专题1：立体几何展开图与最短路径问题（解析版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_立体几何初步PDF_PDF

专题1：立体几何展开图与最短路径问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：展开图.........................................................................2
考点二：弧长与扇形面积公式....................................................... 2
考点三：最短路径问题解题思路.................................................... 2
考点四：长方体最短路径结论....................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：展开图问题................................................................... 3
题型二：长方体最短路径............................................................. 4
题型三：其他棱柱最短路径.......................................................... 7
题型四：圆锥最短路径................................................................ 8
题型五：棱锥最短路径.............................................................. 10
题型六：圆柱最短路径.............................................................. 13
题型七：台体中最短路径问题......................................................15
题型八：周长最小问题.............................................................. 18
题型九：线段和最小问题........................................................... 20
模块三：综合巩固....................................................................... 23
图8
专题1：立体几何展开图与最短路径问题
模块一：基础知识
考点一：展开图
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图
考点二：弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r ，弧长为l ，
)
2
0
(





或n °为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
类别/度量单位
角度制
弧度制
扇形的弧长
180
r
n
l


r
l


扇形的面积
360
2
r
n
S


2
2
1
2
1
r
lr
S



考点三：最短路径问题解题思路
1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面
2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直
线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。
考点四：长方体最短路径结论
在长方体的长、宽、高中，最长的棱作为一条直角边，较短的两条棱之和作为另一条直角边，所得的
斜边长即为“斜对顶点”的表面最短路线长.
证明：已知，如图8，是一个长方体，其长、宽、高分别为x 、y 、z ，并记：
2
2
2
2
2
1
(
)
2
l
x
y
z
x
y
z
yz







；
2
2
2
2
2
2
(
)
2
l
y
x
z
x
y
z
xz







；
2
2
2
2
2
3
(
)
2
l
z
x
y
x
y
z
xy







.
若
0
x
y


，
0
x
z


，则有xz
yz

，xy
yz

，从而1
2
l
l

，1
3
l
l

；
若
0
y
x


，
0
y
z


，则有xy
xz

，yz
xz

，从而2
1
l
l

，2
3
l
l

；
若
0
z
x


，
0
z
y


，则有xz
xy

，zy
xy

，从而3
2
l
l

，3
1
l
l

．
由此，我们得到了长方体中两个
．．．．．．“．斜对顶点
．．．．”．的表面最短路线长问题的求解公式
．．．．．．．．．．．．．．．：
如果用a、b、c 分别表示经过长方体同一个顶点的三条棱长，且
,
a
b a
c


，那么“斜对顶点”的表
面最短路线长
2
2
(
)
l
a
b
c



．
特别的，当a
b
c


，即图形是正方体时，根据上述求解公式我们还可以得到：
推论：如果一个正方体的棱长为a ，那么它的两个“斜对顶点”的表面最短路线长
5
l
a

．
模块二：题型分类
题型一：展开图问题
1.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（
）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
【答案】B
【分析】分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，即可得出答案．
【详解】（1）图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；
（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；
综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是（2）（3）．
故选：B．
2.如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1 格、第2 格、第3 格、
第4 格、第5 格，这时小正方体朝上面的字是__________．
【答案】路
【分析】根据正方体的表面展开图找出相对面，再由其特征得到结果.
【详解】由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对；
由图②可得，第1、2、3、4、5 格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，
所以到第5 格时，小正方体朝上面的字是“路”.
故答案为：路.
3.如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是_______.
①�与�
②�与�
③�与�
④�与�
【答案】①②④
【分析】还原正方体即可解决.
【详解】根据题意，标记下图，
还原得
由图知，�与�，�与�，�与�重合，
故答案为：①②④
4.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，
然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有C 和
D，再根据三角形的位置，即可得出答案，
故选：C
题型二：长方体最短路径
1.正方体的棱长为5，一只蚂蚁要从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点C1 处，请你求出蚂蚁需要
爬行的最短路程的长．
答案：5 5
解析：由求解公式的推论易得，
1
5
5
5 5
AC 


．
2.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表
面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（
）．
A．5 21
B．25
C．10 5
5

D．35
答案：25
解析：过B 作平行于右面的平面，则该平面将原长方体切割成两个小长方体，其中一个小长方体如图，
长、宽、高分别是5、10、20.由20
10
5


