面的位置关系是相交或平行.故选：D.
29.空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．1 条或3 条
【答案】D
【解析】三个平面可能交于同一条直线，也可能有三条不同的交线，如图所示：故选：D
30.平面与平面相交于直线l，点A、B 在平面上，点C 在平面上但不在直线l 上，直线AB 与直
线l 相交于点D．设A、B、C 三点确定的平面为，则与的交线是（
）
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
【答案】C
【解析】因为直线AB 与直线l 相交于点D，Dl ，所以D平面，
又点C 在平面上，所以CD 平面，
因为AB 平面，D 点在直线AB 上，所以D平面，
又C 平面，所以CD 平面，
所以与的交线是直线CD .故选：C.
31.已知点
,
A B 是平面外的两点,则过点
,
A B 与平行的平面有______个.
【答案】0 或1
【解析】当
,
A B 两点在平面两侧时,不存在这样的平面与平行;
当
,
A B 两点在平面同侧时,若直线
/ /
AB
面,则存在一个平面与平面平行;
若
,
A B 两点在平面同侧时,直线AB 与平面不平行,不存在这样的平面
32.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F 分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF 相交.
【答案】见解析
【解析】证明：因为在矩形AA1B1B 中，E 为A1B1的中点，
所以AA1与BE 不平行，则AA1，BE 的延长线相交于一点，
设此点为G，所以G∈AA1，G∈BE.
又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，
所以G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，
所以平面ACC1A1与平面BEF 相交
