8.6空间中线线垂直和线面垂直（原卷版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_立体几何初步PDF_PDF

8.6 空间中线线垂直和线面垂直
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：两条直线所成的角.......................................................... 2
考点二：求两异面直线所成的角的步骤............................................2
考点三：证明异面直线垂直的步骤..................................................2
考点四：直线与平面垂直的定义.................................................... 2
考点五：直线与平面垂直的判定定理...............................................3
考点六：直线和平面所成的角....................................................... 3
考点七：直线与平面垂直的性质定理...............................................3
考点八：三心问题结论................................................................ 4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：异面直线的辨别............................................................. 4
题型二：求异面直线所成角.......................................................... 5
题型三：直线与直线垂直............................................................. 7
题型四：线面垂直判定理解.......................................................... 9
题型五：线面垂直证明.............................................................. 10
题型六：直线与平面所成的角......................................................13
题型七：线面垂直证明线线平行...................................................16
题型八：线面垂直证明线线垂直...................................................18
题型九：平面内的射影问题........................................................ 24
题型十：空间中三种距离问题......................................................25
题型十一：线面垂直的动点问题...................................................27
模块三：综合巩固....................................................................... 31
8.6 空间中线线垂直和线面垂直
模块一：基础知识
考点一：两条直线所成的角
1、平面内两条直线所成的角
平面内两条直线相交形成4 个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
2、异面直线所成角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
（2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
3、判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号
语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB 与l 是异面直线(如图)．
考点二：求两异面直线所成的角的步骤
1、作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
2、证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行
3、计算：求角的值，常利用解三角形得出。
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.
4、结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；
若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。
考点三：证明异面直线垂直的步骤
1、作出两异面直线所成的角；
2、求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊在三角形中说明垂直关系；
3、得出结论，
考点四：直线与平面垂直的定义
1、文字语言：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直
2、符号语言：l⊥α
3、有关概念：直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P 叫做垂足
4、图形语言：
5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
6、空间距离
①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂
线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直
线到这个平面的距离.
③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相
等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
考点五：直线与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
3、图形语言：
4、作用：证明线面垂直
考点六：直线和平面所成的角
1、有关概念：
（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，
过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，
图中斜线PA 在平面α上的射影为AO
2、直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
3、取值范围：[0°，90°]
考点七：直线与平面垂直的性质定理
1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
2、符号语言：
a⊥α
b⊥α
⇒a∥b
3、图形语言：
4、作用：①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
5、推论：
（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
考点八：三心问题结论
设P 是三角形ABC 所在平面α外一点，O 是P 在α内的射影
（1）若PA＝PB＝PC，则O 为△ABC 的外心．
特别地当∠C＝90°时，O 为斜边AB 的中点．
（2）若PA、PB、PC 两两垂直，则O 为△ABC 的垂心．
（3）若P 到△ABC 三边距离相等，则O 为△ABC 的内心．
模块二：题型分类
题型一：异面直线的辨别
1、（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，M 为
1
DD 的中点，则下列直线
中与直线BM 是异面直线的有（
）
A．
1
AA
B．
1
BB
C．
1
CC
D．
1
DD
2、（2023 春·全国·高一专题练习）如图为正六棱柱ABCDEF
A B C D E F


.其6个侧面的12条面对角
线所在直线中，与直线A B
异面的共有______条.
3、（2021 秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，直线
1A B 与直线AC 的位置关
系为（
）
A．相交
B．异面
C．平行
D．不确定
4、（2021 春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，,
E F 分
别是线段
1
,
BC CD 的中点，则直线
1
AD 与直线EF 的位置关系是（
）
A．相交
B．垂直
C．平行
D．异面
5、（2023 春·全国·高一专题练习）如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
的9 条棱所在直线中，与直线
1A B 是异
面直线的共有___________条.
6、（2022·高一课时练习）如图，已知点P 在四边形ABCD所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，
那么P 与四边形ABCD的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线共8 条直线中，异面直线共有
______对．
题型二：求异面直线所成角
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，E，F，G，H 分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF 与
GH 所成的角等于_________．
2.已知空间四边形ABCD，连接AC 和BD ，且
1
AB
AC
AD
BC
CD
BD