,根据求解公式，易求得在图11，从点A 爬行到点B 的最短
距离为
2
2
20
(10
5)
25



，且其中一条爬行路线经过右面与前面.图11 的上述结论同样也适用于图10，
故选B。
3.已知长方体����−�1�1�1�1中，��= 5，��1 = 4，��= 3，从点A 出发沿着表面运动到�1的最短路
线长是______．
【答案】��
【分析】将长方体的面折叠到同一平面，求出线段���的长，分三种情况，求出结果，比较大小，确定最
短路线长.
【详解】如图，
A
5
20
10
C
B
5
20
15
10
C
A
B
①将长方形������与平面������折叠到同一平面，如图1 所示，
连接���，此时���=
�+ ��+ ��= ��，
②将长方形������与长方形��������折叠到同一平面，如图2，
连接���，此时���=
�+ ��+ ��=
��，
③将长方形����与长方形������折叠到同一平面，如图3，
连接���，此时���=
�+ ��+ ��= ���，
因为��< ��< ���，
所以从点A 出发沿着表面运动到��的最短路线长是��.
故答案为：��
题型三：其他棱柱最短路径
1.如图所示，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2
AB 
，
1
2
AA 
，由顶点B 沿棱柱侧面(经过棱
1
AA )到达顶点
1
C ，与
1
AA 的交点记为M ，则从点B 经点M 到
1
C 的最短路线长为（
）
A．2 2
B．2 5
C．4
D．4 5
【答案】B
【解析】如图，沿侧棱
1
BB 将正三棱柱的侧面展开
由侧面展开图可知，当B ，M ，
1
C 三点共线时，从点B 经点M 到
1
C 的路线最短．
所以最短路线长为
2
2
1
4
2
2 5
BC 


.故选：B.
2.已知正六棱柱
1
1
1
1
1
1
ABCDEF
A B C D E F

的底面边长为
3 ，侧棱长为1，则动点从A 沿侧面移到点
1
D 时的
最短的路程是多长？
【答案】2 7 .
【解析】将正六棱柱侧面展开，只需展开一半，即可求得A 与
1
D 之间的距离.如图所示：
则


2
2
2
2
1
1
3
3
1
28
AD
AD
DD





，所以
1
2 7
AD 
.
即动点从A 沿侧面移到点
1
D 时的最短路程为2 7
3.已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面边长为2，高为5，从点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达
1A 点
的最短路线长度为______.
【答案】13
【解析】如图所示，将正三棱柱沿
1
AA 剪开，可得到一个矩形，其长为6，宽为5，
其最短路线为量相等线段之和，其长度等于
2
2
5
2
+6 =13
2
（）
，
题型四：圆锥最短路径
1.如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的
中点C，则小虫爬行的最短距离为（
）
A．2 5
B．2 3
C．4 2
D．2 3
【答案】A
【解析】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4 π
180
n ，解得n＝90，
所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝2 5 ，
所以小虫爬行的最短距离为2
5 .故选：A
2.已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发
点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为____________．
【答案】1
2
【解析】把圆锥的侧面展开形成一个扇形，
则对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，
如图所示，由
3,
3
SB
SB
BB





，得
π
3
BSB


，
所以
π
3
π
3
BB 



；
设底面圆的半径为r ，则2π
π
r 
，解得
1
2
r 
，
即底面圆的半径为1
2 ．
3.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬
行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为4 3 ，则这个圆锥的体积为（
）
A．128 2π
81
B．32 35π
27
C．15π
3
D．8 3
3
【答案】A
【解析】设圆锥的顶点为O，以母线OP 为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示，
小虫爬行的最短路程为4 3 ，
4 3
PP


，
又
4
OP
OP


，
2
2
2
16
16
48
1
cos
2
32
2
OP
OP
PP
POP
OP OP














，
2π
3
POP


，
设圆锥底面半径为r ，高为h ，则
2π
2π
4
3
r 
，解得：
4
3
r 
，
2
2
4
8 2
4
3
3
h










，
圆锥体积
2
1
1
16
8 2
128 2 π
π
π
3
3
9
3
81
V
r h





.故选：A.
题型五：棱锥最短路径
1.如图，在正三棱锥

P
ABC 中，
30
APB
BPC
CPA




，
4
PA
PB
PC



，一只虫子从A 点出发，
绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.
【答案】4 2
【解析】如图所示，将三棱锥的侧面展开，
因为
30
APB
BPC
CPA




，所以
1
90



APA
，
当虫子沿
1
AA 爬行时，距离最短，
又
1
16
16
4 2



AA
，
所以虫子爬行的最短距离是4 2 .
2.已知正四棱锥P
ABCD

的侧棱长为4，且
30
APB


，若一只蚂蚁从点A 出发沿着该四棱锥的侧面爬
行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为____.
【答案】4 3
【解析】将该四棱锥沿PA 剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短.
即蚂蚁爬行的最短的路线为AA，
由
30
APB


，
120
APA


，
4
AP
A P



，
2
2
2
2
1
2
cos120
4
4
2
4
4
4 3
2
AA
PA
PA
PA PA

















，
从而最短距离为4 3 .
3.如图，正三棱锥V
ABC

中，
2,
2
AB
BC
AC
VA
VB
VC






，点
,
M N 分别为
,
VA BC 的中点，一
只蚂蚁从点M 出发，沿三棱锥侧面爬行到点N ，求：
（1）该三棱锥的体积与表面积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长.
【答案】（1）体积为
2
3
，表面积为3
3

