专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（原卷版）_2024年4月_01按日期_16号

专题 03 五大类立体几何题型-2024 年高考数学大题
秒杀技巧及专项训练（解析版）
【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】
【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】
【题型3 点面距离（体积求算）问题】
【题型4 线面夹角问题（两大法）】
【题型5 面面夹角问题（两大法）】
基础工具：法向量的求算
待定系数法：步骤如下：
⃗n=(x,y,z)
①设出平面的法向量为 ．
⃗a=(a ,b ,c ) ⃗b=(a ,b ,c )
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 1 1 1 ， 2 2 2 ．
{⃗n⋅⃗a=0
③根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
⃗n⋅ ⃗b=0
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．
{⃗n⋅⃗a=0
⃗n⋅ ⃗b=0
注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组 有无数多个解，只需给
x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的
法向量就不同，但它们是共线向量．
秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）
向量 ， 是平面 内的两个不共线向量，则向量
⃗n=(y z −y z ,x z −x z ,x y −x y )
1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 是平面 的一个法向量.
特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题
线面平行：关键点 ①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②
眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）
：中位线型
如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥 中，点 是 的中点.求证： 平
面 .
分析：
：构造平行四边形
如图⑵, 平行四边形 和梯形 所在平面相交， // ，求证： //平面
.
分析：过点 作 // 交 于 ， 就是平面
与平面 的交线，那么只要证明 // 即可。
：作辅助面使两个平面是平行
如图⑶，在四棱锥 中，底面 为菱形， 为 的中点， 为 的
中点，证明：直线分析：：取 中点 ，连接 ，只需证平面 ∥平面 。
：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线
AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．
如图⑸，已知三棱锥 ， 是 , , 的重心.(1)求
证： ∥面 ；
（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标
系（或找空间一组基底）及平面的法向量。
如 图 ⑹ ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 为 正 方 形 ， 侧 棱 底 面
分别为 的中点．证明 平面 ；
分析：因为侧棱 底面 ，底面 是正方形，所以很容易建立空间直
角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系 ．
设 ，则
， ．
因为 轴垂直与平面 ，故可设平面的法向量为 =（0，1，0）
则： =0因此 ，所以 平面 ．
如图，三棱柱 中， 为底面 的重心， ．
(1)求证： ∥平面 ；
(2)若 底面 ，且三棱柱 的各棱长均为6，设直线 与平面 所
成的角为 ，求 的值．如图，平行六面体 中， 分别为 的中点， 在 上.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 平面 ，求平面 与平
面 的夹角的余弦值.
如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面
⊥平面ABCD， ，点P是棱 的中点，点Q在棱BC上．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若二面角 的正弦值为 ，求BQ的长．1．如图，在直三棱柱 中， ， ，M，N，P分别为
，AC，BC的中点．
求证： 平面 ；
1
2．如图，在四棱锥 中， 平面 ，BC  AD，
PABCD PA ABCD，AB AD,AD//BC 2
PA AB2，E为棱PD的中点．
求证：EC//平面PAB；3．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PA ADCD2，BC 3，
PC 2 3．
(1)求证：CD平面PAD；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成锐
二面角的大小．
条件①：AB 5；
条件②：BC//平面PAD．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
4．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB，CD是长度为2的底面圆的两条直
径，ABCDO，且SO3，P为母线SB上一点．
求证：当P为SB中点时，SA∥平面PCD；5．如图，在四棱锥PABCD中，PC 平面ABCD，AB//CD，点E在棱PB上，
PE 2EB，点F ，H 是棱PA上的三等分点，点G是棱PD的中点.
2
PC CBCD AB2， .
3 AC  13
证明：HD//平面CFG，且EC//FG；
6．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD AD，平面PAD平面
ABCD，PD AD2，E是PC的中点，作EF PB交PB于F ．
求证：PA//平面BDE；
7．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PAPC，PB AC.(1)证明：四边形ABCD为菱形；
(2)E为棱PB上一点（不与P，B重合），证明：AE不可能与平面PCD平行.
8 ． 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 ABCDABCD 中 ， AB AD AA 1， DAB90，
1 1 1 1 1
⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗ 1
cos AA,AB ，cos<AA,AD ，点 为 中点．
1 2 1 2 M BD
证明：BM //平面ACD；
1 1 1
线面垂直问题（勾股定理妙解）600
必记结论：①特殊的平行四边形⇒边长之比1:2，夹角为 ，则对角线与边垂直
②特殊的直角梯形⇒边长之比1:1:2,对角线与腰垂直
③等腰三角形三线合一，三线与底垂直
④直径所对的圆周角为直角 ⑤菱形和正方形：对角线互相垂直
√2
⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1： 有明显的直角关系
要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可
如：要证 平面 ；
第一步：表示 ,表示（ ）中的两个
第二步：
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ，
．
求证： 平面 ．如图，在三棱柱 中， 平面 ， .
求证： 平面 ；
三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ， ， ，
分别是 ， 的中点．
求证： 平面 ．
1．在长方体 中， 是 上的点,，且 的长成等比数列，又
是 所在的直线 上的动点.求证： 平面
2．如图，在三棱柱 中， 平面 ， 是 的中点， 是边长
为 的等边三角形．
证明： ．
3．如图，在三棱台 中，平面 平面
.
