文档内容
专题 19 立体几何初步（Ⅱ）（七大题型+模拟精练）
目录：
01 平面的基本性质
02 空间共点、共线、共面等问题
03 异面直线
04 空间直线与平面的位置关系
05 空间平面与平面的位置关系
06 空间中的角、距离问题综合
07 空间中动点、旋转、翻折等动态问题
01 平面的基本性质
1．下列说法正确的是（ ）
A．若直线 两两相交，则直线 共面
B．若直线 与平面 所成的角相等，则直线 互相平行
C．若平面 上有三个不共线的点到平面 的距离相等，则平面 与平面 平行
D．若不共面的4个点到平面 的距离相等，则这样的平面 有且只有7个
【答案】D
【分析】根据题意，结合空间中直线与平面位置关系的判定和性质，逐项判定，即可求解.
【解析】对于A中，当直线 交于同一点时，则直线 可能不共面，所以A错误；
对于B中，当直线 倾斜方向不同时，直线 与平面 所成的角也可能相等，所以B错误；
对于C中，当这3个点不在平面 的同侧时，平面 与平面 相交，所以C错误；对于D中，根据题意，显然这4个点不可能在平面 的同侧，
当这4个点在平面 两侧1，3分布时，这样的平面 有4个，
当这4个点在平面 两侧2，2分布时，这样的平面 有3个，
所以这样的平面 有且只有7个，所以D正确.
故选：D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．四边形确定一个平面
B．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
C．经过三点确定一个平面
D．经过一条直线和一个点确定一个平面
【答案】B
【解析】略
3．已知 是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 是平面 内不共线三点， ，则
C．若直线 ，直线 ，则 与 为异面直线
D．若 且 ，则直线
【答案】C
【分析】根据基本事实3（公理2）可判断A；根据基本事实1（公理3）可判断B；根据异面直线的定义可
判断C；根据基本事实2（公理1）可判断D.
【解析】对于A，由根据 且 ，则 是平面 和平面 的公共点，
又 ，由基本事实3（公理2）可得 ，故A正确；
对于B，由基本事实1（公理3）：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，
又 ，且 ，则 ，故B正确；
对于C，由于平面 和平面 位置不确定，则直线 与直线 位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误；
对于D，由基本事实2（公理1）：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，
故D正确.
故选：C.
4．下列结论正确的是（ ）
A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
D．若直线a不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a异面.
【答案】B ⊄
【分析】利用推论可判断B正确；对A项，由基本事实3可知；对C项，两个相交的平面有无数个公共点；
对D项，平面内可找到无数条直线与 相交.
【解析】对选项A，由基本事实3，两个平面有一个公共点 ，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，
而不是任意一条过点 的直线都是两平面的交线，故A项错误；
对于B，若两两相交的三条直线交于一点，则三条直线最多可以确定三个平面，故B正确；
对选项C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，不一定重合，故C项错误；
对选项D，若直线 不平行于平面 ，且 ，
则直线 与平面 相交，设交点为 ，
则平面内所有过点 的直线都与 相交于点 ，而不是异面，故D项错误.
故选：B.
02 空间共点、共线、共面等问题
5．已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中 ， ， ，且 ，则下列结论一
定成立的是（ ）
A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点
C． D．
【答案】D
【分析】根据题设条件可得相应的空间图形，从而可得正确的选项.
【解析】∵ ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，如图所示：故A，B，C错误；
故选：D．
6．如图，在三棱柱 中， 分别为 的中点，则下列说法错误的是
（ ）
A． 四点共面 B．
C． 三线共点 D．
【答案】D
【分析】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得 ，
的交点 在 ，从而可判断；对于D，举反例即可判断.
【解析】对于AB，如图，连接 ， ，因为 是 的中位线，所以 ，
因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，所以 四点共面，故AB正确；
对于C，如图，延长 ， 相交于点 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 ，
所以 ，所以 三线共点，故C正确；
对于D，因为 ，当 时， ，
又 ，则 ，故D错误.
故选：D.
03 异面直线
7．设 ， 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 是异面直线 D．若 ，则 或 ， 是异面直线
【答案】D
【分析】利用空间中线、面的位置关系一一判定选项即可.
【解析】对于A，可设 为平面 ，显然 ，但 ，故A错误；
对于B，可设 为平面 ，显然 ，但 ，故B错误；
对于C，可设 分别为平面 ，平面 ，
显然 ，但 ，故C错误；
对于D，若 ，则两平面不会有交点，所以 或 ， 是异面直线，
故D正确.
故选：D
8．已知四边形 是矩形， 平面 为 的中点，则异面直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助于长方体，由 为相应的棱的中点，得 ，所以 即为异面直线 与 所
成的角或补角，计算即可.
