8.5 空间直线﹑平面的平行
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：基本事实4 ................................................................... 2
考点二：等角定理......................................................................2
考点三：空间四边形................................................................... 2
考点四：线线平行的证明方法....................................................... 2
考点五：空间直线与平面的位置关系有以下三种................................ 2
考点六：直线与平面平行的判定定理...............................................2
考点七：直线与平面平行的性质定理...............................................3
考点八：平面与平面平行的判定定理...............................................3
考点九：平面与平面平行的性质定理...............................................3
考点十：利用判定定理证明两平面平行的步骤...................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：基本事实4 概念辨析....................................................... 3
题型二：证明线线平行................................................................ 4
题型三：等角定理.................................................................... 10
题型四：直线与平面平行的性质...................................................13
题型五：直线与平面平行的判定...................................................15
题型六：平行交线定理证明线线平行.............................................21
题型七：平面与平面平行的判定...................................................23
题型八：由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置...................30
题型九：由线面平行求线段长度...................................................33
题型十：面面平行性质定理的应用................................................42
模块三：综合巩固....................................................................... 46
8.5 空间直线﹑平面的平行
模块一：基础知识
考点一：基本事实4
1、文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
2、符号表述：
a∥b
b∥c
⇒a∥c.
3、作用：证明两条直线平行
考点二：等角定理
1、文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2、符号语言：
OA O A ,
OB O B
AOB
A O B 或
180
AOB
A O B
3、等角定理的两个推论
（1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
（2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
4、作用：判断和证明两个角相等或互补。
考点三：空间四边形
顺次连接不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形．
这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；
所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；
连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．
考点四：线线平行的证明方法
1、定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
2、利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
3、利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
考点五：空间直线与平面的位置关系有以下三种
1、直线在平面内：如果一条直线a 与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a
⊂α.
2、直线与平面相交：直线a 与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A
叫做直线a 与平面α的交点．
3、直线与平面平行：如果一条直线a 与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.
考点六：直线与平面平行的判定定理
1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行
2、符号：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
3、图形：
考点七：直线与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和
交线平行．
2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
3、图形语言：
考点八：平面与平面平行的判定定理
1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行⇒面面平行”)
2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α.
3、图形：
4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，
则这两个平面平行．
考点九：平面与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
3、图形：
4、平面与平面平行其他常用性质推论
（1）平行于同一个平面的两个平面平行.
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
考点十：利用判定定理证明两平面平行的步骤
1、在一个平面内找出两条相交直线；
2、证明着两条相交直线分别平行于另一个平面；
3、利用平面与平面平行的判定定理得出结论。
模块二：题型分类
题型一：基本事实4 概念辨析
1.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
,
E F 分别是
1
1
1
1
,
B C D C 的中点，则下列结论正解的是（
）
A．EF
BD
B．EF
BD
∥
C．EF 与BD相交
D．EF 与
1
1
B D 相交
【答案】B
【解析】由
,
E F 分别是
1
1
1
1
,
B C D C 的中点可得
1
1
EF
B D
∥
，
又易得
1
1
B D
BD
∥
，则EF
BD
∥
.故选：B.
2.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a 与d 的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
【答案】A
【解析】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选：A.
3.如图所示，在长方体AC1中，E，F 分别是B1O 和C1O 的中点，则长方体的各棱中与EF 平行的有（
）
A．3 条
B．4 条
C．5 条
D．6 条
【答案】B
【解析】由于E，F 分别是B1O，C1O 的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3 条：AD, BC，A1D1，所以共有4 条.故选：B.
4.如图，在三棱锥P
ABC
中，,
,
,
, ,
E F G H I J 分别为线段
,
,
,
,
,
PA PB PC AB BC CA的中点，则下列说法正确
的是
A．
||
PH BG
B．
||
IE CP
C．
||
FH GJ
D．
||
GI JH
【答案】C
【解析】由题意结合三角形中位线的性质可得：
,
FH
PA GJ
PA
，
由平行公理可得：FH
GJ
.本题选择C 选项.
题型二：证明线线平行
1．已知三条不同的直线l，m，n，且l
m
，则“ m
n
∥
”是“l
n
∥
”的（
）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据线与线的位置关系，结合充要条件的定义即可求解.
【详解】解：若m
n
∥
，又l
m
，则l
n
∥
，故充分性成立，
反之，若l
n
∥
，又l
m
，则m
n
∥
，故必要性成立.
故“m
n
∥
”是“l
n
∥
”的充要条件.
故选：C.
2．若
1
1
1
AOB
AO B
，且
1
1
OA
O A
∥
，OA与
1
1
O A 方向相同，则下列结论正确的有（
）
A．
1
1
OB
O B
∥
且方向相同
B．
1
1
OB
O B
∥
，方向可能不同
C．OB 与
1
1
O B 不平行
D．OB 与
1
1
O B 不一定平行
【答案】D
【分析】画出图形，当满足题目中的条件时，出现的情况有哪些，即可得出结论．
【详解】解：如图，
当∠AOB=∠A1O1B1 时，且OA∥O1A1，OA 与O1A1 的方向相同，
OB 与O1B1 是不一定平行．
故选：D．
3.（多选）若三个不同的平面
,
,
两两相交，且
1
2
3
,
,
l
l
l
，则交线1
2
3
, ,
l l l 的位置关系
可能是（
）
A．重合
B．相交于一点
C．两两平行
D．恰有两条交线平行
【答案】ABC
【分析】
构造长方体模型，选择其中的若干平面作为平面
,
,
，即可依次判断即得.
【详解】
如图，作出一个长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
.
对于A 项，可把平面
1
1
1
1
,
,
DCC D DCB A BCDA 依次取为平面
,
,
，它们两两相交于共同的交线DC ,故A
项正确；
对于B 项，可把平面
1
1
1
1
,
,
DCC D ADD A BCDA依次取为平面
,
,
，此时，
1
DD
,
DC
,
AD
,
而易得三条交线交于同一点D，故B 项正确；
对于C 项，可把平面
1
1
1
1
,
,
DCB A ABB A BCDA 依次取为平面
,
,
,此时，
1
1
A B
,
DC
,
AB
I
,
而易得三条交线两两平行，故C 项正确；
对于D 项，可把平面
1
1
1
1
,
,
DCB A ABB A BCDA 依次取为平面
,
,
,此时，
1
1
A B
,
DC
,
AB
I
,
若只有
/ /
AB
CD ,因AB 平面
1
1
DCB A ，而CD 平面
1
1
DCB A ，则
/ /
AB
平面
1
1
DCB A ,
又AB 平面
1
1
ABB A ,而平面
1
1
ABB A 平面
1
1
DCB A =
1
1
A B ，则有
1
1
/ /
AB
A B ,
即交线1
2
3
, ,
l l l 的位置关系不可能是恰有两条交线平行，故D 项错误.
故选：ABC.
4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1 中，E，F 分别是AB，AC 上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF 与B1C1
的位置关系是
.
【答案】平行
【分析】由题设易知EF∥BC，根据棱柱的结构特征即可判断EF 与B1C1 的位置关系.
【详解】在△ABC 中，AE∶EB=AF∶FC，
∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1 中，有BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.
故答案为：平行
5．如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H 分别是棱的中点，则EF 与GH 在原正方体中的位置关系为
.
【答案】平行
【分析】将正方体的表面展开图还原构造成正方体，取AB，AA1 的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
得到EF∥PQ，根据PQ∥A1B，HG∥A1B，即可得到EF∥GH.
【详解】由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示:
分别取AB，AA1 的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G 分别是AB，AA1，A1B1，BB1 的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
故答案为：平行
6．如图，空间四边形ABCD，E、H 分别是AB、AD 的中点，F、G 分别是BC、CD 上的点，且CF
CG
CB
CD
，
求证：直线EH 与直线FG 平行．
【答案】证明见详解
【分析】根据三角形中位线、平行线等分性质结合平行线的传递性分析证明,
【详解】∵E、H 分别是AB、AD 的中点，则EH BD ，
又∵F、G 分别是BC、CD 上的点，且CF
CG
CB
CD
，则FG BD ，
∴EH FG ，
故直线EH 与直线FG 平行．
7．如图，四边形ABCD和四边形ABEF 都是梯形，且
//
BC AD ，
//
BE FA且
1
2
BC
AD
，
1
2
BE
FA
，
,
G H
分别为
,
FA FD 的中点．
(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形．
(2)
,
,
,
C D F E 四点是否共面？为什么？
【答案】(1)证明见解析
(2)
,
,
,
C D F E 四点共面，理由见解析
【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得
//
GH BC 且GH
BC
，由此可得结论；
（2）由
//
BE FG ，BE
FG
可证得四边形BEFG 为平行四边形，结合（1）的结论可得
//
CH EF ，CH
EF
，
由此可知四边形CEFH 为平行四边形，得到
//
CE FD ，由此可得四点共面.
【详解】（1）
,
G H
Q
分别为
,
FA FD 的中点，
//
GH AD
，
1
2
GH
AD
，
又
//
BC AD ，
1
2
BC
AD
，
//
GH BC
，GH
BC
，
四边形BCHG 是平行四边形.
