8.6 空间中线线垂直和线面垂直
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：两条直线所成的角.......................................................... 2
考点二：求两异面直线所成的角的步骤............................................2
考点三：证明异面直线垂直的步骤..................................................2
考点四：直线与平面垂直的定义.................................................... 2
考点五：直线与平面垂直的判定定理...............................................3
考点六：直线和平面所成的角....................................................... 3
考点七：直线与平面垂直的性质定理...............................................3
考点八：三心问题结论................................................................ 4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：异面直线的辨别............................................................. 4
题型二：求异面直线所成角.......................................................... 6
题型三：直线与直线垂直........................................................... 11
题型四：线面垂直判定理解........................................................ 14
题型五：线面垂直证明.............................................................. 16
题型六：直线与平面所成的角......................................................20
题型七：线面垂直证明线线平行...................................................25
题型八：线面垂直证明线线垂直...................................................28
题型九：平面内的射影问题........................................................ 36
题型十：空间中三种距离问题......................................................42
题型十一：线面垂直的动点问题...................................................46
模块三：综合巩固....................................................................... 53
8.6 空间中线线垂直和线面垂直
模块一：基础知识
考点一：两条直线所成的角
1、平面内两条直线所成的角
平面内两条直线相交形成4 个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
2、异面直线所成角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
（2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
3、判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号
语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB 与l 是异面直线(如图)．
考点二：求两异面直线所成的角的步骤
1、作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
2、证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行
3、计算：求角的值，常利用解三角形得出。
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.
4、结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；
若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。
考点三：证明异面直线垂直的步骤
1、作出两异面直线所成的角；
2、求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊在三角形中说明垂直关系；
3、得出结论，
考点四：直线与平面垂直的定义
1、文字语言：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直
2、符号语言：l⊥α
3、有关概念：直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．它们唯一的公共点P 叫做垂足
4、图形语言：
5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
6、空间距离
①点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂
线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
②直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直
线到这个平面的距离.
③两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相
等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
考点五：直线与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
3、图形语言：
4、作用：证明线面垂直
考点六：直线和平面所成的角
1、有关概念：
（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，
过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，
图中斜线PA 在平面α上的射影为AO
2、直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.
（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
3、取值范围：[0°，90°]
考点七：直线与平面垂直的性质定理
1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
2、符号语言：
a⊥α
b⊥α
⇒a∥b
3、图形语言：
4、作用：①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
5、推论：
（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
考点八：三心问题结论
设P 是三角形ABC 所在平面α外一点，O 是P 在α内的射影
（1）若PA＝PB＝PC，则O 为△ABC 的外心．
特别地当∠C＝90°时，O 为斜边AB 的中点．
（2）若PA、PB、PC 两两垂直，则O 为△ABC 的垂心．
（3）若P 到△ABC 三边距离相等，则O 为△ABC 的内心．
模块二：题型分类
题型一：异面直线的辨别
1、（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，M 为
1
DD 的中点，则下列直线
中与直线BM 是异面直线的有（
）
A．
1
AA
B．
1
BB
C．
1
CC
D．
1
DD
【答案】AC
【解析】显然
1
BB
BM
B
，
1
DD
BM
M
，BD 错误；
1
AA 与
1
CC 与直线BM 既不平行，也不相交，是异面直线，AC 正确.故选：AC
2、（2023 春·全国·高一专题练习）如图为正六棱柱ABCDEF
A B C D E F
.其6个侧面的12条面对角
线所在直线中，与直线A B
异面的共有______条.
【答案】5
【解析】连接A D
，
因为六边形A B C D E F
为正六边形，所以
/ /B
A D
C
，
故
/ /
A D
BC
，所以
,
, ,
A D B C
四点共面，
,
A B CD
不是异面直线，
同理可得：EF与A B
共面，不是异面直线，而
/ / E
A B
D
，
又
,
,
AB A F BC
与A B
相交，
故12条面对角线中，与A B
不是异面直线的面对角线为
,
,
,
,
,
A
D
DE
F
EF
B A
BC
C
，
其余面对角线均与A B
异面，分别为
,
,
,
,
BC C D D E FE AF
，共5 条.
3、（2021 秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，直线
1A B 与直线AC 的位置关
系为（
）
A．相交
B．异面
C．平行
D．不确定
【答案】B
【解析】
1A B
平面ABCD
B
，
又AC 平面ABCD，B平面ABCD，B
AC
，
1A B
与AC 为异面直线.故选：B.
4、（2021 春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，,
E F 分
别是线段
1
,
BC CD 的中点，则直线
1
AD 与直线EF 的位置关系是（
）
A．相交
B．垂直
C．平行
D．异面
【答案】D
【解析】由题意，作图如下：
显然直线EF I 平面
1
1
ADD A
P
，且
1
P
AD
，则EF 与
1
AD 异面.故选：D.
5、（2023 春·全国·高一专题练习）如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
的9 条棱所在直线中，与直线
1A B 是异
面直线的共有___________条.
【答案】3
【解析】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面，
由图可知九条棱中
1
1
A B ，
1
1
AC ，
1A A，AB ，
1
BB ，BC 与
1A B 相交，
没有直线与
1A B 平行，
所以与直线
1A B 是异面直线的共有3 条，分别为
1
1
B C ，AC ，
1
CC ，
故答案为：3
6、（2022·高一课时练习）如图，已知点P 在四边形ABCD所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，
那么P 与四边形ABCD的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线共8 条直线中，异面直线共有
______对．
【答案】8
【解析】如图，已知点P 在四边形ABCD所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，
那么P 与四边形ABCD的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线
共8 条直线中，异面直线共有：
PA 与BC ，PA 与CD ，PB 与CD ，PB 与AD ，PC 与AB ，
PC 与AD ，PD 与AC ，PD 与BC ，共有8 对.
题型二：求异面直线所成角
1.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E，F，G，H 分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF 与
GH 所成的角等于_________．
【答案】60
【解析】如图，连接
1A B ，
1
BC ，
1
1
AC ，
因为E ，F ，G ，H 分别为
1
AA ，AB ，
1
BB ，
1
1
B C 的中点，
所以EF ∥
1A B ，GH ∥
1
BC ，
1
1
A BC
为异面直线EF 与GH 所成角或其补角，
因为
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为正方体，所以三角形
1
1
A BC 为正三角形，
所以
1
1
60
A BC
.
2.已知空间四边形ABCD，连接AC 和BD ，且
1
AB
AC
AD
BC
CD
BD
，点N 是线段AD 的中点，
则异面直线BD 和CN 所成的角的余弦值是______．
【答案】
3
6
【解析】如图，取AB 中点M ，连接MN ，CM ，
∵M ，N 分别为AB ，AD 中点，
∴MN
BD
∥
，且
1
1
2
2
MN
BD
，
∴异面直线BD 和CN 所成角为
MNC
或其补角，
在等边ABC
和等边
ADC
△
中，
2
2
1
3
1
2
2
CM
CN
，
∴在MNC
中，由余弦定理，有
2
2
2
1
3
3
3
4
4
4
cos
0
2
6
1
3
2
2
2
MN
CN
CM
MNC
MN CN
，
∴异面直线BD 和CN 所成的角的余弦值为
3
6
.
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）AC 和DD1所成的角是________；
（2）AC 和D1C1所成的角是________；
（3）AC 和B1D1所成的角是________；
（4）AC 和A1B 所成的角是________.
【答案】
90°或2
45°或4
90°或2
60°或3
【解析】（1）根据正方体的性质可得
1
DD 平面
1
ABCD
DD
AC
，
所以AC 和DD1所成的角是90°.
（2）∵D1C1 / / DC，所以∠ACD 即为AC 和D1C1所成的角，
由正方体的性质得∠ACD＝45°.
（3）∵BD / / B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC 和B1D1所成的角是90°.
（4）∵A1B / / D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC 和A1B 所成的角是60°.
故答案为：90°或2
；45°或4
；90°或2
；60°或3
.
4.如图，已知圆锥CO的正视图是正三角形，AB 是底面圆O的直径，点D 在
AB 上，且
2
AOD
BOD
∠
∠
，
则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为______．
【答案】
3
4
【解析】如图，取AC 的中点E ，劣弧BD 的中点F ，AO 的中点G ，连接OF 、OE ，
易知，OE
BC
∥
, AD
OF
∥
，
则异面直线AD 与BC 所成的角是
EOF
或其补角.
连接EG ，GF ，EF ，易得EG
GF
，
不妨设
1
OG ，则
2
OF
，
2
OE
，
3
EG
，
2
2
2
5
2
cos
5
2 3
6
GF
OG
OF
OG OF
，
则
2
2
2
8
2 3
EF
EG
GF
，
在OEF
中，
2
2
2
3
cos
2
4
OE
OF
EF
OEF
OE OF
故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为
3
4
.
5.如图，在空间四边形ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别是AB，CD 的中点，若EF＝
3 ，求异面直线AD，
BC 所成角的大小.
【答案】60°
【解析】如图，取AC 的中点G，连接EG，FG.
因为E，F，G 分别是AB，CD，AC 的中点，
所以GF∥AD，且GF＝
1
2 AD，EG∥BC，且EG＝
1
2 BC，
则∠EGF 或其补角就是异面直线AD，BC 所成的角.
因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.
单独看△GEF 的平面图，可得
在等腰△GEF 中，过点G 作GH⊥EF 于点H，
在Rt△GHE 中，EG＝1，EH＝
1
2 EF＝
3
2
，
则sin∠EGH＝
3
2
，所以∠EGH＝60°，
则∠EGF＝2∠EGH＝120°.
所以异面直线AD，BC 所成的角为∠EGF 的补角，
即异面直线AD，BC 所成的角为60°.
6．在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2π
3
BAC
，
1
2
2
AA
AC
AB
，O为四边形
1
1
AAC C 的中心，则异面
直线
1
OB 与
1A B 夹角的余弦值为（
）
A．
5
10
B．
5
15
C．
5
20
D．
5
25
【答案】C
【分析】利用异面直角所成角的定义作出所求的角，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】如图，延长AB 至点D ，使AB
BD
，延长
1
1
A B 至点E ，使
1
1
1
A B
B E
，连接DE ，
1B D ，
易证
1
1
A B
B D
∥
，则异面直线
1
OB 与
1A B 的夹角为
1
OB D
，过O作FH
AC
，垂足为F ，
交
1
1
AC 于H ，
连接DF ，
1B H ，OD ，由余弦定理得
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
cos
3
B H
A B
A H
A B A H
B A H
，
2
2
2
cos
7
DF
AF
AD
AF AD
DAF
，所以
1
2
OB
，
2 2
OD
，
易得
1
5
B D
，所以
2
2
2
1
2
5
2 2
5
cos
20
2
2
5
OB D
.
故选：C
7．已知三棱锥S
ABC
中，
2 3,
2
SC
AB
，E，F 分别是SA，BC 的中点，
1
EF ，则EF 与AB 所成
的角大小为（
）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
【答案】B
【分析】取SB 的中点G，然后根据异面直线所成角的定义证明
GEF
（或其补角）是EF 与AB 所成的角，
进而求得答案.
【详解】取SB 的中点G，连接
,
GF GE ，如图，
又E 为SA的中点，所以
1
/ /
,
1
2
EG
AB EG
AB
，同理可得
1
/ /
,
3
2
GF
SC GF
SC
，
所以
GEF
（或其补角）是EF 与AB 所成的角.
取GF 的中点H，连接EH ，则EH
GF
，
所以
3
π
sin
2
3
HF
HEF
HEF
EF
，
则
2π
3
GEF
，所以EF 与AB 所成的角为π
3 .
故选：B.
8.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，ABC
为等腰直角三角形，且
1
2
1
2
AB
AC
AA
，则异面直线
1
AB
与
1AC 所成角的正弦值为（
）
A．2
3
B．
5
3
C．
3
3
D．
3
3
【答案】B
【分析】先补形，再作出异面直线
1
AB 与
1AC 所成角的平面角，然后结合余弦定理即可求解.
【详解】将直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
补形为如图所示的正四棱柱：
连接
1B D 、AD ，则
1
1
/ /
B D
AC ，
则异面直线
1
AB 与
1AC 所成角的平面角为
1
DB A
(或其补角)，
又
2
2
1
1
1
2
3
DB
B A
，
2
2
1
1
2
AD
，
由余弦定理可得：
2
2
2
1
3
3
2
2
cos
3
2
3
3
DB A
，
所以
2
1
2
5
sin
1
3
3
DB A
，故B 正确.
故选：B.
题型三：直线与直线垂直
1.如图，在长方体ABCD
A B C D
的各条棱所在直线中，
（1）与直线AB 垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB 异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB 和A D
都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB 和A D
都垂直且相交的直线是直线__________．
【答案】8 ；4；4 ；
'
AA
【解析】（1）与直线AB 垂直的直线有：
'
'
'
'
'
'
'
'
,
,
,
,
,
,
,
AA AD D A D D BC BB C B C C ，共8 条.
（2）与直线AB 异面且垂直的直线由
'
'
'
'
'
'
,
,
,
D A D D C B C C ，共4条.
（3）与直线AB 和
'
'
A D 都垂直的直线有
'
'
'
'
,
,
,
AA BB CC DD ，共4 条.
（4）与直线AB 和A D
都垂直且相交的直线是直线
'
AA .