【解析】根据题意，借助于长方体， 为相应的棱的中点，所以 ，
所以 即为异面直线 与 所成的角或补角，
根据题意可得， ，
， ，
所以 为等边三角形， ．故选：C．
9．已知圆锥 的母线长为 ， 是底面圆的直径， 为底面圆周上一点， ，当圆锥 的
体积最大时，直线 和 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆锥 的底面半径为 ，高为 ，利用圆锥体积公式可得 ，结合可导数求出
圆锥体积最大时， ， ，延长 交 于点 ，连接 ，则四边形 是平行
四边形，所以直线 与 所成的角为 或其补角，求出 ，即可求解.
【解析】如图，圆锥 的母线长 .设圆锥 的底面半径为 ，高为 ，
则 ，圆锥 的体积 .
令 ，则 .令 ，得 或 .因为 ，易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，此时 .
因为 ，所以 .
延长 交 于点 ，连接 ，则四边形 是平行四边形，所以 ，
所以直线 与 所成的角为 或其补角.
在等腰三角形 中， ，所以 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A.
10．直线l与平面 成角为 ，点P为平面 外的一点，过点P与平面成角为 ，且与直线l所成角为
的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．4条
【答案】C
【分析】过 与平面 成 角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成 角），然后考虑这
些母线中与直线 成 角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得．
【解析】如图所示，设直线 与平面 相交于 ，直线 在平面 的射影为直线 .
且直线 与平面 所成角为 ，
即 .
设圆锥的顶点为 点，圆锥的轴 平面 ，
即圆锥的任意一条母线与平面 所成角都等于 .
当过 点的母线为直线 时，
直线 与平面 所成角为 ，直线 与直线 所成角为 ，即 ,
当过 点的母线沿 逆时针旋转到直线 时，
直线 与直线 所成角为 ，即 ，所以过 点的直线从 沿 逆时针旋转到直线 时，
与直线 所成角的范围为 ，
故存在一条过 点的直线与直线 所成角为 ，
同理可得，过 点的直线从 沿 顺时针旋转到直线 时，
也存在一条过 点的直线与直线 所成角为 ，
所以过 点的直线与平面 所成角为 ，与直线 所成角为 的直线有2条.
故选：C.
04 空间直线与平面的位置关系
11．若 ， 为两条直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 与 相交
【答案】C
【分析】ABD可举出反例；C选项，根据线线平行和线面垂直的性质得到答案.
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，若 ， ，则 与 平行或异面，A错误；
对于B，若 ， ，则 与 异面、平行或相交，B错误；
对于C，设直线 ，满足 且 ，若 ，则 ，而 ，则 ，C正确；
对于D，若 ， ，则 与 相交或异面，D错误.
故选：C.
12．如图，已知四棱锥 中，平面 平面 ， ，
分别为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若侧面 为等边三角形，求四面体 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形中位线结合 且 得到四边形 是平行四边形，所以
，由线面平行的判定证得 平面 ；
（2）由面面垂直得到线面垂直从而得到 到平面 的距离 ，在梯形 中得到
的面积，由 得到所求棱锥体积.
【解析】（1）如图，取 的中点 ，取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ．
因为 分别为 的中点，所以 且 ，
因为 分别为 的中点，所以 且 ，
又因为 且 ，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ．
又由 平面 平面 ，所以 平面 ．（2）
如图，连接 ．
因为 为等边三角形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 ，所以 ， ， ，
又因为 为 的中点，所以点 到平面 的距离 ．
在梯形 中，由 ，可得 ，所以 ，
又由 ，所以 ，
故 ，所以四面体 的体积为 ．
13．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 底面
，点E在棱 上.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，点E为 的中点，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）先根据线面垂直的性质定理得 ，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即
可.
（2）根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可.
【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 为菱形，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）如图，连接 ，则 平面 ，
由 平面 ， 平面 ， 平面 ，得 ，
故 即为二面角 的平面角，
在菱形 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
由点E为 的中点，得 ，
所以 为等腰三角形，在 内过点E作高，垂足为H，则 ，
所以 ，即二面角 的余弦值为 .
14．如图，在四棱锥 中， 平面 为等边三角形，
，点 为棱 上的动点．(1)证明： 平面 ；
(2)当二面角 的大小为 时，求线段 的长度．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）先求得 ，再根据线面垂直的判定定理证得 平面 .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程来求得 点的坐标，进而求得 的长度.
【解析】（1）依题意 ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 ，
由于 平面 ， 平面 ，所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）可知 两两相互垂直，由此以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，设 ，
平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
故可设 ，依题意，二面角 的大小为 ，
所以 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
所以 .
05 空间平面与平面的位置关系
15．已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ， ，则
【答案】C
【分析】利用面面平行的判定定理可判断出A和B正误，利用线面垂直的判定定理可判断出C的正误，利
用线面平行的判定定理可判断出D的正误.