证明： 平面 ；4．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，点 在棱 上，
，点 ， 是棱 上的三等分点，点 是棱 的中点．
， ．
(1)证明： ∥平面 ，且 ， ， ， 四点共面；
(2)证明：平面 平面 ；
5．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD侧面PAB，F 为BD
中点，E是PA上的点，PAPD2，PAPD．
求证：平面PAD平面ABCD；
π
6．如图，四棱锥 ABCDE,ABBC  AC CD2BE 2,BE∥CD,BCD ，平面
2
ABC平面BCDE,F为BC中点．证明：平面AEC 平面AFD；
7．如图几何体中，底面ABC是边长为2的正三角形，AE 平面ABC，若AE//CD//BF，
AE5，CD4，BF 3．
求证：平面DEF 平面AEFB；
8．如图，在直四棱柱ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，底面为矩形，AB 3AD 3a，高为h，O，
E分别为底面的中心和CD的中点．
求证：平面AOE平面CDDC ；
1 1 1点面距离问题
√
(
⃗PP⋅⃗a) 2
d= | ⃗PP| 2 − 1
1 |⃗a|
结论1：《点线距离》 ⇒《异面直线求距离问题》
⃗PP⋅⃗n ⃗PP⋅⃗n
1 1
d= d=
|⃗n| |⃗n|
结论2：《点面距离》 结论3：《线面距离》
⃗PP⋅⃗n
1
d=
|⃗n|
结论4：《面面距离》
d= √ (x −x ) 2 +(y −y ) 2 +(z −z ) 2
结论5：《点点距离》 1 2 1 2 1 2
在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点 到直线 的距离
为
在棱长为 的正方体 中，则平面 与平面 之间的距离为( )已知正方形 的边长为1， 平面 ，且 ， ， 分别为 ，
的中点.（1）求点 到平面 的距离；（2）求直线 到平面 的距离.
1．如图，在平行六面体 中，E在线段 上，且 F，
G分别为线段 ， 的中点，且底面 为正方形.
(1)求证:平面 平面
(2)若 与底面 不垂直，直线 与平面 所成角为 且 求点
A 到平面 的距离.2．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F 在底面圆O上，圆O的半径为1，
AF  3，点G是线段BF的中点.
(1)证明：EG//平面DAF ；
(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45，求点G到平面DEF 的距离.
3．如图，在直三棱柱形木料ABC- A
1
B
1
C
1
中，D为上底面ABC上一点．
(1)经过点D在上底面ABC上画一条直线l与B
1
D垂直，应该如何画线，请说明理由；
π
(2)若 ， ，ABC  ， 为 的中点，求点 到平面 的距离．
BC BB 1 1 AB2 1 1 1 2 E A 1 B 1 B AC 1 E4．如图，在直四棱柱ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD为菱形，BAD60，AB2，
AA 4 2，E是DD 的中点．
1 1
(1)证明：BD//平面ACE；
1
(2)求点B到平面ACE的距离．
1
5．图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，点E在棱PD上，
AD AP2，AECE.
(1)证明：AEPD；
(2)求点C到平面BAE的距离.
6．设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，若PA AB1,BC 2.
(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；
(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为 2，若存在，求出BG的
值，若不存在，请说明理由；
7．如图，在四棱锥PABCD中，AD//BC，ADPD，平面PAD平面PCD．
(1)证明：BC平面PCD；
1
(2)已知ADPDDC  BC 2，且 ，求点D到平面 的距离．
2 DPC 30 PAB
8．如图，在三棱柱ABC- ABC 中，CAA 60，ABBC，AC CC ，点E，F分别
1 1 1 1 1
为BC，AC 的中点．
1 1(1)求证：EF//平面ABBA ；
1 1
(2)若底面ABC是边长为2的正三角形，且平面ACC A 平面ABC，求点C 到平面
1 1 1
ABBA 的距离．
1 1
线面夹角问题（两大法）
|⃗a⋅ ⃗b|( ( π ))
cosθ= θ∈ 0,
|⃗a|⋅| ⃗b| 2
结论1：异面直线所成角
①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解
⃗a⋅ ⃗b
cos⟨⃗a,⃗b⟩=
|⃗a|⋅| ⃗b|
②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式 求出
关键是求出
⃗a⋅ ⃗b
及
|⃗a|
与
|
⃗b|
⃗AB⋅⃗n ( ( π ))
cosα=sinθ= θ∈ 0，
|
⃗AB|⋅|⃗n| 2
结论2：线面角结论： { 点面距离（ 往往用等体积法计算）， 线自身长度}
如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形， ， 为正三
角形， .
求直线 与平面 所成角的大小；
四棱锥 中， 平面 ，四边形 为菱形， ，
， 为 的中点．
求 与平面 所成的角的正切值；
如图，在直三棱柱 中， ， ， 是 的中
点， 是 的中点.求直线 与平面 所成的角的大小.
