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专题20 带电粒子在立体空间中的运动问题破译
目录
01.题型综述................................................................错误: 引用源未找到
02.解题攻略................................................................错误: 引用源未找到
03.高考练场................................................................................33
带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利
用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。
粒子在立体空间常见运动及解题策略
运动类型
解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见
运动模型
将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动
旋进运动将粒子的运动分解为一个沿轴方向
的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该
轴的所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转
后曲线不在原来的平面内
把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角
度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每
个面的运动
【典例剖析】
例1（2025·八省联考云南）某小组基于“试探电荷”的思想，设计了一个探测磁感应强度和电场强度的装
置，其模型如图所示．该装置由粒子加速器、选择开关和场测量模块（图中长方体区域）组成。
为
场测量模块的中截面。以
中点O 为坐标原点，
方向为x 轴正方向，在
平面上建立
平面直
角坐标系。
带电粒子经粒子加速器加速后可从O 点沿y 轴正方向射入。选择开关拨到
挡可在模块内开启垂直于
平面的待测匀强磁场，长为
的
区间标有刻度线用于表征磁感应强度的大小和方向；拨到
挡可在模
热点题型·新情境问题攻略
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块内开启平行于x 轴的待测匀强电场，长为l 的
和
区间
标有刻度线用于表征电场强度的大
小和方向。带电粒子以速度v 入射，其质量为m、电荷量为
，带电粒子对待测场的影响和所受重力忽略
不计。
(1)开关拨到
挡时，在
区间
处探测到带电粒子，求磁感应强度的方向和大小；
(2)开关拨到
挡时，在
处探测到带电粒子，求电场强度的方向和大小；
(3)求该装置
区间和
区间的探测量程。若粒子加速器的电压为U，要进一步扩大量程，U 应增大还是
减小？请简要说明。
例2．如图所示，
坐标系内有一边长为
的立方体空间
，立方体空间内及边界附近
存在沿
轴正方向的匀强电场和匀强磁场（图中未画出），
、
、
和
分别是
、
、
和
的中点。当从
点向
点射出速率为、质量为
、电荷量为
的带电微粒恰能通过
点。不计空气
阻力，已知重力加速度为
。
(1)该区域的匀强电场的场强
和匀强磁场的磁感应强度
(2)若该微粒在
点沿
方向以速度
射入区域，求微粒离开立方体空间时的位置坐标；
(3)仅将电场反向，大小不变。若该微粒从
点沿
方向以速度
射入区域，求微粒离开立方
体空间时的位置坐标；
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例3．（2025 高三上·河南南阳·阶段练习）如图所示，在x − y − z 三维坐标系的空间，在x 轴上距离坐标
原点x0 = 0.2 m 处，垂直于x 轴放置一足够大的感光片。在x ≥ 0 空间存在着沿y 轴正方向的匀强电场，电
场强度大小E = 8.0 × 102 V/m。现有一带正电的微粒从O 点沿x 轴正方向射入该空间。微粒所带电荷量q =
1.6 × 10−16 C，质量m = 3.2 × 10−22 kg。
(1)若微粒初速度v0 = 2.0 × 104 m/s，求微粒打在感光片上的点到x 轴的距离；
(2)若在该空间再添加一个沿y 轴正方向的匀强磁场，磁场强度大小为0.1 T。微粒以不同大小的初速度从O
点沿x 轴正方向射入。求：该微粒打在感光片上的位置到x 轴的最大距离（结果保留两位有效数字）。
例4．利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1 所示，
平面左侧存在沿y
轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x 轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，从
点以初速度
、沿着x 轴正方向射入电场，恰好从O 点进入磁场，再次从
点通过x
轴，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小E 和匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)从O 点进入磁场运动时间为
时，求粒子的位置坐标；
(3)如图2 所示，若在
平面左侧再加垂直
平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从
点以初速度
、沿着x 轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x 轴负半轴相切。
求所加匀强磁场的磁感应强度大小
