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微专题五 带电粒子在立体空间和交变电磁场中的运动问题
目
录
01 课标达标练...................................................................................................................1
题型01 带电粒子在立体空间的运动...........................................................................................1
题型02 带电粒子在交变场中的运动.........................................................................................16
02 核心突破练.................................................................................................................19
03 真题溯源练.................................................................................................................30
01 带电粒子在立体空间的运动
1．
（2025·天津·一模）如图甲为某款医用治疗装置，该装置由粒子源、直线加速器和偏移器等
部件构成。直线加速器由一系列带孔的金属漂移管组成，每个漂移管两端圆板横截面面积相等且依次排列，
中心轴线共线，漂移管的长度按照一定的规律依次增加。序号为奇数的漂移管和交变电源的一极相连，序
号为偶数的漂移管和电源的另一极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙。在t=0 时，奇数漂移
管相对于偶数漂移管的电势差为正值，此时位于序号为0 的圆板中央的粒子源静止释放出一个电子，电子
在圆板和漂移管1 间的狭缝电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进漂移管1，在漂移管1 内做匀速直线
运动。每次电子在漂移管内运动时间恰为交变电源周期的一半。已知电子的质量为m、电荷量为e，交变
电源电压的绝对值为
，周期为T，忽略电子在狭缝内运动的时间及相对论效应，不考虑电子的重力及
其他因素的影响。
1
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(1)求电子进入漂移管1 时的速度v1的大小；
(2)为使电子运动到漂移管之间各狭缝中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，求第n 个漂
移管的长度；
(3)该电子加速到最大动能Ekm后，恰好沿O'O 方向射入偏移器，偏移器为一棱长为L 的正方体，正方体内
充满匀强电场和匀强磁场，O'为偏移器左侧面的中心点，当偏移器内电场强度和磁感应强度均为0 时，电
子恰好沿O'O 射到目标平面中心O 点处（O 点和偏移器左、右侧面中心点共线），目标平面和偏移器右侧
面平行且相距为L，当偏移器同时加上如图所示的匀强电场和匀强磁场（方向均垂直于前、后侧面）时，
电子在极短的时间内穿过偏移器，打在目标平面上（
）处，求偏移器中电场强度E 和磁感应强度B
的大小。（当α 很小时，有
）
2
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2．
（2025·北京西城·一模）图1 为一种测量电子比荷（电荷量e 与质量m 之比）的实验装置。两
块金属圆盘M、N 平行放置，间距为d，照相底片环绕圆盘，距圆盘边缘的径向距离为L。整个装置放在真
空中。在两圆盘中心连线的中央有一点状粒子源，向各个方向均匀发射速度大小不同的电子，由于d 很小，
只有速度方向平行圆盘的电子才能射出圆盘区域。
磁感应强
度
M、N 间电势
差
模式
1
0
0
模式
2
B
-U
模式
3
-B
U
装置所在空间的匀强磁场的磁感应强度和M、N 间的电势差按表格所示的三种模式切换，表中B、U 均为
已知。以水平向右为磁场的正方向，电场只存在于圆盘间。图2 为装置的俯视图，定义角度θ 为底片上某
点和圆盘中心的连线与磁感应强度正方向的夹角。
(1)判断在θ=90°和270°两个方向中，哪个方向在三种模式下均会有电子从圆盘区域射出，求在模式2、3 情
况下射出电子的速度大小v0.
