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模块二 图形与几何基础
第 07 讲 几何图形与相关实际问题
（思维导图+2考点+13种题型+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 几何图形与相关实际问题
►题型01 平行线的性质在实际生活中的应用
►题型02 三角形的性质在实际生活中的应用
►题型03 特殊三角形的性质在实际生活中的应用
►题型04 勾股定理的应用
►题型05 勾股定理的应用（最短路径）
►题型06 特殊平行四边形的性质与判定在实际生活中的应用
►题型07 圆的性质在实际生活中的应用
►题型08 全等三角形在实际生活中的应用
►题型09 相似三角形在实际生活中的应用
考点二 解直角三角形与实际问题
►题型01 仰角俯角问题
►题型02 坡度坡比问题
►题型03 方向角问题
►题型04 其它问题
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
【考情分析】中考数学中，几何图形的考察一直是重点内容之一，其题型多样，涵盖面
广，不仅考查学生对基础知识的掌握，还注重考查学生的逻辑思维、空间想象能力和问
题解决能力。几何计算问题涵盖求线段长度、角度、图形的面积等，常与实际应用问题
相结合。例如，利用几何知识求解实际问题中的最短路径、最大面积等问题。解题时需
将实际问题转化为几何模型，并运用勾股定理、相似比例、三角函数等知识进行求解。
近年来，几何图形与实际问题的结合愈发紧密，使得题目更具灵活性和实用性。
【考情趋势】中考几何题型越来越注重基础知识的考察与实际应用相结合。题目往往从
生活实际或具体情境出发，要求学生运用几何知识解决实际问题。这不仅考查学生对基
础知识的掌握，还考查学生的知识应用能力和问题解决能力。
【备考建议】
几何图形与相关 1. 夯实基础，系统复习. 备考过程中，学生应注重基础知识的掌握和系统复习。要熟练
实际问题 掌握几何图形的定义、性质、定理及其应用，特别是对于常见的几何模型要深入理解并
能够灵活运用。
2. 加强练习，注重总结. 要多做真题和模拟题，通过练习提高解题能力和应试技巧。同
时，要注重总结解题方法和经验，特别是对于错题要进行分析和反思，找出自己的薄弱
环节并进行有针对性的改进。
3. 培养空间想象能力和逻辑思维能力. 几何题型要求学生具备较强的空间想象能力和逻
辑思维能力。备考过程中，可以通过观察实物、绘制图形、进行空间变换等方式来培养
自己的空间想象能力；通过推理证明、分析问题等方式来培养自己的逻辑思维能力。
4. 关注生活实际，提高知识应用能力. 要关注生活实际，将几何知识与实际生活联系起
来，提高知识应用能力。可以尝试用几何知识解决生活中的实际问题，如测量物体的高
度、计算图形的面积等，从而加深对几何知识的理解和掌握。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 几何图形与相关实际问题
►题型01 平行线的性质在实际生活中的应用
1．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持
力F 的方向与斜面垂直，摩擦力F 的方向与斜面平行．若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F 与重力G方向
1 2 2
的夹角β的度数为（ ）
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A．155° B．125° C．115° D．65°
2．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜
“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反
射面），入射波AO经过三次反射后沿O' A'水平射出，且OA∥O' A'，已知入射波AO与法线的夹角
∠1=35°，则∠A'O'F=（ ）
A．70° B．60° C．45° D．35°
3．（2024·全国·模拟预测）【综合与实践】
如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解
sinα 4 3 4
到，若n= ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈ ,cos53°≈ ，tan53°≈ ）
sinβ 5 5 3
【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，
光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得
DF=16cm,BC=7cm，四边形ABFE是矩形，GH是法线．
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【问题解决】
(1)求入射角∠PDG的度数；
(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．
►题型02 三角形的性质在实际生活中的应用
4．（2024·贵州黔东南·二模）某校九年级学生计划前往贵州省博物馆开展一天的研学活动，出发前每班需
要准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是（ ）
A．6dm,6dm,12dm B．8dm,4dm,2dm
C．6dm,3dm,10dm D．6dm,8dm,7dm
5．（2023·湖北荆州·中考真题）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B=∠D=80∘，
∠E=∠F=47∘，则图中∠G的度数是（ ）
A．80∘ B．76∘ C．66∘ D．56∘
6．（2023·山西·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心
O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°,∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA
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交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，
OA=2.5m，AD=0.8m，∠AGC=32°．
(1)求：∠GAC的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上
篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53）
8．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南
岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，
如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处．
记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处．
记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡
C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB= ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
►题型03 特殊三角形的性质在实际生活中的应用
9．（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立
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体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为
12m，则底边上的高是（ ）
A．4m B．6m C．10m D．12m
10．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架
立柱缩短成DE，∠BED=60°．则新钢架减少用钢（ ）
A． B． C． D．
(24−12√3)m (24−8√3)m (24−6√3)m (24−4√3)m
11．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截
面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截
面的面积（ ）
1 √3 1 √3 2 1 1
A． π− B． π− C． π−√3 D． π−
6 4 6 2 3 6 4
12．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O
与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式
将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 cm．
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13．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为
“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．
求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，
√3≈1.73）
►题型04 勾股定理的应用
14．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲
设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，
就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为2m/s，李明的跑步速度为4m/s，∠ABC=90°，BC足够长，多
少秒后他们再次取得联系？（ ）
A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系
15．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一
道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺
（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
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(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方
OA″，两次位置的高度差PQ=h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h
的式子表示；如果不能，请说明理由．
16．（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东30°方向航行20km至B岛，然后再沿北偏西
60°方向航行20km至C岛．
(1)求A，C两岛之间的距离；
(2)确定C岛在A岛的什么方向？
►题型05 勾股定理的应用（最短路径）
17．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥
的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴
一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A．30 cm B．30√3 cm C．60 cm D．20π cm
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18．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC−A B C 中，
1 1 1
AB=2√3,A A =2，点M为AC的中点，一只小虫从B 沿三棱柱ABC−A B C 的表面爬行到M处，则
1 1 1 1 1
小虫爬行的最短路程等于 ．
19．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们
探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段AC，若圆柱的
高AB为2cm．底面直径BC为8cm．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长（结果保留根号和π）；
拓展迁移：
如图2，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM=8，底面圆半径为2，粗
线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
►题型06 特殊平行四边形的性质与判定在实际生活中的应用
20．（2024·广东·模拟预测）如图所示，一种活动衣帽架由三个相同菱形组成，调整菱形的内角A，可使
衣帽架拉伸或收缩． 若菱形的边长为10cm，∠A=90°， 则AD的长为（ ）
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A．30cm B．40cm C．30√2cm D．30√3cm
21．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高
度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已
知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度
BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）
22．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装
置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成
1
右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE= AB，试管倾斜角∠ABG为12°．
3
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，
F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=147°，求线段DN的长度．（结果用
含非特殊角的三角函数表示）
23．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满
足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD
是其中一个停车位．经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的
宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
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根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据√3≈1.73）
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．
24．（2024·安徽·模拟预测）某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂
直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是60°，然后沿平行与AB
的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是45°，求两海岛间的
距离AB．
25．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3，点M、N分别在边
AC、BC上，且AM=CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而
解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．在【问题呈现】的条件下，完
成下列问题：
（1）证明：AM=MP；
（2）∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为________．
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【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了
示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．
MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，
其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN．钢丝绳MN长度的最小值为多少米．
►题型07 圆的性质在实际生活中的应用
26．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明
的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交A´B于点
C，测出AB=40cm,CD=10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
27．（2024·浙江绍兴·二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直
径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、
C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm．请你帮忙计算纸杯杯底的
直径为（ ）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
28．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．
当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
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29．（2023·内蒙古通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA,PB分别与AM´ B所在
圆相切于点A，B，若该圆半径是10cm,∠P=60°，则主视图的面积为 cm2．
30．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应
用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm
和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n= ．
31．（2023·湖北黄石·中考真题）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任
务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．
如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的
6400
点记为Q点，已知PF≈ km，∠FOQ=20°,cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为
9
km（结果保留π）．
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32．（2024·河北邯郸·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．
图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，⊙O是粒子真
空室，C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过C´D
时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切．已知：AB=16km，粒子注
入路径与AB夹角α=53°，C´D所对的圆心角是60°．
(1)求∠ABE的度数；
(2)通过计算，比较C´D与A´B的长度哪个更长；
3
(3)直接写出粒子J在环形运动过程中，粒子J到AB的最远距离．（相关数据： tan37°≈ ）
4
►题型08 全等三角形在实际生活中的应用
33．（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的
图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，
△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则
sin∠ABE=（ ）
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√5 3 4 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
34．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是一所大型游乐场，工人在对游乐设施进行测试．大摆锤
从高为9m的房屋A处，划过90°到达与房屋A水平距离为17m，高为2m的房屋B处，求大摆锤的长度
ON= m．
35．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及
∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB=60米，∠PAB=79°，∠PBA=64°．画出示意
图，如图
【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离．
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（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD=DE，∠≝=∠DAP，当F，
D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
►题型09 相似三角形在实际生活中的应用
36．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺
口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数
学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高
度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和
GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处
（即ED=2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG=4m），从
C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数
据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
37．（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O
与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），
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AB∥CD．
(1)在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．
(2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP=36cm，PA=18cm，AB=18cm，桌面的高度为60cm．在点
O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②CD的长度的最大值为 cm．
38．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方
法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗
杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得
小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显
提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水
平线上．
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如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并
标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用
同样方法，测得C'G'=1.2m，D'G'=2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
1.理解问题
1）明确已知条件：仔细阅读题目，理解并列出所有已知的几何条件和数据。
2）确定求解目标：明确需要求解的几何量或需要证明的几何关系。1
2.分析问题
1）图形分析：画出准确的图形，标记已知条件和待求量，帮助直观理解问题。
3）选择方法：根据问题的特点，选择合适的解题方法，如代数法、几何法等。
3.解决问题
1）应用几何性质：利用几何图形的性质，如三角形的内角和、勾股定理、相似图形的性质等，进行推导
和计算。
2）建立方程：对于复杂的几何问题，可以通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，利用方程求解。
3）证明与计算：根据已知条件和选择的解题方法，进行逻辑推理和计算，得出最终答案。
4.验证答案
1）检查计算：确保计算过程无误，结果合理。
2）回顾解题过程：检查每一步推理是否合理，确保解题过程的正确性。
5.总结与反思
1）总结经验：总结解题过程中的关键步骤和所用到的几何知识，加深理解。
2）反思不足：思考在解题过程中遇到的困难，寻找改进的方法，提高解题能力。
1．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，矩形草地的长为12m，宽为5m，有人从点A绕过点B直接到点C，
管理员坚一标语牌：“芳草茵茵，少走几步路，踏之何忍？”则“几步路”指的路程为（ ）
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A．2√2m B．2√3m C．5m D．4m
2．（2025·江西南昌·模拟预测）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，
若AB∥CD，AC∥OD，OD=OC，∠BAC=50°，则∠DOC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．（2025·广东揭阳·一模）如图，AB和CD为两个同高的晾衣柱，AB高2.2m，一无弹性的绳子一端系在
A点，另一端P系在柱子CD上（不计绳结的长度），现有一裤子晾在上面，已知挂钩挂在绳子的O点处，
竖直方向上O点到裤子最下方的距离为1m，绳子长度为2.5m，两个柱子间距BD=2m，某位同学通过课
外物理知识对图中衣服进行受力分析，并且得到一个结论：∠BAO=∠OPD，则为了保证裤子不沾地，
点P离地面的距离至少为（ ）
A．1.6m B．1.2m C．1.5m D．1.3m
4．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图
①）的形状示意图A´B是⊙O的一部分，D是A´B的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．
已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
5．（24-25九年级上·吉林长春·期中）为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷
跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板AB中点，支柱OC垂直于地面，垂足为C，AC=0.7m，跷跷板的一
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端A落到地面时与地面的夹角∠OAC=α，则点B离地面的距离是（ ）
0.7 1.4
A． m B．0.7tanαm C． m D．1.4tanαm
sinα cosα
6．（2025·湖南娄底·模拟预测）派对帽（如实物图）可以看做一个圆锥，它是由纸制作而成．它的底面直
径是16cm，将它的侧面展开（如图），已知∠BAC=120°，则需要面积为 的纸去制作它．
7．（2025·甘肃·模拟预测）一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部
分，杯口AB=8cm，杯底CD=4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如图②若盛有部分水的水杯倾斜45°
（即∠ABP=45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为 cm．
8．（2025·山东青岛·一模）如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动
了45°之后，表面积增加了 cm2
9．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游
5π
玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形OAB的半径为2cm，弧长为 cm，大扇形
3
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OCD的半径为26cm，扇面的宽度CE为12cm，则扇面的面积（阴影部分）是 cm2（结果保留
π）．
10．（2025·江西·模拟预测）图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，
图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分AB=20m，C为A´B的中点，O为圆心，连接OC．
(1)求证：OC⊥AB；
(2)经测量，C到AB的距离为2m，求该⊙O的半径．
11．（2025·江苏·一模）某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉
水过河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案．
组别 方案
①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵
树A，即AB垂直河岸；②沿河岸直行
15m处有一棵树C，继续前行15m到达
点D处；③从点D处沿河岸垂直的DE方
甲组
向行走，当到达A树正好被C树遮挡住
的点E处时（即点A、C、E在同一直
线上），停止行走；④测得DE的长为
10m．
①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵
树A，即AB垂直河岸；②从点B出发，
沿着与直线AB成50°角的BC方向前进
乙组
到C处，在C处测得∠C=25°，③量出
BC的长，它就是河宽（即点A、B之
间的距离）
问题解决
（1）根据甲组的方案，
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①河的宽度是 m；
②请说明他们做法的正确性（需写出必要的过程）
（2）根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？（至少
2条）
12．（2025·江西·模拟预测）如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其
右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支干PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P
沿BA滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与
BC重合于竖干BA，经测量PC=BC=50cm，CD=60cm．
(1)当∠BCD=60°时，求竖杆最下端B到地面的距离BO；
(2)点P从点A滑动至AB的中点的过程中，∠BCD变化的度数是多少？（参考数据：√3≈1.73，结果精确
到0.1cm）
13．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横
截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，
(1)如图1，BA，CD的延长线交于圆心O，若甲组测得AB=0.6m，AD=3m，BC=4m，求OB的长；
(2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接
触点L为弧MP的中点，若丙组测得MN=PQ=0.5m，NL=LQ=2m，求：该混凝土管片的外圆弧半径．
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考点二 解直角三角形与实际问题
►题型01 仰角俯角问题
1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们
来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相