（2）
//
BE FA
，
1
2
BE
FA
，G 为FA 中点，
//
BE FG
，BE
FG
，四边形BEFG 为平行四边形，
//
EF BG
，
EF
BG
，
由（1）知：
//
CH BG ，CH
BG
，
//
CH EF
，CH
EF
，
四边形CEFH 为平行四边形，
//
CE FH
，即
//
CE FD ，
,
, ,
C D E F
四点共面.
8．如图所示，ABC
和A B C
的对应顶点的连线AA，BB，CC交于同一点O，且
2
3
AO
BO
CO
A O
B O
C O
.
（1）证明:
//
AB A B
，
//
AC A C
，
//
BC B C
.
（2）求
ABC
A B C
S
S
的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）4
9 .
【分析】（1）根据已知条件可证ABO
A B O
可得
BAO
B A O
，即可证明
//
AB A B
，同理可证
//
AC A C
，
//
BC B C
；
（2）根据等角定理得出
BAC
B AC
，
ABC
A B C
进而可得
ABC
A B C
V
:V
，即可求解.
【详解】（1）因为AA与BB相交于点O，所以AA与BB共面，
在ABO
和
A B O
△
中，可得
AOB
A OB
，
又因为
'
'
AO
BO
OA
OB
，所以ABO
A B O
，
所以
2
3
AB
A B
，
BAO
B A O
，
所以
//
AB A B
同理
//
AC A C
，
//
BC B C
.
（2）因为
//
AB A B
，
//
AC A C
，且AB 和A B
，AC 和A C
的方向相反，
∴
BAC
B AC
.
同理
ABC
A B C
，因此
ABC
A B C
V
:V
，
又
2
' '
'
3
AB
AO
A B
A O
，
所以
2
2
4
3
9
ABC
A B C
S
S
.
9.已知棱长为a 的正方体ABCD
A B C D
中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点．求证：四边形MNA C
是
梯形．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图所示：
连接AC，由正方体的性质可知：AA′=CC′，AA′ / / CC′，
∴四边形AA′C′C 为平行四边形，
∴A′C′=AC．A′C′ / / AC，
又∵M，N 分别是CD，AD 的中点，
∴MN∥AC，且MN＝1
2 AC，
∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．
∴四边形MNA′C′是梯形．
题型三：等角定理
1.两等角的一组对应边平行，则（
）
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边垂直
D．以上都不对
【答案】D
【解析】两个等角的一组对应边平行，另一组边可以具有各种位置关系，
并不能确定是哪一种关系，故选：D
2.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E，F，G 分别是棱
1
CC ，
1
BB ，
1
DD 的中点．求证：
（1）
1
GB
D F
∥
；
（2）
1
BGC
FD E
．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析
【解析】（1）因为正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，F，G 分别是棱
1
BB ，
1
DD 的中点，
所以
1
D G
BF
，且
1
D G
BF
∥
，
所以四边形
1
D GBF 是平行四边形，所以
1
GB
D F
∥
（2）因为正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E，G 分别是棱
1
CC ，
1
DD 的中点，
所以
1
D G
CE
，
1
D G
CE
∥
所以四边形
1
DGCE 是平行四边形，所以
1
GC
ED
∥
，
由（1）知：
1
GB
D F
∥
由图形可知：
1
,
BGC
FD E
均为锐角，所以
1
BGC
FD E
.
3.给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；
对于③，如图所示，
BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB 的两条边分别垂直于∠APB 的两条边，
但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．
所以正确的命题有1 个．故选：B
4.已知
/ /
AB
PQ ，
/ /
BC
QR，
60
ABC
，则与
ABC
两边方向相同的
PQR
等于（
）
A．60°
B．60°或120°
C．120°
D．以上结论都不对
【答案】A
【解析】因
/ /
AB
PQ ，
/ /
BC
QR，又
PQR
与
ABC
两边方向相同，
所以
60
PQR
ABC
.故选：A
5.（多选）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真
命题，在空间中仍然成立的有（
）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【答案】AC
【解析】根据线线平行具有传递性可知A 正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线，
位置关系可能是异面、相交、平行，故B 错误；
根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补可知C 正确；
如图，
,
,
l 且
,
OA
l CD
l ，
则
,
,
OA
CE CD
OB 但
AOB
和
DCE
的关系不确定，故D 错误.故选：AC
6.已知E､E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD､A1D1的中点.求证：∠BEC=∠B1E1C1.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接EE1，
∵E1､E 分别为A1D1､AD 的中点，∴A1E1 / / AE，且A1E1=AE
∴四边形A1E1EA 为平行四边形，∴A1A / / E1E.，且A1A=E1E.
又∵A1A / / B1B，且A1A=B1B
∴E1E / / B1B，且E1E=B1B
∴四边形E1EBB1为平行四边形，
∴E1B1 EB.同理E1C1 EC.
又∠C1E1B1与∠CEB 方向相同，
∴∠C1E1B1=∠CEB.
7.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，M ，N ，P 分别为
1
AA ，
1
BB ，
1
CC 的中点.求证：
1
MC N
APB
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为N ，P 分别是
1
BB ，
1
CC 的中点，所以
1
1
/ /
,
BN
C P BN
C P
，
所以四边形
1
BPC N 为平行四边形，所以
1
/ /
C N
BP .
同理可证
1
/ /
C M
AP ，
又
1
MC N
与
APB
方向相同，所以
1
MC N
APB
.
题型四：直线与平面平行的性质
1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（
）
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．任意一条直线都不相交
D．无数条直线不相交
【答案】C
【分析】根据直线与平面平行的定义可得出合适的选项.
【详解】直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的任意一条直线都没交点，即都不相交.
故选：C.
2.已知平面，直线m ，n 满足m
，n
，则“m ∥n ”是“m ∥”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若m
，n
，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥．若m ∥，m
，n
，
不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥”的充分不必要条件．故选A．
3.下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平
行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等，其中正
确命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】C
【详解】根据面面平行的性质，可得：
对于①中，一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另外一个平面相交，所以是正确的；
对于②中，如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面，所以是正确的；
对于③，若两平面平行，则夹在两个平行平面间的平行线段是相等的，所以是正确的.
故选：C.
4.平面与平面平行的充分条件是（
）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线a
，直线b
，且
,
a
b
∥
∥
C．内的任何一条直线都与平行
D．直线
,
a
a
∥
∥
，且直线a 不在内，也不在内
【答案】C
【分析】根据面面平行的判定来判断即可.
【详解】C 选项是面面平行的定义，A，B，D 中，平面与平面相交时都有可能满足.
故选：C.
5.下列命题中正确的是（
）
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．平面内有不共线的三个点A，B，C 到平面的距离相等，则
∥
C．b
P
，
∥
，则b
∥
D．a
P
，a
b
，b
，则b
P
【答案】D
【分析】根据线面平行的判断和性质理解辨析.
【详解】对于A：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，
A 错误；
对于B：由题意可得：
∥
或与相交，B 错误；
对于C：根据题意可得：b
∥
或b
，C 错误；
对于D：∵a
P
，则m
，使得a
m
，则a
m
∴b
m
∥
,
b
m
∴b
P
，D 正确；
故选：D.
6.下列四个正方体图形中，, ,
,
,
A B M N P 分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB // 平面MNP 的
图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断
【详解】对于A，由题意得
//
MN AC ，
//
NP BC ，而
=
MP
NP P
，
=
AC
BC C
，
MP 平面MNP ，NP 平面MNP ，AC 平面ABC ，BC 平面ABC ，
故平面
//
MNP
平面ABC ，而AB 平面ABC ，故AB // 平面MNP ，故A 正确，
对于B，取MP 的中点Q ，底面中心O，则
//
NO AB，故AB 与NQ 相交，故B 错误，
对于C，
//
MB NP，故B平面MNP ，则AB 平面MNP
B
，故C 错误，
对于D，作平行四边形MNPQ ，则AB 与MQ 相交，故D 错误，
故选：A
题型五：直线与平面平行的判定
1.已知m，n 为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（
）
A．若m//，m//n，则n//
B．若m//，n//，则m//n
C．若m//，n，则m//n
D．若m//，m，＝n，则m//n
【答案】D
【解析】如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，平面
1
1
1
1
D
C
B
A
视为平面，
对于A，直线AB 视为m，直线
1
1
A B 视为n，满足m//，m//n，而n ，A 不正确；
对于B，直线AB 视为m，直线BC 视为n，满足m//，n//，
而m 与n 相交，B 不正确；
对于C，直线AB 视为m，直线
1
1
A D 视为n，满足m//，n，
显然m 与n 是异面直线，C 不正确；
对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D 正确.故选：D
2.已知a，b，c 为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（
）
①//
a c ，//
//
b c
a b
；
②a
// ，//
//
b
a b
；
③//
a c ，//
//
c
a
；
④a
// ，//
//
a
；
⑤a
，b
，//
//
a b
a
．
A．①⑤
B．①②
C．②④
D．③⑤
【答案】A
【解析】由题意，
①//
a c ，//
b c ，故a
b
，故正确；
②a
// ，//
b ，则a 与b 有可能平行、相交、异面，故错误；
③// , //
a c c ，则
/ /
a
或a
，故错误；
④a
// ，
/ /
a
；则与可能平行或相交，故错误；
⑤a
，b
，a
b
，由线面平行的判定定理可得a
P
，故正确.故选：A.