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（
）条．
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8 条．故选：D．
3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D 是AB 的中点，则在所有的棱中与直线CD 和AA1都垂直的直线有______．
【答案】AB，A1B1
【解析】由正三棱柱的性质可知与直线CD 和AA1都垂直的直线有AB，A1B1．
故答案为：AB，A1B1.
4.设a，b，c 是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a 和b（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
【答案】D
【解析】如下图，若
1
1
1
1
1
,
,
DD
c D C
a A D
b
，则a 和b 相交；
若
1
1
1
,
,
DD
c D C
a AD
b
，则a 和b 异面；
若
1
1
1
,
,
DD
c D C
a DC
b
，则a 和b 平行；
所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面．故选：D.
5.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
①
1
DA 与
1
BC 平行；
②
1
DD 与
1
BC 垂直；
③
1
1
A B 与
1
BC 垂直．
以上三个命题中，正确命题的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．③
D．①②③
【答案】C
【解析】对于①，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，由图可知
1
DA 与
1
BC 异面，故①不正确．
对于②，因为
1
1
//
DD
CC ，
1
BC 不垂直
1
CC ，所以
1
DD 与
1
BC 不垂直，故②不正确．
对于③，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
A B 平面
1
1
BCC B ，
又∵
1
BC 平面
1
1
BCC B ，∴
1
1
A B 与
1
BC 垂直.故③正确．故选：C．
6.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E，F 分别是AB，CD 的中点，EF=
2 ．求证：AD⊥BC．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图所示，取BD 的中点H，连接EH，FH．
因为E 是AB 的中点，且AD=2，
所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC 所成的角．
因为EF=
2 ，所以EH
2+FH
2=EF
2，
所以EFH 是等腰直角三角形，EF 是斜边，
所以∠EHF=90°，即AD 与BC 所成的角是90°，
所以AD⊥BC．
7.空间四边形ABCD，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，DC 的中点，
2
FG
，
5
GE
，
3
EF .求证：AC
BD
.
【答案】证明见解析
【解析】∵点G，E 分别是CD，BC 的中点，
∴GE / / BD，同理GF / / AC.
∴∠FGE 或∠FGE 的补角是异面直线AC 与BD 所成的角．
在△EFG 中，∵FG＝2，GE＝
5 ，EF＝3，满足FG
2＋GE
2＝EF
2，
∴∠FGE＝90°.即异面直线AC 与BD 所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
8.如图，在正三棱柱ABC
A B C
中，E 为棱AC 的中点，
2
AB
BB
.求证：BE
AC
.
【答案】证明见解析
【解析】如图，取CC的中点F，连接EF，BF，
∵E 为AC 的中点，F 为CC的中点，
∴
/ /
EF
AC，∴BE 和EF 所成角为
BEF
，
即为异面直线BE 与AC所成角，且
1
2
EF
AC
.
在正三棱柱ABC
A B C
中，
2 2
AC
，
2
EF
.
在等边三角形ABC 中，
2
2
2
1
3
BE =
-
=
，
在Rt△BCF 中，
2
2
2
1
5
BF
.
在△BEF 中，
2
2
2
BE
EF
BF
，
∴BE
EF
，∴BE
AC
.
题型四：线面垂直判定理解
1.已知，是两个不同的平面，l，m，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l
的是（
）
A．l
m
，l
n
，m
，n
B．l
m
，
/ /
m
C．
，//
l
D．//
l m ，m
【答案】D
【解析】对于A，若l
m
，l
n
，m
，n ，
当
,
m n 平行时，l 与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故A 错误；
对于B，若
/ /
m
，设过m 的平面与交于n，
则根据线面平行的性质定理可得
//
m n ，在平面内，作直线l
n
,则l
m
，
而此时l 在平面内，故B 错误；
对于C，若
，设
a
，在平面内作直线//
l a ，则l
，
由线面平行的判定定理可得l // ，而此时l 在平面内，故C 错误；
对于D，若m
，则直线m 与平面内的所有直线都垂直，又//
l m ，
∴l 与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得l
，故D 正确；
故选：D
2.若一条直线a 与平面垂直，下列平面中的两条直线与a 垂直，可以保证直线与平面垂直的是（
）
①四边形的两边
②正六边形的两边
③圆的两条直径
④三角形的两边
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【答案】D
【解析】对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；
对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；
对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；
对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直.
所以可以保证直线与平面垂直的是③④.故选：D.
3.下列命题中正确的有（
）
A．过直线l 外一点，有且只有一个平面与l 垂直
B．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面
C．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面
D．过点A 且垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内
【答案】ABD
【解析】过直线l 外一点，有且只有一个平面与l 垂直，故A 正确；
若三条共点直线两两垂直，则其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面，B 正确；
垂直于角的两边（角两边不共线）的直线必垂直于该角所在的平面，故C 错误；
过点A 且垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内，故D 正确．
故选:ABD.
4.已知m 、n 是两条不同的直线，是一个平面，则（
）
A．若
//
m n ，n ，则
/ /
m
B．若m
n
，n ，则m
C．若m
n
，//
n ，则m
D．若m
，//
n ，则m
n
【答案】D
【解析】对A：若
//
m n ，n ，则
/ /
m
或m
，故A 错误；
对B：若m
n
，n ，则m
或
/ /
m
或m
或m 与相交（不垂直），故B 错误；
对C：若m
n
，//
n ，则m
或
/ /
m
或m
或m 与相交（不垂直），故C 错误；
对D：若m
，//
n ，由线面垂直的性质可得m
n
，故D 正确；故选：D
题型五：线面垂直证明
1.如图所示，M 是菱形ABCD 所在平面外一点，MA
MC
．求证：AC 垂直于平面BDM．
【答案】证明见解析.
【解析】设AC 交BD 于点O，连接MO,
因为ABCD 是菱形，所以AC
BD
,
因为MA
MC
，且AO
CO
，
所以MO
AC
，
因为MO、BD 是平面BDM 上的两条相交直线，
所以AC 垂直于平面BDM．
2.在三棱锥V
ABC
中，VA
VC
，AB
BC
，点D 为AC 的中点，求证：AC 平面VBD ．
【答案】见解析
【解析】如图所示，连接
,
VD DB ，
因为VA
VC
，AB
BC
，点D 为AC 的中点，
所以
,
AC
VD AC
BD
，
又
,
VD BD是平面VBD 内的两条相交直线，
所以AC 平面VBD
3.如图，在三棱锥
P
ABC 中，D E
，分别为AB
PB
，
的中点，EB
EA
，且
PA
AC
，PC
BC
．求证：BC 平面PAC ．
【答案】证明见解析.
【解析】∵在
AEB
△
中，D 是AB 的中点，EB
EA
，∴ED
AB
,
∵E 是PB 的中点，D 是AB 的中点，∴ED
PA
∥
，∴PA
AB
，
又PA
AC
，AB
AC
A
，AB 平面ABC ，AC 平面ABC ，
∴PA 平面ABC ，
∵BC 平面ABC ，∴PA
BC
，
又PC
BC
，PA
PC
P
，PA 平面PAC ，PC 平面PAC ，
∴BC 平面PAC ．
4.如图,在三棱锥
P
ABC 中,
,
PB
PC AB
AC
,D,E 分别是
,
BC PB 的中点．
（1）求证：
/ /
DE
平面PAC ;
（2）求证：BC 平面PAD ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）证明：由题知D,E 分别是
,
BC PB 的中点,
DE
PC
,
DE
平面PAC
PC
，
平面PAC ,
DE
∥平面PAC ,得证;
（2）证明：由题知
,
PB
PC AB
AC
,D 是BC 的中点,
,
PD
BC AD
BC
,
PD
平面PAD , AD 平面PAD 且
=
PD
AD D
,
故BC 平面PAD 得证.
5．如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，且CB
BP
CD
DP
，
，
2
PA
，点
E
F
，
分别为PB
PD
，
的中点.
(1)求证：PA 平面ABCD；
(2)求点P 到平面AEF 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 2 3
3
.
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）由底面ABCD为正方形，得CB
AB
，又
,
,
,
CB
BP AB
BP
B AB BP
平面ABP ，
于是CB 平面ABP ，而PA 平面ABP ，则CB
PA
，同理CD
PA
，
又
,
,
CB
CD
C CB CD
平面ABCD，
所以PA 平面ABCD.
（2）由（1）得PA
AB
，点E 为PB 的中点，在Rt PAB
中，
2
AE
，点F 为PD 的中点，同理
2
AF
，
在
PBD
△
中，
1
2
2
EF
BD
，因此
1
3
3
2
2
2
2
2
AEF
S
△
，
在直角PAB
中，
1
1
2
2
1
2
2
APE
S
△
，
由（1）知CB 平面ABP ，则AD 平面ABP ，于是点F 到平面APE 的距离为1
1
2 AD
设点P 到平面AEF 的距离为h ，由
P AEF
F
AEP
V
V
，得1
3
1
1 1
3
2
3
h
，解得
2 3
3
h
，
所以点P 到平面AEF 的距离为2 3
3
.
6.如图，已知PA 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A，B 的任意一点，过点A
作AE
PC
，垂足为E．
（1）求证：BC 平面PAC ；
（2）求证：
AE
平面PBC ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为PA 平面ABC ，且BC 平面ABC ，所以PA
BC
．
因为AB 是圆O的直径，所以BC
AC
．
且
,
,
PA
AC
A PA AC
平面PAC ，所以BC 平面PAC ．
（2）因为AE 在平面PAC 内，由（1）知BC 平面PAC ，
所以BC
AE
．因为PC
AE
，且PC
BC
C
，
,
PC BC 平面PBC ，所以
AE
平面PBC .
7.如图所示，在正方体ABCD-
1
1
1
1
D
C
B
A
中，M 为
1
CC 的中点，AC 与BD 交于点O，求证：1AO⊥平面MBD .
【答案】证明见解析.
【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AC
BD
，
∵
1
AA 平面ABCD，BD
ABCD
平面
，∴
1
AA
BD
，
又∵
1
1
1
,
A A
A AO AC
A AO
平面
平面
，且
1A A
AC
A
I
，
∴BD 平面
1
AAO ，
而
1
1
AO
AOA
平面
，∴
1
BD
AO
，
令正方体的棱长为2，连接OM ，
1A M ，如下图所示
则有
1
1
6,
3,
3
AO
OM
A M
，
∴
2
2
2
1
1
AO
OM
A M
，∴
1AO
OM
，
又
,
OM
BDM BD
BDM
平面
平面
且OM
BD
O
，
∴
1AO⊥平面MBD .
8.如图，在圆柱
1
OO 中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面
O
的直径，D 是底面圆周上异于B 、C 的
点．求证：CD 平面ABD．
【答案】证明见解析
【解析】证明：由已知可知，AB 是圆柱的母线，所以AB 平面BCD，
CD 平面BCD，∴AB
CD
．
∵点D 是
O
上异于B 、C 的点，BC 是
O
的直径，所以CD
BD
．
又AB
BD
B
，
,
AB BD 平面ABD
∴CD 平面ABD ．得知.
9.如图，已知四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，各棱长都为a ，底面ABCD是正方形，顶点
1A 在平面ABCD上
的射影是正方形ABCD的中心，求证：
1AC 平面
1
1
BDD B ．
【答案】证明见解析
【解析】证明：在正方形ABCD 中，AC
BD
O
，则O为AC 、BD 的中点，且BD
AC
，
1AO
平面ABCD ，AC 平面ABCD ，
1AO
AC
，则
1
1
AC
AA
a
，
2
2
AC
AB
a
，
2
2
2
1
1
AA
AC
AC
，
1
1
AC
AA
，
在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
//
BB
AA ，
1
1
AC
BB
，
1AO
平面ABCD ，BD 平面ABCD ，
1
BD
AO
，
BD
AC
，
1
AC
AO
O
，AC 、
1AO 平面
1
AAC ，
BD
平面
1
AAC ，
1AC
平面
1
AAC ，
1AC
BD
，
1
BB
BD
B
，BD 、
1
BB 平面
1
1
BDD B ，因此，
1AC 平面
1
1
BDD B .
题型六：直线与平面所成的角
1.已知在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
AB
AD
，
1
2
AA
，那么直线
1AC 与平面
1
1
AA D D所成角的正弦值
为（
）
A．
6
6
B．
35
6
C．
3
3
D．
6
3
【答案】A
【解析】根据长方体性质知：CD 面
1
1
AA D D ，
故
1
CA D
为
1AC 与面
1
1
AA D D所成的角，
2
2
2
1
1
2,
1
1
1
2
6
AA
AB
AD
CA
，
所以
1
1
6
sin
6
A
CA D
CD
C
.故选：A
2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（
）
A．
3
6
B．
3
4
C．
2
2
D．
3
2
【答案】A
【解析】由题意知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2 倍，
如图，设正三棱锥A
BCD
底面边长为BC
a
，则侧棱长为∶AC
2a
，
设顶点A 在底面的射影为O 点，连接DO 并延长交BC 于E，
则E 为BC 的中点，则
ADO
为侧棱与底面所成角，
由于BCD
为正三角形，则O 为其中心，
3
2
a
DE
，
2
3
3
3
OD
DE
a
，
在Rt AOD
中，
3
3
3
cos
2
6
a
OD
ADO
AD
a
，
即侧棱与底面所成角的余弦值等于
3
6
，故选：A.