。
例5．（2025 高三上·广东广州·阶段练习）如图，在长方体区域内，平面
的左边有垂直平面
的匀
强磁场、右边有垂直平面
的匀强电场。现有电量为
、质量为
的一个粒子以大小为的初速度从
点沿平面
进入磁场区域，经点并垂直平面
的方向进入电场区域，最后从
点离开电场。已知
长方体侧面
为边长为
的正方形，其它边长如图中标示，
，不计粒子重力。
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(1)求磁感应强度
和电场强度
的比值；
(2)求带电粒子在磁场与电场中运动时间的比值；
(3)若只改变电场强度
大小，试讨论：粒子离开长方体区域时动能
与
的关系式。
【变式演练】
1．（2024·全国·模拟预测）空间直角坐标系如图所示，在
、
的区域内存在沿
轴负方向的匀强
电场，电场强度大小为
（未知）；在
、
的区域内存在沿
轴正方向的匀强磁场，磁感应强度
大小为
（未知）；在
、
的区域内存在沿
轴正方向、磁感应强度大小也为
的匀强磁场。一质
量为
、电荷量为
的带正电粒子在
的平面内由
轴上的
点沿与
轴正方向成
角的方向射入
电场区域，粒子由
轴上的点
沿
轴正方向以大小为
的速度射入
、
区域，粒子经该
磁场偏转后，沿与
轴正方向成
角的方向射入
平面下方。不计粒子的重力。求：
(1)电场强度的大小
；
(2)磁感应强度的大小
；
(3)粒子经
点后第三次穿过
平面时的位置坐标。
2．（2025 高三上·广西贵港·阶段练习）如图所示，空间有一棱长为
的正方体区域，带电粒子从平行于
棱且与
共面的线状粒子源连续不断地逸出，逸出粒子的初速度为
，粒子质量为
，电荷量为
，经垂直于
棱的水平电场加速后，粒子以一定的水平初速度从
段（S 为
的中点）垂直进入
正方体区域内，该区域内有垂直平面
向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
，从
点射入的粒子
恰好从
点射出。忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。
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(1)求线状粒子源处与正方体
段之间的电势差
；
(2)若该区域内只有垂直平面
向外的匀强电场，电场强度大小为
，已知从S 点射入的粒子从
边上的某点射出，求该点距
点的距离
；
(3)以
为坐标原点建立空间直角坐标系，
，
，
分别为
，
，
轴的正方向，若该区域内同时
存在上述磁场与电场，通过计算判断从点进入的粒子，离开该区域时的坐标和速度大小
。
3．（2025 高三上·甘肃白银·期中）如图所示，空间中有
坐标系，
平面水平，y 轴沿竖直方向。在
O 处有一个质量为m、带电荷量为
的小球（可视为点电荷），不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)若在
空间中存在着沿x 轴负方向的匀强电场，电场强度大小
，将小球沿y 轴正方向以速度
抛出，求小球落回x 轴前动能的最小值；
(2)若在
的空间中存在着正交的电场和磁场，其中匀强电场沿y 轴正方向，电场强度大小
，匀
强磁场沿z 轴负方向，磁感应强度大小为B。小球以初速度
从O 点抛出，速度方向在
平面内且偏向
上方，与x 轴正方向成α 角（
），改变α 的大小，多次发射小球后，求小球在电场和磁场中可能
的运动轨迹所覆盖的面积；
(3)若在
区域存在沿y 轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
，在
区域存在沿y 轴负方向的
匀强磁场，磁感应强度大小为
，小球从O 点沿x 轴正方向以大小为
的速度抛出，求小球从抛出到再
次经过y 轴所用的时间及经过y 轴时到O 点的距离。（忽略磁场的边界效应）
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4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）工程师在制做芯片的过程中，需要用电磁场精准控制粒子的轨迹。如
图所示，以
为原点建立空间直角坐标系
，一粒子源不断释放质量为m，电量为
的带正电
粒子，初速度视为零，经过加速电压U 后，以一定速度恰好沿着半径为R 的圆弧轨迹通过辐射状电场，接
着垂直平面
射入棱长为L 的正立方体区域，入射位置可调节，不计粒子重力及其相互作用。
（1）求辐射状电场中离子运动轨迹处电场强度E 的大小；
（2）若仅在正方体区域中加上沿x 轴正方向的匀强磁场，让粒子对准MN 边中点H 入射，电量为q 的粒子
恰好在
边射出。若使所有粒子都能到达
平面内的
区域，求所加磁感应强度B 的大小及n
的最大值；
（3）若在正方体区域中同时加上沿x 轴正方向场强为
的匀强电场和（2）中的匀强磁场，让粒子
对准
平面中心
点入射，求电量为q 的粒子离开正方体区域时的坐标（结果保留根式和
）。
5．（2024·四川德阳·模拟预测）如图所示建立空间坐标系O-xyz，其中x 方向水平向右，z 方向垂直于纸面
向外，三个无限大且与x 轴垂直的平面与x 轴依次交于O、M、N 三点，相邻两点间的距离均为d，三个平
面将空间划分成不同的区域，在0<x<d 区域Ⅰ内存在方向竖直向下的匀强电场E1，在d<x<2d 区域Ⅱ内存在
方向垂直于纸面向里的匀强磁场B1，在2d<x 的区域Ⅲ内存在方向均水平向右的匀强电场E2和匀强磁场B2
所组成的复合场。一个质量为m、带电量为+q 的粒子，从距离O 点正上方
的H 点处，以速度v0水平向
右射入区域Ⅰ，经过M 点进入区域Ⅱ，经过N 点进入区域Ⅲ（重力忽略不计）。已知区域Ⅰ、Ⅲ的电场强
度大小相等（未知），区域Ⅱ、Ⅲ的磁感强度大小相等（未知），求：
（1）区域Ⅰ内的电场强度E1大小；
（2）区域Ⅱ内的磁感应强度B1大小；
（3）在整个运动过程中，粒子第n（n=1，2，3，…）次经过x 轴时，粒子距坐标原点O 的距离L。
