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专题1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
教学目标
1.在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示.
2.能正确地运用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算.
3.初步学会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题.
教学重难点
1.教学重点：掌握空间向量坐标表示并能进行向量的线性运算与数量积运算.
2.教学难点： 会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题
知识点01 空间向量的正交分解
1、单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用
表示．
2、正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量
，均可以分解为三个向量
，
，
使得
. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
我们把
称作向量
在单位正交基底
下的坐标．记作
此时向量
的坐标恰是点
在
空间直角坐标系
中的坐标
其中
分别叫做点
的横坐标、纵坐标、竖坐标．
3、特殊向量的坐标表示
（1）当向量
平行于
轴时，纵坐标、竖坐标都为
，即
（2）当向量
平行于
轴时，纵坐标、横坐标都为
，即
（3）当向量
平行于
轴时，横坐标坐标、纵坐标都为
，即
（4）当向量
平行于
平面时，竖坐标为
，即
（5）当向量
平行于
平面时，横坐标为
，即
（6）当向量
平行于
平面时，纵坐标为
，即
知识点02 空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点
和一个单位正交基底
，以
为原点，分别以
的方
向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：
轴、
轴、
轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就
建立了一个空间直角坐标系
.
(2)相关概念：
叫做原点，
都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为
平面、
平面、
平面，它们把空间分成八个部分．
知识点03 空间向量的坐标表示
1 空间一点的坐标：在空间直角坐标系
中，
为坐标向量，对空间任意一点
，对应一个向量
，且点
的位置由向量
唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组
，使
.在单位正交基底
下与向量
对应的有序实数组
叫做点
在此空间
直角坐标系中的坐标，记作
，其中
叫做点
的横坐标，
叫做点
的纵坐标，
叫做点
的
竖坐标．
2 空间向量的坐标：在空间直角坐标系
中，给定向量
，作
.由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组
，使
.有序实数组
叫做
在空间直角坐标系
中的坐
标，上式可简记作
.
【即学即练】在空间直角坐标系
中，已知点
，若点
与点
关于
平面对
称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据空间坐标系的定义得对称点
的坐标，再求得向量坐标．
【详解】由点
与点
关于
平面对称，可得
，所以
.
故选：A．
知识点04 空间向量运算的坐标表示
设
，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
【即学即练】已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量
，
，则
，
所以
.
故选：A
知识点05 空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行（
）
垂直（
）
（
均
非零向量）
特别提醒：在
中，应特别注意，只有在
与三个坐标平面都不平行时，
才能写成
.例如，若
与坐标平面
平行，则
，这样
就没有意义了.
2、向量长度的坐标计算公式
若
，则
，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的
体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设
，则
【即学即练】已知两平行直线的方向向量分别为
，
，则实数
的值为 ．
【答案】或
【分析】根据空间向量共线，运用坐标公式将关于
的等式表示出来，然后求出
的值.
【详解】由题意知
所在的直线平行，
，
，
共线的充要条件是
显然
，
，符合题意.
当
时，由
，得
代入
，得
综上，
的值为1 或.
故答案为：1 或3.
题型01 空间向量的坐标表示
【典例1】在空间直角坐标系
中，若点
关于
轴的对称点为点
，点
关于
平
面的对称点为点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用对称性求出点
、
的坐标，再利用空间向量的坐标运算可求得向量
的坐标.
【详解】因为点
关于
轴的对称点为点
，则
，
因为点
关于
平面的对称点为点
，则
，
因此，
.
故选：A.
【变式1】已知空间直角坐标系中，O 为坐标原点，点
，则向量
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示得解.
【详解】依题意，
.
故选：A
【变式2】在空间直角坐标系
中，点
，点
关于
轴对称的点为
，点
关于
平面
对称的点为
，则向量
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出
、
的坐标，即可得解.
【详解】因为
，则点
关于
轴对称的点为
，
又
，则点
关于平面
对称的点为
.
所以
.
故选：B.
【变式3】已知点
，若向量
，则点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，设
，再由向量
的坐标，列出方程，即可得到结果.
【详解】设
，因为
，且
，
则
，所以
，即
.
故选：A
【变式4】已知空间两点
，
，则向量
=
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标表示求得答案.
【详解】空间两点
，
，则
.
故答案为：
题型02 空间向量的运算
【典例1】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可.
【详解】因为
，
，
所以
则
.
故选：A.
【变式1】已知
满足
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得
，根据数量积的运算律结合
，即
可得
的值．
【详解】由已知，
，
所以
，
又
，所以
.
故选：D.
【变式2】在空间直角坐标系中，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得
，得到
，结合向量模的计算公式，即
可求解.