3．如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是菱形，PD 平面
,
1
ABCD PD
AD
，点
,
E F 分别为
,
AB PD
的中点．求证：直线
/ /
AF
平面PEC ．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，取PC 的中点M ，连接
,
MF EM ，即可证明四边形AEMF 为平行四边形，再由线面平
行的判定定理即可证明.
【详解】
证明：取PC 的中点M ，连接
,
MF EM ，
在PCD
中，∵
,
M F 分别为
,
PC PD 的中点，可得
/ /
MF
CD 且
1
2
MF
CD
，
又∵E 为AB 的中点，∴
/ /
AE
CD 且
1
2
AE
CD
，
∴
/ /
AE
MF 且AE
MF
，∴四边形AEMF 为平行四边形，∴
/ /
AF
ME ，
∵ME 平面PEC ，AF 平面PEC ，∴
/ /
AF
平面PEC ．
4．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
BC
，
1
2
AB
BC
BB
，M，N，P 分别为
1
1
A B ，AC，BC
的中点．
(1)求证：
/ /
MN
平面
1
1
BCC B ；
(2)求三棱锥B
PMN
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) 1
3
【分析】
（1）通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）转换顶点并结合椎体的体积公式即可证明.
【详解】（1）
∵直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，M 为
1
1
A B 的中点，
所以
1
1
1
1
1
2
2
B M
A B
AB
，且
1
//
B M AB ，
因为P ，N 分别BC ，AC 的中点，
∴
//
PN AB ，
1
2
PN
AB
，
1
//
PN B M ，
1
PN
B M
=
，
∴四边形
1B MNP 为平行四边形，∴
1
/ /
MN
B P ，
又∵MN 平面
1
1
B C CB，
1B P 平面
1
1
B C CB，
故
/ /
MN
平面
1
1
B C CB .
（2）因为直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
，则平面
/ /
ABC
平面
1
1
1
A B C ，
因为M 平面
1
1
1
A B C ，则点M 到底面ABC 的距离即为点
1
B 到底面ABC 的距离，
又因为
1
BB 底面ABC ，则点
1
B 到底面ABC 的距离即为
1
BB 长，
又因为N，P 分别为AC，BC 的中点，且AB
BC
，
则
1
1
1
1
1
1 1 2
3
3
2
3
B PMN
M
PBN
PBN
V
V
S
BB
.
5．如图，在四棱锥PABCD 中，E 是棱PC 上一点，底面ABCD 是正方形，平面ABE 与棱PD 交于点F，
平面PCD 与平面PAB 交于直线l.求证：l∥EF.
【答案】证明见解析
【详解】
证明：∵底面ABCD 是正方形，∴AB∥CD.
又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.
又A，B，E，F 四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，∴AB∥EF.
∵平面PAB 与平面PCD 交于直线l，∴AB∥l，∴l∥EF.
【考查意图】
以四棱锥为模型，考查利用线面平行的性质定理证明线线平行．
6．已知如图所示，P 是正方形ABCD外一点，PB 平面
,
ABCD O 为AP 中点，
2
PB
AB
.
(1)求证：
/ /
PC
平面BOD ；
(2)三棱锥O
ABD
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
3
【分析】
（1）连接
,
AC BD ，交于点E ，连接OE ，则
/ /
OE
PC ，由此能证明
/ /
PC
平面BOD ；
（2）O到平面ABD 的距离
1
1
1
1,
2 2
2
2
2
2
ABD
d
PB
S
AB
AD
，由此能求出三棱锥O
ABD
的体
积.
【详解】（1）
连接
,
AC BD ，交于点E ，连接OE ，如图，
正方形ABCD中，E 是AC 中点，O是AP 中点，
//
OE
PC
，
OE
平面
,
BOD PC 平面BOD ，
//
PC
平面BOD ；
（2）
PB
平面
,
ABCD O 为AP 中点，
2
PB
AB
，
O
到平面ABD 的距离
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
ABD
d
PB
S
AB
AD
，
，
三棱锥O
ABD
的体积
1
1
2
2 1
3
3
3
ABD
V
S
d
.
7．如图，在四棱锥P
ABCD
中，平面PCD 平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，且
1
1
2
AB
CD
，
PCD
为等边三角形，平面PAB 平面
PCD
直线l ．证明：/ /
l
平面ABCD.
【答案】证明见解析
【分析】
由
/ /
AB
CD 证明
/ /
AB
平面PCD,再证/ /
l
AB ,即可证得/ /
l
平面ABCD.
【详解】
证明：由题可知
/ /
AB
CD ，AB 平面PCD，CD 平面PCD，
/ /
AB
平面PCD．
又AB 平面PAB ，平面PAB 平面PCD
l
，
/ /
l
AB ．
又l 平面ABCD，AB 平面ABCD，
/ /
l
平面ABCD.
8．直三棱柱ABC
A B C
中，
90
BAC
，
2
AB
AC
，
1
AA，点M 、N 分别为A B
和B C
的中点.
(1)证明：
/ /
MN
平面A ACC
；
(2)求三棱锥A
MNC
的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 1
6 .
【分析】（1）连接AB
AC
、
，分析可知M 为AB的中点，利用中位线的性质可得出
/ /
MN
AC，再利用线
面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）连接A N
，证明出A N
平面BB C C
，可知
1
2
A
MNC
B MNC
M
BNC
A
BNC
V
V
V
V
，结合锥体体积公式
可求得结果.
【详解】（1）证明：连接AB
AC
、
，在三棱柱ABC
A B C
中，
四边形AA B B
为平行四边形，
∵M 为A B
的中点，则M 为AB的中点，
又∵N 为B C
的中点，∴
/ /
MN
AC,
又MN 平面A ACC
，AC平面A ACC
，
因此
/ /
MN
平面A ACC
.
（2）连接A N
，
在直三棱柱ABC
A B C
中，
2
AB
AC
，则
2
A B
A C
，
∵N 为B C
的中点，故A N
B C
，
∵BB平面A B C
，A N
平面A B C
，
A N
BB
，
BB
B C
B
，BB、B C
平面BB C C
，
A N
平面BB C C
，
∵
90
BAC
，则
90
B A C
，
则
2
2
B C
A B
，
1
1
2
A N
B C
，
1
1
2
BCN
S
BC BB
△
,
M
为A B
的中点，
则
1
1
1
1
2
2
3
6
A
MNC
B MNC
M
BNC
A
BNC
BNC
V
V
V
V
S
A N
题型六：平行交线定理证明线线平行
1.如图所示，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AC 与BD 交于点O，M 是PC 的中点，在DM
上取一点G，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH，求证：AP∥GH.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接MO.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴O 是AC 的中点．
又∵M 是PC 的中点，∴AP∥OM.
又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH.
2.如图所示，在多面体
1
1
1
A B D DCBA 中，四边形
1
1
AA B B，
1
1
ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为
1
1
B D 的中点，过
1A ，D，E 的平面交
1
CD 于F．证明：
1
/ /
EF
B C .
【答案】证明见解析.
【解析】因四边形
1
1
AA B B ，ABCD 均为正方形，
则
1
1 / /
/ /
A B
AB
DC，且
1
1
A B
AB
DC
，
因此四边形
1
1
A B CD 为平行四边形，
于是得
1
1
/ /
B C
A D ，又
1B C 平面
1A EFD ，EF 平面
1A EFD ，则
1
/ /
B C
平面
1A EFD ，
而平面
1A EFD平面
1
1
B CD
EF
，
1B C 平面
1
1
B CD ，所以
1
/ /
EF
B C .
3.如图，E、F 分别是空间四边形ABCD中边BC 和AD 的中点，过EF 平行于AB 的平面与AC 交于点G ．求
证：G 是AC 中点．
【答案】证明见解析
【解析】证明：由已知可得，
//
AB 平面EFG .
又AB 平面ABC ，平面ABC 平面EFG
EG
，
所以
//
AB EG .
又因为点E 是BC 的中点，所以G 是AC 中点．
4.已知正方体
1
AC 的棱长为1，点P 是平面
1
1
AA D D的中心，点Q 是平面
1
1
1
1
D
C
B
A
的对角线
1
1
B D 上一点，且
PQ∥平面
1
1
AA B B ，则线段PQ的长为（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
2
D．
3
2
【答案】B
【解析】连接
1
AD ，
1
AB ，则
1
AD 过点P .如图所示
∵PQ∥平面
1
1
AA B B ，平面
1
1
AB D 平面
1
1
1
AA B B
AB
，PQ 平面
1
1
AB D ，
∴
1
PQ
AB
∥
，
∵
1
D P
PA
，∴
2
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
PQ
AB
.故选：B.