，点N 是线段AD 的中点，
则异面直线BD 和CN 所成的角的余弦值是______．
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）AC 和DD1所成的角是________；
（2）AC 和D1C1所成的角是________；
（3）AC 和B1D1所成的角是________；
（4）AC 和A1B 所成的角是________.
4.如图，已知圆锥CO的正视图是正三角形，AB 是底面圆O的直径，点D 在
AB 上，且
2
AOD
BOD

∠
∠
，
则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为______．
5.如图，在空间四边形ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别是AB，CD 的中点，若EF＝
3 ，求异面直线AD，
BC 所成角的大小.
6．在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2π
3
BAC


，
1
2
2
AA
AC
AB



，O为四边形
1
1
AAC C 的中心，则异面
直线
1
OB 与
1A B 夹角的余弦值为（
）
A．
5
10
B．
5
15
C．
5
20
D．
5
25
7．已知三棱锥S
ABC

中，
2 3,
2
SC
AB


，E，F 分别是SA，BC 的中点，
1
EF ，则EF 与AB 所成
的角大小为（
）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
8.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，ABC

为等腰直角三角形，且
1
2
1
2
AB
AC
AA



，则异面直线
1
AB
与
1AC 所成角的正弦值为（
）
A．2
3
B．
5
3
C．
3
3

D．
3
3
题型三：直线与直线垂直
1.如图，在长方体ABCD
A B C D

的各条棱所在直线中，
（1）与直线AB 垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB 异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB 和A D
都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB 和A D
都垂直且相交的直线是直线__________．
2.在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（
）条．
A．2
B．4
C．6
D．8
3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D 是AB 的中点，则在所有的棱中与直线CD 和AA1都垂直的直线有______．
4.设a，b，c 是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a 和b（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
5.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
①
1
DA 与
1
BC 平行；
②
1
DD 与
1
BC 垂直；
③
1
1
A B 与
1
BC 垂直．
以上三个命题中，正确命题的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．③
D．①②③
6.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E，F 分别是AB，CD 的中点，EF=
2 ．求证：AD⊥BC．
7.空间四边形ABCD ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，DC 的中点，
2
FG 
，
5
GE 
，
3
EF .求证：AC
BD

.
8.如图，在正三棱柱ABC
A B C


中，E 为棱AC 的中点，
2
AB
BB


.求证：BE
AC

.
题型四：线面垂直判定理解
1.已知，是两个不同的平面，l，m，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l


的是（
）
A．l
m

，l
n

，m


，n


B．l
m

，
/ /
m

C．


，//
l 
D．//
l m ，m


2.若一条直线a 与平面垂直，下列平面中的两条直线与a 垂直，可以保证直线与平面垂直的是（
）
①四边形的两边
②正六边形的两边
③圆的两条直径
④三角形的两边
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
3.下列命题中正确的有（
）
A．过直线l 外一点，有且只有一个平面与l 垂直
B．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面
C．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面
D．过点A 且垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内
4.已知m 、n 是两条不同的直线，是一个平面，则（
）
A．若
//
m n ，n ，则
/ /
m

B．若m
n

，n ，则m


C．若m
n

，//
n ，则m


D．若m


，//
n ，则m
n

题型五：线面垂直证明
1.如图所示，M 是菱形ABCD 所在平面外一点，MA
MC

．求证：AC 垂直于平面BDM．
2. 在三棱锥V
ABC

中，VA
VC

，AB
BC

，点D 为AC 的中点，求证：AC 平面VBD ．
3.如图，在三棱锥

P
ABC 中，D E
，分别为AB
PB
，
的中点，EB
EA

，且PA
AC

，PC
BC

．求证：
BC 平面PAC ．
4.如图,在三棱锥

P
ABC 中,
,
PB
PC AB
AC


,D,E 分别是
,
BC PB 的中点．
（1）求证：
/ /
DE
平面PAC ;
（2）求证：BC 平面PAD ．
5．如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD是边长为2 的正方形，且CB
BP
CD
DP


，
，
2
PA 
，点
E
F
，
分别为PB
PD
，
的中点.
(1)求证：PA 平面ABCD；
(2)求点P 到平面AEF 的距离.
6.如图，已知PA 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A，B 的任意一点，过点A
作AE
PC

，垂足为E．
（1）求证：BC 平面PAC ；
（2）求证：

AE
平面PBC ．
7.如图所示，在正方体ABCD-
1
1
1
1
D
C
B
A
中，M 为
1
CC 的中点，AC 与BD 交于点O，求证：1AO⊥平面MBD .
8.如图，在圆柱
1
OO 中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面
O

