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单元提升卷 09 空间向量与立体几何
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．水平放置的 的直观图如图，其中 ， ，那么原 是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的规则求解即可.
【详解】由图形知，在原 中， ，如图，
因为 ，所以 ，
， ，
又 ， .
为等边三角形.
故选：A
2．如图直角梯形 中， ，且 ，以 为轴旋转一周，形成的几何体中截
一正四棱台的最大体积为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C．7 D．
【答案】B
【分析】根据题意，旋转形成的几何体是圆台，从圆台中截一最大体积的正四棱台，求出上下底面的边长
和高，根据棱台的体积公式计算出体积.
【详解】直角梯形 ，以 为轴旋转一周，形成的几何体是上底面半径为1，下底面半径为2，高为
1的圆台，该圆台中截取的最大体积的正四棱台如图，
上底面边长为 ，下底面边长为 ，高为1，
所以正四棱台的最大体积为： .
故选：B.
3．已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可.
【详解】由线面平行的性质定理可知A正确；
若 ， ，则 或 ，故B错误；
因为 ，所以由面面垂直的性质定理可知，必有 ，使得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理，由 得必有 ，使得 ，
从而有 ，
若 与 是相同直线，则由 得 ；
若 与 是不同直线，则由 ， ，可得 ，
因为 ， ，则由线面平行的性质定理可得 ，故 ，故C正确；
若 ，则 ，又 ，则 ，故D正确．
故选：B.
4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四
棱锥 为阳马， 平面 ，且 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算，以 为基底表示出 ，从而确定 的取值.
【详解】 ， ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ， .
故选：A.
5．如图，在三棱锥 中，异面直线 与 所成的角为60°， ， 分别为棱 ， 的中点，
若 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． 或 D．2或
【答案】C
【分析】利用线线角以及余弦定理求得 .
【详解】设 是 的中点，连接 ，
由于 ， 分别为棱 ， 的中点，
所以 ,
所以 是异面直线 与 所成的角或其补角，
当 时，在三角形 中，
由余弦定理得 .
当 时，在三角形 中，
由余弦定理得 .
所以 为 或 .
故选：C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．已知 是边长为4的等边三角形，将它沿中线 折起得四面体 ，使得此时 ，则
四面体 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 平面 ，将四面体 转化为直三棱柱 ，四面体
的外接球即为直三棱柱 的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径.
【详解】因为 为等边三角形，且 为中线，则 ，
即 ，且 平面 ，
可得 平面 ，
设 的外接圆圆心为 ，半径为 ，
因为 ，由余弦定理可得 ，
且 ，则 ，所以 ，
将四面体 转化为直三棱柱 ，四面体 的外接球即为直三棱柱 的外
接球，
设四面体 的外接球的球心为 ，半径为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，则 ，
所以四面体 的外接球表面积为 .
故选：D.
7．如图，在四面体 中， ， ，若用一个与 ， 都平行的
平面 截该四面体，下列说法中错误的（ ）
A．异面直线 与 所成的角为90°
B．平面 截四面体 所得截面周长不变
C．平面 截四面体 所得截面不可能为正方形
D．该四面体的外接球半径为
【答案】C
【分析】取 中点 ，即可得到 平面 ，从而说明A，设平面 与四面体 的各棱的交点
分别为 ， ， ， ，根据线面平行的性质得到 ，同理， ，从而得到线段比例关系，
即可判断B、C，四面体的外接球为长、宽、高分别为1，1，2的长方体的外接球，即可判断D.
【详解】对于A，如图1，取 中点 ， 为等腰三角形且 ，那么 ，
同理， ，且 ， 平面 ，
那么 平面 ，而 平面 ，所以 ，故A正确；
对于B，如图2，设平面 与四面体 的各棱的交点分别为 ， ， ， ，
由 平面 ，且 平面 ，两个平面的交线为 ，则 ，同理， ，
所以截面 为平行四边形，
∴ ， ，又 ，所以 ，
∴截面的周长为 ，B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C， ， ， ， 为各棱中点时，截面是边长为 的正方形，C错误；
对于D，如图3，四面体的外接球为长、宽、高分别为1，1，2的长方体的外接球，
则外接球的半径 ，D正确．
故选：C
8．三棱锥 中， 两两垂直且相等，点 分别是线段 和 上移动，且满足
， ，则 和 所成角余弦值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别以 为 轴建立空间直角坐标系, 设 ，得出 ，设
，从而得出 ，设 ，结合参数 的范围得出答案.
【详解】由 两两垂直且相等,分别以 为 轴建立空间直角坐标系.
如图所示，不妨取 ．则 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ， ．
则 ，
解得 ， ． ．
设 ， ，则 ，
又 ， ．
设 ，则 ，
所以 ，
由 ，则 ， ，则 ，
当 时， ， 同时达到最小值，此时 取得最小值 ，
所以 有最大值 ，此时 , ；
时， ， 同时达到最大值，此时 取得最大值 ，
所以 有最小值 ，此时 ， ；
综上可得： 和 所成角余弦值的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为2的正方形， 与 交于点 ， 面
，且 ，则以下说法正确的是（ ）
A． 平面 B． 与平面 所成角为
C． 面 D．点 到面 的距离为2
【答案】ABC
【分析】利用线线垂直可判定A项，利用线面角定义可判定B项，利用线线平行可判定C项，利用线面垂
直可判定D项.