3.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD 为正方形，且PD
AB
a
=
=
，G 为△ABC 的重
心，则PG 与底面ABCD 所成的角的正弦值等于（
）
A．3
4
B．
17
17
C．3 17
17
D．2 34
17
【答案】C
【解析】连接BD 交AC 于O，四边形ABCD 为正方形，则O为AC 中点，
∵G 为△ABC 的重心，则G 在BD 上，且
1
2
OG
GB
，
∴
2
1
2
2 2
2
3
2
3
DG
OD
OG
a
a
a
，
∵PD⊥底面ABCD，
∴
PGD
为PG 与底面ABCD 所成的角，
BD 面ABCD，则PD
BD
，
∴
2
2
2 2
17
3
3
PG
a
a
a
，
∴
3 17
sin
17
17
3
a
PGD
a
.故选：C
4.正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（
）
A．1
3
B．
3
3
C．
6
3
D．
3
2
【答案】C
【解析】如图所示，在正四棱锥
P
ABC 中，O 为ABC
的中心，
则OP 底面ABC ，CD 为AB 边上的中线，
2
3
OC
CD
，
所以
PCD
即为侧棱PC 与底面ABC 所成角的平面角，
设正四面体的棱长为2 ，
则
2
2 3
12
2 6
,
4
3
3
9
3
OC
CD
OP
，
在Rt POC
中，
6
sin
3
OP
PCD
PC
，
即正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是
6
3
.故选：C.
5．如图，在矩形ABCD中，
3,
1
AB
BC
，沿对角线BD 把
BCD
△
折起，使C 移到C，且C在面ABC
内的射影O恰好落在AB 上.
(1)求证：AD
C B
；
(2)求AB 与平面C BD
所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
3
【分析】（1）根据已知，先证AD 平面C AB
，然后由线面垂直的性质可证；
（2）先证C B
C A
，然后由等体积法求点A 到平面C BD
的距离，即可求得所求.
【详解】（1）证明：由已知易得：C O
平面
,
ABD
C O
AD
，
又
,
AB
AD C O
AB
O
，
,
C O AB
平面C AB
，
AD
平面C AB
，
C B
平面C AB
AD
C B
；
（2）由（1）知：AD
C B
，
又
,
C D
C B AD
C D
D
，
,
AD C D
平面C AD
，
C B
平面C AD
，
又C A平面C AD
C B
C A
，
在Rt AC B
中，
1
2
6
3
3
C B C A
C O
AB
，
设点A 到平面C BD
的距离为d ，
由
A C BD
C
ABD
V
V
，得1
1
3
3
C BD
ABD
S
d
S
C O
，
即1
1
1
1
6
1
3
1
3
3
2
3
2
3
d
，得：
6
3
d
C O
，
AB
与平面C BD
所成的角的正弦值为
2
3
d
AB
.
6．如图，圆的直径为AB 4，直线PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的任意一点.
(1)证明BC⊥面PAC；
(2)若
2 2,
2,
PA
AC
求PB 与面PAC 的夹角.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 45．
【分析】（1）由已知线面垂直得PA
BC
，由圆性质得AC
BC
，再由线面垂直的判定定理得证线面垂
直；
（2）由（1）得
BPC
是PB 与平面PAC 所成的角，然后求出
,
PC BC ，再利用直角三角形得结论．
【详解】（1）证明：PA 平面ABC ，BC 平面ABC ，∴PA
BC
，同理PA
AC
，
AB 是圆直径，C 在圆周上，因此AC
BC
，
又PA
AC
A
，
,
PA AC 平面PAC ，∴BC 平面PAC ；
（2）由（1）BC 平面PAC ，∴
BPC
是PB 与平面PAC 所成的角，
又PC 平面PAC ，∴BC
PC
，
由已知
2
2
2 3
PC
PA
AC
，
2
2
4
2
2 3
BC
，所以
45
BPC
，
∴PB 与平面PAC 所成的角是45．
7．如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，已知
1
2,
3
AB
BC
AA
．
(1)若点P 是棱
1
1
A D 上的动点，求三棱锥C
PAD
的体积；
(2)求直线
1
AB 与平面
1
1
ACC A 的夹角正弦值大小．
【答案】(1)2
(2)
26
13
【分析】(1)根据给定条件直接由三棱锥的体积公式计算即得.
(2)连接B1D1 交A1C1 于点E，连AE，证明B1E⊥平面ACC1A1 即可计算作答.
【详解】（1）在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，CD⊥平面ADD1A1，因点P 是棱
1
1
A D 上的动点，如图，
则
1
1
1
2 3
3
2
2
PAD
S
AA AD
，
1
1
3 2
2
3
3
PAD
C PAD
V
S
CD
，
所以三棱锥C
PAD
的体积是2.
（2）在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，连接B1D1 交A1C1 于点E，连AE，如图，
因
1
1
1
1
2
A B
B C
，则
1
1
1
AC
B E
，而
1
AA 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，
1B E 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，
因此，
1
1
AA
B E
，又
1
1
1
,
AA AC 平面
1
1
ACC A ，
1
1
1
1
AA
AC
A
，则有
1B E 平面
1
1
ACC A ，
于是得
1B AE
是直线
1
AB 与平面
1
1
ACC A 的夹角，而
2
2
1
1
1
2,
B E
AB
AB
AA
13
，
从而有
1
1
1
2
26
sin
13
13
B E
B AE
AB
，
所以直线
1
AB 与平面
1
1
ACC A 的夹角正弦值是
26
13
.
8.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥P
ABCD
为阳马，侧棱PA 底面ABCD，PA
AB
AD
，E 为棱PA 的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的余弦值
为_______.
【答案】
5
3
【解析】因为PA 平面ABCD，CD 平面ABCD，故可得CD
PA
，
又CD
AD
，PA
AD
A
，
,
PA AD 平面PAD ，
故可得CD 平面PAD.连接ED.
故
CED
即为所求直线CE 与平面PAD 所成角.
不妨设
2
PA
AB
AD
，
故在直角三角形CDE 中，
2
CD
，
2
2
5
DE
AE
AD
，
故可得
2
2
3
CE
DE
CD
.则cos
3
5
DE
CED
CE
.
则直线CE 与平面PAD 所成角的余弦值为
5
3
.
题型七：线面垂直证明线线平行
1.如图，正方体
1
1
1
1
A B C D
ABCD
－
中，EF 与异面直线AC 、
1A D 都垂直相交．
求证：
1
//
EF BD .
【答案】证明见解析.
【解析】连接
1
AB ，
1
B C ，BD ，
1
1
B D ，
因为在正方体
1
1
1
1
A B C D
ABCD
－
中，
1
DD 平面ABCD ，AC 平面ABCD ，
所以
1
DD
AC
，
又AC
BD
，
1
DD
BD
D
I
，
1
DD 平面
1
1
BDD B ，BD 平面
1
1
BDD B ，
所以AC 平面
1
1
BDD B ，因此
1
AC
BD
；
同理可证：
1
1
BD
BC
，
又
1
AC
B C
C
，AC 平面
1
ACB ，
1
B C 平面
1
ACB ，
所以
1
BD 平面
1
ACB ；
因为EF 与异面直线AC 、
1A D 都垂直相交，
即EF
AC
，
1
EF
A D
，
又在正方体
1
1
1
1
A B C D
ABCD
－
中，
1
1
A B 与DC 平行且相等，
所以四边形
1
1
A B CD 为平行四边形，
因此
1
1
//
A D B C ，所以
1
EF
B C
，
因为
1
AC
B C
C
，AC 平面
1
ACB ，
1
B C 平面
1
ACB ，
所以EF 平面
1
ACB ；因此
1
//
EF BD .
2.在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，直线l（与直线
1
BB 不重合）平面ABCD ，则有（
）
A．
1
BB
l
B．
1
BB
l
∥
C．
1
BB 与l 异面
D．
1
BB 与l 相交
【答案】B
【解析】因为l 平面ABCD ，且
1
BB 平面ABCD ，直线l 与直线
1
BB 不重合，
所以
1
BB
l
∥．故选：B.
3.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，直线l（与直线
1
BB 不重合）平面ABCD，则有（
）
A．
1
BB
l
B．
1
BB
l
∥
C．
1
BB 与l 异面
D．
1
BB 与l 相交
【答案】B
【分析】根据线面垂直的性质即可得出答案.
【详解】解：因为l 平面ABCD，且
1
BB 平面ABCD，直线l 与直线
1
BB 不重合，
所以
1
BB
l
∥．
故选：B.
4.在空间中，下列说法正确的是（
）
A．垂直于同一直线的两条直线平行
B．垂直于同一直线的两条直线垂直
C．平行于同一平面的两条直线平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【分析】根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．
【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B 不正确；
平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C 不正确；
根据线面垂直的性质可知：D 正确；
故选：D．
5.圆柱OP 如图所示，AC 为下底面圆的直径，DE 为上底面圆的直径，BD 底面ABC ，证明：
//
BP
面AEC
【答案】证明见解析
【分析】连接BO ，OE ，OP ，可证明四边形PEOB 为平行四边形，得到
//
PB OE ，再通过线面平行的判
定定理即可证明
【详解】证明：连接BO，OE ，OP ，可得OP 平面ABC ，
∵BD 平面ABC ，∴
//
OP BD ，
∵OP
BD
，∴四边形OPDB 为平行四边形，∴
//
DP OB ，∴
//
PE OB 且PE
OB
，
∴四边形PEOB 为平行四边形，∴
//
PB OE ，
∵OE 平面AEC ，BP 平面AEC ，∴
//
BP
平面AEC
6.如图，已知多面体ABCDE ，
AE
平面
,
ABC DC
平面ABC ，且
2
AE
DC
，证明：
/ /
AC
平面BED .
【答案】证明见解析.
【分析】利用线面垂直的性质证得
/ /
AE
DC ，进而得
/ /
AC
ED ，再利用线面平行的判定推理作答.
【详解】因为
AE
平面
,
ABC DC
平面ABC ，则
/ /
AE
DC ，又AE
DC
，即四边形ACDE 为平行四边
形，
因此
/ /
AC
ED ，而AC 平面
,
BED ED
平面BED ，
所以
/ /
AC
平面BED .
7.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E 是PD 的中点，M，N 分别在
AB，PC 上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【答案】证明见解析
【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E 是PD 的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
题型八：线面垂直证明线线垂直
1.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1AC
BC
，
1
AC
CC
．
(1)记平面
1A BC 与平面
1
1
1
A B C 的交线为l，求证：/ /
l
平面
1
1
BCC B ；
(2)求证：
1
1
AC
AB
．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】
（1）由棱柱的性质得
1
1
//
BC
B C ，从而
/ /
BC
平面
1
1
1
A B C ，推导出
/ /
BC
l ，由此能证明//
l
平面
1
1
BCC B ；
（2）连接
1
AC ，利用菱形的对角线相互垂直和已知条件得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到
1AC 平面
1
1
AB C ，进而利用线面垂直的性质证明
1
1
AC
BC
.
【详解】（1）由棱柱的性质得
1
1
//
BC
B C ，
因为BC 平面
1
1
1
A B C ，
1
1
B C 平面
1
1
1
A B C ，
所以
/ /
BC
平面
1
1
1
A B C ，
因为BC 平面
1A BC ，平面
1A BC 与平面
1
1
1
A B C 的交线为l ，
所以
/ /
BC
l ，
因为l 平面
1
1
BCC B ，BC 平面
1
1
BCC B ，
∴//
l
平面
1
1
BCC B .
（2）连接
1
AC ，
由棱柱的性质和
1
AC
CC
，得四边形
1
1
ACC A 为菱形，
所以
1
1
AC
AC
，
因为
1AC
BC
且
1
1
//
BC
B C ，
所以
1
1
1
AC
B C
，
又因为
1
1
B C 平面
1
1
AB C ，
1
AC 平面
1
1
AB C ，
且
1
1
1
1
B C
AC
C
，所以
1AC 平面
1
1
AB C ，
又因为
1
AB 平面
1
1
AB C ，
所以
1
1
AC
AB
.
2.如图，
1
AA 是圆柱的一条母线，AB 是圆柱的底面直径，C 在圆柱下底面圆周上，M 是线段
1AC 的中点．已
知
1
4
AA
AC
，
3
BC .
（1）求圆柱的体积；
（2）求证：
.
BC
AM
【答案】（1）25π ；（2）证明见解析
【解析】（1）设圆柱的底面半径为r ，
因AB 是圆柱的底面直径，C 在圆柱下底面圆周上，
且
4
AC
，
3
BC ，则AC
BC
，
由勾股定理可得
2
2
2
2
2
4
3
5
r
AB
AC
BC
，所以，
5
2
r
，
因此，该圆柱的体积为
2
2
1
5
π
π
4
25π
2
r
AA
.
（2）证明：因为
1
AA 平面ABC ，BC 平面ABC ，所以，
1
BC
AA
，
又因为AC
BC
，
1
AC
AA
A
∩
，AC 、
1
AA 平面
1
AAC ，
所以BC 平面
1
AAC .
因为AM 平面
1
AAC ，所以，BC
AM
.
3.如图，已知PA 平面PBC，PB
PC
，M 是BC 的中点，求证：BC
AM
．
【答案】证明见解析.