的直径，D 是底面圆周上异于B 、C 的
点．求证：CD 平面ABD．
9.如图，已知四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，各棱长都为a ，底面ABCD是正方形，顶点
1A 在平面ABCD上
的射影是正方形ABCD的中心，求证：
1AC 平面
1
1
BDD B ．
题型六：直线与平面所成的角
1.已知在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
AB
AD

，
1
2
AA 
，那么直线
1AC 与平面
1
1
AA D D所成角的正弦值
为（
）
A．
6
6
B．
35
6
C．
3
3
D．
6
3
2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（
）
A．
3
6
B．
3
4
C．
2
2
D．
3
2
3.如图，在四棱锥P
ABCD

中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD 为正方形，且PD
AB
a
=
=
，G 为△ABC 的重
心，则PG 与底面ABCD 所成的角的正弦值等于（
）
A．3
4
B．
17
17
C．3 17
17
D．2 34
17
4.正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（
）
A．1
3
B．
3
3
C．
6
3
D．
3
2
5．如图，在矩形ABCD中，
3,
1
AB
BC

，沿对角线BD 把
BCD
△
折起，使C 移到C，且C在面ABC
内的射影O恰好落在AB 上.
(1)求证：AD
C B


；
(2)求AB 与平面C BD

所成的角的正弦值.
6．如图，圆的直径为AB 4，直线PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的任意一点.
(1)证明BC⊥面PAC；
(2)若
2 2,
2,
PA
AC


求PB 与面PAC 的夹角.
7．如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，已知
1
2,
3
AB
BC
AA


．
(1)若点P 是棱
1
1
A D 上的动点，求三棱锥C
PAD

的体积；
(2)求直线
1
AB 与平面
1
1
ACC A 的夹角正弦值大小．
8.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥P
ABCD

为阳马，侧棱PA 底面ABCD，PA
AB
AD


，E 为棱PA 的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的余弦值
为_______.
题型七：线面垂直证明线线平行
1.如图，正方体
1
1
1
1
A B C D
ABCD
－
中，EF 与异面直线AC 、
1A D 都垂直相交．
求证：
1
//
EF BD .
2.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，直线l（与直线
1
BB 不重合）平面ABCD ，则有（
）
A．
1
BB
l

B．
1
BB
l
∥
C．
1
BB 与l 异面
D．
1
BB 与l 相交
3.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，直线l（与直线
1
BB 不重合）平面ABCD，则有（
）
A．
1
BB
l

B．
1
BB
l
∥
C．
1
BB 与l 异面
D．
1
BB 与l 相交
4.在空间中，下列说法正确的是（
）
A．垂直于同一直线的两条直线平行
B．垂直于同一直线的两条直线垂直
C．平行于同一平面的两条直线平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
5.圆柱OP 如图所示，AC 为下底面圆的直径，DE 为上底面圆的直径，BD 底面ABC ，证明：
//
BP
面AEC
6.如图，已知多面体ABCDE ，

AE
平面
,

ABC DC
平面ABC ，且
2
AE
DC


，证明：
/ /
AC
平面BED .
7.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E 是PD 的中点，M，N 分别在
AB，PC 上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
题型八：线面垂直证明线线垂直
1.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1AC
BC

，
1
AC
CC

．
(1)记平面
1A BC 与平面
1
1
1
A B C 的交线为l，求证：/ /
l
平面
1
1
BCC B ；
(2)求证：
1
1
AC
AB

．
2.如图，
1
AA 是圆柱的一条母线，AB 是圆柱的底面直径，C 在圆柱下底面圆周上，M 是线段
1AC 的中点．已
知
1
4
AA
AC


，
3
BC .
（1）求圆柱的体积；
（2）求证：
.
BC
AM

3.如图，已知PA 平面PBC，PB
PC

，M 是BC 的中点，求证：BC
AM

．
4.如图，四棱锥S
ABCD

中，
,
,
AB
DC CD
SD SM
CM


∥
，平面SCD 平面SBC ．
(1)求证：DM
BC

；
(2)设
,
9,
6,
12
BC
AB AB
BC
CD
SB





，点N 在棱AB 上，
2 13
DN 
，求多面体DSAN 的体积．
5.在三棱锥

P
ABC 中，ABC

为等边三角形，PA 平面ABC，将三角形PAC 绕PA 逆时针旋转至PAD 位
置（如图），且二面角D
PA
B


的大小为90°．
(1)证明：A，B，C，D 四点共面，且AD
PB

；
6.如图，在四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD为菱形，
60
ABC


，又PA 底面
,
ABCD E 为BC 的中点．
(1)求证：AD
PE

；
(2)设F 是PD 的中点，求证：CF 平面PAE ．
7.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
90
CAB