【详解】由于四边形 是边长为2的正方形，故 ，
又 面 ， 面 ，∴ 面 ，故A正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】连接PO，由A可知： 与平面 所成角为 ，由条件可得
，
故B正确；
易知 面 ， 面 ，即 面 ，故C正确；
由A可知点 到面 的距离为 ，而 ，故D错误.
故选：ABC
10．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为 ， ， 是底面圆周上的两
个不同的动点，给出下列四个结论，其中成立的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．母线与圆锥的高所成角的大小为
C． 可能为等腰直角三角形
D． 面积的最大值为
【答案】BD
【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长，再逐项分析判断作答.
【详解】由圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，得 ，则 ，
对于A，圆锥侧面积为 ，A错误；
对于B，圆锥底面圆直径为2，即圆锥轴截面三角形为等边三角形，则母线与圆锥的高所成角的大小为 ，
B正确；
对于C，由选项B知，等腰 的顶角 满足： ，则 不可能为等腰直角三角形，
C错误；
对于D， 面积 ，D正确.
故选：BD
11．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形，其
体积是将上下底面面积、中截面(与上下底面距离相等的截面)面积的4倍都相加再乘以高(上下底面的距离)
的 ，在拟柱体 中，平面A B C D //平面 ， 分别是 的中点，
1 1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A B C D
1 1 1 1
为四边形 内一点，设四边形 的面积 的面积为 ，面 截得拟柱体的截面
A B C D
积为 ，平面
1 1 1 1
与平面 的距离为 ，下列说法中正确的有（ ）
A．直线 与 是异面直线
B．四边形 的面积是 的面积的4倍
C．挖去四棱锥 与三棱锥 后，拟柱体剩余部分的体积为
D．拟柱体 的体积为
【答案】ABC
【分析】由面面平行的性质证线线平行，结合异面直线、梯形定义及中位线性质等判断A、B；利用柱体、
锥体体积公式求体积判断C、D.
【详解】A：面 面 ，面 面 ，面 面 ，
，即 共面， 不在面 上，故 不共面，
所以直线 与 是异面直线，正确；
B：设 到 的距离为 ， 到 距离为 ，
同A分析易知 ，所以四边形 是梯形，
因为 分别是 的中点，所以 .
所以 ，正确；
D：由题意知：拟柱体体积为 ，错误；
C：挖去四棱锥 与三棱锥 后，拟柱体剩余部分的体积为
，正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：ABC
12．如图，在多面体 中， 平面 ，四边形 是正方形，且 ，
， 分别是线段 的中点， 是线段 上的一个动点（含端点 ），则下
列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为
C．三棱锥 体积的最大值是
D．当点 自 向 处运动时，直线 与平面 所成的角逐渐增大
【答案】ACD
【分析】首先以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，对选项
A，假设存在点 ，根据 即可判断A正确，对选项B，假设存在点
，根据 无解即可判断B错误，对选出C，连接 ，根据
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即可判断C正确，对选项D，设直线 与平面 所成的角为 ，得到
，
再根据函数的单调性即可判断D正确.
【详解】以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ， ，
；
对于A，假设存在点 ，使得 ，
则 ，又 ，
所以 ，解得： ，
即点 与 重合时， ，A正确；
对于B，假设存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为 ，
因为 ， ，
所以 ，方程无解；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以不存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为 ，B错误；
对于C，连接 ；
设 ，
因为 ，
所以当 ，即点 与点 重合时， 取得最大值 ；
又点 到平面 的距离 ，
所以 ，C正确；
对于D，由上分析知： ， ，
若 是面 的法向量，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，设直线 与平面 所成的角为 ， ，
所以 ，
当点 自 向 处运动时， 的值由 到 变大，此时 也逐渐增大，
因为 在 为增函数，所以 也逐渐增大，故D正确.
故选：ACD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面 的法向量 ，点B在 上且 ，则 到 的距离为 ．
【答案】
【分析】求出 ，根据空间向量求点到平面距离距离公式求解即可.
【详解】因为 ，
故 到 的距离 .
故答案为：
14．（ 2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，在直三棱柱 中， ， ，
，O是 的中点，在侧面 上以O为圆心，2为半径作圆，点P是圆O上一点，则
线段BP长的最小值为 ．
【答案】4
【分析】取AC的中点F，过点B作 ，垂足为E，连接PE，PF，可得 时EP最小，利用题
目中各边长度求解可得BP的最小值．
【详解】取AC的中点F，过点B作 ，垂足为E，连接PE，PF，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为三棱柱 为直三棱柱，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，得 ，
当 时EP最小，此时BP有最小值，
因为 ， ， ，所以 ， ，
易求 ， ， ，
∴ ，
由 ， ，得 ，
所以 ，
所以BP的最小值为 ．
故答案为：4．
15．在三棱锥 中，底面 为正三角形， 平面 ， ，G为 的外心，D为
直线 上的一动点，设直线 与 所成的角为 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设 ，则 ，求出 的范围，从而得到 的
取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】不妨设 ，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
由题意得G为 的中点，所以 ．
设 ， ，得 ，
则 ，
因为 ，
所以 ．
当 时， ．
当 时， ，
得 ．
综上， ，由 得 ．
故答案为：
16．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， .在此棱锥表面上，从点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】经过棱 上一点到达点 的路径中，最短路径的长度为 ，则该棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据几何体的线面关系可将其放进一个长方体，外接球直径就是体对角线长，此时需要长方体的
长宽高数据，根据题干中的最短路径数据，转化成平面问题列余弦定理方程求解.