【解析】对于A，当 ， 时，两平面α，β可能平行可能相交，所以A错误；对于B， ， ，两平面β，γ可能平行可能相交，所以B错误；
对于C，当 ， ， 时，
设 ， ，在γ取一点O，过O分别作 于B， 于C，
则 ， ，因为 ，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以C正确；
对于D，当 ， ， ， 时，
可得 或 ，所以D错误.
故选：C.
16．如图，已知四棱锥 中，底面 为平行四边形，点 分别在 上.
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
(2)若点 满足 ，则点 满足什么条件时， 平面 ？并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析(2) 为 中点，证明见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例和线面平行的判定定理可证得 平行于平面 ，由面面
平行的判定可证得结论；
（2）当 为 中点时，取 中点 ，根据三角形中位线性质、线面平行和面面平行的判定可证得平面
平面 ，由面面平行性质可得结论.
【解析】（1） ， ，
四边形 为平行四边形， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
， 平面 ， 平面 平面 .
（2）当 为 中点时， 平面 ，
证明如下：设 ，取 中点 ，连接 ，
四边形 为平行四边形， 为 中点，
为 中点， ， 为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
分别为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ， 平面 平面 ，
平面 ， 平面 .17．如图，在四棱锥 中， ， ，四边形 为菱形， ， 平面
，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）先利用中位线定理证得 ， ，再利用线面与面面平行的判定定理即可得证；
（2）依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面 与平面 的法向量，再利用空间向量法，结合三
角函数的基本关系式即可得解.
【解析】（1）因为四边形 为菱形，所以 ，
又E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点，
所以 ， ，故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理可得 平面 .
因为 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）因为四边形 为菱形， ，
所以 为等边三角形， ，因为E是BC的中点，所以 ，故 ，
因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ， ，故PA，AE，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ，
故 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
解得 ，令 ，则 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，又 ， ，
则 ，
解得 ，令 得， ，故 ，
设二面角 的平面角为 ，结合图形可知 ，
则 ，故二面角 的正弦值为 .
18．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成， 为半个圆柱上底面的直径，
， ，点 ， 分别为 ， 的中点，点 为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 是线段 上一个动点，当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明 ， ，进而证明 为平行四边形，可得 ，再证明
，由面面平行的判定定理得证；
（2）方法1，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；方法2，先证明平面 平面 ，过 作
交 于 ，则 就是直线 与平面 所成角，利用平面几何求出 最小，得解.
【解析】（1）连接 ，由点 为 的中点， 为半个圆柱上底面的直径知 ，
由 ， ，知 ， ，则 ，又 四点共面，所以 ，
由 为直三棱柱的侧面知 ，即 ，则 ，
由 为 的中点 得 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，，则 平面 ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
又 平面 ，， 平面 ，，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）（法一）以 为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ， ，
设 ，则 ，
由平面 平面 知直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角，
设平面 的法向量为 ，
由 ，取 ，得 ，
则平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
，
又 ，则 时， 的最大值为 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
（法二）在直三棱柱 中， 底面 ，
因为 底面 ，所以 ，
由（1）知 ， ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
过 作 交 于 ，
因为平面 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ，
则直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角 ，
因为 ∽ ，且正方形 的边长为2，
所以 ，则 ，
又 ，要使 值最大，
则 最小，在 中 ，
过 作 交 于 ，由等面积可求出 ，此时 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
06 空间中的角、距离问题综合
19．在平行六面体 中，已知 ， ，则下列
选项中错误的一项是（ ）A．直线 与BD所成的角为90°
B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为90°
D．直线 与平面ABCD所成角的正弦值为
【答案】D
【分析】在平行六面体 中，取 ，利用空间向量的线性运算及数量积
运算，逐一分析选项，即可得出答案.
【解析】在平行六面体 中，令 ， ， ，
由 ， ，
得 ， ，
对于 ，显然 ， ，
则 ，即 ，
因此直线 与 所成的角为 ，A正确；
对于B， ，即 ，B正确；
对于C， ，即 ，
因此直线 与 所成的角为 ，C正确；
对于D，在平行六面体 中，四边形 是菱形，即 ，
又 ， ， 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 ，
连接 交 于点 ，在平面 内过点 作 于点 ，如图，
由平面 平面 ，因此 平面 ，即直线 与平面 所成角为 ，
，则 ，即 ，
由 及选项C知， ，则 ，D错误.
故选：D
20．在四棱锥 中， 为等边三角形，四边形 为矩形，且 ，平面 平
面 ，则直线AC与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】取 为 的中点，先证明 平面 ，得 为所求线面角，由边长间的关系求正弦
值.
【解析】平面 平面 ，又平面 平面 ，
平面 ， ，则 平面 ，
又 平面 ，故平面 平面 ，取 的中点 ，连接 ，如图所示，
平面 平面 ，平面 平面 ，
为等边三角形，则 ，故 平面 ，
则直线AC与平面 所成角即为 ，
令 ，则 ， ， ，
故 .