5.如图，四棱锥P
ABCD
的底面为正方形，且PD 平面ABCD，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，
证明：//
l BC .
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为四边形ABCD为正方形，
//
BC AD
，
BC
平面PAD ，AD 平面PAD ，
//
BC
平面PAD ，
BC
平面PBC ，平面PBC 平面PAD
l
，因此，//
l BC .
题型七：平面与平面平行的判定
1．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，E 为
1
DD 的中点．
(1)求证：
1 / /
BD
平面AEC ；
(2)
1
CC 上是否存在一点F ，使得平面
/ /
AEC
平面
1
BFD ，若存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】
（1）利用三角形中位线证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；
（2）结合面面平行判定定理来确定动点位置，并证明面面平行.
【详解】（1）
如图，连接BD 交AC 于O，连接EO.
因为
1
1
1
1
ABCD
A B C D
为正方体，底面ABCD为正方形，对角线AC ，BD 交于O点，
所以O为BD 的中点，又因为E 为
1
DD 的中点，
所以在
1
DBD
△
中，OE 是
1
DBD
△
的中位线，
所以
1
/ /
OE
BD ，
又因为OE 平面AEC ，
1
BD 平面AEC ，
所以
1 / /
BD
平面AEC .
（2）
当
1
CC 上的点F 为中点时，即满足平面
/ /
AEC
平面
1
BFD ，理由如下：
连接BF ，
1
D F ，
因为F 为
1
CC 的中点，E 为
1
DD 的中点，所以
1
1
,
CF
ED CF
ED
//
=
，
所以四边形
1
CFD E 为平行四边形，所以
1
/ /
D F
EC ，
又因为EC 平面AEC ，
1
D F 平面AEC ，
所以
1
/ /
D F
平面AEC .
由（1）知
1 / /
BD
平面AEC ，
又因为
1
1
1
BD
D F
D
，
1
BD ，
1
D F 平面
1
BFD ，
所以平面
/ /
AEC
平面
1
BFD .
2．如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，,
D E 分别是棱
1
,
BC AA 的中点．在棱
1
BB 上找一点F ，使得平面
//
DEF
平面
1
1
A B C ，并证明你的结论.
【答案】存在F 为棱
1B B 的中点，证明见解析
【分析】
由中点找中点，取棱
1B B 的中点F ，证明两次线面平行即得平面
//
DEF
平面
1
1
A B C .
【详解】
存在F 为棱
1B B 的中点，使平面
/ /
DEF
平面
1
1
A B C ．
证明如下：如图，连接
,
EF DF ．
因为
,
E F 分别是棱
1
1
,
AA BB 的中点，所以
1
1//
A B
EF ，
因为EF 平面
1
1
,
A B C
1
1
A B 平面
1
1
A B C ，所以
/ /
EF
平面
1
1
A B C ．
因为
,
D F 分别是棱
1
,
BC BB 的中点，所以
1
//
DF B C ，
因为DF 平面
1
1
1
,
A B C B C 平面
1
1
A B C ，所以
/ /
DF
平面
1
1
A B C ．
因为EF
DF
F
I
，
,
EF DF
平面DEF ，所以平面
/ /
DEF
平面
1
1
A B C ，得证．
3．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABED 与四边形ACFD均为梯形.已知点
,
,
,
B C E F 四点共面，且
,
AB
DE AC
DF
∥
∥
.证明：平面ABC∥平面DEF .
【答案】证明见解析
【分析】先根据线面平行的判定定理证明AB P平面DEF ，AC∥平面DEF ，再根据面面平行的判定定理
即可得证。
【详解】证明：四边形ABED 与四边形ACFD均为直角梯形，
且有AB
DE
∥
，AC
DF
∥
，
因为AB 平面DEF ，DE 平面DEF ，所以AB P平面DEF ，
同理可得AC∥平面DEF ，
因为
,
AB AC 平面ABC ，且AB
AC
A
，
所以平面ABC∥平面DEF ，得证.
4.如图，在四棱锥P
ABCD
中，
90
ABC
ACD
，
60
BAC
CAD
，PA 平面ABCD，
2
PA
，
1
AB .设M，N 分别为PD ，AD 的中点.
(1)求证：平面
/ /
CMN
平面PAB ；
(2)求三棱锥C
PAB
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
3
【分析】（1）由线面平行和面面平行的判定定理证明即可；
（2）由棱锥的体积公式求解即可.
【详解】（1）证明：∵M，N 分别为PD ，AD 的中点，∴
/ /
MN
PA，
又MN 平面PAB ，PA 平面PAB ，∴
/ /
MN
平面PAB .
在Rt
ACD
△
中，
60
CAD
，CN
AN
，∴
60
ACN
.
又
60
BAC
，∴
//
CN
AB .
∵CN 平面PAB ，AB 平面PAB ，∴
/ /
CN
平面PAB .
又CN
MN
N
，∴平面
/ /
CMN
平面PAB .
（2）∵
1
AB ，
90
ABC
，
60
BAC
，∴
3
BC
，
∴三棱锥C
PAB
的体积
1
1
3
1
3
2
3
2
3
C PAB
P ABC
V
V
.
5．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
2
AC
BC
CC
，
90
ABC
，D，E，F 分别是棱
1
1
AC ，BC ，
AC 的中点．证明：平面
/ /
ABD
平面
1
FEC ；
【答案】证明见解析
【分析】
由线线平行即可证明面面平行.
【详解】
因D，E，F 分别是棱
1
1
AC ，BC ，AC 的中点．
且图形为直三棱柱，则
1
1
/ /
,
DC
AF DC
AF
，
得四边形
1
AFC D 为平行四边形，
1
/ /
,
/ /
AD
FC AB
FE ．
又
,
AD AB 平面
1
FEC ，
1,
FC
FE 平面
1
FC E ，则
,
/ /
AD AB
平面
1
FEC ．
又
,
AD AB 平面ABD，
∩
AB
AD
A
，
故平面
/ /
ABD
平面
1
FEC
6．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E，F 分别为
1
1
A D ，
1
1
C D 中点，G，H 分别为AB ，BC 中点，O
为平面ABCD中心．证明：平面OEF ‖平面
1
C GH ；
【答案】证明见解析
【分析】
根据中位线的性质和平行四边形的性质得到OF ‖
1
HC ，EF ‖GH ，然后根据面面平行的判定定理证明即可．
【详解】
连接
1
1
AC ，OH ，
∵
1
1
1
1
ABCD
A B C D
为正方体，O为平面ABCD的中心，
∴
1
1
AC ‖ AC ，
1
1
DC ‖ AB ，
1
1
D C
AB
，O为AC 中点，
∵H 为BC 中点，F 为
1
1
DC 中点，
∴OH ‖ AB ‖
1
FC ，
1
1
2
OH
AB
FC
，
∴四边形
1
OHC F 为平行四边形，OF ‖
1
HC ，
∵
,
E F 分别为
1
1
1
1
,
A D C D 中点，
,
G H 分别为
,
AB BC 中点，
∴EF ‖
1
1
AC ，GH ‖ AC ，
∴EF ‖GH ，
∵
,
EF OF 平面OEF ，
1
,
GH HC 平面OEF ，
∴GH ‖平面OEF ，
1
HC ∥平面OEF ，
∵
1
GH
HC
H
，
1
,
GH HC 平面
1
C GH ，
∴平面OEF ∥平面
1
C GH ．
7．如图，几何体
1
1
1
ABCD
AC D
为直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
截去一个角所得，四边形ABCD是正方形，
2
AB
，
1
3
DD
，P 为BC 的中点．证明：平面
1
1 / /
A BC
平面
1
ACD ；
【答案】证明见解析
【分析】
由四边形
1
1
ABC D 是平行四边形，得
1
1
/ /
BC
AD ，由线面平行的判定定理得
1 / /
BC
平面
1
ACD ，同理
1 / /
BA
平
面
1
ACD ，即可得证.
【详解】
解：连接
1
1
,
AD CD ，如图所示：
依题意，
1
1
1
1
/ /
/ /
,
AB
CD
C D AB
CD
C D
，
则四边形
1
1
ABC D 是平行四边形，
于是
1
1
/ /
BC
AD ，而
1
AD 平面
1
ACD ，
1
BC 平面
1
ACD ，
因此
1 / /
BC
平面
1
ACD ，同理
1 / /
BA
平面
1
ACD ，
∵
1
1
BA
BC
B
，
1
1
,
BA BC 平面
1
1
A BC ，
∴平面
1
1 / /
A BC
平面
1
ACD ．
题型八：由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
1.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，点E ，F 分别是棱
1
CC ，
1
BB 上的点，点M 是棱AC 上的动点，
2
2
EC
FB
，当点M 在什么位置时，MB∥平面AEF ？
【答案】当M 是AC 的中点时，MB∥平面AEF .
【解析】证明：过F ，B ，M 作平面FBMN 交AE 于点N ，连接MN ，NF ，
易知BF∥平面
1
1
AAC C ，又BF 平面FBMN ，
平面FBMN 平面
1
1
AAC C
MN
，所以BF
MN
∥
.