(2)在（1）中有电子射出的方向上，求在模式2、3 情况下，电子打在底片上的位置间的距离y0与比荷的关
系。
(3)经过三种模式的反复切换，取有曝光线条的一段底片进行分析，如图3 所示。研究人员发现，电子在磁
场中运动的轨迹半径远大于L，可将电子在偏转过程中受到的洛伦兹力视为恒力。为充分利用数据测出电
子的比荷，测量不同角度θ 及对应的上下两条曝光曲线间距y，获取多组数据。以y 为纵坐标轴，合理选择
横坐标轴，就能将数据拟合为一条过原点的直线，使其斜率等于电子的比荷。请写出横坐标轴的表达式。
3
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3．
（2025·广东湛江·一模）芯片科技是支撑数字经济、保障产业链安全、推动人工智能等前沿
领域发展的“工业粮食”，影响着国家科技实力和核心竞争力。科技小组仿照芯片生产中“电场-磁场-离
子注入器”构建了如下图所示的复合场质量为m 的带电粒子运动引导装置。该高为H 且底面半径为R 圆柱
形装置的中心轴与水平面成角为θ，点P 是装置底面圆周上的一点，点Q 是粒子目标汇聚点。借助一定的
条件，在装置内部激发出平行于轴线且方向相同的电场和磁场，其中电场强度大小为E，磁感应强度大小
为B。现在以点P 为初始位置，射入一个电荷量为e 的电子，其初速度与水平地面平行。在只激发磁场时，
电子出射点为P'（图中未标出），且恰好在垂直磁场方向内部完成了n（n>1）次完整的匀速圆周运动。当
同时激发电场时，电子出射点不变，在垂直磁场方向仅完成一次完整的匀速圆周运动，并在点P'处脱离装
置，进入匀速漂移管，最终击中点Q 完成电子注入的模拟操作，电子重力忽略不计。求该电子：
(1)初速度v₀；
(2)脱离装置后，沿轴向最大位移y；
(3)在一次实验中，由于系统不稳定导致预设粒子汇聚点Q 沿轴向下移动了一小段距离，为了矫正误差，科
技小组只在圆柱装置外加上场强为E₀ 的垂直轴向的电场使得电子恰能击中点Q，此时从射入到击中点Q
全过程中，电场力对其做的功W。
4
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5
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4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）电场和磁场经常被用来控制带电粒子的运动轨迹。如图，阴极
不断释
放出电子（初速度为零），经
、
间电压加速后，射入偏转器。偏转器是一正方体，棱长为
。当偏转
器内不设置电场或磁场时，电子穿过偏转器左右侧面中心点后，打到靶面中心的
点，靶面足够大，与偏
转器的右侧面平行且相距
，已知
、
间的电压为
，电子的质量为
、带电荷量的值为。
(1)若在偏转器内充满垂直于前后面的匀强电场，电场强度大小为
，电子穿过偏转器的右侧面后打在靶面
轴上的
点，求
、
两点间的距离；
(2)若在偏转器内充满垂直于前后面的匀强磁场，磁感应强度大小
，电子穿过偏转器右侧面
后打在靶面
轴上的
点，求
、
两点间的距离。
6
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5．（2025·西藏日喀则·二模）如图所示，空间中存在一长方体
区域，
，
，
，中间有一竖直截面
，
，
区域中存在沿
方向的匀
强电场，电场强度
，
区域存在沿
方向的匀强磁场（未画出），质量为
、
电荷量为
的正粒子以初速度
从
点沿
方向射入电场，从
边上的
点（未画出）进入磁场，发
现粒子恰好不能从上、下底面和前、后侧面飞出，不计粒子重力。求：
(1)
的长度；
(2)粒子从射入电场到射出磁场的时间；
(3)磁感应强度的大小。
7
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6．
（2025·北京大兴·三模）如图1 所示，真空中有一长直细金属导线
，长为
，与导线同
轴放置一半径为
高也为
的金属圆柱面，将外壳接地。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，且单
位长度导线单位时间内射出的电子数为
。已知电子质量为
，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作
用。
(1)若导线单位时间发射电子的总动能为
。求：
a.稳定状态下，通过接地线的电流
；
b.出射电子的初速度大小。
(2)在金属圆柱内空间施加平行于导线
向下的匀强磁场，如图2。已知磁感应强度为
，若想让电子依
旧全部打到圆柱面上，求导线单位时间辐射电子的总动能最小值
。
(3)在金属圆柱内空间施加平行于导线
向上的匀强电场，如图3。经数据分析发现，通过接地线的电流
随着匀强电场强度
均匀变化，其图像如图4。若已知该图像的斜率绝对值为
，求导线单位时间辐射电
子的总动能
。
8
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7．
（2025·福建龙岩·模拟预测）如图甲所示是托卡马克装置的结构示意图，其主要包括环形真
空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变
反应产生氦和中子。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设
环形真空室内粒子质量为m、电荷量为+q，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。
(1)写出氘和氚核聚变的核反应方程式；
(2)若粒子以
速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小；
(3)将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为B0的匀强磁场，如
图丙所示。位于两个线圈轴线中点的粒子源O 向右侧各个方向均匀发射速度大小为
的粒子。