故选：A
21．已知棱长为1的正方体 分别是AB和BC的中点，则MN到平面 的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长 交 延长线于点 ，连接 ，由几何关系证明MN到平面 的距离即点 到
平面 的距离，再由等体积法 求出结果即可；
【解析】延长 交 延长线于点 ，连接 ， ，
因为 分别是AB和BC的中点，则 ，
由正方体的性质可得 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以MN到平面 的距离即点 到平面 的距离，设为 ，
则 ，
因为正方体的棱长为1，
所以 ， ，，
所以 ，即 ，
故选：C.
22．在四面体 中，平面 平面 ， 是直角三角形， ，则二
面角 的正切值为 ．
【答案】 /
【分析】设 的中点分别为 ，证得 平面 ，得到 ，再由 ，证得
平面 ，得到 BD，得出 为二面角 的平面角，在直角 中，即可求解．
【解析】设 的中点分别为 ，连接 ，则 ,
因为 BC，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 是直角三角形，且 ，所以 ，
所以 且 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，则 BD，所以 为二面角 的平面角，在直角 中，可得 ．
故答案为： .
07 空间中动点、旋转、翻折等动态问题
23．若将正方体 绕着棱AB旋转 后，CD所在位置为 的位置，则直线 和平面
所成的角为 .
【答案】 /
【分析】由对称性，不妨设点 在正方形 内，可得平面 与平面 的夹角为 ，然后根
据正方体的性质结合条件求解即可.
【解析】如图，由对称性，不妨设点 在正方形 内，
则 为顶角 的等腰三角形， ，
所以平面 与平面 的夹角为 ，旋转后显然 与平面 垂直，
所以直线 和平面 所成的角为 .故答案为： .
24．边长都是为1的正方形 和正方形 所在的两个半平面所成的二面角为 ， 、 分别是对
角线 、 上的动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二面角的平面角定义，可得 为平面 和平面 所在的两个半平面所成的二面角的
平面角，设 ， ，利用相似三角形得出 和 ，再利用余弦定理求得 的表达式，
进而求得取值范围．
【解析】设 ， ，则 ，
由题意， ， 在 上的投影是同一点，设为 ，连接 ， ，
则 为平面 和平面 所在的两个半平面所成的二面角的平面角，
则 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得：
，
因为 ，所以 ，则 ．故选：D．
25．如图， ， ， ， , 为 的
中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到 的距离.
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）结合已知易证四边形 为平行四边形，可证 ，进而得证；
（2）先证明 平面 ，结合等体积法 即可求解.
【解析】（1）由题意得， ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 ，故 是等腰三角形，同理 是等腰三角形，
可得 ，又 ，所以 ，故 .
又 平面 ，所以 平面 ，
易知 .
在 中， ，
所以 .
设点 到平面 的距离为 ，由 ，
得 ，得 ，
故点 到平面 的距离为 .
26．已知棱长为1的正方体 内有一个动点M，满足 ，且 ，则四棱锥
体积的最小值为 .
【答案】
【分析】利用正方体的空间垂直关系去证明平面 内的点 都满足 ，再去证明动点M在
以 为圆心，以 为半径的圆上，从而利用点M在圆上的性质去解决最值问题.【解析】解：如图所示，设 ，
由正方体性质可知 平面 ，
由于 平面 ， ，又因为 线段 的中点，
所以 ，
即点 在平面 内，
又因为 ，所以与点 在以点 为球心，1为半径的球面上，
又因为 平面 ，
到平面 的距离为 的一半，由正方体的边长为1，则 ，
又 ， ，
在平面 内，且以H为圆心， 为半径的半圆弧上，
到平面 的距离的最小值为 ，
四棱锥 体积的最小值为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：借助空间关系可知到线段两端点距离相等的点M在线段的中垂面上，又由到定点距
离为1的点M又在球面上，从而得到点M的轨迹是中垂面截平面的小圆.27．如图1，在矩形 中，点 在边 上， ，将 沿 进行翻折，翻折后
点到达 点位置，且满足平面 平面 ，如图2．
(1)若点 在棱 上， 平面 ，求证： ；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先证明 平面 ，再由线面平行的性质证明即可；
（2）取 的中点 ，连接 ，即可得到 ，再由面面垂直的性质得到 平面 ，再由
设点 到平面 的距离为 ，则 ，利用等体积法计算可得.
【解析】（1）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
平面 ，所以 .
（2）取 的中点 ，连接 ，依题意 ，所以 且 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，连接 、 ，则 ，所以 ，
又 ， ， ， ，
所以
，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，
则 ，
则 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
解得 ，即点 到平面 的距离为 .