；（2）
10
2
.
【解析】（1）因为
2,
2
AB
BC
AC
VA
VB
VC






，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
,
VA
VB
AB VB
VC
BC VA
VC
AC






，
即
,
,
VA
VB VB
VC VA
VC



，
又VB
VC
V


，VB、VC 在面VBC 内，得VA 面VBC，
1
1
2
2
2
2
3
3
2
3
V
ABC
A VBC
VBC
V
V
S
VA











，
2
2
2
3
3
2
3
3;
2
4
V
ABC
VBC
VAB
VACC
ABC
S
S
S
S
S















（2）如下图：连接MN ，线段MN 的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，
△MCN 中，
3 2
π
,
1,
2
4
MC
CN
MCN




，
由余弦定理可得：
2
2
2
π
2
cos 4
MN
MC
CN
MN CN





，
即
2
9
3 2
2
5
10
1 2
1
2
2
2
2
2
MN
MN






.
4.空间四边形����的各边与两条对角线的长都为1，点�在边��上移动，点�在边��上移动，则点�，�
的最短距离为______．
【答案】
�
�
【分析】由已知条件可知几何体为正四面体，由此可知点�，�的最短距离即为相对棱的中点之间的距离，
可求得答案.
【详解】由于空间四边形����的各边与两条对角线的长都为1，
故该几何体为正四面体，如图当P,Q 分别为AB,CD 的中点时，
连接AQ,BQ,则��= ��,所以��⊥��,同理��⊥��,
即当P,Q 分别为AB,CD 的中点时，PQ 为异面直线AB,CD 的公垂线，
此时点�，�的距离最短；
因为空间四边形����的各边与两条对角线的长都为1，故��=
�
�, ��=
�
�,
所以��=
���−���=
�
�−
�
�=
�
�,
故答案为：
�
�
5.在正四棱锥�−����中，��= ��= 4，�为��的中点，�为��的中点，则从点�沿着四棱锥的表面到
点�的最短路径的长度为（
）
A．2 7 B．2 6 C．4
D．3
【答案】C
【分析】对点�到点�的路径进行分类讨论，将相应平面延展为同一平面，结合余弦定理可求得结果.
【详解】分以下几种情况讨论：
（1）当点�沿着平面���、���到点�，将平面���、���延展为同一平面，如下图所示：
易知△���、△���均为等边三角形，延展后，∠���= ∠���= ��∘，∠���= ∠���= ���∘，
所以，四边形����为菱形，所以，��//��且��= ��，
因为�、�分别为��、��的中点，则��//��且��= ��，
所以，四边形����为平行四边形，此时��= ��= �；
（2）当点�沿着平面���、����到点�，将平面���、����延展至同一平面，如下图所示：
连接��，则��⊥��，且��= ��，∠���= ��∘，∴∠���= ��∘+ ��∘= ���∘，
因为��= �，由余弦定理可得��=
���+ ���−���⋅��������∘=
��+ ��> �；
（3）当点�沿着平面���、����到点�，连接��，如下图所示：
则��= �，��= �+ ��，∠���= ��∘，
由余弦定理可得��=
���+ ���−���⋅�������∘=
��+ ��> �；
（4）当点�沿着平面���、���、���到点�，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示：
易知�、�、�三点共线，且��= �，��= �，∠���= ��∘，
由余弦定理可得��=
���+ ���−���⋅�������∘= ��> �.
综上所述，从点�沿着四棱锥的表面到点�的最短路径的长度为�.
故选：C.
【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，
即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面
展开图的形状；
（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.
题型六：圆柱最短路径
1.如图，已知圆柱底面圆的半径为2
，高为2，AB，CD 分别是两底面的直径，AD，BC 是母线.若一只小虫
从A 点出发，从侧面爬行到C 点则小虫爬行路线的最短长度是（
）.
A．2
B．2 2
C．3
D．3 3
【答案】B
【解析】展开圆柱的侧面如图所示，
由图可知小虫爬行路线的最短长度是
2
2
2
2
2 2
AC












.故选：B
2.如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，
90
AOB


，则在此圆柱侧面上，从B 到C 的路径中，最短路
径的长度为_______.
【答案】4 2
【解析】圆柱的高为4，底面周长为16，
90
AOB


,则在底面圆中»
1
16
4
4
AB 


如图将圆柱的侧面沿母线AC 展开, 其侧面展开图是矩形，且矩形的长为16，宽为4.
在此圆柱侧面上，从B 到C 的路径中，最短路径的长度为展开图中线段BC 的长度
2
2
4 +4
4 2
BC 

故答案为：4 2
3.在①
6
AD 
；②四边形ABCD 的面积为24；③四边形ABCD的周长为20；这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中，并作答，
如图，四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，
4
AB 
，且__________．
（1）求该圆柱的体积：
（2）若用一细绳从点A 绕圆柱一周后到达D 处（如图），求细绳的最短长度．
【答案】（1）24；（2）
2
2 4
9