① 若某粒子发射时速度方向与x 轴的夹角θ=37°，求该粒子做螺旋线运动的螺距；
② 求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比η1；
9
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10
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8．（2025·广西南宁·模拟预测） 如图所示，质量为m、带电荷量为+q 的粒子在M 处由静止经加速电场加
速，后沿图中半径为R 的圆弧虚线通过静电分析器，静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，圆弧虚线
所在处场强大小处处为E，然后从面ABCD 中心
处垂直进入棱长为L 的正方体
静电收
集区域。不计粒子重力。
(1)求粒子离开加速电场的速率v 和加速电场的电压U；
(2)若静电收集区域只存在与DB 方向平行的匀强磁场，粒子恰好能打在C 点位置，求匀强磁场的磁感应强
度大小B；
(3)若静电收集区域同时存在与AB 方向平行的匀强电场和匀强磁场，粒子恰好能打在C 点位置，求匀强磁
场的磁感应强度大小B0和匀强电场的电场强度大小E0。
11
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9．（2025·海南海口·模拟预测）如图1 所示，离子源C 发射质量为m、电荷量为q 的一束正离子，其初速
度可忽略不计。离子经电场U 加速后竖直向上进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外、半径为R 的
圆形匀强磁场区域Ⅰ。水平射出后匀速通过叠加场区域Ⅱ，区域Ⅱ中磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小
为B，电场方向为竖直方向（未画出），离子最后打在与区域Ⅱ右端荧光屏上的O 点。以O 为原点，建立
如图坐标系。不计离子重力和离子间作用力及阻力，求：
(1)加速电场电压U 的大小；
(2)叠加场中电场强度的大小与方向：
(3)如图2 所示，区域Ⅱ宽度为
，撤去区域Ⅱ中电场，粒子从区域Ⅱ右侧射出后打在y 轴上M 点。在y
轴正向铺设足够长的光滑绝缘板（厚度不计），离子打到板上后垂直板方向的碰后速度总是碰前该方向上
速度的0.5 倍，平行板方向上分速度不变，在板左边有边界垂直于y 轴的有界磁场区域Ⅲ。磁感应强度大
小为B，方向垂直纸面向外，磁场水平方向足够长，下边界在M 点，磁场宽度，d＝0.9R，求离子在磁场
Ⅲ中与板碰撞的次数（M 点除外）。
12
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10．（2025·安徽阜阳·二模）电子工业中，离子注入成为了微电子工艺中一种重要的掺杂技术，利用磁场、
电场可以实现离子的分离和注入。某同学设想的一种离子分离与注入原理如图所示。空间直角坐标系O-
xyz 中，x 轴正半轴上放置有足够长涂有荧光物质的细棒，有离子击中的点会发出荧光。在Oxy 平面的上方
分布有沿y 轴正向的匀强磁场，磁感应强度为B。一发射带正电离子的离子源置于坐标原点O，只在Oxz
平面内不断射出速率均为v 的离子，速度方向分布在z 轴两侧各为
角的范围内，且沿各个方向的离
子个数均匀分布，包含有电量相同，质量分别为m 和0.5m 的两种离子。发现x 轴上出现两条亮线，可确
认击中右侧亮线最右端到O 点的距离为L。不计离子间的相互作用力和离子重力，整个装置置于真空中。
（
，
）
(1)质量0.5m 的离子在x 轴上的亮线长度∆x1；
(2)若磁感应强度在（B-kB）~（B+kB）范围内波动（k 小于0.5，波动周期远大于离子在磁场中的运动时
间），要使x 轴上的两条亮线某时刻恰好能连接成一条亮线，求k 值；
(3)若某段时间内磁感应强度恒为B，θ 角增为
，离子源只发出质量为m 的离子。在Oxy 平面的上方再
施加沿y 轴正向的匀强电场，电场强度为E，在Oxy 平面上某点（O 点除外）垂直离子速度方向放置待注
入离子的某种材料小圆板（忽略大小），可得到最大注入深度，若离子进入该材料过程中受到的阻力恒为
其速度的k 倍，求该最大深度d。
13
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11．如图所示，在空间中存在沿着z 轴正方向的匀强磁场或匀强电场，z 轴经过O 点垂直于坐标系xOy 所
在的平面，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。将一检测器Q 垂直于z 轴放置于该空间，检测器中
心
在z 轴上，当粒子撞击检测器Q 时，检测器被撞击的位置会发光。在检测器所在平面上建立另一坐标
系
，
，
，
之间的距离
。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子从y 轴上
的A 点沿x 轴正方向以初速度
射入场中，运动过程粒子所受重力可以忽略不计。
(1)若空间内只存在匀强磁场，其轨迹圆的圆心在O 点，求A 点的位置，用坐标
表示；
(2)若空间内只存在匀强电场，求检测器上发光点的位置，用坐标
表示；
(3)若空间内同时存在上述的匀强磁场和匀强电场，求检测器上发光点的位置坐标
及粒子打在检测
器上时速度的大小。
14
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02 带电粒子在交变场中的运动
12．（2025·全国·模拟预测）（多选）某空间存在着一个变化的电磁场，电场方向向右（即图中由B 到C
的方向），电场大小变化如E-t 图像，磁感应强度的变化如B-t 图像，在A 点从t=1s（即1s 末）开始每隔
2s 有一相同带电粒子（重力不计）沿AB 方向（垂直于BC）以速度v 射出，恰都能击中C 点，若
AC=2BC，且粒子在A、C 间运动的时间小于1s，则（ ）
A．磁场的方向垂直纸面向里
B．图像中E0和B0的比值为