【详解】由向量
，
因为
，可得
，解得
，所以
，
则
，所以
.
故选：D.
【变式3】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.
【详解】若
，
，则
.
故选：D.
【变式4】已知向量
，
，则
【答案】
【分析】根据向量的减法运算，坐标表示、向量模的坐标表示运算即可得解.
【详解】
，
，
，
.
故答案为：
.
题型03 空间向量模长（定值）
【典例1】已知
，向量
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据向量平行得出
，
，再计算模长即可.
【详解】因为
，所以
，解得
，
，
则
，
．
故选:A．
【变式1】已知空间向量
，若
与
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．14
【答案】B
【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解.
【详解】因为
与
垂直，
所以
，解得
，
所以
，
故
.
故选：B
【变式2】在空间直角坐标系中，已知三点
，
，
，且
，则实数
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出
的坐标，再利用空间向量的模长公式解方程即得.
【详解】由
，
，
可得
，
由
，可得
，解得
.
故选：A.
【变式3】若向量
，且
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由向量平行的坐标运算得出
，进而由模长公式求解.
【详解】因为向量
，且
，
所以
，所以
，所以
．
故选：D
【变式4】已知
，
，且
，则
．
【答案】
【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出
的值，进而可求出
的坐标，结合空间向量的模长公式可
求出
的值.
【详解】因为
，
，且
，
所以
，解得
.
故
，所以
，故
．
故答案为：
．
向量长度的坐标计算公式
若
，则
，即
题型04 空间向量夹角大小
【典例1】已知向量
，
，且
．
(1)求
的值；
(2)求向量
与
夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得出
，可求出
的值，求出
的坐标，利用空间向量的模长公式可求得
的值；
（2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量
与
夹角的余弦值.
【详解】（1）因为向量
，
，且
，则
，解得
，
所以，
，则
，
故
.
（2）
，
所以，
.
因此，向量
与
夹角的余弦值为
.
【变式1】设空间两个单位向量
与向量
的夹角等于
，则向量
夹角的余弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到
和
，再结合向量夹角
余弦公式即可计算求解.
【详解】因为空间两个单位向量
与向量
的夹角等于
，
所以
，
所以
，结合
得
则向量
夹角的余弦值为
.
故选：D.
【变式2】已知在空间直角坐标系
中，三点
，则向量
与
夹角的余
弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解.
【详解】依题意，
，
所以向量
与
夹角的余弦值为
.
故选：A
【变式3】向量
与
的夹角是 .
【答案】
【分析】根据空间向量夹角余弦值的坐标表示即可得到答案.
【详解】
，因为
则其夹角为
.
故答案为：
.
【变式4】已知向量
，
，
(1)求
的值；
(2)求
；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积的坐标表示即可求解；
（2）由夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，又因为
，
所以
．
（2）因为
，
，
所以
．
两个向量夹角的坐标计算公式
设
，则
题型05 空间向量夹角（锐角或钝角）
【典例1】知向量
，
(1)若
，求实数
；
(2)若向量
与
所成角为锐角，求实数
的范围．
【答案】(1)
(2)
且
【分析】（1）先求出
，
，根据向量共线得到方程，求出
；
（2）由题意得到
，且
与
不同向共线，从而得到不等式，求出答案.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
，
因为
，所以
，解得：
；
（2）因为向量
与
所成角为锐角，
所以
，且
与
不同向共线，
由（1）知，
，
，
故
，
解得
且
，即
的取值范围为
且
.
【变式1】已知空间向量
，
，若
与
的夹角是锐角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可.
【详解】因为空间向量
，
，
若
与
的夹角是锐角，则
且
不成立，
所以
或
.
故选：C.
【变式2】已知
，
且
与
的夹角为钝角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为
不是钝角，要排除.
【详解】由题意可知：
，∴
，
又∵
时，即
时，
共线，∴
，
∴
.
故选：A
【变式3】（多选）已知向量
，
，若
，
的夹角是钝角，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】AC
【分析】根据题意分析得
，再去除共线的情况即可.
【详解】由题意得
，再去掉其共线反方向的情况，
则
，解得
，当
，
共线时
，解得
，
故
且
，对照选项知AC 正确，BD 错误.
故选：AC.
【变式4】已知向量
，且向量
的夹角为锐角则的取值范围是
．
【答案】
【分析】利用数量积大于0 求解
，即可去除
同向共线时的情况求解.
【详解】若
，则
，
当
时，则
，解得
，此时
，
方向相同，
故
的夹角为锐角时，
且
，
故答案为：
题型06 空间向量平行与垂直
【典例1】已知
，
，若
，则
．
【答案】4
【分析】根据题意，由向量垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果.