【解析】（1）选择①，由题意可得圆柱的底面圆的半径
1
2
2
r
AB


，高为
6
h
AD


，
则该圆柱的体积为
2
2
6
24
V
Sh







．
选择②，由题意可得圆柱的底面圆的半径
1
2
2
r
AB


，高为
24
6
4
h
AD



，
则该圆柱的体积为
2
2
6
24
V
Sh







．
选择③，由题意可得圆柱的底面圆的半径
1
2
2
r
AB


，高为
20
4
6
2
h
AD




，
则该圆柱的体积为
2
2
6
24
V
Sh







．
（2）将圆柱沿AD 侧面展开，如图所示，
6
AD 
，
4
AA


，
则


2
2
2
2
2
4
6
2 4
9
AD
AA
A D











．
故细绳的最短长度为
2
2 4
9

．
题型七：台体中最短路径问题
1.（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为�上= 1，�下= 2，母线��长为2，点�
为��的中点，则（
）
A．圆台的体积为
7 3
3 π
B．圆台的侧面积为12π
C．圆台母线��与底面所成角为60°
D．在圆台的侧面上，从点�到点�的最短路径长为4
【答案】AC
【分析】根据已知求体积;过�作��//����交底面于F，判断出∠���即为母线��与底面所成角；作出圆
台的侧面展开图，直接求出面积；圆台的侧面上，判断出从�到�的最短路径的长度为CE,等逐个判断即可
求解.
【详解】对于A：圆台的高为�，则圆台的体积�=
�
�π×(��+ �× �+ ��) ×
�=
��π
�
(cm�)，A 正确；
对于B：由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，
其面积为�=
�
�× ��× �× �−
�
�× ��× �× �= ��.故B 错误；
对于C：过A 作��//����交底面于F，则����⊥底面，所以∠���即为母线��与底面所成角.
在等腰梯形ABCD 中，��= �, ��= �−�= �,所以���∠���=
��
��=
�
�.
因为∠���为锐角，所以∠���= ��°.故C 正确；
对于D：如图示，在圆台的侧面上，从�到�的最短路径的长度为CE.由题意可得：��= ��= �, ��= �.
由�为��中点，所以��= �，所以��=
���+ ���=
��+ ��= �.故D 错误.
故选：AC
2.如图，在直角梯形ABCD中，AB CD ，AB BC ，
2
2
AB
CD


，
3
AD 
，以BC 边所在的直线为
轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A 绕着几何体的侧面爬行一周回到点A ，求蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】（1）14π ；（2）6 3
【解析】（1）如图所示，满足题意的直角梯形ABCD，
以BC 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，
形成一个上底面半径为1
1
r
CD

，
下底面半径2
2
r
AB


，母线长
3
l 
的圆台，
其表面积为




2
2
2
2
1
2
1
2
π
π 1
2
1 3
2 3
14 π
S
r
r
rl
r l








.
（2）将圆台的侧面沿母线AD 展开，得到如图所示的一个扇环，
∵圆台上下底面半径的关系为2
1
2
r
r

，
∴

1
2
1
2
2
A A
D D

，∴
1
1
2
OA
OD

，
又∵
1
1
3
A D 
，∴
1
6
OA 
，
1
3
OD 
，
设
1
2
AOA



，
则
1
2
A A 的弧长
2
1
2
6
π
4π
l
OA
r







，∴
2π
3

，
连接
1
2
A A ，取线段
1
2
A A 中点M ，连接OM ，则
1
2
OM
A A

，
在
1
Rt OMA

中，
1
π
2
3
AOM




，
1
π
6
OA M


，∴
1
1
1
3
2
OM
OA
OD



，
∴蚂蚁从点A 绕着圆台的侧面爬行一周回到点A 的最短路径即为线段
1
2
A A ，
2
2
1
2
1
2
2
6
3
6 3
A A
A M





.
∴蚂蚁爬行的最短距离为6 3 ．
3.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为1
1
r ，2
2
r 
，母线AB 长为2，E 为AB 的中点．
（1）求圆台的体积与侧面积之比；．
（2）在圆台的侧面上，求从点C 到点E 的最短路径长．
【答案】（1）7 3
18
；（2）5
【解析】（1）圆台的侧面积为



1
2
π
π
1 2
2
6π
r
r l






.
由已知圆台上底面面积
2
1
1
π
π
S
r


，下底面面积
2
2
2
π
4π
S
r


，
如图，
1
2
,
O O 分别是上下底面圆的圆心，则
1
1
O A ，
2
2
O B 
，
取F 为
2
O B 的中点，连结AF ，则
2
AF
O B