，
1
1
2 2
AB
AC
A B
AC




，
1
2
AA 
，点M，F 分别为
BC，
1
1
A B 的中点，点E 为AM 的中点．
(1)证明：
1
AA
BC

；
(2)证明：
/ /
EF
平面
1
1
BCC B ；
8.如图，四棱锥P
ABCD

中，底面ABCD 为矩形，
8
4 3
AB
AD


，
，侧面PAD 为等边三角形，并且与
底面所成二面角为60．
(1)求四棱锥P
ABCD

的体积；
(2)证明：PA
BD

．
题型九：平面内的射影问题
1．在各棱长都为2 的正四棱锥V
ABCD

中，侧棱VA在平面VBC上的射影长度为（
）
A．2 6
3
B．2 3
3
C．
3
D．2
2．在三棱锥PABC 中，若PA＝PB＝PC，则顶点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的（
）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
3．2022 年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国
家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某
“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥A
BCD

如图所示，顶点A 在底面的射影落
在△BCD 内，它的体积为
3
729 3 cm
2
，其中△BCD 和△ABC 都是边长为18cm 的正三角形，则该“鞠”的表
面积为（
）
A．
2
234πcm
B．
2
468πcm
C．
2
189πcm
D．
2
756πcm
4．l 是平面内的一条直线，m 是平面的一条斜线，且m 在平面内的射影为m.若l 与m 的夹角为60，
l 与m的夹角为45，则m 与平面所成角的大小为（
）
A．135
B．30
C．45
D．150
5．如图，在三棱锥M
ABC

中，MA 平面ABC ，ABC

是边长为2 的正三角形，直线MC 与平面ABC 所
成夹角为60，F 是侧棱MC 的中点，则异面直线MB 与AF 所成角的余弦值是（
）
A．
3
3
B．
3
4
C．13
3
D．5
8
6．如图，在三棱锥B
ACD

中，AB
BC

，DA
AC

，G 为点B 在平面ACD上的射影，M 为BC 的中点．证
明：
/ /
MG
平面ABD .
题型十：空间中三种距离问题
1.在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点M 为棱
1
CC 的中点，则点B 到平面
1
1
A B M 的距离为（
）
A．5
B．2 5
5
C．3 5
5
D．4 5
5
2.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的棱长为1，O 是
1
1
AC 的中点，则点O 到平面
1
1
ABC D 的距离为______．
3.如图，正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的底面边长为2，
1
60
B AB


，E 为
1
DD 的中点，则
1
1
AC 到平面EAC
的距离为________．
4.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：
（1）平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.
（2）点D1到直线AC 的距离.
（3）直线AB 与面A1DCB1的距离.
5.如图，棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，点E 是
1
1
DC 的中点，F 是侧面
1
1
ADD A 的中心，则F 到平
面
1
EB C 的距离为（
）
A．2 6
3
B．10
2
C．3
2
D．
3
6.若四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D

的所有棱长均为2，且
1
1
60
A AB
A AD
BAD




，则
1A 到平面ABCD 的
距离为（
）
A．
6
3
B．
6
2
C．2 6
3
D．
3
7.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，则直线AA1到平面BB1D1D 的距离为______.
题型十一：线面垂直的动点问题
1.如图，三棱锥P-ABC 中，PA 平面ABC，
1
PA ，
1
AB ，
2
AC 
，
60
BAC


．
（1）求三棱锥A-PBC 的体积；
（2）在线段PC 上是否存在一点M，使得BM
AC

?若存在，求MC
PM 的值，若不存在，请说明理由．
2.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，A1C＝2
5 ，AB＝2，∠BAC＝60°.
（1）求三棱锥A1－ABC 的表面积；
（2）证明：在线段A1C 上存在点M，使得AC⊥BM，并求
1A M
MC 的值.
3.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 为棱C1D1的中点，F 为棱BC 的中点．
（1）求证：直线AE⊥直线A1D;
（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．
4.如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M 为PC 的中点．
（1）求证：BM//平面PAD．
（2）平面PAD 内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．
5.如图，平面PAC 平面ABC ，ABC

