文档内容
第 05 讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系
模块一 思维导图串知识 1．掌握空间中点、直线和平面的向量表示；
模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念，
模块三 核心考点举一反三 会用待定系数法求平面的法向量；
模块四 小试牛刀过关测 3．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线
面、面面间的平行与垂直关系.
知识点 1 空间中点、直线、平面的向量表示
1、点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示．我们把向
量 称为点P的位置向量．
2、直线的方向向量
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AB l AB l
若A、B是直线 上的任意两点，则 为直线 的一个方向向量；与 平行的任意非零向量也是直线
的方向向量．
【注意】（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直
线的方向向量；（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量
运算或向量的坐标运算．
3、直线的向量表示
直线l的方向向量为 ，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件
是存在实数t，使 ①，把 代入①式得 ②，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
4、空间平面的向量表示
如图（1），设两条直线相交于点 ，它们的方向向量分别为 和 ， 为平面 内任意一点，由平面向
量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 ，使得 ．这样，点 与向量 和 不仅可以
确定平面 ，还可以具体表示出 内的任意一点．
进一步地，如图（2），取定空间任意一点 ，可以得到，空间一点 位于平面 内的充要条件是存在
实数 ，使 （*）.我们把（*）式称为空间平面 的向量表示式．
知识点 2 平面的法向量
1、平面法向量的定义
如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，称 为平面的法向量；过点A且以 为法向量的平面完全确
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司定，可以表示为集合 ．
2、平面法向量的性质
（1）平面 的一个法向量垂直于平面 内的所有向量；
（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
3、利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)
（2）选向量：在平面内选取两个不共线向量AB，AC
（3）列方程组：由列出方程组
（4）解方程组：
（5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)
（6）得结论：得到平面的一个法向量
4、求平面法向量的三个注意点
（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量
（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量
（3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0．
知识点 3 空间中直线、平面的平行
1、线线平行：若 分别为直线 的方向向量，则 使得 .
2、线面平行：设 直线 的方向向量， 是平面 的法向量， ，则 .
法2：在平面 内取一个非零向量 ，若存在实数 ，使得 ，且 ，则 .
法3：在平面 内取两个不共线向量 ，若存在实数 ，使得 ，且 ，则 .
3、面面平行：设 分别是平面 的法向量，则 ，使得 .
知识点 4 空间中直线、平面的垂直
1、线线垂直：若 分别为直线 的方向向量，则 .
2、线面垂直：设 直线 的方向向量， 是平面 的法向量，则 ，使得
.
法2：在平面 内取两个不共线向量 ，若 .则 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3、面面垂直：设 分别是平面 的法向量，则 .
考点一：直线方向向量的概念与求解
例1．（23-24高二上·广东惠州·月考）若 ， 在直线 上，则直线 的一个方向向量
为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24高二上·青海海东·月考）已知直线l的一个方向向量 ，且直线l经过
和 两点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【变式1-2】（23-24高二上·河北张家口·月考）已知 ， 在直线 上，写出直线 的一个方
向向量： ．（坐标表示）
【变式1-3】（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知向量 ， 都是直线l的方
向向量，则x的值是 .
考点二：平面法向量的概念与求解
例2. （22-23高二下·江苏·月考）已知平面 上的两个向量 ， ，则平面 的一
个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高二上·山西大同·期中）平面 的一个法向量 ，则点
的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系 中， ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，则平面 的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24高二上·新疆·月考）在长方体 中， ， ， .以D为
原点，以 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系 ，求平面 的
法向量.
【变式2-4】（23-24高二上·河南漯河·月考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面
ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向
量.