，且
1
BF ，
所以
2
2
3
AF
AB
BF



，
所以圆台的高为
3 ，
所以，圆台的体积为




1
2
1
2
1
1
7 3 π
π
4π
2π
3
3
3
3
V
S
S
S S
h









.
所以，圆台的体积与侧面积之比为
7 3 π
7 3
3
6π
18

.
（2）作出原圆锥的轴截面，如图2
由已知，
2
AD 
，
4
BC 
，
由OAD
OBC


∽
可得，
1
2
OA
AD
OB
BC


.
因为
2
AB 
，所以
4
OB 
.
将圆台侧面沿CD 展开如图3，则CE 即为所求最短距离，
因为上底面展开后得到扇形的弧长
1
2π
2π
l
r


，
半径
2
OA
OB
AB



，
所以圆心角
2π
π
2


，所以
π
2
DOA


.
又
3
OE
OA
AE



，
4
OC
OB


，
在Rt
EOC
△
中，有
2
2
5
CE
OE
OC



，
所以，点C 到点E 的最短路径长为5.
题型八：周长最小问题
1.在直三棱柱���−�1�1�1中，��1 = 3，��= ��= 1，��=
2，E 是棱��1上的一点，则△�1��的周
长的最小值为（
）
A．11 + 3
B．11 + 2 3
C．11 +
13
D．11 +
14
【答案】C
【分析】由侧面展开图求解，
【详解】由题意得���=
�+ �=
��，
将三棱柱的侧面展开如图所示，当��, �, �三点共线时，△����的周长的最小，
此时���+ ��=
�+ �=
��，
即△����的周长的最小值为��+
��，
故选：C
2.如图，棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，点P，Q 分别为面A1B1C1D1 和线段B1C
上动点，则△PEQ 周长的最小值为（
）
A．2 2 B．10 C．11 D．2 3
【答案】B
【分析】通过对称转换��, ��, ��，由三点共线求得三角形���周长的最小值.
【详解】在平面������上，设E 关于B1C 的对称点为M，根据正方形的性质可知��= �，
�关于B1C1 的对称点为N，���= ���= ��= �，
连接MN，当MN 与B1C1 的交点为P，MN 与B1C 的交点为�时，
则MN 是△PEQ 周长的最小值，
��= �, ��= �，��=
��+ ��=
��,
∴△PEQ 周长的最小值为��
故选：B
3.如图，在正三棱柱�1�1�1 −���中，AB＝2，��1＝2 3，D，F 分别是棱AB，��1的中点，E 为棱AC 上
的动点，则△DEF 周长的最小值为_____．
【答案】�+2##�+
�
【分析】由正三棱柱������−���的性质可得：���⊥AB，���⊥AC．在Rt△ADF 中，利用勾股定理可得
DF＝2．因此只要求出DE+EF 的最小值即可．把底面ABC 展开与侧面������在同一个平面，当三点D，E，
F 在同一条直线时，DE+EF 取得最小值．再利用余弦定理求解．
【详解】解：由正三棱柱������−���，可得���⊥底面ABC，
∴���⊥AB，���⊥AC．
在Rt△ADF 中，DF＝( �)�+ ��＝2．
把底面ABC 展开与侧面������在同一个平面，如图所示，
只有当三点D，E，F 在同一条直线时，DE+EF 取得最小值．
在△ADF 中，∠DAF＝60°+90°＝150°，由余弦定理可得：
DF＝( �)�+ ��−��× ������°＝�．
∴△DEF 周长的最小值＝�+2．
故答案为：�+2．
题型九：线段和最小问题
1.在正方体����−�1�1�1�1中，棱长为2，E 为��的中点，点P 在平面���1�1内运动，则��+ ��1的
最小值为（
）
A．3
B．2 3 C．3 2 D．5
【答案】A
【分析】利用点面对称关系，找到点�关于平面������的对称点为�，则��+ ���= ��+ ���，再根据
两点之间线段最短，可得答案.
【详解】解：取��的中点F，连接��，如下图：
因为E 为��的中点，所以点E、F 关于平面������对称，所以��+ ���= ��+ ���，最小值为���=
12 + 22 + 22 = 3.
故选：A.
2.如图，在棱长为1 的正方体中����−�1�1�1�1，若点�, �分别为线段��1，��1上的动点，点�为底面
����上的动点，则��+ ��的最小值为（
）
A．
2
3B．
2
2
C．
3+1
3
D．1
【答案】A
【解析】先固定M,使PM，NM 最小，则易知P 应是M 在BD 上的射影，N 应是M 在B1C 上的射影；利用线面
垂直判定定理易知BC1⊥平面BC1D1,∴N 应为BC1，B1C 的交点O；将△BDD1 和△BC1D1 展开放到一个平面
上，可得当P、M、O 共线，且垂直于BD,时PM+MN 最小时，利用正弦的二倍角公式求得sin∠DBC1 的值，
进而计算可得.
【详解】解：首先当固定M 时，P 点应为M 在平面ABCD 中的射影，在BD 上，且MP⊥BD 于P,为使MN 最小，
MN 应当垂直与B1C，垂足为N,
连接BC1,设BC1∩B1C=O,则BC1⊥B1C,
由D1C1⊥平面BCC1C1 得D1C1⊥B1C,
又∵D1C1∩BC1=C1,∴B1C⊥平面BC1D1,
由MN⊥B1C,M∈平面BC1D1,∴MN⊂平面BC1D1,
∴N 应为BC1，B1C 的交点O,
将△BDD1 和△BC1D1 展开放到一个平面上，如图所示：