C．图像中E0和B0的比值为
D．若第一个粒子击中C 点的时刻已知为（1+
t）s，那么第二个粒子击中C 点的时刻是
13．（2025·江西新余·模拟预测）如图甲所示，在
，
的区域中，存在平行板电容器，板
长
，板间距也是
，极板上加周期性电压如图乙所示，电容器右侧的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀
强磁场，磁感应强度
，电容器左侧的周围分布着垂直纸面向里的恒定匀强磁场
。一个质量为
，电荷量为
的带正电粒子在
时刻从
点沿
轴方向以
进入极板间（不计粒子重力），从上极板
边缘飞出电容器，粒子恰好能再次经过
点完成周期性运动。求：
15
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(1)交流电的电压大小。
(2)磁场的磁感应强度
的大小。
(3)交流电的周期。
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14．（2025·陕西宝鸡·三模）如图甲所示，在xOy 平面内存在一个半径为R 的圆形匀强磁场区域（含边
界），磁感应强度随时间变化如图乙所示，取垂直纸面向外为正方向。在x<0 的圆形区域外面存在竖直向
上的匀强电场，在x>0 的圆形区域外面存在竖直向下的匀强电场，两处电场强度大小相等，t=0 时刻，在（
，0）的A 点有一带电量为+q 的粒子以初速度v 进入圆形磁场，经过时间T 到达（R，0）位置，然后进
入匀强电场中，又经过时间T 后刚好从（R，0）位置进入磁场中，不计粒子重力。求：
(1)圆形区域匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)圆形区域外匀强电场的电场强度大小；
(3)粒子运动一个周期内通过轨迹的长度。
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1．
（2025·湖南长沙·模拟预测）如图甲所示为带电粒子三维动量映射分析技术的原理图。系统
整体设计采用圆柱对称型结构，对称轴为
，亥姆霍兹线圈用以形成沿系统轴向的均匀磁场区，可以抑
制带电粒子的横向发散，使得系统具有较大的粒子收集效率。位置敏感探测器用以接收带电粒子，记录带
电粒子的飞行时间t 和粒子撞击探测器的位置
。粒子源和探测器中心均位于对称轴上，建立空间坐
标系
，z 轴与对称轴重合，y 轴竖直向上，探测器的平面坐标系
从左向右看如图乙所示。已知
粒子源发射质量为m，电荷量为q 的带正电荷的粒子，粒子速度v 方向与z 轴的夹角为
，探测器半径为
R，轴向匀强磁场的磁感应强度为B，方向水平向右。不计粒子重力和粒子间相互作用。
(1)从左向右看，粒子运动方向是顺时针还是逆时针？
(2)若粒子刚好打在探测器的中心O，求粒子源到探测器距离
需要满足的条件；
(3)若粒子发射时速度大小
，速度方向位于zOy 平面内，与z 轴夹角
，粒子打在探测器的
位置坐标为
，求带电粒子的飞行时间
；
18
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(4)若粒子源沿着与z 轴夹角
的各个方向连续发射粒子，粒子速度大小
，粒子源到探测器
的距离
，求粒子打到探测器上的位置坐标所满足的方程。
【答案】(1)逆时针
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20
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2．
（2025·四川遂宁·模拟预测）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量
为m 的正离子，沿水平中轴OO1经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L 的正方形偏转区，偏转
后进入加有水平向右的匀强磁场
的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强
电场均为
，方向相反，匀强磁场均为
，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α 很小，且
。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ 很小时，有
，
，
(1)离子的电荷量；
(2)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离轴线OO1的距离；
(3)离子以（2）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力
，k 为已知常数。施加垂直O2O3
轴线且匀速旋转的匀强电场E2使离子加速。稳定后离子在垂直O2O3轴线的某切面内以与电场相同角速度
做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。
①为保证离子不接触芯片，求芯片距离O2的最小距离；
②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。
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3．（2025·浙江金华·一模）如图（a）所示，在矩形
区域内存在周期性变化的匀强电场，电场的变
化规律如图（b）所示，电场方向由
指向
时为正方向。在
上方存在方向垂直纸面向里的磁场区域
Ⅰ，
下方存在方向垂直纸面向外的磁场区域Ⅱ，磁感应强度大小均为
且磁场区域足够大。在
的
中点处有一电子发射源，可以源源不断地发出质量为
、电荷量为
、速度方向与
垂直、大小为
的电子。
上有一电子吸收板。已知，
，
，
，
，
，且电子重力不
计。
(1)若
时刻发出的电子没有进入磁场，且恰好能经过
的中点，求
的大小；
(2)若所有从电子源发出的电子都不会从
和
边界进入磁场，请求出满足该情况的