考点三：利用向量判断线面位置关系
例3. （23-24高二下·江苏连云港·月考）在空间直角坐标系中，已知 ， ，
， ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直
【变式3-1】（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面 外的直线l的方向向量为 ，平面 的一个法
向量为 ，则（ ）
A．l与 斜交 B． C． D．
【变式3-2】（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线 的方向向量为 ， ，平面 的法向量分别为 ，
则下列选项正确的是（ ）
A．若 ∥ ，则 B．若 ∥β，则
C．若 ⊥ ，则 D．若 ∥β，则
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式3-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）（多选）以下命题正确的是（ ）
A．平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
B．直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则 与 垂直
C．直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
D．平面 经过三点 ， ， ，向量 是平面 的法向量，则
考点四：利用空间向量解决平行问题
例4. （23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 ， 为 的中点， 为 的中点， ，求证： ．
【变式4-1】（23-24高二上·全国·专题练习）如图，在长方体 中， 分别是 的
中点， 分别是 的中点， ．求证： 平面 ；
【变式4-2】（23-24高二上·全国·专题练习）如图所示，平面 平面 ，四边形 为正方形，
是直角三角形，且 ， ， ， 分别是线段 ， ， 的中点，求证：平面
平面 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体 中，若 为 中点， 为
中点.
求证：
(1) ；
(2) 平面 ；
(3)平面 平面
．
考点五：利用空间向量解决垂直问题
例5. （23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，在直三棱柱 中， ， ，
， ， 分别是 ， 的中点.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证： ；
(2)求线段 的长.
【变式5-1】（2023高三·全国·专题练习）如图，棱台 中， ，
底面ABCD是边长为4的正方形，底面 是边长为2的正方形，连接 ，BD， .证明：
.
【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）如图，在三棱台 中， ， 平面
， ， ， ，且D为 中点.求证： 平面 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式5-3】（23-24高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱 中， ，
， ，E为 的中点，证明：平面 平面 .
考点六：空间位置关系的探索性问题
例6. （23-24高二上·广东珠海·期末）已知在四棱锥 中，底面 是矩形，且 ，
， 平面 ， 、 分别是线段 、 的中点.
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
【变式6-1】（23-24高二上·全国·专题练习）斜三棱柱 的各棱长都为 ，点 在
下底面 的投影为 的中点 .在棱 （含端点）上是否存在一点 使 ？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式6-2】（23-24高二上·四川南充·月考）如图，直三棱柱 中， ， ，
分别为 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由．
【变式6-3】（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角 和 ， 既是
的斜边又是 的直角边，沿 边折叠使得平面 平面 ， 为斜边 的中点．
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司一、单选题
1．（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面α上的两个向量 ， ，则平面α的一个法
向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·江苏连云港·月考）已知平面 的法向量分别为 ，则这两个
平面的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定
3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ， ，则下列四组
向量中能使 的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知 为直线 的方向向量， 分别为平面 的法向量（ 不重
合），则下列说法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高二上·山东济宁·月考）已知平面 内有一点 ，平面 的一个法向量为 ，
则下列四个点中在平面 内的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（22-23高二上·贵州铜仁·月考）已知 ， ，则直线 的方向向量可以表示为( )
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·广西·月考）已知点 是 所在平面外一点，若 ， ，
，下列结论正确的有（ ）
A． B．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
8．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是
（ ）
A．两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，则
B．两个不同的平面 ， 的法向量分别是 ， ，则
C．直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
D．直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
三、填空题
9．（23-24高二上·山西吕梁·月考）已知直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，
与 的位置关系为 .
10．（23-24高二上·云南昆明·月考）已知 是平面 的一个法向量，点 ，
在平面 内，则 ．
11．（23-24高二上·江西宜春·月考）如图所示，在正方体 中，E是棱DD 的三等分点（靠
1
近 点），点F在棱C D 上，且 ，若 ∥平面 ，则 .
1 1
四、解答题
12．（23-24高二上·河北衡水·开学考试）如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，
， ， ， ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司13．（23-24高二下·湖北·期中）在 中， ，点 分别为边 的中点，
将 沿 折起，使得平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)在平面 内是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，指出点 的位置；若不存在，说
明理由.
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