又MB∥平面AEF ，MB 平面FBMN ，平面FBMN 平面AEF
FN
，
所以MB
FN
∥
，所以四边形BFNM 是平行四边形，
所以
1
MN
BF
.
而EC
FB
∥
，
2
2
EC
FB
，
所以MN
EC
∥
，
1
2
MN
EC
，
故MN 是
ACE
△
的中位线.
所以当M 是AC 的中点时，MB∥平面AEF .
2．如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，PD 底面ABCD，PD
CD
，点E
在棱PC 上，
//
PA 平面EBD .
(1)试确定点E 的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数，使三棱锥E
BPD
体积为2
3 .
【答案】(1) E 是PC 的中点，理由见解析
(2)存在，
1
【分析】
（1）连结AC，交BD 于点O，推出O 是AC 的中点，根据线面平行的性质定理，即可判断出结论；
（2）假设存在实数，使三棱锥E
BPD
体积为2
3 ，则根据棱锥体积之间的关系推出
4
3
P DBC
V
，结合体
积公式，即可求得，即可得结论.
【详解】（1）E 是PC 的中点.
理由：连结AC，交BD 于点O，连结OE，
∵底面ABCD 是正方形，
∴O 是AC 的中点.
∵PA∥平面EBD，平面PAC 平面
,
BDE
OE PA
平面PAC，
∴PA
OE
∥
，
∵O 是AC 的中点，
∴E 是PC 的中点.
（2）假设存在实数，使三棱锥E
BPD
体积为2
3 ，
∵E 为PC 中点，
∴
1
1
2
2
E BPD
C BPD
P DBC
V
V
V
.
若
2
3
E BPD
V
，则
4
3
P DBC
V
.
底面ABCD是边长为2 的正方形，PD 底面ABCD，则
2
BDC
S
，
故
1
2
4
2
3
3
3
P DBC
BDC
V
S
PD
△
，
∴
1
，
∴存在
1
，使三棱锥E
BPD
体积为2
3 .
3．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
,
2
AC
BC AC
，且
1
1
BC
CC
，点D 在线段
1
BC （含端点）上
运动，设
1
BD
BC
．当
//
AB 平面
1ACD 时，求实数的值.
【答案】1
2
【分析】
连接
1
AC ，交
1AC 于点E ，连接DE ，根据线面平行的性质得到
//
AB DE ，即可得到D 为
1
BC 的中点，从而
得解.
【详解】
如图，连接
1
AC ，交
1AC 于点E ，连接DE ，
E
为
1
AC 的中点，且平面
1ACD 平面
1
ABC
DE
，
//
AB
平面
1ACD ，AB 平面
1
ABC ，
//
AB DE
，
D
为
1
BC 的中点，即实数的值为1
2 ．
4.如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
,
,
E F G 分别是
1
,
,
AB CC AD 的中点.
（1）证明：
//
EG 平面
1
1
D B C ；
（2）棱CD 上是否存在点T ，使
//
AT
平面
1
B EF ？若存在，求出DT
DC 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
1
4
DT
DC
【解析】（1）连接
1
1
1
,
,
BD B D CD ，
,
E G
分别为
,
AB AD 中点，
//
EG BD
，
1
1
//
BB
DD
，
1
1
BB
DD
，
四边形
1
1
BDD B 为平行四边形，
1
1
//
BD B D
，
1
1
//
EG B D
，又EG 平面
1
1
D B C ，
1
1
B D 平面
1
1
D B C ，
//
EG
平面
1
1
D B C .
（2）假设在棱CD 上存在点T ，使得
//
AT
平面
1
B EF ，
延长
1
,
BC B F 交于H ，连接EH 交DC 于K ，
1
1
//
CC
BB
，F 为
1
CC 中点，
C
为BH 中点，
//
CD AB
，
//
KC AB
，
1
1
2
4
KC
EB
DC
，
//
AT
平面
1
B EF ，AT 平面ABCD ，平面
1
B EF 平面ABCD
EK
，
//
AT EK
，又
//
TK AE ，
四边形ATKE 为平行四边形，
1
2
TK
AE
DC
，
1
4
DT
KC
DC
；
当
1
4
DT
DC
时，
//
AT
平面
1
B EF .
题型九：由线面平行求线段长度
1．如图，在棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，过A1B 且与AC1 平行的平面交B1C1 于点P，则PC1
＝（
）
A．2
B．
3
C．
2
D．1
【答案】D
【分析】首先根据线面平行的性质定理，作辅助线，找到包含
1
AC 的平面
1
1
AB C 与平面
1A BP 的交线，即可
计算
1
PC 的值.
【详解】连结
1
AB ，交
1A B 于点Q ，连结
1
PA 和PB ，PQ ，
因为
1//
AC
平面
1A BP ，又
1
AC 平面
1
1
AB C ，且平面
1
1
AB C 平面
1A BP
PQ
，
所以
1//
AC
PQ，又点Q 是
1
AB 的中点，所以P 是
1
1
B C 的中点，
所以
1
1
PC
故选：D
2．A 是
BCD
△
所在平面外一点，M 是ABC
的重心，N 是ACD
的中线AF 上的点，并且
/ /
MN
平面BCD，
当
4
3
MN
时，BD
．
【答案】4
【分析】先根据线面平行性质得出
/ /
MN
EF ，再根据中位线从而求出
1
2
EF
BD
，再由重心得到
2
3
AM
AN
AE
AF
，计算求解即可.
【详解】因为
/ /
MN
平面BCD，MN 平面AEF ，平面AEF 平面BCD
EF
.
所以
/ /
MN
EF ，M 是ABC
的重心，N 是ACD
的中线AF 上的点，
所以E，F 分别是BC，CD 的中点，N 是ACD
的重心,
所以
1
2
EF
BD
，
又因为M，N 分别是ABC
和ACD
的重心，
所以
2
3
AM
AN
AE
AF
且
2
1
4
3
3
3
MN
EF
BD
,
所以
4
BD
.
故答案为：4.
3．如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
2
AB
，E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若
//
EF
平面
1
AB C ，
则EF
.
【答案】
2
【分析】
根据线面平行的性质定理，可得到
//
EF
AC ，即可求EF 的长.
【详解】
根据题意，因为
/ /
EF
平面
1
AB C ，EF 平面ABCD，
且平面ABCD 平面
1
AB C
AC
所以
/ /
EF
AC .
又E 是AD 的中点，所以F 是CD 的中点.
因为在Rt
DEF
△
中，
1
DE
DF
，故
2
EF
.
故答案为：
2
4．如图所示，直线a∥平面，点A平面，并且直线a 和点A 位于平面两侧，点B，C，D
a
，AB，
AC，AD 分别交平面于点E，F，G，若
4
BD
，
4
CF
，
5
AF
，则EG=
.
【答案】20
9 /
2
2 9
【分析】利用线面平行的性质可得BD ∥EG ，然后利用平行线分线段成比例定理和比例的性质求解
【详解】因为直线a∥平面，点B，C，D
a
，平面ABD 平面
EG
，
所以BD ∥EG ，
所以EG
AF
AF
BD
AC
AF
FC
,
所以
5
20
4
5
4
9
AF
EG
BD
AF
FC
，
故答案为：20
9
5．在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线AC 上的点P
（如图），且与平面
1
1
B CD 平行，已知
1
10cm
AA
，
6cm
AP
，则截面面积等于
2
cm .
【答案】36 3
【分析】
连接BD 交AC 于点O，连接
1A D 、
1A B ，过点P 作与BD 平行的直线分别交AD 、AB 于点M 、N ，在
1
AA
上取点Q 使AQ
AM
，证明出平面
//
MNQ
平面
1
1
B CD ，计算出
MNQ
△
的面积，即可得解.
【详解】
如图，连接BD 交AC 于点O，连接
1A D 、
1A B .
因为
1
1
//
BB
DD 且
1
1
BB
DD
，故四边形
1
1
BB D D 为平行四边形，所以，
1
1
//
BD B D ，
因为BD 平面
1
1
B CD ，
1
1
B D 平面
1
1
B CD ，所以，
//
BD
平面
1
1
B CD ，
同理可证
1 //
A B
平面
1
1
B CD ，
因为
1A B
BD
B
，
1A B 、BD 平面
1A BD ，所以，平面
1
//
A BD
平面
1
1
B CD ，
故截面平行于平面
1A BD .
过点P 作与BD 平行的直线分别交AD 、AB 于点M 、N ，在
1
AA 上取点Q 使AQ
AM
.
AQ
AM
，
1
AQ
AM
AA
AD
，
1
AQM
AA D
∽
△
△
，
1
//
QM DA
.