28．在正方体 中，点 为线段 上的动点，直线 为平面 与平面 的交线，现
有如下说法
①不存在点 ，使得 平面
②存在点 ，使得 平面③当点 不是 的中点时，都有 平面
④当点 不是 的中点时，都有 平面
其中正确的说法有（ ）
A．①③ B．③④ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】
对于①，由当点 与点 重合时，结合线面平行的判定定理即可判断；对于②，若 平面 ，则
，建系利用向量运算 即可判断；对于③④，由线面平行，线面垂直的相关知识判断
即可.
【解析】对于①，由当点 与点 重合时，由 ，
而 平面 ， 平面 ，得 平面 ，故①错误；
对于②，若存在点 ，使得 平面 ，则 ，
又 ，可得 ，
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， ， ，则 ， ， ， ，
则 ， ，
， ，
所以 ，这与 矛盾，故②错误；
对于③，当 不是 的中点时，
由 ，且 面 ， 面 ，可知 面 ，
又直线 为面 与面 的交线，则 ，
又 面 ， 面 ，从而可得 面 ，故③正确；
对于④，由③可知 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，故④正确.
综上，③④正确.
故选：B.
一、单选题1．（2024·西藏·模拟预测）已知 ， ， 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ，
， ．设甲： ，乙： ，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据空间中直线与平面的关系，结合必要不充分条件的定义即可判断.
【解析】当 时，取 为平面 内一条与l垂直的直线，得 ，充分性不成立；
当 时，因为 ， ，所以 ．结合 ，所以 ，必要性成立．综上可知，甲
是乙的必要不充分条件．
故选:B．
2．（2024·安徽芜湖·三模）下列说法正确的是（ ）
A．正方体各面所在平面将空间分成27个部分
B．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行
C．若空间中四条不同的直线 满足 ，则
D．若 为异面直线， 平面 平面 ，且 与 相交，若直线 满足 ，则 必平行
于 和 的交线
【答案】A
【分析】利用空间关系，可以判断AB，对于C可用正方体模型来举反例，对于D也是举反例.
【解析】对于A，利用四个侧面将空间分成九个部分，再由上下底面又将空间分成上中下三层，所以可以
将空间分成27个部分，故A是正确的；
对于B，因为过平面外一点可以作一个平面与该平面平行，在这个平行平面内有无数条过该点的直线都与
已知平面平行，故B是错误的；
对于C，在正方体中，把 看成 ，把 看成 ，把 看成 ，把 看成 ，
它们满足 ，但不满足 ，故C是错误的；
对于D，由 平面 平面 ，且 与 相交于 ，则 ，
即 满足条件，但此时 与 重合，它们不平行，故D是错误的；
故选：A.
3．（2024·山东济南·二模）已知正方体 分别是 的中点，则（ ）
A． 平面
B． 平面
C． 平面
D． 平面
【答案】C
【分析】通过证明 面 可得 ，从而排除AB，再利用 证明 平面 以
及排除D即可.
【解析】由已知 面 ， 面 ，
则 ，又 ， ， 面 ，所以 面 ，又 面 ，所以 ，排除AB，
明显 分别为 的中点，所以 ，
又 面 ， 面 ，
所以 平面 ，C正确；
若 平面 ，则必有 ，又 ，
所以 ，明显不成立，D错误.
故选：C.
4．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 ， 的一点，
则下面结论中错误的是（ ）
A．
B． 平面
C．平面 平面
D． 平面
【答案】D
【分析】由条件，结合线面垂直判定定理证明 平面 ，再证明 ，判断A，
由 ，根据线面平行判定定证明 平面 ，判断B，由 平面 ，结合面面垂直判定定理证明平面 平面 ，判断C，
设 平面 ，结合线面垂直性质可证 ，推出矛盾，判断D.
【解析】因为四边形 是圆柱的轴截面，则线段 是直径， 都是母线．
又 是底面圆周上异于 的一点，
于是得 .
而 平面 ， 平面 ，则 .
因为 ， 平面 ，
则 平面 ，
因为 平面 ，因此得 ，A正确；
因为 , 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，B正确；
因为 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 ，C正确．
点 不在底面 内，而直线 在底面 内，即 是两条不同直线，
若 平面 ，因 平面 ，
则 ，与 矛盾，D不正确；
故选：D.
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱 的底面边长是2，侧棱长是 ， 为
的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则点 的轨迹的长度为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B【分析】取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，证明 平面 ，再根据面面平行
的性质可得 的轨迹为线段 ，即可得解.
【解析】如图，
取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 ，
又 为 的中点，所以 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 ，
又 ， 面 ， 面 ，所以平面 平面 ，
又因为 是侧面 上一点，且 平面 ，
所以 的轨迹为线段 ，
，
所以点 的轨迹的长度为 .
故选：B.
6．（2024·辽宁·三模）如图，已知正四面体 （所有棱长均相等的三棱锥）， ， ， 分别为
， ， 上的点， ， ，分别记二面角 ， ， 的
平面角为 ， ， ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 为三角形 中心，过 作 ， ， ，得到 ，
， ，再以 为原点建立直角坐标系，得到直线 ，直线 ，直线 的方程，利
用点到直线的距离，求得点O到直线的距离判断.