转化为求折线PMO 的最小值，显然最小时P、M、O 共线，且垂直于BD,
如图所示M0,P0,N0,为使PM+MN 最小时，M,P,N 的位置.
显然△BDD1≌△BC1D1,∴∠DBD1=∠C1BD1
∴sin∠DBC1=sin2∠DBD1=2sin∠∠DBD1cos∠DBD1=�×
�
�×
�
�=
��
�,
����=
�
�× ���∠����=
�
�×
��
�=
�
�,
故选:A.
【点睛】本题考查空间距离和的最值问题，属中高档题，关键在于先固定寻找MP，MN 最小的条件和位置，
然后利用展开方法，进一步研究求解.
3.在正方体����−�1�1�1�1中，棱长为2，E 为��的中点，点P 在平面���1�1内运动，则��+ ��1的
最小值为________
【答案】3
【分析】由条件证明点E、F 关于平面������对称，由此可得��= ��，再根据结论两点之间线段最短
求��+ ���的最小值即可.
【详解】取��的中点F，连接��，如下图：
因为E 为��的中点，所以点E、F 关于平面������对称，
所以��+ ���= ��+ ���，
因为��+ ���≥���，
当且仅当点�为线段���与平面������的交点时等号成立；
所以��+ ���的最小值为���，
由已知△����为直角三角形，且��= �, ���= ��，∠����为直角，
所以���= �，
所以��+ ���的最小值为3.
故答案为：3.
4.如图，三棱柱���−�1�1�1中，��1 ⊥底面���，∠���= 90°，��= 6, ��= ��1 =
2, �是��1上一动
点，则��+ ��1的最小值是_______．
【答案】��
【分析】把平面�����沿着���展开与△����在同一平面上，利用余弦定理进行求解即可.
【详解】把平面�����沿着���展开与△����在同一平面上，
连接���，则��+ ���的最小值是���，
因为∠���= ��°，三棱柱���−������是直三棱柱，
��= �, ��= ���=
�，���=
����
�+ ����=
����
�+ ����
�+ ����=
��+ �+ �= ���，
���=
����+ ����
�=
�+ �= �，
因为����
�+ ���
�= ����，所以����⊥���，
所以∠�����= ��°, ����= �，
所以∠�����= ��° + ��° = ���°，
由余弦定理得����= ����
�+ ���
�−�����⋅���������° = ��，
所以���= ��，故��+ ���的最小值是��.故答案为：��
模块三：综合巩固
1.如图，两个图形都是立体图形的平面展开图，你能分别说出这两个立体图形的名称吗？
【答案】（1）正方体（2）四棱锥
【解析】（1）将展开图还原为原图可知，该几何体为正方体.（2）将展开图还原为原图可知，该几何体为
四棱锥.
2.将3 个6cm×6cm 的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所
示，将这6 个部分接入一个边长为3 2cm 的正六边形上，如图（2）所示.若该平面图沿着正六边形的边
折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为______cm3.
【答案】108
【分析】根据平面图形折起后得到七面体，由七面体为正方体被平面所截，由对称性可得其体积.
【详解】将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，
该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积
的一半，即
�
�× ��= ���cm�.
故答案为：���
3.长方体����−�1�1�1�1中，��= 2，��= 4，��1 = 1，则一只小虫从�点沿长方体的表面爬到�1点
的最短距离是___________．
【答案】5
【分析】根据题意，画出三种展开的图形，求出�、��两点间的距离，比较大小，从而找出最小值即为所
求．
【详解】解：长方体����−��������的表面可如下图三种方法展开后，�、��两点间的距离分别为：
���=
��+ (�+ �)�=
��，���=
(�+ �)�+ ��= �，���=
(�+ �)�+ ��=
��，
∴一只小虫从�点沿长方体的表面爬到��点的最短距离是5．
故答案为：5．
4.如图，正三棱柱���−�1�1�1的底面是边长为3 的正三角形，侧棱��1 = 4，一小虫从点A 途经三个侧
面爬到点�1，则小虫爬行的最短距离为（
）
A．4
B．5
C．97 D．153
【答案】C
【分析】将三棱柱展开为一矩形，确定边长，确定小虫爬行的轨迹，即可求得答案.
【详解】三棱柱的侧面展开图为一个矩形��'�'���，如图所示,
因为正三角形ABC 的边长为3，侧棱���= �，所以��' = �，
所以��'�=
��'�+ ���
�=
��+ ��=
��，即小虫爬行的最短距离为��,
故选：C
5.如图所示，已知在圆锥SO 中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM＝x，从点
M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离__（用x 表示）．
【答案】
2
2
4
16
16
x x
x


