专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（原卷版）_2024年4月_01按日期_16号

专题 03 五大类立体几何题型-2024 年高考数学大题 秒杀技巧及专项训练（解析版） 【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】 【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】 【题型3 点面距离（体积求算）问题】 【题型4 线面夹角问题（两大法）】 【题型5 面面夹角问题（两大法）】 基础工具：法向量的求算 待定系数法：步骤如下： ⃗n=(x,y,z) ①设出平面的法向量为 ． ⃗a=(a ,b ,c ) ⃗b=(a ,b ,c ) ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 1 1 1 ， 2 2 2 ． {⃗n⋅⃗a=0 ③根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 ⃗n⋅ ⃗b=0 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． {⃗n⋅⃗a=0 ⃗n⋅ ⃗b=0 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组 有无数多个解，只需给 x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的 法向量就不同，但它们是共线向量． 秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减） 向量 ， 是平面 内的两个不共线向量，则向量 ⃗n=(y z −y z ,x z −x z ,x y −x y ) 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 是平面 的一个法向量. 特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题 线面平行：关键点 ①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹② 眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像） ：中位线型 如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥 中，点 是 的中点.求证： 平 面 . 分析： ：构造平行四边形 如图⑵, 平行四边形 和梯形 所在平面相交， // ，求证： //平面 . 分析：过点 作 // 交 于 ， 就是平面 与平面 的交线，那么只要证明 // 即可。 ：作辅助面使两个平面是平行 如图⑶，在四棱锥 中，底面 为菱形， 为 的中点， 为 的 中点，证明：直线分析：：取 中点 ，连接 ，只需证平面 ∥平面 。 ：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线 AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE． 如图⑸，已知三棱锥 ， 是 , , 的重心.(1)求 证： ∥面 ； （向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标 系（或找空间一组基底）及平面的法向量。 如 图 ⑹ ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 为 正 方 形 ， 侧 棱 底 面 分别为 的中点．证明 平面 ； 分析：因为侧棱 底面 ，底面 是正方形，所以很容易建立空间直 角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系 ． 设 ，则 ， ． 因为 轴垂直与平面 ，故可设平面的法向量为 =（0，1，0） 则： =0因此 ，所以 平面 ． 如图，三棱柱 中， 为底面 的重心， ． (1)求证： ∥平面 ； (2)若 底面 ，且三棱柱 的各棱长均为6，设直线 与平面 所 成的角为 ，求 的值．如图，平行六面体 中， 分别为 的中点， 在 上. (1)求证： 平面 ； (2)若 平面 ，求平面 与平 面 的夹角的余弦值. 如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面 ⊥平面ABCD， ，点P是棱 的中点，点Q在棱BC上． (1)若 ，证明： 平面 ； (2)若二面角 的正弦值为 ，求BQ的长．1．如图，在直三棱柱 中， ， ，M，N，P分别为 ，AC，BC的中点． 求证： 平面 ； 1 2．如图，在四棱锥 中， 平面 ，BC  AD， PABCD PA ABCD，AB AD,AD//BC 2 PA AB2，E为棱PD的中点． 求证：EC//平面PAB；3．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PA ADCD2，BC 3， PC 2 3． (1)求证：CD平面PAD； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成锐 二面角的大小． 条件①：AB 5； 条件②：BC//平面PAD． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分． 4．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD是长度为2的底面圆的两条直 径，ABCDO，且SO3，P为母线SB上一点． 求证：当P为SB中点时，SA∥平面PCD；5．如图，在四棱锥PABCD中，PC 平面ABCD，AB//CD，点E在棱PB上， PE 2EB，点F ，H 是棱PA上的三等分点，点G是棱PD的中点. 2 PC CBCD AB2， . 3 AC  13 证明：HD//平面CFG，且EC//FG； 6．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD AD，平面PAD平面 ABCD，PD AD2，E是PC的中点，作EF PB交PB于F ． 求证：PA//平面BDE； 7．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PAPC，PB AC.(1)证明：四边形ABCD为菱形； (2)E为棱PB上一点（不与P，B重合），证明：AE不可能与平面PCD平行. 8 ． 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 ABCDABCD 中 ， AB AD AA 1， DAB90， 1 1 1 1 1 ⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗ 1 cos AA,AB ，cos