是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，PB ，
AC 的中点，
16
AC 
，
10
PA
PC


.
（1）设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE ；
（2）证明：在ABO

内存在一点M ，使FM 平面BOE ，并求点M 到OA，OB 的距离.
6.如图，在四棱锥V
ABCD

中，VA
VD

，BA
BD

．
（1）证明：AD
VB

；
（2）在棱VC 上是否存在一点P，使得VC 平面PAD？若存在，指出点P 的位置；若不存在，说明理由．
7.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧面
1
1
BCC B 是平行四边形，
1
1
BC
CC

，
1
1
BC
A C
^
，且E 、F 分别是BC 、
1
1
A B 的中点.
（1）求证：
//
EF
平面
1
1
AC CA；
（2）在线段AB 上是否存在点P ，使得
1
BC 平面EFP ？若存在，求出AP
AB 的值；若不存在，请说明理由.
模块三：综合巩固
1.已知三条直线1l ，2l ，3l 满足1
2
l
l
∥
且2
3
l
l

，则1l 与3l （
）
A．平行
B．垂直
C．共面
D．异面
2.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，与对角线AC 成异面直线的棱有（
）
A．3 条
B．4 条
C．6 条
D．8 条
3.如图所示，长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，
1
1,
2,
3
AB
AD
AA



，P 是线段
1
1
AC 上的动点，则下列直线中，
始终与直线BP 异面的是（
）
A．
1
DD
B．
1
B C
C．
1
D C
D．AC
4.（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（
）
A．直线CD 与直线GH 共面
B．直线CD 与直线EF 异面
C．直线AB 与直线EF 共面
D．直线GH 与直线EF 异面
5.在正方体
1
AC 中，E 、F 分别是面
1
1
1
1
D
C
B
A
和
1
1
AA D D的中心，则EF 和CD 所成的角是______________．
6.空间四边形ABCD的两对边
3
AB
CD


，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且
7
EF 
，
:
:
1: 2
AE ED
BF FC


，则AB 与CD 所成角大小为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
7.如图，已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的棱长都相等，D 为棱AB 的中点，则CD 与
1
AC 所成角的正弦值为
（
）
A．
6
4
B．
10
4
C．
2
4
D．
3
4
8．如图，在正方体ABCD
EFGH

中，若
,
M N 分别是
,
BF CG 的中点，且AG 和BN 所成的角为39.2，求AM
和BN 所成的角．
9．如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，已知AB＝AA1＝2 cm，AD＝1 cm，求异面直线A1C1 与BD1 所成
角的余弦值．
10．如图，在正方体ABCD
EFGH

中，O为侧面ADHE 的中心，P 是平面EFGH 的中心，求OP 和CD 所
成的角．
11.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F 分别是BD1和AD 的中点，求证：CD1⊥EF.
12.已知直线l 和平面，则“l 垂直于内任意直线”是“l


”的（
）.
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
13.已知直线l ，m 与平面，其中m


，则“l
m

”是“l


”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14.如果直线l，m 与平面，，满足：l


=
Ç
，l

∥
，m


和m


，那么必有（
）
A．l
m

B．m

∥
C．m


D．l
m
∥
15.如图，在多面体DABCE 中，ABC

是等边三角形，
2,
2
AB
AD
DB
DC
EB
EC






.
(1)求证：BC
AE

；
(2)求三棱锥B
ACD

的体积.
16.如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，EA / / FC，且EA=CF=AB=4，△EBD､△FBD 都是正三角形，
证明：CF 平面ABCD .
17.如图，在长方形ABCD中，
2 2
AB 
，
2
AD 
，M 为DC 的中点.将
ADM
△
沿AM 折起得到四棱锥
D
ABCM

