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训练二十二 带电粒子在立体空间中的运动
题型一 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
知识梳理
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中
就做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种
运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
例1 如图所示，质子以初速度v 进入磁感应强度为B 且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹
角为θ.已知质子的质量为m、电荷量为e.质子重力不计，则下列说法正确的是( )
A．质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里
B．质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为
C．质子做螺旋线运动的周期为
D．一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为
变式训练1 (2023·山东菏泽市模拟)在空间中存在水平向右的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为
B，电场强度大小为E，方向均沿x 轴水平向右．在O 点，一个α 粒子(氦原子核)以速度v0沿与x 轴夹角为
60°的方向射入电、磁场，已知质子质量为m、电荷量为q，不计α 粒子的重力．求：
(1)α 粒子离x 轴的最远距离；
(2)α 粒子从O 点射出后，第3 次与x 轴相交时的动能．
题型二 带电粒子在立体空间中的偏转
知识梳理
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依
次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界
处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题．有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动
(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解．
例3 (2022·山东卷·17)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加
速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz 中，0<z≤d 空间内充满匀强磁场Ⅰ，
磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；－3d≤z<0，y≥0 的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为
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B，方向平行于xOy 平面，与x 轴正方向夹角为45°；z<0，y≤0 的空间内充满沿y 轴负方向的匀强电场．
质量为m、带电量为＋q 的离子甲，从yOz 平面第三象限内距y 轴为L 的点A 以一定速度出射，速度方向与
z 轴正方向夹角为β，在yOz 平面内运动一段时间后，经坐标原点O 沿z 轴正方向进入磁场Ⅰ.不计离子重
力．
(1)当离子甲从A 点出射速度为v0时，求电场强度的大小E；
(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm；
(3)离子甲以的速度从O 点沿z 轴正方向第一次穿过xOy 面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy 平面的位置坐标
(用d 表示)；
(4)当离子甲以的速度从O 点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电量为＋q 的离子乙，也从O 点沿z 轴正方向以
相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽略离子
间相互作用)．
强基固本练
1．(2022·重庆卷·5)2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录．为粗略了解等离子体
在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的
匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.若某电荷量为q 的正离子在此电场
和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重
力，则( )
A．电场力的瞬时功率为qE B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变
2.如图所示，竖直平面MNRS 的右侧存在方向竖直向上且足够大的匀强磁场，从平面MNRS 上的O 点处以初
速度v0＝10 m/s 垂直MNRS 面向右抛出一带电荷量为q、质量为m 的小球．若磁感应强度大小B＝，g 取10
m/s2.求：
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(1)小球离开磁场时的速度大小；
(2)小球离开磁场时的位置与抛出点的距离．
3.某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R 的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d＝4R，内
有沿y 轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z 轴负向的匀强磁场，又有沿z 轴正向的匀强电场，电场强度与
Ⅰ区电场强度等大．现有一正离子从左侧截面的最低点A 处以初速度v0沿z 轴正向进入Ⅰ区，经过两个区
域分界面上的B 点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C 点
飞出，B 点和C 点均为所在截面处竖直半径的中点(如图中所示)，已知离子质量为m、电荷量为q，不计离
子重力，求：
(1)电场强度的大小；
(2)离子到达B 点时速度的大小；
(3)Ⅱ区中磁感应强度的大小；
(4)Ⅱ区的长度L 应为多大．
4.如图所示，一些质量为m、电荷量为＋q 的带电粒子从一线状粒子源射出(初速度可视为0)，经过电压为
U 的电场加速后，粒子以一定的水平初速度从MS 段垂直射出(S 为MF 中点)，进入棱长为L 的正方体电磁修
正区内(内部有垂直面MPRG 的方向如图，磁感应强度B 和电场强度E 大小未知的匀强磁场与匀强电场)．距
离正方体底部L 处有一与RNAG 平行且足够大平板．现以正方体底面中心O 在平板的垂直投影点为原点，在
平板内建立直角坐标系(其中x 轴与GR 平行)．所有带电粒子都从正方体底面离开，且从M 点进入正方体的
粒子在正方体中运动的时间满足.不计粒子重力．
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(1)求粒子进入棱长为L 的正方体电磁修正区时速度的大小；
(2)粒子射出正方体电磁修正区后到达平板所需的时间；
(3)若满足关系式E＝，求从M 点入射的粒子最后打到平板上的位置坐标．(结果用L 表示)
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