【详解】先计算
，由题意可得：
，
所以
.
故答案为：4
【变式1】向量
，
，若
，则实数m 的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】D
【分析】利用向量共线列式求解.
【详解】向量
，
，由
，得
，
所以
.
故选：D
【变式2】设
，向量
，
，
，且
，
，则
（ ）
A．5
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】由
有存在
，即可解得
，又
得
解得
，进而求解.
【详解】由
有存在
，所以
，
由
有
，所以
，所以
，
故选：D.
【变式3】已知向量
，且
，则
（ ）
A．5
B．11
C．-5
D．-11
【答案】C
【分析】根据两个向量垂直其数量积为
及向量数量积的坐标运算即可得解.
【详解】因为
，且
，
所以
，得
.
故选：C.
【变式4】已知空间向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用空间向量垂直的坐标形式可取参数的值.
【详解】因为
，所以
，可得
，
故选：C.
两个向量的平行与垂直
平行（
）
垂直（
）
（
均
非零向量）
题型07 最值与范围问题
【典例1】已知空间四点
．
(1)求以
为邻边的平行四边形面积；
(2)若
四点共面，求
的值；
(3)求直线AB 和直线CD 夹角余弦值的取值范围．
【答案】(1)12
(2)
(3)
【分析】（1）求出
和
，进而得到
，由面积公式求出答案；
（2）由四点共面，设
，从而得到方程组，求出
的值；
（3）设直线
和直线
的夹角为
，利用向量夹角公式求出
.
【详解】（1）
，
又
，
，
，
，
四边形
的面积为
．
以
为邻边的平行四边形
的面积为12．
（2）由题意，得
，
四点共面，
存在唯一一对实数
使得
，
，
解得：
，
故
的值为
．
（3）
，
设直线
和直线
的夹角为
，
，
，故
，
，
因为
，所以两直线
和
的夹角余弦的范围是
【变式1】在棱长为1 的正方体
中，
为线段
上一动点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设
，
，表达出
，进而
求出最小值.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
故
，
过点
作
⊥
于点
，设
，
，
则
，所以
，
显然
∽
，故
，即
，
故
，则
，
，
，
，
故当
时，
取得最小值，最小值为
故选：B
【变式2】已知正方体
的棱长为4，点
分别为线段
上的动点，则
的最小
值为 ，此时
.
【答案】
；
.
【分析】以
为原点建立适当空间直角坐标系，设
，利用
取得最小值时，
为异
面直线
和
的公垂线段，进而得
且
，利用向量垂直坐标表示即可求出参数s 和
t，进而利用向量坐标运算即可计算求解.
【详解】由题可以
为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
所以
，设
，
所以
，
当
取得最小值时，
为异面直线
和
的公垂线段，
所以此时
且
，
故
，
所以
取得最小值时，
，
，
所以
的最小值为
，
此时
.
故答案为：
；
.
【变式3】在三棱锥
中，
两两垂直，且
．若M 为该三棱锥外接球上
的一动点，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，再结合空间向量的线性运算
将
用三角函数表示，最后利用余弦函数的有界性求解即可．
【详解】三棱锥
中，
两两垂直，且
．若
为该三棱锥外接球上的一
动点，
如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
球心为正方体对角线的交点，以
为原点建立空间直角坐标系，
得到
，
设三棱锥外接球的半径即正方体外接球半径为
，则
，
故
，
故
，
由向量模长公式得
，
而
，
设
，
由数量积的定义得
，
所以
，由余弦函数性质得当
时，
取得最小值
．
故答案为：
．
【变式4】如图，四棱锥
中，
平面
，底面是边长为1 的正方形，且
，点
是线段
上异于
的点，当
为钝角时，
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】以
点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，由向量共线定理可求得
点坐
标，
因为
为钝角，而
三点不共线，故
，由此可解出
的取值范围.
【详解】如图，以
点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则
，
，
设
，
，则
，
故
，所以
，
则
，
因为
为钝角，而
三点不共线，
故
，
解得
，即
的取值范围为
.
故答案为：
.
1．在空间直角坐标系中，点
关于
平面的对称点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可.
【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面
对称，
则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，
故点
关于
平面的对称点坐标为
.
故选：D.
2．已知
，
，若
，则x 的值为（ ）
A．7
B．-8
C．6
D．-5
【答案】A
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求参.
【详解】已知
，
，
因为
，
则
，
.
故选：A.
3．已知点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出
的坐标，再利用空间向量模长的坐标表示求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，所以
，
故选：C.
4．已知
，
，
，若
三点共线，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】求得
，
，根据题意建立等式求解即可.