【解析】∵底面半径r＝1，母线长l＝4，
所以侧面展开图的弧长为2π
2π
r 
，
所以侧面展开扇形的圆心角
2π
π
4
2


，
因此，将圆锥侧面展开成一个扇形，
从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点A，
最短距离为
1
Rt ASM

中，斜边
1
AM 的长度
∵SM＝x，SA＝4
∴绳子的最短长度的平方

2
2
2
2
1
4
16
f x
AM
x
x





．
绳子最短时，定点S 到绳子的最短距离等于
1
Rt ASM

的斜边上的
高，
设这个距离等于d，
则
2
1
2
2
1
4
4
16
16
16
SM
AS
x
x x
d
AM
x
x







.
6.如图，在三棱锥�−���中，��⊥平面���, ��= 4 米，��= 3 米，��与底面���所成角的正切值为2.
已知蚂蚁从点�出发，沿着侧面���走到��上的一点，再沿着侧面���继续走到棱��上，则这只蚂蚁从点
�出发到达棱��的最短路程为_______米，这只蚂蚁的最短路线与��的交点到底面���的距离为______米.
【答案】
2 �
�
�##1.5
【分析】由题意，将侧面ABD 翻折至与平面ABC 共面，由两点之间直线最短确定出蚂蚁的最短路线为C→
F→E，利用勾股定理求出最短路程为CE=2 �米，利用三角形相似求出FB=
�
�.
【详解】因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，又AB=4 米，BC=3 米，
所以AC=5 米.因为AD 与底面BCD 所成的角为∠ADB，所以tan∠ADB=
��
��=2，所以BD=2 米.将侧面ABD 翻折
至与平面ABC 共面，如图所示.AC=CD=5 米，AD=2 �米，取AD 的中点E，连接CE，交AB 于F，则CE⊥AD，
蚂蚁的最短路线为C→F→E，最短路程为CE=2 �米，最短路线与AB 的交点为F.取BD 的中点G，连接EG，
则EG=
�
�AB=2 米，BG=
�
�BD=1 米，根据△CBF∽△CGE，得
��
��=
��
��=
�
�，则FB=
�
�EG=
�
�，故这只蚂蚁的最短路线与
AB 的交点到底面BCD 的距离为
�
�米.
故答案为：��；
�
�.
7.已知圆柱底面圆的半径为1，高为3，矩形ABCD 为圆柱的轴截面，一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行一
圈半到达C 点，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【答案】
2
3
1

【解析】由题意画出蚂蚁爬行的路径，如图所示：
将圆柱的侧面展开，其中
1
1
1
1
2
,
,
AB B A A B 为底面圆周的一半，
则
2
2
3
AD
B C


,
2
3
2
3
2
AB
r





，
则蚂蚁爬行的最短距离为线段
2
AC ，
在矩形
2
AC 中，
2
2
2
2
2
2
2
2
9
9
3
1
AC
AB
B C








所以蚂蚁爬行的最短距离为
2
3
1
.
8.有一根高为3，底面半径为1 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 圈，并使铁丝的两个端点落
在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
【答案】5
【解析】因为圆柱型铁管的高为3，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2 圈，
且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，
则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示．
其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2，长为圆柱的高3，
则大矩形的对角线长即为铁丝的长度的最小值．
此时铁丝的长度最小值为
2
2
9
16
5





，即铁丝的最短长度为5．
9.如图圆台
1
2
O O ，在轴截面ABCD中，
1
AB
AD
BC


，且
2
CD
AB

．
（1）求圆台的体积；
（2）求沿着该圆台侧面，从点C 到AD 中点的最短距离；
【答案】（1）7 3
24
；（2）5
2 .
【解析】（1）过点A 作AE
CD

于E，因为
1
AB
AD
BC


，且
2
CD
AB

，
则
1
2
ED 
，所以
1
2
3
2
AE
O O


，
所以圆台的高为
3
2
，所以圆台的体积为：
2
2
1
3
1
1
7 3
1 +
+1
3
2
2
2
24
V






















；
（2）设AD 的中点为F，连接CF，将圆台沿CB 展开如下图所示，
则
3
1,
,
90
4
OC
OF
COD




，所以
2
2
2
2
3
5
1
4
2
CF
CO
OF











，
所以沿着该圆台侧面，从点C 到AD 中点的最短距离为5
2 ．
10.如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径
1
4cm
O A 
，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半
径为2cm ，这个平面与母线OA交于点B ，线段AB 的长为8cm .
（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；
（2）把一根绳从线段AB 的中点M 开始沿着侧面绕一圈到点A ，求这根绳最短时的长度.
【答案】（1）体积为
3
56 15 cm
3

，侧面积为
2
48 cm

；（2）20cm
【解析】（1）由已知圆台下底面半径
4cm
R 
，上底面半径
2cm
r 
，可得
8cm
OB
AB


，
圆台的高


2
2
8
4
2
2 15cm
h 



，
圆台的体积




2
2
3
1
1
56 15
16
4
8
2 15
cm
3
3
3
V
R
r
Rr h











，
圆台的侧面积




2
4
2
8
48 cm
S
R
r
AB










.
（2）作出圆锥侧面展开图，由已知绳子最短时的长度为侧面展开图中MA的长度.
由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为2
4
8