【解析】设 为三角形 中心，底面如图2，过 作 ， ， ，
由题意可知 ， ， ，
由图2所示，以 为原点建立直角坐标系，不妨设 ，
则 ， ， ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，根据点到直线的距离公式，知 ， ， ，
∴ ，则 ，
因为 ， ， 为锐角，所以 .
故选：B.
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示是一个以 为直径，点 为圆心的半圆，其半径为4， 为线段
的中点，其中 ， ， 是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半
圆围成一个以 为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（ ）
A． 为正三角形 B． 平面
C． 平面 D．点 到平面 的距离为
【答案】C
【分析】根据题意,还原圆锥原图,找出对应线段长度关系,位置关系.很容易得解.
【解析】选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，
设圆锥底面半径为 ，则 ，∴ ，∴ ，
∵ 为 的中点， 为 的中点，∴ ，且 ，
∴ ， 为等腰直角三角形，选项A错误；
选项B，若 平面 ，则 ，直角 中， ，
∴ ，选项B错误；
选项C，∵ ，∴ 平面 ，选项C正确；
选项D，∵ ， ，∴ 平面 ，∴平面 平面 ，∴ 到直线 的距离即为 到平面 的距离，
又∵ ，∴ 到直线 的距离等于 到直线 的距离，为 ，选项D错误；
故选:C.
8．（2024·浙江绍兴·二模）在边长为4的正三角形 中，E，F分别是 ， 的中点，将 沿着
翻折至 ，使得 ，则四棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出图形，通过分析得出 ，外接球球心在过底面外接圆圆心 且垂直于底面（即平行
于 ）的直线上面，且底面外接圆半径为 ，设 到平面 的距离为 ，过 作
于点 ，从而 ，由此列出方程组求出 结合球的表面积公式即可
得解.
【解析】
依题意取 的中点为 ，且 交 于点 ，
注意到 是 的中点，三角形 是等边三角形，从而 是三角形 的中心，
同时有 ， ， ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，而 面 ，所以平面 面 ，
故而点 在平面 的投影在 上面，
注意到三角形 与三角形 都是边长为2的等边三角形，即三角形 与三角形 全等，
从而 ， ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，因为 面 ，所以 ，
因为 面 ， 面 ，所以 ，
又因为 ， 面 ， 面 ，故有 面 ，
所以 ，注意到点 是直角三角形 斜边上的中点，
所以 是四边形 （或三角形 ）外接圆的圆心（这是因为 ，从而
四点共圆），
所以四棱锥 的外接球的球心 在与平面 垂直的 上，
且底面四边形 外接圆的半径为 ，
设 到平面 的距离为 ，过 作 于点 ，
所以 ，即 ，
解得 ，这意味着此时点 与点 重合，
四棱锥 的外接球的表面积是 .
故选：C.
二、多选题
9．（2024·湖南衡阳·三模）设 ， 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是
（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】AD
【分析】根据线面，面面平行的判定和性质，线面，面面垂直的判定和性质判断即可.
【解析】对于选项A，若 ， ，则 ，所以A正确；
对于选项B，若 ， ， ，则 与 平行或异面，所以B不正确；对于选项C，若 ， ，则 可能与 平行，相交或在平面 内，所以C不正确；
对于选项D，设直线 的一个方向向量为 ，直线 的一个方向向量为 ，
因为 ， ，则 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量，
因为 ，所以 ，所以 ，所以D正确.
故选：AD.
10．（2024·贵州六盘水·三模）（多选）如图，在棱长为1的正方体 中，点P是线段
上的动点，则（ ）
A． 的面积为
B．三棱锥 的体积为
C．存在点P，使得 ⊥
D．存在点P，使得 ⊥平面
【答案】BD
【分析】选项A：当点P与 重合， 为边长是 的等边三角形，求出三角形面积，即可判断；选
项B：利用等体积转化法求解即可；选项C：以 为直径的球面与直线没有公共点，即可判断；选项D：
当P为 的中点时，根据线面垂直的判定定理即可得证．【解析】A选项，在棱长为1的正方体 中，
点P是线段 上的动点，当点P与 重合时， 为等边三角形，
边长为 ，
故 的面积为 ，故A错误；
B选项，因为 ，
其中 ，
表示点P到平面 的距离，故 ，
所以三棱锥 的体积为 ，故B正确；
C选项：在正方体 中，以 为直径的球面，半径 ，
则直线 与该球面没有公共点，故不存在点P，故C错误；
D选项：取 的中点M，连接PM，
当P为 的中点时，即 为 的交点时，因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
故 ，
又 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 ⊥平面 ，
易知 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以PM⊥ ，
又因为在正方体中， ⊥ ，
而 ，所以 ⊥平面 ，故D正确．
故选：BD．
11．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在五边形 中，四边形 为正方形， ，
，F为AB中点，现将 沿 折起到面 位置，使得 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．平面 平面
B．若 为 的中点，则 平面C．折起过程中， 点的轨迹长度为
D．三棱锥 的外接球的体积为
【答案】ABD
【分析】首先说明 ，结合已知 ，从而证明 平面 ，即可判断A，由 ，
即可证明B，过点 作 交 于点 ，求出 ，即可求出 点的轨迹长度，从而判断C，连接
，即可证明 平面 ，从而得到三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，求
出外接球的半径，即可求出球的体积，即可判断D.