【解析】∵PB
PC
，M 是BC 的中点，
∴PM
BC
．
又PA 平面PBC，BC 平面PBC，则PA
BC
，
∵PM
PA
P
，
,
PM PA 面PAM ，
∴BC 面PAM ，而AM 面PAM ，∴BC
AM
．
4.如图，四棱锥S
ABCD
中，
,
,
AB
DC CD
SD SM
CM
∥
，平面SCD 平面SBC ．
(1)求证：DM
BC
；
(2)设
,
9,
6,
12
BC
AB AB
BC
CD
SB
，点N 在棱AB 上，
2 13
DN
，求多面体DSAN 的体积．
【答案】(1)见详解
(2) 21 3
【分析】（1）利用线线垂直的判定定理证明即可（2）过S作SM
CD
的延长线交于点F ，连接AF ，在
过D 作DE
AB
交AB 于点E ，结合（1）的结论，找出四面体的高和相应底面图形的面积，代入公式计
算即可
【详解】（1）因为
,
CD
SD SM
CM
所以SCD
为等腰三角形，M 为SC 的中点
所以DM
SC
,
由平面SCD 平面SBC ，且平面SCD 平面SBC = SC
又DM 平面SCD
所以DM 平面SBC
所以DM
BC
.
（2）因为
,
AB
DC
∥
BC
AB
所以BC
CD
由DM
BC
，CD
DM
D
所以BC 平面SCD
所以BC
SC
,
因为
6,
12
BC
SB
所以
2
2
2
2
12
6
6 3
SC
SB
BC
过S作SM
CD
的延长线交于点F ，连接AF ，
在过D 作DE
AB
交AB 于点E ，如图所示，
则由BC 平面SCD ，SF 平面SCD
所以BC
SF
且BC
CD
C
所以SF 平面ABCF ，SF
AF
所以SF 为四面体DSAN 的高
又由
,
AB
DC
∥
BC
AB
，
6
BC
CD
所以四边形BCDE 为正方形，四边形ABCF 为矩形，
所以
9
CF
AB
,
3
AE
，
6
DE
所以在直角
ADE
V
中，
2
2
2
2
3
6
3 5
AD
AE
DE
所以
3
1
cos
cos
3 5
5
AE
DAB
DAE
AD
在
SDC
△
中，
6,
6 3
CD
SD
SC
，
所以
1
3 3
2
SM
CM
SC
在
ADN
△
中，由
2 13
DN
所以
2
2
2
1
cos
cos
2
5
AD
AN
DN
DAE
DAN
AD AN
将
2 13
DN
，
3 5
AD
代入计算得：
7
AN
所以
1
1
7 6
21
2
2
ADN
S
AN
DE
在直角SFD
中，
9
6
3
DF
CF
CD
AB
CD
2
2
2
2
6
3
3 3
SF
SD
DF
所以
1
1
21 3 3
21 3
3
3
DSAN
S DAN
ADN
V
V
S
SF
即多面体DSAN 的体积为21 3 .
5.在三棱锥
P
ABC 中，ABC
为等边三角形，PA 平面ABC，将三角形PAC 绕PA 逆时针旋转至PAD 位
置（如图），且二面角D
PA
B
的大小为90°．
(1)证明：A，B，C，D 四点共面，且AD
PB
；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）利用反证法，假设ABCD四点不共面，进而证明假设不成立；再通过证明AD 平面PAB ，
可通过线面垂直证明得到线线垂直.
【详解】（1）证明：
PA
平面ABC ，且AD 平面ABC ，AC 平面ABC ，
PA
AC
，PA
AD
，AC
AD
ACD
，
平面
，
又AC
AD
A
，
PA
平面ACD ，假设ABCD四点不共面，
PA
平面ABC ，PA 平面ACD ，平面ABC∥平面ACD ，
与平面ABC 平面ACD
AC
矛盾，故ABCD四点共面；
又因为
,
AB
PA AD
PA
，所以
BAD
为二面角D
PA
B
的平面角，
90
BAD
，即AD
AB
，又
PA
AD
，且PA
AB
A
PA
AB
PAB
，
，
平面
，
AD
平面PAB ，
又PB 平面PAB ，
AD
PB
6.如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为菱形，
60
ABC
，又PA 底面
,
ABCD E 为BC 的中点．
(1)求证：AD
PE
；
(2)设F 是PD 的中点，求证：CF 平面PAE ．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得AE⊥BC，根据BC∥AD，推断出AE⊥AD，又PA⊥AD，进而根据线面垂直的
判定定理证出AD⊥平面PAE，最后利用线面垂直的性质可得AD⊥PE；
（2）取AD 的中点G，易得FG∥PA，CG∥AE，即可证明平面CFG∥平面PAE，进而可得CF∥平面PAE．
【详解】（1）因为底面ABCD为菱形，
60
ABC
，且E 为BC 的中点，所以AE
BC
．
又BC
AD
∥
，所以AE
AD
．
又PA 底面
,
ABCD AD 底面ABCD，所以PA
AD
．
因为AE 平面
,
PAE PA 平面
,
PAE PA
AE
A
，所以AD 平面PAE ，
PE
Q
平面PAE ，所以AD
PE
．
（2）取AD 的中点G ，连接
,
FG CG ，
,
G F
是中点，
FG
PA
∥
，CG
AE
∥
，
FG
PA
∥
，FG 平面PAE ，PA 平面PAE ，FG 平面PAE ，
CG
AE
∥
，CG 平面PAE ，AE 平面PAE ，CG 平面PAE ，
又FG 平面
,
CFG CG 平面
,
CFG FG
CG
G
，
平面CFG 平面PAE ，
CF
Q
平面CFG ，
CF
平面PAE ．
7.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
90
CAB
，
1
1
2 2
AB
AC
A B
AC
，
1
2
AA
，点M，F 分别为
BC，
1
1
A B 的中点，点E 为AM 的中点．
(1)证明：
1
AA
BC
；
(2)证明：
/ /
EF
平面
1
1
BCC B ；
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质定理即可求解；
（2）利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理即可求解；
【详解】（1）
AB
AC
，点M 为BC 的中点
AM
BC
同理
1A M
BC
，
1
AM
A M
M
,
1
,
AM A M 平面
1A AM ,
BC
平面
1A AM ,
1
AA
平面
1A AM
1
AA
BC
（2）取BM 中点为G，连接EG、
1
B G ,
则
1
1
,
EG
AB AB
A B
∥
∥
，所以
1
1
EG
A B
∥
又
1
1
1
1
1
2
2
EG
AB
A B
FB
，
所以四边形
1
EGB F 为平行四边形，所以
1
EF
B G
∥
而
1
B G 在平面
1
1
BCC B 内，EF 在平面
1
1
BCC B 外，
故
/ /
EF
平面
1
1
BCC B ，
8.如图，四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为矩形，
8
4 3
AB
AD
，
，侧面PAD 为等边三角形，并且与
底面所成二面角为60．
(1)求四棱锥P
ABCD
的体积；
(2)证明：PA
BD
．
【答案】(1)96；(2)证明见解析.
【分析】（1）过点P 作底面的垂线，根据二面角求得PO，再结合棱锥的体积公式即可求得结果；
（2）利用三角形相似证明BD 垂直于AP 在底面的投影，再利用线面垂直，即可证明线线垂直.
【详解】（1）取AD 的中点为E ，连接PE ，过P 点作底面的垂直，垂足为O，连接OE ，如下所示：
因为三角形PAD 为边长4 3 的等边三角形，故可得AD
PE
，且
6
PE
；
又PO 面
,
ABCD AD 面ABCD，故AD
PO
，又
,
PE PO 面POE ，PE
PO
P
，
故AD 面POE ，又EO 面POE ，故AD
EO
；
又面
,
PAD
ABCD
AD PE
面
,
PAD EO 面ABCD，
则
PEO
即为PEO 与底面所成二面角的平面角，即
60
PEO
，
故
sin 60
3 3
PO
PE
，
则四棱锥
1
8 4 3
3 3
96
3
P ABCD
V
.
（2）连接AO ，延长AO 交BD 于点F ，如下所示：
因为
2 3
AE
，
8
AB
，
2
2
48
27
21
AO
PA
PO
，
2
2
64
48
112
BD
AB
AD
，
则
3
4
AE
AO
AB
BD
，故△
~
AEO
BAD，
EAO
ABD
，故
90
OAB
FBA
，
90
AFB
，
即AO
BD
，又PO 面
,
ABCD BD 面ABCD，故BD
PO
；
,
,
AO
PO
O AO PO
面PAO ，故BD 面PAO ，又PA 面PAO ，故BD
PA
.
题型九：平面内的射影问题
1．在各棱长都为2 的正四棱锥V
ABCD
中，侧棱VA在平面VBC上的射影长度为（
）
A．2 6
3
B．2 3
3
C．
3
D．2
【答案】B
【分析】
先作出侧棱VA在平面VBC上的射影，再利用线面垂直性质定理和勾股定理即可求得该射影长度.
【详解】
把正四棱锥V
ABCD
放入正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
则V 是上底面的中心，取
1
1
A B 的中点E，
1
1
C D 的中点F，
连接EF，BE，CF，过A 作AG
BE
，垂足为G，
在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
BC 平面
1
1
ABB A ，AG 平面
1
1
ABB A ，
所以BC
AG
，又BC
BE
B
，
,
BC BE 平面EFCB，
所以AG 平面EFCB，所以侧棱VA在平面VBC上的射影为VG ，
由已知得，
1
2
AA
，
2
2
1
3
2
AB
EB
AA
，
所以
1
1
2
2
3
2
2
ABE
S
AG
△
，所以
2 2
3
AG
，
所以
2
2
2
2
2 2
2 3
2
3
3
VG
VA
AG
．
故选：B．
2．在三棱锥PABC 中，若PA＝PB＝PC，则顶点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的（
）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【解析】略
3．2022 年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国
家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某
“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥A
BCD
如图所示，顶点A 在底面的射影落
在△BCD 内，它的体积为
3
729 3 cm
2
，其中△BCD 和△ABC 都是边长为18cm 的正三角形，则该“鞠”的表
面积为（
）
A．
2
234πcm
B．
2
468πcm
C．
2
189πcm
D．
2
756πcm
【答案】B
【分析】取BC 的中点E ，连接
,
AE DE ，作AF
DE
于点F ，设
BCD
△
外接圆的圆心为
1
O ，三棱锥外接
球的球心为点O，则
1
OO 平面BCD，易得BC 平面ADE ，则BC
AF
，从而可得AF 平面BCD，
再根据棱锥的体积求出AF ，利用勾股定理求出外接球的半径，即可得解.
【详解】如图，取BC 的中点E ，连接
,
AE DE ，作AF
DE
于点F ，
因为△BCD 和△ABC 都是正三角形，
所以
,
AE
BC DE
BC
，
又
,
,
AE
DE
E AE DE
平面ADE ，
所以BC 平面ADE ，
又AF 平面ADE ，所以BC
AF
，
因为
,
,
,
AF
DE DE
BC
E DE BC
平面BCD，
所以AF 平面BCD，
则
729 3
2
1
3
A BCD
BCD
V
S
AF
，
即1
1
3
729 3
18 18
3
2
2
2
AF
，解得
27
2
AF
，
3
18
9 3
2
AE
DE
，
则
2
2
27
9 3
9 3
2
2
EF
，
设
BCD
△
外接圆的圆心为
1
O ，三棱锥外接球的球心为点O，则
1
OO 平面BCD，
BCD
△
外接圆的半径
2
6 3
3
r
DE
，
1
3 3
2
O F
，
设外接球的半径为R ，
1
OO
x
，
则R
OA
OD
，
2
2
2
2
2
2
3 3
27
,
6 3
2
2
OA
x
OD
x
，
故
2
2
2
2
3 3
27
6 3
2
2
x
x
，解得
3
x
，
所以
2
23
6 3
117
R
OD
，
所以该“鞠”的表面积为
2
2
4π
468πcm
R
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问
题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离
相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这
些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
4．l 是平面内的一条直线，m 是平面的一条斜线，且m 在平面内的射影为m.若l 与m 的夹角为60，
l 与m的夹角为45，则m 与平面所成角的大小为（
）
A．135
B．30
C．45
D．150
【答案】C
【分析】不妨设直线,
,
l m m相交于A 点，在直线m 上取异于A 的点C ，过C 作CD ⊥m于D 点，过D 做
DB ⊥l 于B 点，连接CB ，明确已知角与所求角余弦值的关系，即可得到结果.
【详解】不妨设直线,
,
l m m相交于A 点，
在直线m 上取异于A 的点C ，过C 作CD ⊥m于D 点，
过D 做DB ⊥l 于B 点，连接CB ，
由题意知：CD
，
60
CAB
，
45
DAB
，
且
DAC
是直线m 与平面所成角，
∵CD
，AB
，
∴CD
AB
，又DB
AB
，CD
DB
D
，
∴AB 平面CDB ，BC 平面CDB ，∴AB
CB
，
∴在Rt
CAB
△
中，cos
cos60
AB
CAB
AC
，
在Rt ADB
中，cos
cos 45
AB
DAB
AD
，
∴cos60
cos 45
AD
AC
，
由题意可知CD
AD
，
∴在Rt CAD
中，cos
CAD
AD
AC
，即
cos60
2
cos
cos 45
2
CAD
，
又0
90
CAD
，∴
45
CAD
.
∴m 与平面所成角的大小为45.
故选：C.
5．如图，在三棱锥M
ABC
中，MA 平面ABC ，ABC
是边长为2 的正三角形，直线MC 与平面ABC 所
成夹角为60，F 是侧棱MC 的中点，则异面直线MB 与AF 所成角的余弦值是（
）
A．
3
3
B．
3
4
C．13
3
D．5
8
【答案】D
【分析】取BC 的中点E ，连接EF 、AE ，由线面角的定义可得直线MC 与平面ABC 所成夹角为
60
ACM
，求出AM 的长，由异面直线所成角的定义可知异面直线MB 与AF 所成角
AFE
或其补角，
计算出
AEF
△
三边边长，利用余弦定理求出
AFE
的余弦值，即可得解.