的取值范围；
(3)若
，求
时刻发出的电子最终打在吸收板上的位置；
(4)现保持电场强度
不变，方向向上，从
中点射出的电子恰好经过
的中点，电子源从
的中点
匀速缓慢向
靠近，计算这一过程中打在吸收板上的电子占射出总电子的百分比。
22
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4．（2025·河南·三模）如图甲所示，平面直角坐标系xOy 的第一象限内存在垂直于xOy 平面的磁场（图中
未画出），规定垂直于xOy 平面向外为磁感应强度正方向，该区域内磁感应强度随时间变化的规律如图乙
所示；第二象限内（含x 轴负半轴）存在沿y 轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电的
粒子由A 点（−L，0）沿x 轴正方向以大小为v0的速度射入电场，在t=0 时刻，粒子经y 轴上的P 点与y 轴
正方向成θ=30°角射入第一象限，忽略粒子重力。求：
(1)电场强度的大小；
(2)在
至
时间内，粒子运动轨迹的半径；
(3)在
时刻，粒子的位置坐标。
23
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5．（2025·山东·三模）如图甲所示，足够大的两平行板P、Q 水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周
期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所
示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0 时刻，一质量为m、带电量为+q 的带电粒子（不计重
力），以初速度v0由Q 板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使
粒子经一段时间垂直打在P 板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d 为已知量。
(1)若只加磁场且磁感应强度
，粒子垂直打在P 板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移；
(2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度
，粒子垂直打在P 板上，求粒子在板间运动的位移大小。
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6．（2025·甘肃平凉·模拟预测）平面直角坐标系
如图甲所示，第一、四象限内存在垂直于
平面的
匀强磁场（未画出），规定垂直于纸面向外为磁场的正方向，磁场的磁感应强度随时间的变化规律如图
乙所示，
为已知量；第二象限内存在沿
轴负方向、电场强度大小为
（未知）的匀强电场。一质量为
、电荷量为
的带正电的粒子，由点
处以平行于
平面、与
轴正方向成
的夹角、大小为
的初速度射入电场区域，
时刻粒子经
轴上的
点沿
轴正方向射入磁场区域。不考虑磁场变化的
影响，忽略粒子的重力。求：
(1)
的值；
(2)从
至
时间内，粒子速度变化量的大小；
(3)粒子在
时刻的位置坐标。
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7．（2025·福建三明·三模）如图甲，在纸面内建立直角坐标系xoy，坐标系的第一、二象限有足够长的宽
度为d、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的上边界MN 平行于x 轴。P、Q 是长度为L 的平行金属板、
垂直于纸面放置，两板中线与y 轴共线，两板间加上周期为T、场强大小为
的周期性变化的电场，如图
乙所示。取x 轴正方向为电场的正方向，位于P、Q 两板中线上的粒子源沿y 轴正方向持续发射质量为m、
电荷量为q、速度大小为
的带正电的粒子，粒子均能从x 轴离开电场进入磁场。不计粒子的重力及粒子
间的相互作用，忽略电场与磁场的边界效应。
(1)求
时刻进入电场的粒子，在
时刻沿x 轴方向的偏移量
；
(2)若粒子从O 点进入磁场，求粒子需从哪些时刻进入电场？若粒子从O 点进入磁场且恰好不穿出磁场的上
边界MN，求磁感应强度
的大小；
(3)磁场方向不变，将磁感应强度大小改为
，粒子进入磁场后，若还受一个与速度方向总相反的阻力作用，
且阻力大小
为已知量，粒子轨迹恰与磁场MN 边界相切，求最左边与最右边两相切点的横坐标。
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8．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图甲所示，真空中建立一个平面直角坐标系
。紧靠
轴左侧有一对
水平放置的平行金属板，板间距离为
，中轴线沿
轴，板间所加交变电压
随时间的变化图像如图乙
所示，
时刻上极板电势高。
轴右侧存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，在
轴右
侧一定距离处有一个荧光屏。现有大量质量为
、电荷量为
的粒子以初速度
沿
轴正方向持续不断地
射入两板间，所有粒子均可以从板间射出并进入
轴右侧范围足够大的复合场，两板间的粒子穿过两板的
时间等于交变电压的周期
。当
，电场强度
与磁感应强度
的大小关系为
，
为已
知量，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求：
(1)
时刻进入两板间的粒子从板间射出时沿
轴方向速度的大小
；
(2)若能让粒子垂直打到荧光屏上，荧光屏距离
轴的最小距离
；
(3)若荧光屏处在第（2）问的位置，粒子打到荧光屏上
轴的坐标范围。
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9．（2025·江西南昌·三模）通过电磁场控制带电粒子的运动是现代化的重要技术。如图1 所示，两块平行