，
侧面展开图的圆心角为
8
16
2




，
则在三角形MOA中，
2
A OM




，则
2
2
2
2
16
12
20cm
MA
OA
OM







11.如图，����−�'�'�'�'为正方体，任作平面�与对角线��'垂直，使得�与正方体的每个面都有公共点，
记这样得到的截面多边形的面积为�，周长为�，则（
）
A．�为定值，�不为定值
B．�不为定值，�为定值
C．�与�均为定值
D．�与�均不为定值
【答案】B
【分析】将正方体切去两个正三棱锥�−�'��与�' −�'�'�后，得到一个以平行平面�'��与�'�'�为上、
下底面的几何体�，�的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形�的每一条边分别与�的底面上的一条
边平行，将�的侧面沿棱�'�'剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形�'�'����，考查�'的位置，
确定�, �
【详解】解：将正方体切去两个正三棱锥�−�'��与�' −�'�'�后，得到一个以平行平面�'��与�'�'�为
上、下底面的几何体�，�的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形�的每一条边分别与�的底面上的
一条边平行，将�的侧面沿棱�'�'剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形�'�'����，如图所示
而多边形�的周界展开后便成为一条与�'��平行的线段（如图中�'��），显然，�'��= �'��，所以�为定值，
当�'位于�'�'中点时，多边形�为正六边形，而当�'称到�'时，�为正三角形，则当周长这定值�的正六边
形与正三角形面积分别为
�
����,
�
����，所以�不是定值，
故选：B
12.《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一侧棱垂真于底面的四棱锥”.
现有阳马�−����，��⊥平面����，��= 1，��= 3，��=
3，��上有一点E，使截面���的周长最
短，则��与��所成角的余弦值等于（
）
A．−
2
4
B．−
2
5
C．
2
5D．
2
4
【答案】D
【分析】通过底面展开转化为平面图形，容易找到最小值点�，然后利用平移法作出异面直线所成的角，
即可得解；
【详解】解：将平面����沿��折至�'���'，
使���与�'���'共面，
连接��'交��于�，连接��，此时△���周长最短，
作��//��交��于�，
则∠���（或其补角）即为所求角，
在Rt△SAB 中，��=
���+ ���= �，
∴由
��
��' =
��
�'�'，即
�
�=
��
�，可得��= �，
∴在Rt△SBE 中，��=
���+ ���= ��，
∴在Rt△SFE 中，���∠���=
��
��=
�
��=
�
�，
故��与��所成角的余弦值等于
�
�．故选：D．
13.如图，在棱长为1 的正方体����−�1�1�1�1中，�, �分别为棱�1�1, �1�1的中点，若点�, �, �分别为
线段��1, ��, ��1上的动点，则��+ ��的最小值为_____．
【答案】�
【分析】由��= ��可确定�为��中点时，��最小，取��= ��，通过三角形全等可将问题转化为��+
��最小值的求解问题，根据三点共线时线段和最小可求得结果.
【详解】
∵��= ��，∴当�为��中点时，��取得最小值；
在��上取一点�，使得��= ��，
∵���∠���= ���∠����=
�
�，∴∠���= ∠����，∴△���≌△���，
∴��= ��；
则当�, �, �三点共线时，��+ ��最小，即��+ ��最小，
此时��//���且��= ���= �，∴��+ ��的最小值为�.
故答案为：�.
14.已知，如图，正方体����−�1�1�1�1棱长为1，�为�1�上的动点，则��+ ��1的最小值为__________.
【答案】�+
�
【分析】首先将翻转平面�����，使点��转到的对应点��在平面����内，再将折线和的最小值，转化为
两点间距离，即可计算结果.
【详解】如图，将△�����沿���翻转，使点��转到的对应点��在平面����内．
则
∠�����= ∠�����= ��°．
故∠�����= ∠����+ ∠�����= ��° + ��° = ���°．
从而，��+ ���= ��+ ���≥���=
��+ ��−�������° =
�+
�．
当且仅当�为���与���的交点时，上式等号成立．
故答案为：�+
�
15.在长方体����−�1�1�1�1中，棱��= 6，��= ��1 =
2，点�是线段��1上的一动点，则��+ ��1
的最小值是___________
【答案】��
【分析】将△�����沿���为轴旋转至于平面����共面，可得△�����，利用��+ ���= ��+ ���⩾���
求解即可．
【详解】解：将△�����沿���为轴旋转至于平面����共面，可得△�����
则∠����= ���°，
故��+ ���= ��+ ���⩾���=
��+ ( �)�−�× �×
�������° = ��，
当且仅当�为���与���的交点时取等号，
所以��+ ���的最小值是��．
故答案为：��．