【解析】对于A：由题意得 ，所以 ，即 ，
而已知 ，且注意到 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
对于B：因为 为 的中点，所以 ，又 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
对于C：
因为四边形 为正方形， ， ，所以 ，
过点 作 交 于点 ，则 ，所以折起过程中， 点的轨迹是以 为圆心， 为半径，圆心角为 的圆弧，
所以 点的轨迹长为 ，故C错误；
对于D：连接 ，则 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
又四边形 为边长为 的正方形，则三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，
又四边形 外接圆的直径为 ， ，
设四棱锥 的外接球的半径为 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以外接球的体积 ，
即三棱锥 的外接球的体积为 ，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键是证明平面 平面 ，从而确定点 的旋转角，即可判断B，D
选项关键是转化为求四棱锥 的外接球的体积.
三、填空题12．（2024·福建泉州·模拟预测）若将正方体 绕着棱AB旋转 后，CD所在位置为
的位置，则直线 和平面 所成的角为 .
【答案】 /
【分析】由对称性，不妨设点 在正方形 内，可得平面 与平面 的夹角为 ，然后根
据正方体的性质结合条件求解即可.
【解析】如图，由对称性，不妨设点 在正方形 内，
则 为顶角 的等腰三角形， ，
所以平面 与平面 的夹角为 ，旋转后显然 与平面 垂直，
所以直线 和平面 所成的角为 .
故答案为： .
13．（2023·广西·模拟预测）如图，已知在矩形 和矩形 中， ， ，且二面角
为 ，则异面直线 与 所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】取 中点为 ，根据二面角平面角定义可知 ，得到 为等边三角形；根据三角
形中位线性质和异面直线所成角的定义可知： 或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得 ，进而得到结果.
【解析】连接 ， ， ，取 中点 ，连接 ， ，
∵四边形 ， 为矩形，∴ ， ，
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 即为二面角 的平面角，∴ ，
又 ， ，∴ ，∴ 为等边三角形，∴ ；
∵ ， 分别为 ， 中点，∴ ， ，
∴ （或其补角）即为异面直线 与 所成角，
∵ ，∴ ，
∴ ，
所以异面直线 与 所成角的正弦值为 ．
故答案为： ．
14．（2024·山东·模拟预测）如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直，点 在正方形
及其内部运动，点 在矩形 及其内部运动．设 ， ，若 ，当四面体 体
积最大时，则该四面体的内切球半径为 ．【答案】 或
【分析】先确定 点的轨迹，确定四面体 体积最大时， ， 点的位置，再利用体积法求内切球
半径.
【解析】如图：
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 .
平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 .
又 在正方形 及其内部，所以 点轨迹是如图所示的以 为直径的半圆，
作 于 ，则 是三棱锥 的高.
所以当 的面积和 都取得最大值时，四面体 的体积最大.
此时 点应该与 或 重合， 为正方形 的中心.
如图：当 点与 重合， 为正方形 的中心时：
， ， ， ，
中，因为 ， ， ，所以 .
设内切球半径为 ，由 得：
.
如图：
当 点与 重合， 为正方形 的中心时：
， ， ， ，
.
设内切球半径为 ，由 得：
.
综上可知，当四面体 的体积最大时，其内切球半径为： 或 .故答案为： 或
【点睛】关键点点睛：根据 得到 点在以 为直径的球面上，又 点在正方形 及其内部，
所以 点轨迹就是球面与平面 的交线上，即以 为直径的半圆上.明确 点轨迹是解决问题的关键.
四、解答题
15．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知正三棱柱 分别为棱 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值；
【解析】（1）取 中点 ，由正三棱柱性质得， 互相垂直，以 为原点，分别以 ，
所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设 ，则 ，
则 ．证明： ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）
由（1）可知 为平面 的一个法向量，设 平面 的法向量，
则 ,故 ，
令 ，得面 的一个法向量为 ，
设二面角 的值为 ，
则 ，所以，二面角 的正弦值为 ．
16．（2022·全国·模拟预测）已知四棱锥 的底面为正方形，其中点 在平面 上的投影为 ，
点 在线段 上.(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 与平面 所成角为45°，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先根据题意得到 ， ，从而得到 平面 ，再根据面面垂直的判
定即可得到平面 平面 .