【详解】取BC 的中点E ，连接EF 、AE ，如下图所示：
因为MA 平面ABC ，则直线MC 与平面ABC 所成夹角为
60
ACM
，
因为AB 、AC 平面ABC ，则AM
AB
，AM
AC
，
又因为
2
AC
，且tan
3
AM
ACM
AC
，所以，
2 3
AM
，
故
2
2
12
4
4
MB
AM
AB
，同理可得
2
2
12
4
4
MC
AM
AC
，
因为E 、F 分别为BC 、MC 的中点，故
//
EF BM 且
1
2
2
EF
BM
，且
1
2
2
AF
MC
，
所以，异面直线MB 与AF 所成角
AFE
或其补角，
因为ABC
是边长为2 的等边三角形，E 为BC 的中点，则AE
BC
，
所以，
2
2
2
2
2
1
3
AE
AB
BE
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
3
5
cos
2
2 2 2
8
AF
EF
AE
AFE
AF EF
.
故选：D.
6．如图，在三棱锥B
ACD
中，AB
BC
，DA
AC
，G 为点B 在平面ACD上的射影，M 为BC 的中点．证
明：
/ /
MG
平面ABD .
【答案】证明见解析
【分析】根据垂线的性质，结合全等三角形的判定定理、线面平行的判定定理、线面平行的性质、面面平
行的判定定理和性质进行证明即可.
【详解】在平面ACD 内，过点G 作GN
AC
于点N ，连接MN ，GA，
∵DA AC ，则GN / / DA ，
又∵GN 平面ABD ，DA 平面ABD ，∴GN / / 平面ABD．
又∵BG 平面ACD ，GA 平面ACD ，GC 平面ACD ，
∴BG GA，BG GC ，
又∵BA
BC
，BG 为公共边，∴Rt
Rt
BGA
BGC
≌
，
∴GA
GC
，又∵GN 为公共边，∴Rt
Rt
GNA
GNC
≌
，
∴AN
CN
，N 为AC 的中点，
又∵M 为BC 的中点，∴MN 为
CBA
△
的中位线，
/ /
MN
AB ，
又∵MN 平面ABD，AB 平面ABD ，∴MN / / 平面ABD ．
又∵MN
GN
N
，MN 平面MNG ，GN 平面MNG ，
∴平面MNG / / 平面ABD ，
又∵MG 平面MNG ，∴MG / / 平面ABD
题型十：空间中三种距离问题
1.在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点M 为棱
1
CC 的中点，则点B 到平面
1
1
A B M 的距离为（
）
A．5
B．2 5
5
C．3 5
5
D．4 5
5
【答案】D
【解析】在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
A B 平面
1
1
BCC B ，
而
1
1
A B 平面
1
1
A B M ，则平面
1
1
A B M 平面
1
1
BCC B ，
在平面
1
1
BCC B 内过点B 作
1
BE
B M
于E，连接BM，如图，
因平面
1
1
A B M 平面
1
1
1
BCC B
B M
，
于是得BE 平面
1
1
A B M ，
则BE 长即为点B 到平面
1
1
A B M 的距离，
点M 为棱
1
CC 的中点，在
1
BMB
中，
2
2
1
5
B M
BM
BC
CM
，
1
1
1
1
1
2
2
BMB
S
B M BE
BB BC
，即
5
4
BE
，解得
4 5
5
BE
，
所以点B 到平面
1
1
A B M 的距离为4 5
5
.故选：D
2.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，O 是
1
1
AC 的中点，则点O 到平面
1
1
ABC D 的距离为______．
【答案】
2
4
【解析】如图示，连接
1A D 交
1
AD 于E ，连接
1
C E ，取
1
C E 的中点F ，连接OF .
在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
ADD A 为正方形，
所以
1
1
AD
A D
，且
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
A E
D
A
.
因为
1
1
C D 面
1
1
ADD A ，
1
C E 面
1
1
ADD A ,所以
1
1
1
C D
A E
.
因为
1
1
C D 面
1
1
ABC D ，
1
AD 面
1
1
ABC D ，
1
1
1
1
C D
AD
D
，
所以
1A E 面
1
1
ABC D .
因为F 为
1
C E 的中点，O 为
1
1
AC 的中点，
所以
1A E
OF
//
，且
1
2
4
1
2
OF
E
A
.
所以OF 面
1
1
ABC D .
所以OF 即为点O 到平面
1
1
ABC D 的距离，
即点O 到平面
1
1
ABC D 的距离为
2
4
.
3.如图，正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面边长为2，
1
60
B AB
，E 为
1
DD 的中点，则
1
1
AC 到平面EAC
的距离为________．
【答案】2 30
5
【解析】连接
1
1
,
C E C A，
因为
1
1
AC ∥AC ，AC 平面EAC ，
1
1
AC 平面EAC ，
所以
1
1
AC ∥平面EAC，
所以
1
1
AC 到平面EAC 的距离等于
1
C 到平面EAC 的距离，
设
1
C 到平面EAC 的距离为d ，
因为正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面边长为2，
1
60
B AB
，
所以
1
tan 60
2 3
BB
AB
，
2 2
AC
因为E 为
1
DD 的中点，所以
3
DE
，
所以
2
2
2
( 3)
7
AE
CE
，
所以
2
2
1
1
2 2
7
2
10
2
2
2
ACE
AC
S
AC
AE
，
1
1
1
1
2
2 3
2 3
2
2
CC E
S
CD CC
,
因为
1
1
C
ACE
A CC E
V
V
，所以
1
1
1
3
3
ACE
CC E
S
d
S
AD
,
所以1
1
10
2 3
2
3
3
d
，解得
2 30
5
d
.
4.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：
（1）平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.
（2）点D1到直线AC 的距离.
（3）直线AB 与面A1DCB1的距离.
【答案】（1）2；（2）3 5
5
；（3）
2
2
【解析】（1）因为平面ADD1A1与平面BCC1B1平行，
故平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离即
2
AB
（2）连接
1
1
,
AD CD ，
由题意，
2
2
1
1
2
AD
AD
DD
，
2
2
1
1
5
CD
CD
DD
，
2
2
5
AC
CD
AD
.
因为
1
CAD
为等腰三角形，故
1
2
2
1
1
1
1
3
2
2
2
ACD
AD
S
AD
CD
V
，
设点D1到直线AC 的距离为d
，则3
1
2
2 AC d
，解得
3 5
5
d
，
即点D1到直线AC 的距离为3 5
5
（3）连接
1
BC ，交
1
B C 于P ，
因为长方体中
1
BC
BB
，
故正方形
1
1
BCC B ，故
1
1
BC
B C
，且
1
1
A B 平面
1
1
BCC B ，
又
1
B C 平面
1
1
BCC B ，故
1
1
1
BC
A B
，
又
1
1
1
1
B C
A B
B
，故
1
BC 平面
1
1
BCC B ，
故直线AB 与面A1DCB1的距离为
1
1
2
2
2
BP
BC
.
5.如图，棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点E 是
1
1
DC 的中点，F 是侧面
1
1
ADD A 的中心，则F 到平
面
1
EB C 的距离为（
）
A．2 6
3
B．10
2
C．3
2
D．
3
【答案】A
【解析】连接
1A D ，因为F 是侧面
1
1
ADD A 的中心，所以
1
F
A D
，
因为，由正方体的性质知
1
1
1
1
/ /
,
A B
CD A B
CD
，
所以，
1
1
A B CD 是平行四边形，所以
1
1
/ /
A D
CB ，
因为
1A D 平面
1
CEB ，
1
CB 平面
1
CEB 所以
1
/ /
A D
平面
1
CEB ，
所以，F 到平面
1
EB C 的距离与D 到平面
1
EB C 的距离相等，
设D 到平面
1
EB C 的距离为h
1
CEB
中，
1
1
5,
2 2
EB
CE
B C
，
1
1
2 2
5
2
6
2
CEB
S
△
，
因为
1
1
1
1
1
1
1
3
3
D EB C
B
E
CEB
C
CED
D
V
V
S
h
S
B C
△
△
，
所以，
1
1
3
6
1
1
1
4
2
3
3
3
2
3
CED
h
S
B C
△
，解得
4
2 6
3
6
h
所以，F 到平面
1
EB C 的距离为2 6
3
故选：A
6.若四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的所有棱长均为2，且
1
1
60
A AB
A AD
BAD
，则
1A 到平面ABCD 的
距离为（
）
A．
6
3
B．
6
2
C．2 6
3
D．
3
【答案】C
【解析】如图，设AC 与BD 交于O 点，连接
1AO，
AB
AD
，
1
1
60
A AB
A AD
，
1
1
A AB
A AD
，
1
1
A B
A D
，
又
O
为BD 的中点，
1AO
BD
，
四边形ABCD 为菱形，
AO
BD
，
又
1AO
AO
O
，
BD
平面
1A AO ，
在平面
1A AO 中，过
1A 作
1A H
AO
，垂足为H ，则
1
BD
A H
，
又BD
AO
O
，
1A H
平面ABCD，即
1A 到平面ABCD的距离为
1A H ，
由已知：
1
2
A A
，
ABD
△
为等边三角形，
3
sin 60
2
3
2
AO
AB
，
2
BD
AB
.
1
AA B
和
1
AA D
△
均为等边三角形，
1
1
2
A B
A D
，
1
1
sin60
3
AO
A B
，
在
1
AAO
中，由余弦定理，
2
2
2
1
1
1
1
3
3
4
1
cos
2
2 3
3
AO
AO
AA
AOA
AO AO
，
1
0, 2
AOA
，
1
2 2
sin
3
AOA
，
在
1
Rt AOH
中，
1
1
1
2 2
2 6
sin
3
3
3
A H
AO
AOA
.故选：C.
7.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，则直线AA1到平面BB1D1D 的距离为______.
【答案】
2
【解析】如图，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴BD⊥AC，
又∵B1B⊥面ABCD，∴B1B⊥AO，
又
1
BD
BB
B
，BD 面BB1D1D，
1
BB 面BB1D1D，
∴AO⊥面BB1D1D，
∵AA1∥平面BB1
1
DD
∴点A 到面BB1D1D 距离＝AA1和面BB1D1D 的距离即为AO，
则AO＝BA×cos45°＝
2 .
题型十一：线面垂直的动点问题
1.如图，三棱锥P-ABC 中，PA 平面ABC，
1
PA ，
1
AB ，
2
AC
，
60
BAC
．
（1）求三棱锥A-PBC 的体积；
（2）在线段PC 上是否存在一点M，使得BM
AC
?若存在，求MC
PM 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
3
6
；（2）存在，
3
MC
PM
.
【解析】（1）因为AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
所以
1
3
sin 60
2
2
ABC
S
AB AC
△
．
由PA 平面ABC 知：PA 是三棱锥P-ABC 的高，又PA＝1，
所以三棱锥A-PBC 的体积
1
3
3
6
A PBC
P ABC
ABC
V
V
S
PA
．
（2）在线段PC 上存在一点M，使得BM
AC
，此时
3
MC
PM
．
如图，在平面PAC 内，过M 作
/ /
MN
PA交AC 于N，连接BN，BM．
由PA 平面ABC，AC 平面ABC，故PA
AC
，所以MN
AC
．
由
/ /
MN
PA 知：
1
3
AN
PM
NC
MC
，则
1
2
AN
，
在ABN
中，
2
2
2
2
2
1
1
1
3
2
cos
1
2 1
2
2
2
4
BN
AB
AN
AB AN
BAC
，
所以
2
2
2
AN
BN
AB ，即AC
BN
．
由于BN
MN
N
且
,
BN MN 面MBN，故AC 平面MBN．
又BM 平面MBN，所以AC
BM
．
2.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，A1C＝2
5 ，AB＝2，∠BAC＝60°.
（1）求三棱锥A1－ABC 的表面积；
（2）证明：在线段A1C 上存在点M，使得AC⊥BM，并求
1A M
MC 的值.
【答案】（1）6+2 3+2 6 ；（2）证明见解析；1
3 .
【解析】（1）
2,
4,
=60
=2 3
AB
AC
BAC
BC
BC
AB
，
，
，
1A A
平面ABC ，BC 平面ABC ，
1
BC
AA
，
1A A
AB
A
，
BC
平面
1A AB ，
1A B 平面
1A AB ，
1
BC
A B
，
1
1
2 2
2 3
2 6
2
A BC
S
，
1
=
2 3
2
ABC
S
AB BC
，
1
1
1
=
=2
2
A AB
S
A A AB
，
1
1
1
=4
2
A AC
S
A A AC
，
则表面积
=6+2 3+2 6
S
；
（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN
AC
，垂足为N ，
过N 作
1
//
MN A A 交
1A A于M，连接BM ，
1A A
AC ，
1
/ /
MN
A A ，
AC
MN
，
MN
BN
N
，∴AC 平面MBN .
又BM 平面MBN ，∴AC
BM
.
在直角BAN
中，
cos
1,
3.
AN
AB
BAC
NC
AC
AN
1
1
1
/ /
.
3
，
A M
AN
MN
A A
MC
NC
3.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 为棱C1D1的中点，F 为棱BC 的中点．
（1）求证：直线AE⊥直线A1D;
（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．
【答案】（1）证明见解析；（2）G 点即为A1点.