关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面
的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向
继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪
念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33)．
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活
动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可
到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
(1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上
（测出的距离用m,n等表示，测出的角用α,β等表示），并对设计进行说明；
(2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度（用字母表示）．
3．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平
视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过
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A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视
角．
(1)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB．
(2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平
距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：√3≈1.73）．
4．（2024·湖南·中考真题）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
模型抽象
活动
过程
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；
测绘过程
与数据信 ③在点F处用测角仪测得∠CFG=60.3°，∠BFG=45°，∠AFG=21.8°；
息
④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75．
sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求线段CE和BC的长度：
(2)求底座的底面ABCD的面积．
►题型02 坡度坡比问题
5．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡
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度i=1:√3，BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为
60°．
(1)求点B离水平地面的高度AB．
(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
6．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形
ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，
∠C=18°，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：
sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32）
7．（2023·湖北恩施·中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相
对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，
AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°，
A，B，C，D，E在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE
的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结
果保留整数）
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►题型03 方向角问题
8．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且
16√3
A，B相距 海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
3
(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯
塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求
渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
9．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研
究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A A A A A A A A 的边长为
1 2 3 4 5 6 7 8
√2
km，南门O设立在A A 边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A A 在BM上（门宽
2 6 7 6 7
及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A 处测得雕塑在北
1
偏东45°方向上，在A 处测得雕塑在北偏东59°方向上．
2
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(1)∠C A A =__________°，∠C A A =__________°；
1 2 2 1
(2)求点A 到道路BC的距离；
1
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不
会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：√2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，
sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
10．（2024·重庆·中考真题）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的
正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB=2千米．
（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
(1)求BC的长度（结果精确到0.1千米）；
(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D−C−B，乙选择的路线为：D−A−B．请计
算说明谁选择的路线较近？
►题型04 其它问题
11．（2024·甘肃兰州·中考真题）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行
与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
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实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复
运动．（摆线的长度变化忽略不计）
实验说明 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，
∠BOA=64°，BD=20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA=37°，CE⊥OA．
（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75，sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05．
12．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提
起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60°；停止位置示意
图如图3，此时测得∠CDB=37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在
同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73）
(1)求AB的长；
(2)求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
13．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下
综合性学习．
【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入
射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线N N'为法线，AO为入射光线，
OD为折射光线．）
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【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC=20cm，∠A=45°，折
射角∠DON=32°．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）
14．（2023·山东济南·中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m，
BC=0.6m，∠ABC=123°，该车的高度AO=1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，
AB'与水平面的夹角∠B' AD=27°．
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到0．01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，√3≈1.732）
解直角三角形实际应用的一般步骤
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图
形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
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④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.