（2）以 为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系
，再利用空间向量法求解二面角的余弦值即可.
【解析】（1）∵四边形 是正方形，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，∴ .
∵ ， 平面 ， ，∴ 平面 .
又 平面 ，∴平面 平面 .
（2）以 为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 .设 ，∵ 与平面 所成角为45°，∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，∴ .
易知 为平面 的一个法向量，
∴ ，由图可知，二面角 为锐角，
∴所求二面角 的余弦值为 .
17．（23-24高三上·山东枣庄·期末）如图，直四棱柱 的底面为平行四边形， 分别为
的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若底面 为矩形， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求 到平面
的距离.【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）通过证明 平行于面 内的一条直线，即可证明 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，设出 的长并表达出各点坐标，利用异面直线 与 所成角的余弦值得
出 ，求出平面 的一个法向量，即可得出 到平面 的距离.
【解析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
则 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，且 ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）由题意（1）及几何知识得，在直四棱柱 中， ，
两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示的空间
直角坐标系.
设 ，则 ， ，
.
设异面直线 与 所成角为 ，则
，
解得： ，
故 ，
则
设平面 的一个法向量为 ，
到平面 的距离为 .
所以 即 取 ，
得 .所以 ，
即 到平面 的距离为 .
18．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在多面体 中，侧面 为菱形，侧面 为直角梯
形， ， ， 为 的中点，点 为线段 上一动点，且 ， ，
.
(1)若点 为线段 的中点，证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，且 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角
的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，根据中位线和平行四边形的性质得到 ，再证明
，从而得到 ，然后根据线面平行的判定定理证明；
（2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可.
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，
因为 分别为 中点，
所以 且 ，
因为四边形 为菱形， 为 中点，
所以 且 ，
所以 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以 ，
又侧面 为直角梯形， ， ，且 为 的中点，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 中点 ，连接 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
因为 ，四边形 为菱形，
所以三角形 为等边三角形，
因为 为 中点，
所以 ， ，
所以 两两垂直，
以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，所以 ， ， ，
设 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的余弦值为 ，
此时 .
19．（2024·江西南昌·二模）如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，
得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆 的直径，
，椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为 ，图一中，点 是椭圆上的动
点，点 在底面上的投影为点 ，图二中，椭圆上的点 在底面上的投影分别为 ，且
均在直径AB的同一侧.(1)当 时，求 的长度；
(2)（i）当 时，若图二中，点 将半圆均分成7等份，求 ；
（ii）证明: .
【答案】(1) ；
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）过 中点 作与该斜截圆柱的底面平行的平面圆 ，利用二面角得到 ，在俯视
图中求出 ，即得 ，代入 ，即得 ；
（2）（i）利用（1）推出的公式 ，依次代入 ， ， ，求得
关于 的三角函数式，利用二倍角公式和诱导公式化简计算即得，
（ii）由 ，可得椭圆面的轮廓线即函数 的图象，作出该函数在 上的图象，
并标上 ，作出对应矩形，即得图中所有的矩形面积之和即待证式左式，最后利用补
形求出函数与坐标轴围成的面积 ，比较即得.
【解析】（1）如图，取CD中点 ，过 作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交DA于点 ，交BC延长线于点 ，与
交于点 ，
因 则 ， ，过 作GH的垂线，交圆 于J、K两
点.
过 作 交JK于点 ，又由 圆M，因 圆M,则 ,又因 ,故 平面
,
因 平面 ,故 ，所以 为椭圆面与圆 所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角，
所以 .则 为等腰直角三角形， .
设 ，如图作圆 所在平面的俯视图，则 ，
由 ，所以 ，则有 ，所以 ，
所以 ，当 时， ;
（2）（i） 时， ，
所以 ， …
所以（ⅱ）
证明：由（1）知 ，也即 是关于 的函数，
也即将斜截圆柱的侧面沿着AD展开，其椭圆面的轮廓线即为函数 的图象，
如图，将 绘制于函数 图象上，
并以 ，（ ）为边作矩形，则矩形的面积即为 ，
所以 即为这些矩形的面积之和.
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，
因此该斜截圆柱的侧面积为 ，
所以函数 与坐标轴围成的面积为 ，
又因为无论点 是否均匀分布在半圆弧AB上，
这些矩形的面积之和都小于函数 与坐标轴围成的面积.
所以 ，得证.
【点睛】思路点睛：本题主要考查“斜截圆柱”的母线长与其在底面的射影对应张角的函数关系的应用,属
于难题.解题思路在于作出与底面平行的横截面，利用二面角建立 与 的函数关系 ，结合
三角函数的图象理解待证式左边的几何意义，最后通过补形求得斜截圆柱的侧面积，比较大小即得.