【解析】（1）连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，
又AB∩AD1=A，所以DA1⊥平面ABC1D1，
又AE⊂平面ABC1D1，所以DA1⊥AE．
（2）如图所示，G 点即为A1点，
证明如下：由（1）可知AE⊥DA1，取CD 的中点H，连接AH，EH，
由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，
可证DF⊥平面AHE，
所以DF⊥AE，又DF∩A1D=D，
所以AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG．
4.如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M 为PC 的中点．
（1）求证：BM//平面PAD．
（2）平面PAD 内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N 为AE 的中点．
【解析】（1）证明：取PD 的中点E，连接EM，AE，则有
/ /
EM
CD 且
1
2
EM
CD
，
而
/ /
AB
CD 且
1
2
AB
CD
，∴
/ /
AB
EM ，AB
EM
.
∴四边形ABME 是平行四边形，即BM∥AE．
∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（2）当N 为AE 的中点时，MN⊥平面PBD．
理由如下：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，
又PA＝AD，E 是PD 的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABME．
作MN⊥BE，交AE 于点N，
∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E，
∴MN⊥平面PBD．
易知△BME∽△MEN，而
2,
1
BM
EM
AB
，
∴BM
EM
EM
EN
，即
2
2
2
EM
EN
BM
，而
2
AE
，
∴N 为AE 的中点．
5.如图，平面PAC 平面ABC ，ABC
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，PB ，
AC 的中点，
16
AC
，
10
PA
PC
.
（1）设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE ；
（2）证明：在ABO
内存在一点M ，使FM 平面BOE ，并求点M 到OA，OB 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）4，9
4
【解析】（1）取EP 中点H ，连接
,
HF HG ，
由题意可得
2
3
AE
AO
AH
AG
，故EO
HG
∥
，
又HG 平面HFG ，故EO∥平面HFG .
又
1
2
PH
PF
PE
PB
，故EB
HF
∥
，
又HF 平面HFG ，故EB∥平面HFG .
又EO
EB
E
I
，
,
EO EB 平面EBO ，故平面EBO ∥平
面HFG .
又FG 平面HFG ，故FG ∥平面BOE
（2）由（1）平面FGH ∥平面BOE ，且FM 平面BOE ，则FM 平面FGH .
设PO
HG
I
I
，在AO 上取一点N 使得NI
HG
于I ，如图所示.
由（1）HG
EO
∥
，故HI
EO
∥
，
又H 为EP 中点，故I 为PO中点，故FI
BO
∥
.
因为平面PAC 平面ABC ，
且ABC
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，故BO AC ，
又平面PAC 平面ABC
AC
，故BO 面PAC ，
故FI 面PAC ，所以FI
NI
.
又FI
HG
I
I
，故NI 平面FGH .
又FM 平面FGH ，故NI
FM
∥
且
, ,
,
N I F M 共面.
又FI ∥平面ABC ，平面NIFM
ABC
MN
I
，故FI
MN
∥
，
故四边形FINM 为平行四边形，
故M 到OA，OB 的距离分别为
,
MN NO .
又
1
4
2
MN
FI
BO
，在Rt
NIG
V
中有
2
IO
NO OG
，
故
2
2
2
1
4
2
PA
AO
NO
，解得
9
4
NO
，
故点M 到OA，OB 的距离分别为4，
9
4
6.如图，在四棱锥V
ABCD
中，VA
VD
，BA
BD
．
（1）证明：AD
VB
；
（2）在棱VC 上是否存在一点P，使得VC 平面PAD？若存在，指出点P 的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）证明：取AD 中点E，连接EV，EB．因为VA
VD
，所以AD
VE
．
因为BA
BD
，所以AD
EB
．又VE
EB
E
，所以AD 平面VEB．
因为VB 平面VEB，所以AD
VB
．
（2）假设在棱
1
B C 上存在一点P，使得VC 平面PAD．
因为AD 平面PAD，所以AD
VC
．
又AD
VB
，VB
VC
V
，所以AD 平面VBC．
因为BC 平面VBC，所以AD
BC
．
在平面ABCD 中，因为AD
EB
，AD
BC
，
所以EB
BC
∥
，与EB
BC
B
矛盾．
所以在棱VC 上不存在点P，使得VC 平面PAD．
7.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的侧面
1
1
BCC B 是平行四边形，
1
1
BC
CC
，
1
1
BC
A C
^
，且E 、F 分别是BC 、
1
1
A B 的中点.
（1）求证：
//
EF
平面
1
1
AC CA；
（2）在线段AB 上是否存在点P ，使得
1
BC 平面EFP ？若存在，求出AP
AB 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
1
2
AP
AB
【解析】（1）证明：取
1
1
AC 中点G ，连接FG 、CG .
因为F 、G 分别是
1
1
A B 、
1
1
AC 的中点，
所以
1
1
//
FG B C 且
1
1
1
2
FG
BC
.
在平行四边形
1
1
BCC B 中，
1
1//
B C
BC 且
1
1
B C
BC
，
因为E 是BC 的中点，所以
1
1
//
EC B C 且
1
1
1
2
EC
B C
.
所以
//
EC FG 且EC
FG
，所以四边形FECG 是平行四边形，所以
//
FE GC ，
又因为FE 平面
1
1
AC CA ，GC 平面
1
1
AC CA ，所以
//
EF
平面
1
1
AC CA .
（2）当点P 为线段AB 的中点时，
1
BC 平面EFP ，理由如下：
取AB 的中点P ，连接PE 、PF .
因为
1
1
BC
CC
，
1
1
BC
A C
^
，
1
1
AC
CC
C
，
所以，
1
BC 平面
1
1
ACC A ，
因为P 、E 分别为AB 、BC 的中点，则
//
PE AC ，
PE
平面
1
1
ACC A ，AC 平面
1
1
ACC A ，
则
//
PE
平面
1
1
ACC A ，
又因为
//
EF
平面
1
1
ACC A ，EF
PE
E
，
所以，平面EFP// 平面
1
1
ACC A ，所以，
1
BC 平面EFP .
故当点P 是线段AB 的中点时，
1
BC 平面EFP ，此时，
1
2
AP
AB
.
模块三：综合巩固
1.已知三条直线1l ，2l ，3l 满足1
2
l
l
∥
且2
3
l
l
，则1l 与3l （
）
A．平行
B．垂直
C．共面
D．异面
【答案】B
【解析】若1
2
l
l
∥且2
3
l
l
，根据空间直线垂直的定义，
可得1
3
l
l
，不平行，有可能共面，也有可能异面.故选：B.
2.正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，与对角线AC 成异面直线的棱有（
）
A．3 条
B．4 条
C．6 条
D．8 条
【答案】C
【解析】由图可知与直线AC 为异面直线的棱分别是
1
BB 、
1
DD 、
1
1
A D 、
1
1
B A 、
1
1
B C 、
1
1
C D 共6条.
故选：C
3.如图所示，长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1,
2,
3
AB
AD
AA
，P 是线段
1
1
AC 上的动点，则下列直线中，
始终与直线BP 异面的是（
）
A．
1
DD
B．
1B C
C．
1
D C
D．AC
【答案】D
【解析】在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
/ /
BB
DD ，
当P 是
1
1
AC 与
1
1
B D 的交点时，BP 平面
1
1
BDD B ，BP 与
1
DD 相交，A 不是；
当点P 与
1
C 重合时，BP 平面
1
1
BCC B ，BP 与
1
B C 相交，B 不是；
当点P 与
1A 重合时，因为长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的对角面
1
1
A BCD 是矩形，
此时
1
/ /
BP
D C ，C 不是；
因为AC 平面ABCD ，
,
B
AC B
平面ABCD ，而P平面ABCD ，
因此BP 与AC 是异面直线，D 是.故选：D
4.（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（
）
A．直线CD 与直线GH 共面
B．直线CD 与直线EF 异面
C．直线AB 与直线EF 共面
D．直线GH 与直线EF 异面
【答案】ACD
【解析】如图，点C 与点G 重合，则CD 与GH 相交，故A 正确；
在正方体中，
//
CE DF 且CE
DF
，故四边形CDFE 为平行四边形，
//
CD EF
，
则CD 、EF 共面，故B 错误；
因为AB
EF
B
，故AB 、EF 共面，故C 正确；
由图可知，EF 、GH 不在同一个平面，且EF 、GH 既不平行也不相交，
EF
、GH 为异面直线，故D 正确.故选：ACD.
5.在正方体
1
AC 中，E 、F 分别是面
1
1
1
1
D
C
B
A
和
1
1
AA D D的中心，则EF 和CD 所成的角是______________．
【答案】45
【解析】连接
1A D 、
1
C D ，则点F 为
1A D 的中点，如图所示：
易知点E 为
1
1
AC 的中点，
又因为F 为
1A D 的中点，所以，
1
//
EF C D ，
所以，EF 和CD 所成的角为
1
45
CDC
o .
6.空间四边形ABCD 的两对边
3
AB
CD
，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且
7
EF
，
:
:
1: 2
AE ED
BF FC
，则AB 与CD 所成角大小为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【解析】作
/ /
EG
AB 交BD 于G ，如图，连接FG ，
则AE
BG
ED
GD
，又AE
BF
ED
FC
，所以BG
BF
GD
FC
，所以
/ /
FG
CD，
所以
FGE
是AB 与CD 所成的角或其补角，
3
AB
CD
，
1
2
AE
AF
ED
FC
，所以
2
3
EG
ED
AB
AD
，
2
EG
，
1
3
FG
BF
CD
BC
，所以
1
FG ，
EFG
中，
2
2
2
2
2
2
2
1
( 7)
1
cos
2
2
2 1
2
FG
EG
EF
EFD
FG EG
，
EGF
是三角形内角，所以
120
EGF
，
所以AB 与CD 所成的角是60，故选：C．
7.如图，已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的棱长都相等，D 为棱AB 的中点，则CD 与
1
AC 所成角的正弦值为
（
）
A．
6
4
B．
10
4
C．
2
4
D．
3
4
【答案】B
【解析】取
1
1
A B 的中点E ，连接AE 、
1
C E 、DE ，
设正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的棱长为2 ，如下图所示：
因为
1
1
//
AA
BB 且
1
1
AA
BB
，所以，四边形
1
1
AA B B 为平行四边形，
所以，
1
1
//
AB A B 且
1
1
AB
A B
，
又因为D 、E 分别为AB 、
1
1
A B 的中点，则
1
AD//A E 且
1
AD
A E
，
所以，四边形
1
AA ED 为平行四边形，则
1//
AA
DE 且
1
AA
DE
，
又因为
1
1
//
AA CC 且
1
1
AA
CC
，所以，
1
//
DE CC 且
1
DE
CC
，
所以，四边形
1
CC ED 为平行四边形，所以，
1
//
CD C E ，
所以CD 与
1
AC 所成的角即为
1
C E 与
1
AC 所成的角，
1E
AC
或其补角即为所求．
在
1
AC E
△
中，
2
2
1
1
2 2
AC
AC
CC
，
2
2
1
1
5
AE
AA
A E
，
1
3
C E
．
因为
2
2
2
1
1
AC
AE
C E
，所以
1
AC E
△
为直角三角形，且
1
90
AEC
，
所以
1
1
5
10
sin
4
2 2
AE
AC E
AC
．故选：B．
8．如图，在正方体ABCD
EFGH
中，若
,
M N 分别是
,
BF CG 的中点，且AG 和BN 所成的角为39.2，求AM
和BN 所成的角．
【答案】78.4
【分析】
连接MG ，可证四边形BNGM 是平行四边形，进而确定AG 和BN 、AM 和BN 所成的角，结合AM
GM
即可求解.
【详解】
连接MG ，因为BCGF 是正方形，所以
/ /
BF
CG 且BF
CG
，
因为
,
M N 分别是
,
BF CG 的中点，所以
/ /
BM
NG 且BM
NG
，
所以四边形BNGM 是平行四边形，所以
/ /
BN
MG，
所以
AGM
(或其补角)是AG 和BN 所成的角，
AMG
(或其补角)是AM 和BN 所成的角，
因为AM
GM
，所以
39.2
AGM
MAG
，
则
101.6
AMG
，所以AM 和BN 所成的角为78.4.
9．如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，已知AB＝AA1＝2 cm，AD＝1 cm，求异面直线A1C1 与BD1 所成
角的余弦值．
【答案】
5
5
【详解】(解法1：特殊点平移)如图①，连接B1D1 与A1C1 交于O1，取B1B 的中点M，连接O1M，A1M，
易得O1M∥BD1，则∠A1O1M 为所求角(或其补角).在△A1O1M 中，易由余弦定理得cos ∠A1O1M＝
5
5
.
所以异面直线A1C1 与BD1 所成角的余弦值为
5
5 .
(解法2：补形平移)如图②，右边补一个长方体，易得EC1∥BD1，连接A1E，则∠A1C1E 为所求角(或其
补角)，解三角形即可．
【考查意图】平移法求异面直线所成角的多种构造方式．
10．如图，在正方体ABCD
EFGH
中，O为侧面ADHE 的中心，P 是平面EFGH 的中心，求OP 和CD 所
成的角．
【答案】45
【分析】
连接
,
EG HF ，
,
AF AH ，确定异面直线OP 与CD 所成的平面角，即可求解.