因为QM 平面
1A BD ，
1A D 平面
1A BD ，所以，
//
QM
平面
1A BD ，
又因为
//
MN DB ，MN 平面
1A BD ，BD 平面
1A BD ，所以，
//
MN
平面
1A BD ，
因为MN
QM
M
，MN 、QM 平面MNQ ，所以，平面
//
MNQ
平面
1A BD ，
易得
1
MNQ
DBA
∽
△
△
，故
1
2
2
2
6
18
25
5 2
MNQ
DBA
S
MN
AP
S
DB
AO
△
△
，
因为
2
2
2
1
1
10
2
10 2
A B
AB
AA
，
易知
1A BD
是边长为10 2 的等边三角形，所以，
1
2
1
10 2
sin60
50 3
2
A BD
S
△
，
因此，
1
2
18
18
50 3
36 3 cm
25
25
MNQ
A BD
S
S
△
△
.
故答案为：36 3 .
6．如图所示，在四面体ABCD中，M
N
P
Q
、、、
分别是四面体的棱AD
DC
CB
AB
、
、
、
上的点，且M 、
N
P
Q
、、
在同一个平面上，已知四边形MNPQ 平行于四面体的一组对棱AC 和BD ，若AC
BD
p
，求
四边形MNPQ 的周长．
【答案】2 p
【分析】
设
,
AM
m DM
n
，利用线面平行的性质定理得到
,
MN
AC PQ
AC
∥
∥
，可得四边形MNPQ 是平行四边
形，然后利用线段成比例，即可求解.
【详解】设
,
AM
m DM
n
，
/ /
AC
平面MNPQ ，面ACD 面ABC AC ，
且面ACD面MNPQ
MN
，面ABC 面MNPQ
PQ
，
/ /
,
/ /
MN
AC PQ
AC
，
/ /
MN
PQ
，同理可得
/ /
MQ
NP ．
四边形MNPQ 是平行四边形，
,
MN
DM MQ
AM
AC
DA
BD
AD
，
,
n
m
MN
p MQ
p
m
n
m
n
，
MN
MQ
p
，
四边形MNPQ 的周长为
2
2
MN
MQ
p
．
7．如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH 是一个平行四边形．
(1)求证：
/ /
CD
平面EFGH
(2)若AB
CD
且
8,
6
AB
CD
，EFGH 为其所在棱的中点，求四边形EFGH 面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】
（1）根据题意，利用线面平行的判定和性质定理，证得
/ /
CD
EH ，结合线面平行的判定定理，即可证得
CD
EFGH
平面
//
.
（2）根据题意，得到四边形EFGH 为矩形，进而求得其面积.
【详解】（1）
证明：因为截面EFGH 是平行四边形，所以
/ /
EH
GF ，
又因为GF 平面BCD，EH 平面BCD，所以
/ /
EH
平面BCD，，
因为EH 平面ACD ，且平面ACD 平面BCD
CD
，所以
/ /
CD
EH ，
又因为CD 平面EFGH ，EH 在面EFGH 内，所以
/ /
CD
平面EFGH .
（2）解：因为
,
,
,
E F G H 分别为
,
,
,
AD BD BC AC的中点，且
8,
6
AB
CD
，
可得
/ /
/ /
EF
AB
GH 且
1
4
2
EF
GH
AB
，
/ /
/ /
EH
CD
GF 且
1
3
2
EH
GF
CD
，
因为AB
CD
，可得EF
GF
，所以四边形EFGH 为矩形，
所以四边形EFGH 的面积为
4 3
12
S
EF GF
.
8．如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为4 的正方形，E，F 分
别是侧棱
1
1
,
AA CC 上的动点，点P 在棱
1
AA 上，且
1
AP ，若
/ /
EF
平面PBD，求EF 的长.
【答案】
6
【分析】连接AC 与BD 交于点O，连接PO，在棱
1
AA 上取
1
PQ
AP
，连接QC ，
1
1
AC ，由
/ /
EF
平面
PBD，证得四边形QEFC 是平行四边形，在直角
APO
△
中，即可求解.
【详解】因为长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为4 的正方形，所以
1
AD ，
1
4
AA
，
如图所示，连接AC 与BD 交于点O，连接PO，
在棱
1
AA 上取
1
PQ
AP
，连接QC ，
1
1
AC ，则
/ /
OP
CQ ，且
1
2
OP
QC
，
因为
/ /
EF
平面PBD，且EF 平面
1
1
A ACC ，平面
1
1
A ACC 平面BPD
OP
，
所以
/ /
EF
OP ，所以
/ /
EF
QC ，
又因为
/ /
QE
CF ，所以四边形QEFC 是平行四边形，所以
2
EF
QC
OP
，
在直角
APO
△
中，
1
AP ，
2
1
2
2
AO
AC
，所以
2
2
2
6
1
2
2
OP
，
所以
6
2
6
2
EF
.
9．如图所示，直线//
a
平面，点A 在另一侧，点B，C，D
a
，线段AB，AC，AD 分别交于点E，
F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG 的长．
【答案】20
9
【分析】根据线面平行的性质定理可知
/ /
BD
EG，然后利用相似三角形知识可以得到AF
EG
AC
BD
，进而求
出EG .
【详解】因为A
a
，所以点A 与直线a 可以确定一个平面，即平面ABD．
因为
/ /
a
，且平面ABD
EG
＝
，BD 平面ABD ，
所以
/ /
a
EG ，即
/ /
BD
EG ，所以AF
EG
AC
BD
．
于是
5
4
20
5
4
9
AF BD
EG
AC
．
10．图1：平行四边形ABCD中，
,
1
AC
BC AC
BC
，现将
ADC
△
沿AC 折起，得到三棱锥D
ABC
（如
图2），且DA
BC
，点M 为侧棱DC 的中点.
（1）求证：AM
BD
（2）N 为
ACB
的角平分线上一点，若
//
DN
平面ABM ，求线段DN 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
2 .
【分析】（1）通过证明AM 平面DBC 来证得AM
BD
.
（2）通过线面平行的性质定理求得
//
DN EM ，且
2
DN
EM
，由此求得DN 的长.
【详解】（1）证明：折叠后：
因为
,
,
DA
BC AC
BC DA
AC
A
，所以BC 平面DAC ，
又AM 平面DAC ，所以BC
AM
，
又AC
BC
，所以DA
AC
，
又M 是DC 的中点，所以DC
AM
，
又BC
DC
C
，所以AM 平面DBC ，
又BD 平面DBC ，所以AM
BD
.
（2）取AB 的中点E，连接
,
CE ME ，
因为AC
BC
所以CE 在角
ACB
的平分线上，
又点N 为
ACB
的角平分线上一点，所以
,
DN EM 共面，
又
//
DN
平面ABM ，平面ABM 平面CDN
ME
，
根据线面平行的性质定理得
//
DN EM ，且
2
DN
EM
，
由
1
AC
BC
得
2
AB
，在Rt ABM
中知
1
2
EM
AB
，
所以
2
2
EM
，所以
2
DN
.
题型十：面面平行性质定理的应用
1．如图所示正四棱锥S
ABCD
，
2,
2
SA
SB
SC
SD
AB
，P 为侧棱SD 上的点．且
3
SP
PD
，求：
(1)正四棱锥S
ABCD
的表面积；
(2)侧棱SC 上是否存在一点E，使得
/ /
BE
平面PAC ．若存在，求SE
EC 的值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1) 2 7
2
；
(2)在侧棱SC 上存在一点E ，使
/ /
BE
平面PAC ，满足
2
SE
EC
．
【分析】（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果；
（2）分析可得在侧棱SC 上存在一点E ，使
/ /
BE
平面PAC ，满足
2
SE
EC
．证得平面
/ /
BEQ
平面PAC ，
根据面面平行的性质定理即可证出结论.
【详解】（1）正四棱锥S
ABCD
中，
2
SA
SB
SC
SD
，
2
AB
，
侧面的高
2
2
2
14
2
(
)
2
2
h
，
正四棱锥S
ABCD
的表面积
1
14
4
2
2
2
2 7
2
2
2
S
．
（2）
在侧棱SC 上存在一点E ，使
/ /
BE
平面PAC ，满足
2
SE
EC
．
理由如下：
取SD 中点为Q ，因为
3
SP
PD
，则PQ
PD
，
过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ ，BE ．
在
BDQ
△
中，有
/ /
BQ
PO ，
PO
平面PAC ，
BQ
平面PAC ，
/ /
BQ
平面PAC ，
由于
2
SQ
QP
，
2
SE
SQ
EC
QP
．
又由于
/ /
QE
PC ，
PC 平面PAC ，QE 平面PAC ，
/ /
QE
平面PAC ，
BQ
QE
Q
，平面
/ /
BEQ
平面PAC ，得
/ /
BE
平面PAC ，
2．如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，四边形ABCD为梯形，AB ∥CD ，
6
AB
，
1
2
AD
CD
DD
，
60
BAD
，点E 在线段AB 上，且
2
AE
，F 为线段BC 的中点．
求证：
1
C E ∥平面
1
1
ADD A .
【答案】证明见解析
【分析】
根据题意先证
1
CC ∥平面
1
1
ADD A ，CE ∥平面
1
1
ADD A ，可得平面
1
1
ADD A ∥平面
1
CC E ，结合面面平行的性
质定理分析证明.