正对金属板水平放置，两侧分布着以虚线为边界垂直纸面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为
，
左侧靠近下方金属板边缘有一个粒子输送管道，管道不仅可以屏蔽管外磁场的影响，而且可以对带电粒子
起到匀加速作用。已知上、下两金属板间加上如图2 所示矩形交变电压，电压大小为
，周期为
，一
带电粒子在
时从管道左侧无初速度释放，经管道加速后，在
时刻离开管道进入金属板之间区域，
在
时刻离开金属板之间区域，又在
时刻从下金属板右侧边缘水平向左进入金属板之间区域，粒
子运动的部分轨迹如图1 中虚线所示。已知金属板长度是板间距离的
倍，忽略粒子所受的重力、管道直
径大小和场的边缘效应和交变效应。
(1)判断带电粒子的电性，并求其比荷
；
(2)求管道的长度
和金属板的长度
；
(3)若在右边磁场中增加竖直方向的匀强电场，使得带电粒子不从右侧磁场的左边界飞出，则：
①请判定此匀强电场的方向；
②小明计算了满足此要求的电场强度大小的取值范围为
，请论证这一结果是错误的。
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10．（2025·河北·二模）如图甲所示，平行板电容器两极板P、Q 间的距离为d，Q 板中央有一小孔，M 点
是P 板上与Q 板小孔正对的位置，板间加上如图乙所示的交变电压，电压的峰值
不变，但周期T 可调，
Q 板右侧虚线CD 与Q 板间的夹角
，CD 右侧空间有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀
强磁场，
时刻，从M 点附近由静止释放一质量为m、电荷量为
的粒子，粒子的重力忽略不计。
(1)调整周期T，要使粒子从小孔射出时的速度最大，求T 应满足的条件；
(2)若
，求粒子穿过电场所需的时间；
(3)求（1）问中满足条件的粒子和（2）问中的粒子经过磁场偏转后射出磁场的位置间的距离。
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1．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进
器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间
距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向
沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E 和
；还有方向沿半径向外的径
向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为
R 的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、
电荷量为
，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电
室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为
；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小
；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求
此霍尔推进器获得的推力大小F。
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2．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O 处各开有一小孔。
以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤ 0 区域有一匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。一电子
枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度大小均
为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大夹角为θ，求
tanθ 的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
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3．（2024·广东·高考真题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为
、周期为
的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀
强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在
时刻从左侧电场某处由静止释放，在
时刻从下板左
端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在
时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁
场，并在
时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的
倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
（1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
（2）求金属板的板间距离D 和带电粒子在
时刻的速度大小v；
（3）求从
时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
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