1．（2025·陕西西安·一模）新能源风力发电是一种利用自然风力来产生电能的环保发电方式，它将风的动
能转换为机械能，再通过发电机将机械能转换为电能，某校实践活动小组到当地电力部门安装的一批风力
发电机场地进行实地调研，并对其中一架风力发电机的塔杆（如图①）高度进行了测量数据采集：如图②
是其测量示意图，在这架风力发电机附近的一幢建筑物楼顶D处测得塔杆顶端A处的仰角为45°，底部B
处的俯角为29°，已知AB⊥BC，图中点A、B、C、D均在同一平面内，建筑物的高CD为11米，请计
算该风力发电机的塔杆高度AB．（参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55）
2．（2025·安徽马鞍山·一模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古
树活动．如图，在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离
AC=20m，在距山脚点A水平距离10m的E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°，（古树CD与山坡
AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），求古树CD的高度．（结果保留整数，参考数
据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.1．）
3．（2025·甘肃定西·一模）安定区某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行无人机试飞
比赛，该兴趣小组利用所学知识对某同学的无人机高度进行了测量，如图，他们先在点E处用高1.5m的测
角仪EF测得无入机A的仰角为30，然后沿水平方向EB前行20m到点C处，在点C处测得无人机A的仰
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角为60°．请你根据该小组的测量方法和数据，求无人机的位置点A距离地面的高度？（结果精确到0.1，
参考数据：√3=1.732）
4．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后
到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行10海里后到达B港，再沿北偏东60∘
万向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60∘方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30∘方向
航行一定距离到达C港．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
(1)求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．
5．（2025·广东佛山·一模）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由
现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从点
A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知∠A=59°，∠C=45°，MP=0.25m，NP=1.35m．（参考数据：
sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
(1)在图2中，∠ABC=________；
(2)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径AC的长度；
(3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩AM的影子顶端恰好落在点B处，梅花桩BP的影子顶端恰好
与点N重合，请在图3中画出梅花桩AM，BP的影子并计算出BP的高度；
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(4)如图4，保持BP不变，通过调整梅花桩AM的高度，使得AC+AB的值最小，请求出此时AM的高度
（结果精确到0.01m）．
6．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，有一建筑物FD在小山BC上，小山的斜坡AB的坡角为1:√3，在建
筑物顶部有一座避雷塔EF，在坡底A处测得避雷塔顶端E的仰角为45°，在山顶B处测得建筑物顶端F的
仰角为60°，已知E、F、D在同一条垂直于地面的直线上，BD∥AC，AB=1000m，BD=250m．
(1)求小山BC的高度；
(2)求避雷塔EF的高度．（结果精确到0.1m，√2≈1.41，√3≈1.73）
7．（2025·上海奉贤·一模）桔槔(gao)是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作
原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．
当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以
省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．
如图所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长
度的麻绳，绳长AC=3米，木质杠杆AB=6米．
(1)当水桶C的位置低于地面0.5米（如图1所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且
cotB=0.75，求这个桔槔支架OM的高度；
(2)向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度．
8．（2025·河南·模拟预测）某综合实践研究小组为了测量目标物体的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制
了一个简易测角仪（图1）．
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(1)如图2，在点P处观察到目标物体的最高点为点C，当量角器零刻度线上的A，B两点均在视线PC上时，
测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接写出α与β之间的关系；
(2)如图3，为了测量广场上气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C两处分别测得视线
与铅垂线的所夹的锐角为53°，45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC=10m，求气球A离地面
的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
9．（2024·陕西西安·模拟预测）家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手
AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意
图如图2，M，D，E在一条直线上，ME⊥EC，其相关数据为AM=10cm，ME=27cm，求EC的长
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（结果精确到1cm，参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，√3≈1.73）．
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