文档内容
大题仿真卷 01（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知F是抛物线E： 的焦点， 是抛物线E上一点，
与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且 ．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过点 的直线与抛物线E交于A，B两点，求 的最大值．
2．（2024·山东威海·一模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，如图， 是 上的动点，且 始终等于 ，记 .当 为何值时，
的面积取到最小值，并求出最小值.
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱柱 中， ， ，侧面
是正方形， 为 的中点，二面角 的大小是 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 为线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．4．（2024·新疆·模拟预测）已知函数
(1)判断曲线 是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明；
(2)若 在定义域内单调递增，求 的取值范围；
(3)若函数 有两个零点 ，证明： ．
5．（24-25高三上·贵州·阶段练习）为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方
法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为 ，现检验出一批未经消毒的水中
大肠杆菌含量为500个/升．
(1)经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数）
(2)在独立重复实验中， 为事件 在试验中出现的概率， 为试验总次数，随机变量 为事件 发生的次
数．若 较小， 较大，而 的大小适中，不妨记 ，则
，经计算，当 时，
．若随机变量 的概率分布密度函数为 ，称
服从参数为 的泊松分布，记作 ．（其中， 为自然对数底数）
①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数 服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数
不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明： ；
②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5
升数 17 20 10 2 1 0
若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法
对每个大肠杆菌的灭活率为多少？
参考数据：
（Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为 ，
（Ⅱ） ， ， ，
， ，（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
一、解答题
1．（2024·山东潍坊·三模）在①数列 为等差数列，且 ；② ，
；③正项数列 满足 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给
出解答.
问题：已知数列 的前 项和为 ，且__________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．（2024·重庆·模拟预测）近年来某地在经济工作中坚持稳中求进工作总基调，在淘汰落后产能的同时大
力发展新质生产力，下图是该地近几年来新型规模以上工业企业生产总值（ ）的柱状图（单位：亿元），
记2017年，2018年， 当的年编号（ ）依次为 .
(1)求2017至2022年新型规模以上工业企业生产总值的平均数 ；
(2)在 与 中选择合适的模型计算 关于 的回归方程；
(3)若上级领导将在2022，2023，2024，2025，2026这五年中任意抽取3年来研究该地新质生产力发展情
况，记 为抽到的工业企业的生产总值超过12000亿元的年份数目，并用（2）中回归方程估计，求 的
分布列和数学期望.
参考数据：
8.46 10198 12705 17.5 20950 3.85
其中 ，附：经验回归方程中 和 的最小二乘估计公式为 .
3．（2024·贵州黔南·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且椭圆 经过点 .过点 且斜率不为0的直线交椭圆 于 ， 两点，过点 和
的直线 与椭圆 的另一个交点为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 的倾斜角为90°，求 的值.
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的范围；
(3)若 在 内有两个不同零点 ，求证： .
2．（2024·辽宁·模拟预测）柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n元形式为：设 ，
， 不全为0， 不全为0，则 ，当且仅当存在一个数k，使得
时，等号成立．
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P是棱长为 的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为 ， ， ， ，求
的最小值；
(3)已知无穷正数数列 满足：
①存在 ，使得 ；
②对任意正整数i、 ，均有 .
求证：对任意 ， ，恒有 .