【详解】
由于 平面 ， ，可将三棱锥放在一个如上图的长方体里，长方体的外接球直径就是三
棱锥的外接球，就是体对角线 的长，
下将 翻折到和 共面的状态，如下图：
由 平面 ， 平面 ，故 ，在上图长方体中，显然 平面 ，又 平
面 ，故 ，
在 中， ，则 ，于是 ，由题意，点 经过棱 上一
点到达点 的路径中，最短路径的长度为 ，
则平面图中的 ，设 ，在 中，由余弦定理， ，整理得
，解得 （负值舍去）.
故长方体中， ，则 ，即为外接球直径，故外接球的表面积是
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在四棱柱 中， ， ．
(1)当 时，试用 表示 ；
(2)证明： 四点共面；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解；
（2）设 （ 不为0），推导出 ，进而证明出四点共面.
【详解】（1）四棱柱 中， ，
因为 ，
所以
；
（2）设 （ 不为0），
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 共面且有公共点 ，则 四点共面；
18．如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求 及三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，
【分析】（1）由 底面 ，可得 ，再结合 和线面垂直的判断可证得 平面
，再由面面垂直的判定定理可得结论，
（2）连接 ，可得 ，可证得四边形 是正方形，再利用棱锥的体积公式可求得结果.
【详解】（1）因为 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）连接 ，由（1）可知， 平面 ，
又 平面 ，故 ，
又四边形 是矩形，所以四边形 是正方形，所以 ．
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】19．如图，在三棱柱 中，侧面 是菱形，且 ，侧面 是边长为 的正方
形，侧面 侧面 ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形和等边三角形性质可证得 ；根据面面垂直和线面垂直性质可证得 ，
由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）连接 ，
侧面 是菱形，且 ， 是等边三角形，
又 为 的中点， ，
， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】侧面 是边长为 的正方形， ，
又侧面 侧面 ，侧面 侧面 ， 侧面 ，
侧面 ，又 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 .
（2）以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
平面 轴， 平面 的一个法向量 ，
，
平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
20．如图，在四棱锥 中，底面四边形 为菱形， 为棱 的中点， 为边 的中点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)若侧面 底面 ，且 ， ；
①求 与平面 所成的角；
②在棱 上是否存在点 ，使点 到直线 的距离为 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理
由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)① ；②存在点 ，
【分析】（1）取线段 的中点 ，连接 ，证明 为平行四边形，即可证明结论；
（2）①以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系如图所示，求出平面
的一个法向量根据线面夹角向量公式即可求解；②设 ，则向量
，根据点到直线距离向量公式解出参数 ，即可求出
结果．
【详解】（1）取线段 的中点 ，连接 ，在 中， 分别为 的中点.
，且
又 底面 是菱形，且 为 的中点，
，且 ，
，且
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四边形 为平行四边形，
又 平面 平面
平面 ；
（2）①在平面 内过点 作 ，由平面 底面 得 平面 ，
菱形 中 ，则 ，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 是正三角形，则
，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的平面角为 ，且 ，
则 ，
故直线 与平面 所成的角为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②设
即
化简得 ，故 （舍负）
综上，存在点 ，
21．图①是直角梯形 ， ， ，四边形 是边长为 的菱形，并且 ，
以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 所
成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，直线 与平面 所成角的正弦值为
【分析】（1）由二面角平面角定义可知 是二面角 的平面角，利用勾股定理可说明
，由此可证得结论；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，由点到平面距离的向量求法可构造方程求得
，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）在图①中，连接 ，交 于 ，
四边形 是边长为 的菱形， ， ， ；
在图②中，相交直线 均与 垂直， 是二面角 的平面角，
， ， ， ， 平面 平面 .
（2）以 为坐标原点， 正方向为 轴可建立如图②所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ， ， ，
设 ， ，
则 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
点 到平面 的距离 ，解得： 或 （舍），
， ，
，
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
22．如图，圆锥的顶点为 ，底面圆心为 为两条互相垂直的直径， 是底面圆周上的动点（异于
），且 在直径 的两侧.已知 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 ，求证： ；
(2)若在线段 上存在点 （异于 ），使得 平面 ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直证明异面直线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面关系求解角度范围即可.
（1）
解：因为 平面 平面 ，
所以 ，
当 时，则 ，如图，连接
则
因为 ，又 ，
所以 ，则
所以
因为 平面 ，
所以 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平面 ，所以 ；
（2）
解：分别以 为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，所以 ，
设 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