【详解】由题意可得
1
CC ∥
1
DD ，
且
1
DD 平面
1
1
ADD A ，
1
CC 平面
1
1
ADD A ，可得
1
CC ∥平面
1
1
ADD A ；
因为AE ∥CD 且AE
CD
，可知四边形ADCE 为平行四边形，则CE ∥AD ，
且AD 平面
1
1
ADD A ，CE 平面
1
1
ADD A ，可得CE ∥平面
1
1
ADD A ；
且
1
CC
CE
C
，且
1
CC ，CE 平面
1
CC E ，
可得平面
1
1
ADD A ∥平面
1
CC E ，
由
1
C E 平面
1
CC E ，可得
1
C E ∥平面
1
1
ADD A ．
3．在矩形ABCD 中，
4
AB
，
2
AD
．点E，F 分别在AB，CD 上，点
,
E F 分别在
,
AB CD 上，且
2
AE
，
1
CF ．沿EF 将四边形AEFD 翻折至四边形A EFD
，点A平面BCFE．
(1)求证：
/ /
CD
平面A BE
；
(2)求证：A D
与BC 是异面直线；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明平面
/ /
D FC
平面A EB
，利用面面平行的性质定理可证明结论；
（2）利用反证的方法，假设假设A D
与BC 不是异面直线，得出矛盾，即可证明结论；
【详解】（1）证明：∵
/ /
D F
A E
，D F
平面A EB
，A E
平面A EB
，
∴
/ /
D F
平面A EB
，
∵
/ /
CF
BE ，CF 平面A EB
，BE 平面A EB
，
∴
//
CF
平面A EB
，∵CF
D F
F
，
,
CF D F
平面D FC
，
故平面
/ /
D FC
平面A EB
，而CD平面D FC
，故
/ /
CD
平面A BE
；
（2）证明：假设A D
与BC 不是异面直线，即
,
, ,
A D B C
四点共面，
则
/ /
A D
BC
或
,
A D BC
相交于一点，设为Q，
若
/ /
A D
BC
，∵A D
平面BCFE，故
/ /
A D
平面BCFE，
而A D
平面A D FE
，平面A D FE
平面BCFE
EF
，
故
/ /
A D
EF
，与且
2
AE
，
1
CF ，则
,
AD EF 不平行矛盾；
若A D
BC
Q
，则Q 平面A EFD
，Q 平面BCFE ，
平面A EFD
平面BCFE
EF
，故Q
EF
，则
,
,
A D BC EF
交于一点，
由题意可知
,
A D EF
相交于FE 延长线上，
,
BC EF 相交于EF 延长线上一点，
即
,
,
A D BC EF
不会交于同一点，故矛盾，
由此说明即
,
, ,
A D B C
四点不共面，即A D
与BC 是异面直线
4.如图所示，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，
,
N K 分别为
,
PC PA的中点，平面PBC 平
面APD
l
．
（1）求证：//
l BC ；
（2）直线PB 上是否存在点H ，使得平面
//
KNH
平面ABCD ，并加以证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）当H 为PB 中点时，平面
//
KNH
平面ABCD，证明见解析.
【解析】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，
所以
//
BC AD ，因为AD 平面PAD ，BC 平面PAD ，
所以
//
BC
平面PAD ，
又因为平面PAD 平面PBC
l
，BC 平面PBC ，所以
//
BC l ．
（2）当H 为PB中点时，平面
//
KNH
平面ABCD．
证明如下：取PB 的中点H ，连接KH ，NH ，KN ，
因为
,
N K 分别为
,
PC PA的中点，
所以
//
NH BC ，
//
KH AB ，
又NH 平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以
//
NH
平面ABCD，
同理可证
//
KH
平面ABCD ．
又因为KH 平面KNH ，NH 平面KNH ，KH
NH
H
，
所以平面
//
KNH
平面ABCD ．
5.如图所示，在四棱锥P
ABCD
中，
/ /
BC
平面PAD，
1
2
BC
AD
，E 是PD 的中点．
（1）求证：
/ /
BC
AD ；
（2）线段AD 上是否存在点N，使平面
/ /
CEN
平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，当点N 是AD 的中点时满足题意. 证明见解析解.
【解析】（1）因为
/ /
BC
平面PAD ，BC 平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD
AD
，
所以
/ /
BC
AD ；
（2）存在，且当点N 是AD 的中点时，平面
/ /
CEN
平面PAB . 下面给出证明：
因为E 、N 分别是PD 、AD 的中点，所以
/ /
EN
PA，
又EN 平面PAB ，PA 平面PAB ，所以
/ /
EN
平面PAB .
由（1）知，
/ /
BC
AN ，又N 是AD 的中点，
1
2
BC
AD
，
所以BC
AN
，所以四边形ABCN 是平行四边形，从而
/ /
CN
BA，
又CN 平面PAB ，BA 平面PAB ，所以
/ /
CN
平面PAB .
又因为CN
EN
N
，所以，平面
/ /
CEN
平面PAB
模块三：综合巩固
1.已知三条不同的直线l，m，n，且l
m
，则“ m
n
∥”是“l
n
∥
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若m
n
∥，又l
m
，则l
n
∥
，故充分性成立，
反之，若l
n
∥
，又l
m
，则m
n
∥，故必要性成立.
故“ m
n
∥”是“l
n
∥
”的充要条件.故选：C.
2.若
/ /
a
，//
b ，则直线a ，b 的位置关系是（
）
A．平行或异面
B．平行或相交
C．相交或异面
D．平行、相交或异面
【答案】D
【解析】如图所示，设平面FBCH 为平面
若AE
a
，EG
b
，故
/ /
a
，//
b ，a ，b 相交；
若AE
a
，MN
b
，故
/ /
a
，//
b ，a ，b 异面；
若AE
a
，GD
b
，故
/ /
a
，//
b ，a ，b 平行.故选：D
3.如图，E，F 分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C 的中点．求证：四边形B1EDF 为平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】由于
,
E F 分别是长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的中点，
设G 是
1
DD 的中点，连接
1
C G ，
根据长方体的性质可知
2
2
1
1
1
2
B E
DF
CD
CC
且
1
1
//
//
B E C G DF ，
所以四边形
1B EDF 是平行四边形.
4.如图，在正方体ABCD
A B C D
中，E，F，E，F分别是棱AB、AD、B C
、C D
的中点．求证：四
边形EFF E
为平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接BD、B D
．
因为E、F 分别为AB、AD 的中点，
所以
//
EF BD且
1
2
EF
BD
．
同理
//
E F
B D
且
1
2
E F
B D
．
在正方体ABCD
A B C D
中，四边形BB D D
为平行四边形，
故
//
BD B D
且BD
B D
，
故
//
EF E F且EF
E F
，
故四边形EFF E
为平行四边形．
5.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，P ，Q 分别为
1
CC ，
1
AA 的中点，求证：
1
//
BP DQ ．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，取
1
DD 的中点R ，连接AR ，RP ，
因为
1
//
AQ D R 且
1
AQ
D R
，所以
1
AQD R 为平行四边形，所以
1//
QD
AR ，
又
//
RP DC 且RP
DC
，
//
AB DC 且AB
DC
，
∴
//
RP AB 且RP
AB
，
∴四边形ABPR 为平行四边形，∴
//
AR BP ，∴
1
//
BP DQ ．
6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G 分别是AB，BB1，BC 的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图所示，连接B1C.
因为G，F 分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1，
所以四边形A1B1CD 为平行四边形，所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG，所以A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF 的两条边
分别对应平行且方向相同，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
7. E ，F ，G 分别是AB ，
1
BB ，BC 的中点，求证：
1
1
EFG
C DA
∽
．
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接
1B C ．
因为G ，F 分别为BC ，
1
BB 的中点，
所以
1
GF //BC 且
1
1
2
GF
B C
．
又
1
1
1
1
ABCD
ABC D
为正方体，
所以
//
CD AB 且CD
AB
，
1
1//
A B
AB 且
1
1
A B
AB
，
由基本事实4 知
1
1
//
CD A B 且
1
1
CD
A B
，
所以四边形
1
1
A B CD 为平行四边形，
所以
1
1
//
A D B C 且
1
1
A D
B C
．
又
1BC//FG ，
由基本事实4 知
1A D//FG．
同理可证：
1
1//
AC
EG ，
1
DC //EF ．
又
1
1
DAC
与
EGF
，
1
1
AC D
与
GEF
的两边分别对应平行且均为锐角，
所以
1
1
DAC
EGF
，
1
1
AC D
GEF
．所以
1
1
EFG
C DA
∽
8.在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，求证：
（1）
1
1
1
ABC
A B C
；
（2）
1
1
1
1
A D A
B C B
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由长方体的性质可得：
1
1//
A B
AB ，
1
1//
B C
BC ，且方向相同，
由等角定理可得：
1
1
1
ABC
A B C
.
（2）由长方体的性质可得：
1
1//
//
D C
DC AB，
1
1
D C
DC
AB
，
四边形
1
1
ABC D 为平行四边形，
1
1
//
AD
BC
，
1
1
1
1//B
A
C
D
，且方向相同，
由等角定理可得：
1
1
1
1
A D A
B C B
.