，且
6
BD 
.
(1)证明：AD
BM

；
(2)若E 是线段DB 上的动点，三棱锥E
ADM

的体积与四棱锥D
ABCM

的体积之比为1：2，求DE
BD 的
值.
18．如图，AB 是圆O 的直径，点P 在圆O 所在平面上的射影恰是圆O 上的点C，且
2
AC
BC

，点D 是
PA 的中点，PO与BD 交于点E，点F 为PC 的中点，且
2
PC
AB


.
(1)求证：BC
PA

；
(2)求三棱锥P
BEF

的体积.
19.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

中，直线l 是底面ABCD所在平面内的一条动直线，记直线
1AC 与直线l 所成
的角为，则sin的最小值是（
）
A．
3
3
B．
1
2
C．
2
2
D．
6
3
20.如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D

，AB
a
=
，
1
BC
BB
b


，a
b

，P 是棱AB 上的一个动点，若点P 运动
到棱AB 靠近A 的一个三等分点时，恰有
1
PC
PD

，求此时
1
PC 与平面ABCD所成的角__________．
21．若a 、b 是空间中两条不同的直线，则a
b
∥的充分条件是（
）
A．直线a 、b 都垂直于直线l
B．直线a 、b 都垂直于平面
C．直线a 、b 都与直线l 成30角
D．直线a 、b 都与平面成60角
22.（多选）已知，是两个不同的平面，m，n，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（
）
A．若


，m


，n


，则m
n

B．若m


，n


，则m
n
∥
C．若
l



，m

∥
，m

∥
，则m
l
∥
D．若
l



，m


，m
l
，则m


23．在梯形ABCD 中，AB
CD

，
2
AB 
，
4
CD 
，
3
AD
BC


，BD 与AE 交于点G.如图所示沿梯形
的两条高AE，BF 所在直线翻折，使得
90
DEF
CFE



.
(1)求证：AD
BC
∥
；
(2)求三棱锥C
BDG

的体积.
24.已知空间几何体ABCDE 中，ABC

，ECD

是全等的正三角形，平面ABC 平面BCD，平面ECD 平
面BCD.
(1)若
2
2 2
BD
BC


，求证：BC
ED

；
(2)证明：
/ /
AE
BD .
25.在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，如图所示，
1A A
AB
a


，G，E，F 分别是
1
1
AC ，AB，BC 的中点，求证：
直线EF 直线GB．
26.在四棱锥P
ABCD

中，PD 底面ABCD，
//
CD AB ，
1
AD
CD
BC


,
2
AB 
，
3
PD 
．证明：
BD
PA

.
27．如图，在四棱锥
．．．P
ABCD

中，PA 底面ABCD，底面ABCD为正方形，
2
AB
PA


．
(1)求证：AB
PD

；
(2)求三棱锥C
PBD

的体积．
28．如图，在四棱锥P
ABCD

中，PAD

为正三角形，
60
BAD
CDA



，且
2
2
3
CD
AD
AB


，M
为PC 的中点，
(1)平面PAB 平面PCD
l
，求证：l
AD

.
(2)求证：BM // 平面PAD．
29．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D

中，①
1
1
//
AB
A D ；②直线
1
AB 与
1
D D 的夹角为45；③
1
1
AB
CD

；
④直线
1A D 与
1
BD 的夹角为90，其中正确的结论有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
30．如图，S是ABC

所在平面外一点，
2
AB
BC


，
120
ABC


，且SA 面ABC ，
3
SA 
，则SA与
平面SBC 的夹角为（
）
A．π
3
B．π
4
C．π
6
D．5π
6
31.如图在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
90
ABC


，
2
BC 
，
1
4
CC 
，E 是
1
BB 上的一点，且
1
1
EB ，D、
F、G 分别是
1
CC 、
1
1
B C 、
1
1
AC 的中点，EF 与
1
B D 相交于H ．
（1）求证：
1
B D 平面ABD ；
（2）求平面EGF 与平面ABD的距离．
32.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，ABC

是等边三角形，
1
4
AB
AA


，D 是棱AB 的中点.求点
1
B 到
平面
1ACD 的距离等于_______
33.如图所示，在棱长为1 的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．试确定
点F 的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
34.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
90
ABC


，
1
AB
BC

，
1
3
AA 
，M 为棱AC 上靠近A 的三
等分点，N 为棱
1
1
A B 上靠近
1A 的三等分点.
（1）证明：
/ /
MN
平面
1
1
BB C C ；
（2）在棱
1
BB 上是否存在点D，使得
1
C D 面
1
B MN ?若存在，求出
1
B D 的大小并证明；若不存在，说明理
由.