【详解】
连接
,
EG HF ，则
,
O P 分别为
,
AH HF 的中点，连接
,
AF AH ，
则
/ /
OP
AF ，又
/ /
CD
AB ，
所以
BAF
(或其补角)为异面直线OP 与CD 所成的角，
由于
ABF
△
是等腰直角三角形，故
45
BAF
，
即OP 与CD 所成的角为45.
11.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F 分别是BD1和AD 的中点，求证：CD1⊥EF.
【答案】证明见解析
【解析】如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E 是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝
1
2 BC.
∵F 是AD 的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝
1
2 BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG 是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF 所成的角.
又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，
又G 为CD1的中点，∴DG⊥CD1，
∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF 所成的角为90°.
所以CD1⊥EF.
11.已知直线l 和平面，则“l 垂直于内任意直线”是“l
”的（
）.
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【答案】C
【解析】若l 垂直于内任意直线，显然有l
，故充分性成立；
若l
，则l 垂直于平面内任意直线，故必要性成立，
故“l 垂直于内任意直线”是“l
”的充要条件.故选：C .
12.已知直线l ，m 与平面，其中m
，则“l
m
”是“l
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中.
1
1
B C
BC
，
1
BC 平面
1
1
A BC ，
显然
1B C 与平面
1
1
A BC 不垂直，故“l
m
”不是“l
”的充分条件；
若l
，根据线面垂直的性质定理，可知l
m
成立，
所以“l
m
”是“l
”的必要条件.
所以，“l
m
”是“l
”的必要不充分条件.故选：B.
13.如果直线l，m 与平面，，满足：l
=
Ç
，l
∥
，m
和m
，那么必有（
）
A．l
m
B．m
∥
C．m
D．l
m
∥
【答案】A
【解析】m
，且l
，
l
m
，A 正确，D 错误.
直线m 和平面没有确定关系. 故选：A．
14.如图，在多面体DABCE 中，ABC
是等边三角形，
2,
2
AB
AD
DB
DC
EB
EC
.
(1)求证：BC
AE
；
(2)求三棱锥B
ACD
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
3
【分析】（1）首先取BC 中点O，连接
,
AO EO，根据题意易证AO
BC
，EO
BC
，从而得到BC 平面
AEO，再根据线面垂直的性质即可得到BC
AE
.
（2）首先连接DO ，易证DO
BC
，DO
AO
，即可得到DO 平面ABC ，再根据
B ACD
D ABC
V
V
求解即
可.
【详解】（1）取BC 中点O，连接
,
AO EO.
ABC
是等边三角形，O为BC 中点，
AO
BC
，
又
,
EB
EC
EO
BC
，
AO
EO
O
，
,
AO EO 平面AEO ，
BC
平面AEO，
又AE 平面AEO ，
BC
AE
.
（2）连接DO ，如图所示：
因为DB
DC
，O为BC 中点，则DO
BC
，
由
2,
2
AB
AC
BC
DB
DC
EB
EC
得
3,
1
AO
DO
，
又
2
2
2
2,
AD
AO
DO
AD
，
DO
AO
，
又AO
BC
O
，
,
AO BC 平面ABC ，
DO
平面ABC ，
所以
2
1
1
3
3
2
1
3
3
4
3
B ACD
D ABC
ABC
V
V
S
DO
.
15.如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，EA / / FC，且EA=CF=AB=4，△EBD､△FBD 都是正三角形，
证明：CF 平面ABCD .
【答案】证明见解析
【解析】依题意，
,
EBD
FBD
都是等边三角形，
四边形ABCD 为正方形，
4
EA
CF
AB
BC
，
所以
2
2
4
4
4 2
BD
，所以
4 2
BF
DF
.
∴
2
2
2
2
2
2
,
BC
CF
BF
CF
CD
DF
，
∴
,
CF
BC CF
CD
，
∵BC∩CD=C，BC､CD⊂平面ABCD，
∴CF 平面ABCD.
16.如图，在长方形ABCD中，
2 2
AB
，
2
AD
，M 为DC 的中点.将
ADM
△
沿AM 折起得到四棱锥
D
ABCM
，且
6
BD
.
(1)证明：AD
BM
；
(2)若E 是线段DB 上的动点，三棱锥E
ADM
的体积与四棱锥D
ABCM
的体积之比为1：2，求DE
BD 的
值.
【答案】(1)证明见解析；(2)3：4
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明AD 平面BDM 后可得线线垂直；
（2）先证明BM 平面ADM ，得平面ADM 平面ABCM ，取AM中点N，连接DN，证明DN 平面ABCM ，
可计算出四棱锥D
ABCM
的体积，设DE
BD
，则E 到平面ADM 的距离为
2
BM
，计算出三棱锥
E
ADM
的体积，再由已知比值求得．
【详解】（1）∵
2 2
AB
，
2
AD
，
6
BD
，满足
2
2
2
AD
BD
AB
，∴AD
BD
，
∵AD
DM
，BD
DM
D
，BD,DM Ì 平面BDM，∴AD 平面BDM，
∵BM 平面BDM，∴AD
BM
.
（2）
2
2
( 2)
( 2)
2
BM
AM
，
2
2
2
BM
AM
AB
，BM
AM
，
由（1）得AD
BM
，
∵AM
AD
A
，
,
AM AD 平面ADM ，∴BM 平面ADM ，
∵BM 平面ABCM ，∴平面ADM 平面ABCM ，
取AM 中点N，连接DN，
∵AD
DM
，∴DN
AM
，平面ADM 平面ABCM
AM
，∴DN 平面ABCM ，
∴
1
1
1
2
2 2
2 1
1
3
3
2
D ABCM
ABCM
V
S
DN
，
设DE
BD
，则E 到平面ADM 的距离为
2
BM
，
∴
1
1
1
2
2
2 1 2
3
3
2
3
E
ADM
ADM
V
S
△
，
∵
:
1: 2
E ADM
D ABCM
V
V
，∴2
1
3
2
，解得
3
4
，
∴当
3
4
DE
BD
时，三棱锥E
ADM
的体积与四棱锥D
ABCM
的体积之比为1：2.
17．如图，AB 是圆O 的直径，点P 在圆O 所在平面上的射影恰是圆O 上的点C，且
2
AC
BC
，点D 是
PA 的中点，PO与BD 交于点E，点F 为PC 的中点，且
2
PC
AB
.
(1)求证：BC
PA
；
(2)求三棱锥P
BEF
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2) 4
45
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出BC 平面PAC ，即可得到BC
PA
；（2）利用几何关系判
断出
1
3
P BEF
P BOC
V
V
，再求出
P BOC
V
即可.
（1）
因为点P 在圆O 所在平面上的射影恰是圆O 上的点C，
所以PC 平面ABC .
又因为BC 平面ABC ，所以PC
BC
.
因为AB 是圆O 的直径，所以BC
AC
.
又
,
PC
AC
C PC
平面PAC ，AC 平面PAC ，
所以BC 平面PAC .
又PA 平面PAC ，所以BC
PA
.
（2）
在
PAB
△
中，点D 是PA 的中点，点O 是AB 的中点，PO与BD 交于点E，
所以E 为
PAB
△
的重心，则
2
3
PE
PO
.
因为点F 为PC 的中点，所以
1
2
PF
PC
，
所以
2
1
1
3
2
3
PEF
POC
S
S
△
△
，
所以
1
3
P BEF
B PEF
PEF
P BOC
B POC
POC
V
V
S
V
V
S
△
△
，即
1
3
P BEF
P BOC
V
V
.
在Rt
ABC
△
中，
90 ,
2,
2
ACB
AB
AC
BC
，
由勾股定理
2
2
2
AC
BC
AB
可得：
2
2
2
4
2
AC
AC
,解得：
2
5
AC
，
4
5
BC
所以
1
4
2
5
ABC
S
AC
BC
△
，则
1
2
2
5
BAC
ABC
S
S
△
△
，
所以
1
1
2
4
2
3
3
5
15
P BOC
BDC
V
S
PC
△
.
所以
1
4
3
45
P BEF
P BOC
V
V
.
18.在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，直线l 是底面ABCD所在平面内的一条动直线，记直线
1AC 与直线l 所成
的角为，则sin的最小值是（
）
A．
3
3
B．
1
2
C．
2
2
D．
6
3
【答案】A
【解析】如图：过C 作l 的平行线，过
1A 作该平行线的垂线，垂足为P ，
则
1ACP
，所以
1
1
|
|
sin
|
|
A P
AC
，
设正方体的棱长为1，则
1
|
|
3
AC
，
1
1
|
| |
| 1
A P
A A
，
所以
1
1
|
|
1
sin
|
|
3
A P
AC
3
3
,当且仅当P 与A 重合时，取得等号，
所以sin的最小值是
3
3
.故选：A .
19.如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，AB
a
=
，
1
BC
BB
b
，a
b
，P 是棱AB 上的一个动点，若点P 运动
到棱AB 靠近A 的一个三等分点时，恰有
1
PC
PD
，求此时
1
PC 与平面ABCD所成的角__________．
【答案】30
【解析】长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，因为AB
a
=
，
1
BC
BB
b
，
所以
2
2
2
1
DC
a
b
，
2
2
2
1
9
DP
a
b
，
2
2
2
4
9
PC
a
b
，
因为
1
C C 底面ABCD，PC 平面ABCD，所以
1
C C
PC
，
所以
1
PC 与平面ABCD所成的角为
1
C PC
，
2
2
2
2
2
1
1
4
2
9
PC
CC
PC
a
b
，
由条件
1
PC
PD
可得
2
2
2
1
1
DC
DP
PC
，解得
3
2
2
a
b
，
因此
1
1
2
2
3
tan
3
4
9
CC
b
C PC
PC
a
b
，
因为
1
0
90
C PC
，
所以
1
30
C PC
，
1
PC 与平面ABCD所成的角为30.
20．若a 、b 是空间中两条不同的直线，则a
b
∥的充分条件是（
）
A．直线a 、b 都垂直于直线l
B．直线a 、b 都垂直于平面
C．直线a 、b 都与直线l 成30角
D．直线a 、b 都与平面成60角
【答案】B
【分析】根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A 选项，,a b都与l 垂直，可能a
b
r
r ，A 选项错误.
B 选项，,a b 都垂直于平面，则a
b
∥，B 选项正确.
C 选项，,a b 都与l 成30角，可能,a b 相交，C 选项错误.
D 选项，,a b 都与平面成60角，可能,a b 异面，D 选项错误.
故选：B
21.（多选）已知，是两个不同的平面，m，n，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（
）
A．若
，m
，n
，则m
n
B．若m
，n
，则m
n
∥
C．若
l
，m
∥
，m
∥
，则m
l
∥
D．若
l
，m
，m
l
，则m
【答案】BC
【分析】利用面面垂直的性质判断选项A；利用线面垂直的性质判断选项B；利用线面平行的性质判断选
项C；利用线面垂直判定定理判断选项D.
【详解】选项A：若
，m
，n
，
则m
n
∥
或m
n
、相交或m
n
、互为异面直线.判断错误；
选项B：若m
，n
，则m
n
∥
.判断正确；
选项C：设平面
a
，m
，又m
∥
，则m
a
∥
设平面
b
，m
，又m
∥
，则m
b
∥
，
则a
b
∥，又b
，a
，则a
∥
，
又a
，
l
，则a
l
∥，则m
l
∥.判断正确；
选项D：若
l
，m
，m
l
，则m
、的位置关系为相交，
当且仅当
时m
.判断错误.
故选：BC
22．在梯形ABCD 中，AB
CD
，
2
AB
，
4
CD
，
3
AD
BC
，BD 与AE 交于点G.如图所示沿梯形
的两条高AE，BF 所在直线翻折，使得
90
DEF
CFE
.
(1)求证：AD
BC
∥
；
(2)求三棱锥C
BDG
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2) 4 2
9
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得到DE 平面ABFE ，同理CF 平面ABFE ，即可得到
//
DE CF ，
从而得到四边形DCFE 为平行四边形，再证ABCD为平行四边形，即可得证；
（2）依题意可得
2
3
AG
AE
，再根据
2
2
3
3
C BDG
G BCD
E BCD
B DCE
V
V
V
V
计算可得；
(1)
证明：
DE
EF
，DE
AE
且EF
AE
E
，
,
EF AE 平面ABFE ，
DE
平面ABFE ，同理CF 平面ABFE ，
//
DE CF
；
又
DE
CF
，∴四边形DCFE 为平行四边形，则有
//
DC EF 且DC
EF
；
又
//
AB EF
且
=
AB EF ，
//
AB CD
且AB
CD
∴四边形ABCD为平行四边形.
//
AD BC
.
(2)
解：在梯形ABCD中，
//
AB DE
，且
2
AB
DE
，
2
AG
GE
，则有
2
3
AG
AE
，
又
1
2 1
1
2
DCE
S
△
，
2
2
2 2
BF
BC
CF
2
2
2 1
4 2
3
3
3 3
9
C BDG
G BCD
E BCD
B DCE
DCE
V
V
V
V
S
BF
△
.
23.已知空间几何体ABCDE 中，ABC
，ECD
是全等的正三角形，平面ABC 平面BCD，平面ECD 平
面BCD.
