文档内容
§7.8 空间距离及立体几何中的探索问题
考试要求 1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几
何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．
知识梳理
1．点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP＝
a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝
.
2．点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α
的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直
线l上的投影向量QP的长度，因此PQ＝＝＝ .
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( )
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．( )
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．( )
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.( )
教材改编题
1．正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，则AA到平面BDDB的距离为( )
1 1 1 1 1 1 1
A. B．2 C. D.
2．已知直线l经过点A(2,3,1)且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离
为________．
3．设正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，则点D 到平面ABD的距离是________．
1 1 1 1 1 1题型一 空间距离
例1 (1)(2023·长沙模拟)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，则点P
到直线MN的距离为( )
A．2 B．2 C．3 D．2
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)(2022·济宁模拟)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AB⊥平面BCC B ，BC＝AB＝AA ＝
1 1 1 1 1 1
2，BC ＝2，M为线段AB上的动点．
1
①证明：BC ⊥CM；
1
②若E为AC 的中点，求点A 到平面BCE的距离．
1 1 1
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)点到直线的距离．
①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝；
②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．
(2)求点面距一般有以下三种方法．
①作点到面的垂线，求点到垂足的距离；
②等体积法；
③向量法.
跟踪训练1 (1)(2023·枣庄模拟)在长方体ABCD－ABC D 中，AA ＝AB＝2，AD＝1，点
1 1 1 1 1
F，G分别是AB，CC 的中点，则△DGF的面积为________．
1 1
(2)如图所示，在长方体ABCD－ABC D 中，AD＝AA＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
1 1 1 1 1
①证明：DE⊥AD；
1 1
②当E为AB的中点时，求点E到平面ACD 的距离．
1________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型二 立体几何中的探索性问题
例2 (2022·常德模拟)如图，三棱柱ABC－ABC 的底面是等边三角形，平面ABBA⊥平面
1 1 1 1 1
ABC，AB⊥AB，AC＝2，∠AAB＝60°，O为AC的中点．
1 1
(1)求证：AC⊥平面ABO；
1
(2)试问线段CC 上是否存在点P，使得平面POB与平面AOB夹角的余弦值为，若存在，请
1 1
计算的值；若不存在，请说明理由．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据
此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的
解”等．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
跟踪训练2 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P
为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的
值；若不存在，请说明理由．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