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6．（2024·广东·二模）如图所示，以长方体abcd-a′b′c′d′的ad 边中点O 为坐标原点、ad 方向为x 轴正方向、
a′a 方向为y 轴正方向、ab 方向为z 轴正方向建立Oxyz 坐标系，已知Oa=ab=aa′=L。长方体中存在沿y 轴负
方向的匀强磁场，现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从O 点沿z 轴正方向以初速度v
射入磁场中，恰好从a 点射出磁场。
（1）求磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）若在长方体中加上沿y 轴负方向的匀强电场，让粒子仍从O 点沿z 轴正方向以初速度v 射磁场中，为
使粒子能从a′点射出磁场，求电场强度E1的大小；
（3）若在长方体中加上电场强度大小为
、方向沿z 轴负方向的匀强电场，该粒子仍从O 点沿
z 轴正方向以初速度v 射入磁场中，求粒子射出磁场时与O 点的距离s。
7．（2024·湖南岳阳·三模）在如图所示的
三维空间中，
的区域存在沿y 轴正方向的匀强电场，
在x>0区域内存在半圆柱体
空间区域，半圆柱沿y 轴方向足够高，该区域内存在沿y 轴正方
向的匀强磁场，磁感应强度大小
，平面
在yOz 平面内，D 点（0，0，0）为半圆柱体底面
圆心，半圆柱体的半径为
。一质量为m、电荷量为
的带电粒子，从A 点（-L，0，0）以初速度大
小
，方向沿着x 轴正方向射入匀强电场，经过C 点（0，L，0）后进入半圆柱体磁场区域，不计粒子的
重力。求：
（1）电场强度E 的大小；
（2）带电粒子在半圆柱体内运动的时间；
（3）带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标。
8．（2024·吉林·二模）如图所示，在三维坐标系
中，
平面左侧区域有沿y 轴正方向的匀强电场；
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平面右侧与垂直于y 轴足够大的荧光屏之间的区域有沿y 轴正方向的匀强磁场，荧光屏与y 轴交点位
置的坐标为
。一质量为m、电荷量为
的粒子从坐标为
的P 点以大小为
的初速度沿z
轴负方向射出，经电场偏转后从O 点进入磁场，再经过磁场偏转后击中荧光屏，粒子再次经过y 轴的位置
离O 点距离为
，不计粒子的重力。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子打在荧光屏上的位置坐标及匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）若在
平面与荧光屏之间的区域加上一平行于y 轴的匀强电场，要使粒子仍打在荧光屏上（2）问
中所求的位置，则所加匀强电场的电场强度应满足什么条件。
9．（2025 高三下·重庆南岸·阶段练习）利用电场与磁场控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备
中有着广泛的应用。如图，一粒子源不断释放质量为m，带电量为+q 的粒子，以一定速度
垂直左面
，射入边长为2L 的正方体区域
。可调整粒子源位置，使带电粒子在边长为L
的正方形
区域内入射。以
为原点建立如图所示直角坐标系
，不计粒子重力及粒子间的
相互作用。若仅在正方体区域中加上沿+x 轴方向的匀强电场，要让所有粒子都到达前表面
，所加电
场强度的最小值设为
；若仅在正方体区域中加上沿+x 轴方向的匀强磁场，要让所有粒子都到达底面
，所加磁感应强度的最小值设为
。（
）
（1）求
和
的值。
（2）在正方体区域同时加上沿+x 轴方向大小为
的匀强磁场和+z 方向大小为
的匀强电场，求从I 点
垂直左面入射的粒子离开正方体区域时的位置坐标。
（3）在正方体区域同时加上大小分别为
的匀强电场及
的匀强磁场，方向都沿+x 轴。若垂直入射到
区域内不同位置的粒子，有的从前表面
离开正方体区域，有的从底面
离开正方体区
域，则
应满足什么条件？
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10．（2025 高三上·广西·阶段练习）在工程师制做芯片的过程中，需要用电磁场精准控制粒子的轨迹。如
图所示，以M 为原点建立空间直角坐标系M − xyz。质量为m、电量为q 的带正电粒子，初速度可视为零，
经过电压为U 的电场加速后，以恰好沿着半径为R 的圆弧轨迹通过辐射状电场，接着垂直平面MNN1M1对
准MNN1M1面中点I 射入边长为L 的正立方体区域，正方体区域中存在一沿x 轴正方向的匀强磁场（含边
界），不计粒子重力及其相互作用。
(1)求辐射状电场中粒子在圆弧轨迹处电场强度E 的大小；
(2)若使粒子都能到达xMy 平面内的MNPQ 区域，求匀强磁场的磁感应强度B 的取值范围。
1．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进
器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间
距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向
沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E 和
；还有方向沿半径向外的径
向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为
R 的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、
电荷量为
，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电
室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为