(1)若
2
2 2
BD
BC
，求证：BC
ED
；
(2)证明：
/ /
AE
BD .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由勾股定理逆定理得线线垂直，由面面垂直得线面垂直，再得线线垂直；
（2）分别取BC ，DC 中点M ，N ，由面面垂直得线面垂直，再得线线平行，证得平行四边形AMNE 为
平行四边形后可得证结论．
(1)
因为ABC
、ECD
是全等的正三角形，所以CD
BC
，
又因为
2
2 2
BD
BC
，所以
2
2
2
BD
BC
DC
，故BC
DC
，
因为平面ECD 平面BCD，且平面ECD 平面
=
BCD CD，BC 平面BCD，
所以BC 平面ECD ，又因为DE 平面ECD ，
所以BC
ED
；
(2)
分别取BC ，DC 中点M ，N ，连接AM ，EN ，MN ，
因为ABC
是等边三角形，所以AM
BC
，
3
2
AM
BC
，
因为平面ABC 平面BCD，AM 平面ABC ，所以AM 平面BCD，
同理EN 平面BCD，且
3
3
2
2
EN
CD
BC
，
所以
/ /
AM
EN ，且AM
EN
，
所以四边形AMNE 是平行四边形，
所以
/ /
AE
MN ，又
/ /
MN
BD ，
所以
/ /
AE
BD ．
24.在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，如图所示，
1A A
AB
a
，G，E，F 分别是
1
1
AC ，AB，BC 的中点，求证：
直线EF 直线GB．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接
1
B G ．在三角形
1
1
1
A B C 中，G 是
1
1
AC 的中点，
所以
1
1
1
B G
AC
．
因为
1
B B 平面
1
1
1
A B C ，
1
1
AC 平面
1
1
1
A B C ，
所以
1
B B
1
1
AC ，
因为
1
1
1
B G
B B
B
，
1
1
,
B G B B 平面
1
B BG ，
所以
1
1
AC ⊥平面
1
B BG ，
因为BG 平面
1
B BG ，
所以
1
1
AC ⊥BG ，
又因为E，F 分别是AB，BC 的中点，
所以EF
AC
∥
，所以
1
1
EF
AC
∥
所以直线EF 直线GB．
25.在四棱锥P
ABCD
中，PD 底面ABCD，
//
CD AB ，
1
AD
CD
BC
,
2
AB
，
3
PD
．证明：
BD
PA
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：在四边形ABCD 中，作DE
AB
，CF
AB
，垂足分别为E 、F ，
因为
//
CD AB ，
1
AD
CD
BC
，
2
AB
，
所以四边形ABCD 为等腰梯形，
在等腰梯形ABCD中，
DE
AB
∵
⊥
，CF
AB
，则
//
DE CF ，
又因为
//
CD EF ，则四边形CDEF 为矩形，则DE
CF
，
因为AD
BC
，DE
CF
，
90
AED
BFC
，
所以，Rt
Rt
ADE
BCF
≌
，则
1
2
2
AB
CD
AE
BF
，
故
2
2
3
2
DE
AD
AE
，
3
2
BE
AB
AE
，
2
2
3
BD
DE
BE
，
所以
2
2
2
AD
BD
AB
，所以AD
BD
，
因为PD 平面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以PD
BD
，
又
=
PD
AD D
，PD 、AD 平面PAD ，所以BD 平面PAD ，
又因为PA 平面PAD ，所以BD
PA
.
26．如图，在四棱锥
．．．P
ABCD
中，PA 底面ABCD，底面ABCD为正方形，
2
AB
PA
．
(1)求证：AB
PD
；
(2)求三棱锥C
PBD
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) 4
3
【分析】（1）证明AB 平面PAD 后可得证线线垂直；
（2）由棱锥体积公式计算．
【详解】（1）∵PA 底面ABCD，AB 平面ABCD，∴PA
AB
，
又∵底面ABCD为正方形，∴AD
AB
，
又PA
AD
A
，PA ，AD 平面PAD ，∴AB 平面PAD ，
又PD 平面PAD ，∴AB
PD
；
（2）∵PA 平面ABCD，∴PA 是三棱锥P
BCD
的高，
1
1
4
3
2
3
C PBD
P BCD
V
V
BC
CD
PA
．
27．如图，在四棱锥P
ABCD
中，PAD
为正三角形，
60
BAD
CDA
，且
2
2
3
CD
AD
AB
，M
为PC 的中点，
(1)平面PAB 平面PCD
l
，求证：l
AD
.
(2)求证：BM // 平面PAD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线面垂直的判定定理与性质定理证明；
（2）由线面平行的判定定理证明，
【详解】（1）证明：延长AB，CD 交于E，连PE.
已知P 面PAB ，P 面PCD，又AB
CD
E
，
E
面PAB 且E面PCD
∴面PAB 面PCD
PE
，∴直线PE 即为直线l
∴要证l
AD
，即证PE
AD
取AD 中点O，由已知PAD
与
ADE
V
均为正三角形，
PO
AD
，
EO
AD ，PO
EO
O
，
PO 面PEO，EO 面PEO，
AD
面PEO，
PE
Q
面PEO，
AD
PE
，
l
AD
.
（2）证明：延长BC 交AD 于F ，连PF ，
设
3
AD
，由已知
2
BE
，
1
CE ，
60
BEC
，
由余弦定理知
3
BC
，
BC
DE
，
30
EBC
FBA
，且
120
FAB
，
30
AFB
，
3
BF
，
BF
BC
PM
MC
，
BM
PF
∥
且
1
2
BM
PF
PF
面PAD ，BM 面PAD ，
//
BM
面PAD .
28．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，①
1
1
//
AB
A D ；②直线
1
AB 与
1
D D 的夹角为45；③
1
1
AB
CD
；
④直线
1A D 与
1
BD 的夹角为90，其中正确的结论有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据线线平行、异面直线的夹角、线线垂直等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于①,连接
1 ,
B C AC ，则
1
1
//
A D B C .因为
1
1
B C
AC
AB
，
所以
1
60
AB C
，即异面直线
1
AB 与
1A D 的夹角为60，故①错误;
对于②,因为
1
1
1
1
//
,
45
D D A A
B AA
o ,所以异面直线
1
AB 与
1
D D 的夹角为45°,故②正确;
对于③,连接
1A B ,则
1
1
//
A B CD .因为
1
1
A B
AB
,所以直线
1
AB 与
1
CD 的夹角为90°，
即
1
1
AB
CD
,故③正确;
对于④,连接
1
1
,
BC AD ,因为
1
1
1
1
1
1
,
,
A D
AD A D
C D AD
I
1
1
1
C D
D
，
1
1
1
,
AD C D 平面
1
1
ABC D ，所以
1A D 平面
1
1
ABC D ，
又
1
BD 平面
1
1
ABC D ,所以
1
1
A D
BD
，
即异面直线
1A D 与
1
BD 的夹角为90°,故④正确.综上所述,②③④正确.
故选：C
29．如图，S是ABC
所在平面外一点，
2
AB
BC
，
120
ABC
，且SA 面ABC ，
3
SA
，则SA与
平面SBC 的夹角为（
）
A．π
3
B．π
4
C．π
6
D．5π
6
【答案】C
【分析】由棱锥体积公式可求得
S ABC
V
，结合解三角形的知识可求得
SBC
S
，由体积桥可求得点A 到平面SBC
的距离，进而得到所求角的正弦值，即可求得结果.
【详解】
2
AB
BC
，
120
ABC
，
1
2 2sin120
3
2
ABC
S
，
1
3
3
S
ABC
ABC
V
S
SA
；
SA
平面ABC ，
,
AB AC 平面ABC ，
SA
AB
，SA
AC
，
又
2
2
2
cos120
2 3
AC
AB
BC
AB BC
，
2
AB
，
2
2
3
2
13
SB
，
2
23
2 3
21
SC
，
2
2
2
13
4
21
13
cos
2
13
4 13
SB
BC
SC
SBC
SB BC
，
2 39
sin
13
SBC
，
1
1
2 39
sin
13
2
2 3
2
2
13
SBC
S
SB BC
SBC
，
设点A 到平面SBC 的距离为d ，SA与平面SBC 的夹角为，
1
2 3
3
3
3
A SBC
S
ABC
SBC
V
V
S
d
d
，解得：
3
2
d
，
3
1
2
sin
3
2
d
SA
，又
π
0, 2
，
π
6
，即直线SA与平面SBC 的夹角为π
6 .
故选：C.
30.如图在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
90
ABC
，
2
BC
，
1
4
CC
，E 是
1
BB 上的一点，且
1
1
EB ，D、
F、G 分别是
1
CC 、
1
1
B C 、
1
1
AC 的中点，EF 与
1
B D 相交于H ．
（1）求证：
1
B D 平面ABD ；
（2）求平面EGF 与平面ABD的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）3 2
2
【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面ABC 平面
1
1
BB C C ，
又AB
BC
，平面ABC 平面
1
1
BB C C
BC
，AB 平面ABC ，
AB
平面
1
1
BB C C ，
又
1
B D 平面
1
1
BB C C ，
1
AB
B D
，
1
1
1
2
BC
CD
DC
B C
，
在Rt
DCB
△
和
1
1
Rt DC B
中，
1
1
45
BDC
B DC
，
1
90
BDB
，即
1
B D
BD
，
又AB
BD
B
，
,
AB BD 平面ABD
1
B D
平面ABD ．
（2）由题意知
1
1
1
EB
B F
，在
1
Rt EB F
中，
1
45
FEB
，
又
1
45
DBB
，
//
EF BD
，
BD
Q
平面ABD ，EF 平面ABD ，
//
EF
平面ABD ，
G
、F 分别为
1
1
AC 、
1
1
B C 的中点，
1
1
//
GF A B
，
又
1
1//
A B
AB ，
//
GF AB
，
AB
平面ABD，GF 平面ABD ，
//
GF
平面ABD，
EF
平面EFG ，GF 平面EFG ，EF
GF
F
，平面
//
EFG
平面ABD ．
1
B D
平面ABD，平面
//
EGF
平面ABD ，
1
B D
平面EGF ，
HD
为平行平面EFG 与ABD之间的距离，
1
1
2
3 2
2 2
2
2
HD
B D
B H
，
即平面EFG 与ABD之间的距离为3 2
2
．
31.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，ABC
是等边三角形，
1
4
AB
AA
，D 是棱AB 的中点.求点
1
B 到
平面
1ACD 的距离等于_______
【答案】8 5
5
【解析】因为
1
1
1
ABC
A B C
-
是直三棱柱，
所以
1
AA 平面ABC ，而
,
AB AC 平面ABC ，
所以
1
1
,
AA
AC AA
AB
，
因为D 是棱AB 的中点，所以
1
2
2
AD
AB
，
由勾股定理可得：
2
2
1
1
16
4
2 5
A D
AA
AD
，
2
2
1
1
16
16
3 2
AC
AA
AC
，
因为ABC
是等边三角形，D 是棱AB 的中点.，
所以AB
CD
，所以
2
2
16
4
2 3
CD
AC
AD
，
因为
2
2
2
1
1
A D
CD
AC
，所以
1A D
CD
，
因此
1
1
2 5
2 3
2 15
2
A CD
S
，
因为
1
AA 平面ABC ，
1
AA 平面
1
1
A ABB ，
所以平面ABC 平面
1
1
A ABB ，因为平面ABC 平面
1
1
A ABB
AB
，
AB
CD
，CD 平面ABC ，所以CD 平面
1
1
A ABB ，
设点
1
B 到平面
1ACD 的距离为h ，
由
1
1
1 1
1
1
1
8 5
2 15
4 4 2 3
3
3
2
5
B
A CD
C A B D
V
V
h
h
.
32.如图所示，在棱长为1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．试确定
点F 的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
【答案】点F 是CD 的中点
【解析】如图，连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，
1
1
1
,
A D A B
平面A1BCD1.
∴AB1⊥平面A1BCD1.
又D1E⊂平面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.
连接DE，则DE 是D1E 在底面ABCD 内的射影．
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.
∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，
∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE⊥AF，
即当点F 是CD 的中点时，D1E⊥平面AB1F.
33.如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
90
ABC
，
1
AB
BC
，
1
3
AA
，M 为棱AC 上靠近A 的三
等分点，N 为棱
1
1
A B 上靠近
1A 的三等分点.
（1）证明：
/ /
MN
平面
1
1
BB C C ；
（2）在棱
1
BB 上是否存在点D，使得
1
C D 面
1
B MN ?若存在，求出
1
B D 的大小并证明；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
1
1
9
B D
【解析】（1）取棱BC 上靠近B 的三等分点
1
M ，连接
1
1
1
,
MM
B M ，
又M 为棱AC 上靠近A 的三等分点，N 为棱
1
1
A B 上靠近
1A 的三等分点.
1
2
/ / 3
MM
AB
，
1
2
/ / 3
NB
AB ，
1
1
/ /
MM
NB
，且
1
1
MM
NB
所以四边形
1
1
MM B N 是平行四边形，
1
1
/ /
MN
M B
又NM 平面
1
1
BB C C ，
1
1
M B 平面
1
1
BB C C ，
/ /
MN
平面
1
1
BB C C ；
（2）由直三棱柱的性质及
90
ABC
，可知
1
B N 侧面
1
1
BB C C ，
又
1
C D 侧面
1
1
BB C C ，
1
1
B N
C D
由已知
1
1
1
B M
C D
，
1
1
1
1
90
BB M
B DC
又
1
1
1
1
90
B C D
B DC
，
1
1
1
1
B C D
BB M
又
1
1
1
1
1
1
3
tan
3
9
BM
BB M
BB
，
1
1
1
1
1
1
tan
9
1
1
B D
B D
B C D
B C
所以
1
1
9
B D