【详解】由题意得
，
，
因为
三点共线，所以
，
即
，
解得
，
，
，所以
．
故选：B
5．已知空间中有两个动点
，
．则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．3
D．6
【答案】A
【分析】首先表示出
，再由向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为
，
，
所以
，
所以
，当且仅当
时取等号.
故选：A
6．已知向量
，
，
，若
、
、共面，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由共面向量的基本定理可知，存在
、
，使得
，由空间向量的坐标运算可得出
关于
、
、
的方程组，即可解出
的值.
【详解】因为向量
，
，
，且
、
、共面，
由题意可知，存在
、
，使得
，
即
，所以
，故
.
故选：D.
7．已知动点
是棱长为1 的正方体
的对角线
上一点，记
，当
为钝角
时，
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】以点
为原点建立空间直角坐标系，由
为钝角，可得
，得到
不等式，解不等式，可得出答案.
【详解】如图，以点
为原点建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
故
，
，
则
，
因为
，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
故选：C
8．已知
是边长为2 的正方形，点
，
在平面
的同侧，
平面
，
平面
，且
，点
为
的中点，点
是线段
上的动点，则线段
的长度不可能为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据题设条件建系，写出相关点的坐标，设
,则由
，可求得
，利用空间两点之间距离公式和二次函数的最值求出线段
长度的范围即可.
【详解】如图所示，以
为原点，以
,
,
所在直线分别为
轴，
轴，
轴正方向，
建立空间直角坐标系，则
、
、
、
、
、
.设
，由点
是
上的动点，知
，即
，∴
，故
，
∴
所以
.
故选：A
9．（多选）已知向量
，点
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】根据向量模长的坐标表示即可判断AB；根据向量垂直和平行的坐标表示即可判断CD.
【详解】因为
，所以
，故A 错误，B 正确；
若
，则
，得
，故C 正确；
若
，则
，得
，故D 正确．
故选：BCD.
10．（多选）在空间直角坐标系
中，已知点
，
（与点
不重合），则下列结论正
确的是（ ）
A．若点
，
关于
平面对称，则
B．若点
，
关于
轴对称，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】根据空间点对称法则求得对称点的坐标求解即可判断AB，根据空间向量垂直的坐标运算求解判断
C，根据空间两点距离公式列式化简即可判断D.
【详解】对A，若点
，
关于
平面对称，则
，
所以
，故A 错误；
对B，若点
，
关于
轴对称，则
，
所以
，故B 正确；
对C，若
，则
，故C 正确；
对D，若
，则
，
所以
，两式相减得
，故D 错误.
故选：BC
11．已知向量
，若
，则
；若
，则
．
【答案】
/
【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求
；利用向量坐标的加法和数乘运算计算
的坐标，即可
求得
，再计算
的坐标，最后利用求模公式即可.
【详解】若
，则
，解得
；
因
，则
，
则
，则
，解得
，则
，
所以
，于是
．
故答案为：
；
12．已知空间向量
，
，若
的夹角为钝角，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意
且
与
不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可.
【详解】因为
，
且
的夹角为钝角，
所以
且
与
不共线（反向），
由
，则
，解得
，
当
与
共线时，
，则
，解得
，
综上可得实数
的取值范围为
.
故答案为：
13．已知向量
.
(1)求
；
(2)求
；
(3)求向量
与
的夹角．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；
（2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解；
（3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解.
【详解】（1）∵
，
，
.
（2）
，
，
则
.
（3）
，
，
，
则
，
所以向量
与
的夹角为
.
14．对于空间任意两个非零向量
，定义新运算：
.
(1)若向量
.求
；
(2)若两个单位向量
满足
，求向量
夹角的余弦值.
【答案】(1)0；
(2)
；
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求出
，再利用给定定义求解即得.
（2）利用数量积的运算律及给定的定义，列式求出向量
夹角的余弦值.
【详解】（1）由
，得
，则
，
所以
.
（2）由
是单位向量，得
，
设
的夹角为
，则
，
，而
，
因此
，解得
，
所以
夹角的余弦值为
.
15．已知
.
(1)求向量
的坐标；
(2)设向量
，求
；
(3)若
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)3；
(3)
.
【分析】（1）利用向量的坐标运算求出
.
（2）求出
的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解.
（3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出
.
【详解】（1）由
，得
（2）由（1）得
，而量
，因此
，
所以
.
（3）由（1）知，
，
由
，得
，
所以
16．已知向量
.
(1)若
，求的值；
(2)求
的最小值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由空间向量垂直的坐标运算得到方程，即可求解；
（2）计算出
，利用模长公式得到
，求出最小值.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，解得
；
（2）因为向量
，所以
，
所以
，
所以当
时，
取得最小值为
.