；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小
；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求
此霍尔推进器获得的推力大小F。
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2．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O 处各开有一小孔。
以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤ 0 区域有一匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。一电子
枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度大小均
为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大夹角为θ，求tanθ
的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
3．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加
速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系
中，
空间内充满匀强磁场I，磁
感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于
平面，与x 轴正方向夹角为
；
，
的空间内充满沿y 轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以一定速度出射，速度
方向与
轴正方向夹角为
，在
平面内运动一段时间后，经坐标原点
沿
轴正方向进入磁场I。不计
离子重力。
（1）当离子甲从
点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿
轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，求第四次穿过
平面的位
置坐标（用d 表示）；
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（4）当离子甲以
的速度从
点进入磁场I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，也从
点沿
轴正
方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差
（忽
略离子间相互作用）。
4．（2020·山东·高考真题）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N 为竖直放置的两金属板，两板间
电压为U，Q 板为记录板，分界面P 将N、Q 间区域分为宽度均为d 的I、Ⅱ两部分，M、N、P、Q 所在平
面相互平行，a、b 为M、N 上两正对的小孔。以a、b 所在直线为z 轴，向右为正方向，取z 轴与Q 板的交
点O 为坐标原点，以平行于Q 板水平向里为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，建立空间直角坐标系
Oxyz。区域I、Ⅱ内分别充满沿x 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为
B 和E。一质量为m，电荷量为+q 的粒子，从a 孔飘入电场（初速度视为零），经b 孔进入磁场，过P 面
上的c 点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q 上。不计粒子重力。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R 以及c 点到z 轴的距离L；
（2）求粒子打到记录板上位置的x 坐标；
（3）求粒子打到记录板上位置的y 坐标（用R、d 表示）；
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点s1、s2、s3，若这三个点是质子
、氚核
、氦核
的位置，
请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。
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5．（2023·天津·高考真题）科学研究中可以用电场和磁场实现电信号放大，某信号放大装置示意如图，其
主要由阴极、中间电极(电极1,电极2, …,电极n)和阳极构成，该装置处于匀强磁场中,各相邻电极存在电势
差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级增加,最终被阳极收集,
实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x 轴放置在xOz 平面内,磁场平行于z 轴，磁感应强度的大小为
B。已知电子质量为m,电荷量为e。忽略电子间的相互作用力，不计重力。
（1）若电极间电势差很小可忽略,从电极1 上O 点激发出多个电子，它们的初速度方向与y 轴的正方向夹
角均为
，其中电子a、b 的初速度分别处于xOy 、yOz 平面的第一象限内，并都能运动到电极2。
（i）试判断磁场方向；
（ii）分别求出a 和b 到达电极2 所用的时间
和
；
（2）若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电极。设
每个射入中间电极的电子在该电极上激发出
个电子,
，U 为相邻电极间电势差。试定性画出阳极
收集电子而形成的电流I 和U 关系的图像,并说明理由
12