在长方体 中， ， ，则 与平面 所成角
的正弦值为______________．
1．如图，在几何体 中， 为等腰梯形， 为矩形， ， ，
，DE 2，EF 1，平面ADEF 平面ABCD.
(1)证明：BF CF ；
(2)求直线AF 与平面CEF所成角的余弦值.2．如图，三棱柱ABC- ABC 中，四边形ACC A,BCCB 均为正方形，D,E分别是棱
1 1 1 1 1 1 1
AB,AB 的中点，N 为CE上一点.
1 1 1
(1)证明：BN //平面ADC；
1
⃗ ⃗
(2)若AB AC,CE 3C N ，求直线DN 与平面ADC所成角的正弦值.
1 1 1
3．如图，在四棱锥QABCD中，四边形ABCD为直角梯形，CD//AB，BC  AB，平面
QAD平面ABCD，QAQD，点M 是AD的中点.
(1)证明：QM BD.
(2)点N 是CQ的中点，AD AB2CD2，当直线MN与平面QBC所成角的正弦值为
42
时，求四棱锥 的体积.
7 QABCD4．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F 在底面圆O上，圆O的半径为1，
AF  3，点G是线段BF的中点.
(1)证明：EG//平面DAF ；
(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45，求点G到平面DEF 的距离.
5．如图，在三棱柱ABC- ABC 中，A在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段
1 1 1 1
BC 的中点，且AA 2AB2AC4，BAC 90.
1 1 1
(1)求三棱锥M ABC的体积；
1
(2)求MC与平面MAB所成角的正弦值.
1
6．如图，已知三棱锥PABC,PB平面PAC,PAPC,PAPBPC，点O是点P在平面ABC内的射影，点Q在棱PA上，且满足 AQ 3PQ .
(1)求证：BCOQ；
(2)求OQ与平面BCQ所成角的正弦值.
7．如图，在三棱台ABC- ABC 中，AA 平面ABC，ABC 90，AA  AB BC 1，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
AB2.
(1)求证：平面ABB
1
A
1
平面BCC
1
B
1
；
(2)求AC与平面BCCB 所成角正弦值.
1 1
8．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD为平行四边形，且
1 1
BD CD1,BDCD.DE 平面 ，且DE BF  3,DE .点 分别为线
2 ABCD 2 BF H,G
段DC,EF上的动点，满足DH EG(02).(1)证明：直线GH 平面BCF；
42
(2)是否存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？请说明理由.
 GH AEF 14
面面夹角问题（两大法）
结论：二面角的平面角
提示： 是二面角的夹角，具体 取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则
取正，若为钝角则取负.
结论：任意二面角的平面角 满足 如（ ）
注意： 为原图上的点，而分子_则是 点在面 的投影点在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形， ∥ ，
平面 .
求二面角 的余弦值.
如图，在三棱柱 -中， ， ， ， 在底面
的射影为 的中点， 为 的中点.
求二面角 -BD- 的平面角的余弦值.
四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E
为AD的中点.求二面角A-PD-C的正弦值.
1．如图，三棱台 中， 是边长为2的等边三角形，四边形 是等腰
梯形，且 为 的中点.
(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的大小.
2．如图，在三棱锥DABC中，AB ADBD3 2,AC 7,BC CD5．(1)证明：平面ACD平面ABC；
⃗ ⃗
(2)若E是线段CD上的点，且CD4CE，求二面角EABC的正切值．
3．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABC BCD90,PA平
面ABCD,PA ABBC 4,CD3,M 为侧棱PC的中点.
(1)求点D到平面PBC的距离；
(2)求二面角M ADB的正切值.
4．如图，在正四面体PABC中，E,F 是棱PC的两个三等分点．(1)证明：ABPC；
(2)求出二面角PABE,EABF,FABC的平面角中最大角的余弦值．
5．如图，已知PD平面ABCD,CD2AB2AD2,AB//CD,ADCD,PC与底面ABCD
6
所成角为 ，且tan ．
 2
(1)求证：CB平面PBD；
(2)求二面角PBCD的大小．
6．如图，在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD为梯形，其中 ABCD， BCD60
AB2BC 2CD4，平面PBD平面ABCD．(1)证明：ADPD；
(2)若ABPD，且PC与平面ABCD所成角的正切值为2，求平面PBC与平面PAD所成二
面角的正弦值．
7．如图，在三棱柱ABC- ABC 中，AA 平面 ABC,AB AC,AB AC 2,AA 4,D 是
1 1 1 1 1
线段BB
1
上的一个动点，E,F 分别是线段BC,AC的中点，记平面DEF 与平面A
1
B
1
C
1
的交线
为l.
(1)求证：EF // l；
(2)当二面角DEFC的大小为120时，求BD.
2 π
8．如图，在梯形 中， ，ABBC  CD2，ABC .将 沿对角
ABCD AB//CD 3 3 △ADC
线AC折到△APC的位置，点P在平面ABC内的射影H恰好落在直线AB上.(1)求二面角PACB的正切值；
(2)点F为棱PC上一点，满足PF 2FC，在棱BC上是否存在一点Q，使得直线FQ与平面
π BQ
所成的角为 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
ABF 3 QC