9.下列能保证直线a 与平面平行的条件是（
）
A．b
，a
b
B．a
，b
，a
b
C．b
､A ，B
a
，C ，D
b
，且AC
BD
∥
D．b
，c∥，a
b
，a
c
P
【答案】B
【分析】由线面平行的判定定理可知ACD 不满足条件.
【详解】A 中，直线a 可能在平面内，A 错误；
B 中，a
，b
，a
b
，根据线面平行的判定，可知a
P
，B 正确；
C 中，AC
BD
∥
，若点
,
A B 在内，则直线a 在平面内，C 错误.
D 中，直线a 可能在平面内，D 错误.
故选：B
10.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个
正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于选项B ，由于
/ /
AB
MQ ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意；对于选项C ，由于
/ /
AB
MQ ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意；对于选项D ，由于
/ /
AB
NQ ，结合线面平行判定
定理可知D 不满足题意；所以选项A 满足题意，故选A ．
11.下面四个选项中一定能得出平面
/ /
平面的是（
）
A．存在一条直线a，
/ /
a
，
/ /
a
B．存在一条直线a，a
，
/ /
a
C．存在两条平行直线a，b，a
，b
，
/ /
a
，
/ /
b
D．存在两条异面直线a，b，a
，b
，
/ /
a
，
/ /
b
【答案】D
【详解】如图，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
是长方体，平面ABCD 为平面，平面ABB1A1 为平面，
对于A，直线C1D1 为直线a，显然
/ /
a
，
/ /
a
，而与相交，A 不正确；
对于B，直线CD 为直线a，显然a
，
/ /
a
，而与相交，B 不正确；
对于C，直线CD 为直线a，直线A1B1 为直线b，显然a
，b
，
/ /
a
，
/ /
b
，而与相交，C
不正确；
对于D，因a，b 是异面直线，且a
，b
，过直线a 作平面
c
，如图，
则c//a，并且直线c 与b 必相交，而
c
，于是得/ /
c
，又
/ /
b
，即内有两条相交直线都平行于平
面，因此，平面
/ /
平面.
故选：D
12.正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，E 是AB 的中点，点F 在BC 上，则BF 等于多少时，
//
EF
平面
1
1
AC D
（
）
A．1
B．1
2
C．1
3
D．1
4
【答案】B
【详解】解：如图，连接AC ，过点E 作
//
EF
AC 交BC 于F ，因为E 是AB 的中点，所以F 是BC 的中点，
由正方体的性质易得
1
1
/ /
AC
AC ，所以
1
1
/ /
EF
AC ，因为EF 平面
1
1
AC D，
1
1
AC 平面
1
1
AC D，
所以
//
EF
平面
1
1
AC D，此时F 是BC 的中点，故
1
2
BF
.故选：B
13.在三棱锥A
BCD
中，点E，F 分别在
,
AB CB 上．若
:
:
2: 5
AE EB
CF FB
，则直线AC 与平面DEF
的位置关系为（
）
A．平行
B．相交
C．AC 平面DEF
D．不能确定
【答案】A
【解析】因为
:
:
2: 5
AE EB
CF FB
，所以
//
EF AC ．
又AC 平面
,
DEF EF 平面DEF ，所以
//
AC 平面DEF ．故选：A
14.已知直线a、b 和平面，下面说法正确的是(
)
A．若a
b
∥，b
∥
，则a
∥
B．若a
b
∥，b
，则a
∥
C．若a
b
∥，b
，a
，则a
∥
D．若a
∥
，b
∥
，则a
b
∥
【答案】C
【解析】对于A，若a
b
∥，b
∥
，则a
∥
或a
，故A 错误；
对于B，若a
b
∥，b
，则a
∥
或a
，故B 错误；
对于C，若a
b
∥，b
，a
，则a
∥
，故C 正确；
对于D，若a
∥
，b
∥
，则a
b
∥，a 与b 相交，或a 与b 异面，故D 错误．故选C．
15.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D 为BC 的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.
由题意知，A1ACC1是平行四边形，
所以O 是A1C 的中点，
又D 是CB 的中点，
因此OD 是△A1CB 的中位线，即OD∥A1B.
又A1B平面ADC1，OD⊂平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1.
16.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
,
,
D E F 分别是棱
1
1
,
,
AB BC AC 的中点，求证：
/ /
EF
平面
1ACD ．
【答案】证明见解析
【解析】连接DE ，因为
,
D E 分别是
,
AB BC 的中点，
所以DE
AC
且
1
2
DE
AC
，
因为
1
1
1
ABC
A B C
-
是三棱柱，
所以
1
1
/ /
AA
CC 且
1
1
AA
CC
，
所以四边形
1
1
AAC C 是平行四边形，
所以
1
1
/ /
AC
AC 且
1
1
AC
AC
．
因为F 是
1
1
AC 的中点，
所以
1
/ /
A F
AC 且
1
1
2
A F
AC
，
所以
1
/ /
DE
A F 且
1
DE
A F
，
所以四边形
1A DEF 是平行四边形，所以
1
/ /
EF
A D．
又EF 平面
1
1
,
ACD A D 平面
1ACD ，
所以
/ /
EF
平面
1ACD ．
17.已知正方形ABCD，如图1，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将
ADE
V
沿DE 折起，如图2 所示，求证：
//
BF
平面ADE .
【答案】证明见解析
【解析】因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，所以EB
FD
又
/ /
EB
FD ，所以四边形EBFD 为平行四边形，
所以
/ /
BF
ED ，
因为DE 平面ADE ，而BF 平面ADE ，
所以
//
BF
平面ADE .
18.如图E、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB，AD 的中点，平面过EH 分别交BC、CD 于F、G，求证：EH//FG.
【答案】证明见解析
【解析】因为E、H 分别是AB，AD 的中点，所以
/ /
EH
BD ，
因为EH 平面BCD，BD 平面BCD，所以
/ /
EH
平面BCD，
因为EH
，平面平面BCD
FG
，所以
//
EH
FG .
19.如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
在圆柱中，等腰直角三角形
1
1
1
A B C ，ABC 分别为上、下底面的内接三角形，
点D ，E 分别在棱
1
BB 和AC 上，
1
AB
BC
AA
，
3
AC
AE
，
//
BE
平面
1ACD ，求
1
1
B D
BB 的值
【答案】
1
1
1
3
B D
BB
【解析】如图，过E 点作
1
∥
EF
AA 交
1AC 于点F ，连接DF ，
1
1
BB
AA
，
1
EF
BB
，
EF
与
1
BB 确定一个平面，
/ /
BE
平面
1ACD ，平面
1ACD 平面DBEF
DF
，
BE
DF
∥
，
四边形DBEF 为平行四边形，
DB
EF
，
又
3
AC
AE
，
1
2
3
EF
CE
A A
AC
，
1
1
2
3
BD
EF
B B
A A
，
1
1
1
3
B D
BB
.
20.如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M 、N 、E 、F 分别是相应棱的中点，证明：平面
/ /
AMN
平面EFDB ．
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接
1
1,
,
NE D B MF ，由题得
1
1
//
MN B D ，
又
1
1
1
1
//
,
BB
DD BB
DD
所以四边形
1
1
BDD B 是平行四边形，
所以
1
1
//
BD B D ，所以
/ /
MN
DB ，
MN
平面EFDB ，BD 平面EFDB ，
/ /
MN
平面EFDB ，
在正方形
1
1
1
1
D
C
B
A
中，M ，F 分别是棱
1
1
A B ，
1
1
DC 的中点，
1
1
/ /
MF
A D
且
1
1
MF
A D
，
又
1
1 / /
A D
AD
且
1
1
A D
AD
，
//
MF
AD
且MF
AD
，
四边形AMFD 是平行四边形，
/ /
AM
DF
，
又
AM
平面EFDB ，DF 平面EFDB ，
//
AM
平面EFDB ，
AM
平面AMN ，MN 平面AMN ，且AM
MN
M
，
平面
/ /
AMN
平面EFDB ．
21.如图
/ / ,
AB
CD
，
,
,
M N P 分别为线段
,
,
AC CB BD 中点，且
,
,
M N P 三点不共线.求证：平面MNP//
平面α
【答案】证明见解析.
【解析】∵
,
N P 分别为
,
BC BD 中点,
∴
/ /
NP
CD ，又∵
,
NP
CD
，
/ /
NP
，
设平面
,
ABC
CE AB
平面ABC ，
/ /
AB
CE
，
∵
,
M N 分别为
,
CA CB 中点，
∴
//
MN
AB ，∴
/ /
MN
CE ，
,
MN
CE
，
/ /
MN
，
∵
,
MN NP 平面MNP ，MN
NP
N
，
/ /
MN
，
/ /
NP
，
∴平面MNP//平面.
22.如图，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
2
2
B B
AB
，点E 为棱
1B B 上的点，且满足
1
2
B E
EB
．
（1）求异面直线
1
1
AC 与EC 所成角的余弦值；
（2）棱
1
D D 上是否存在一点F ，使得
1B F ∥平面ACE ，若存在，求出
1
D F
FD 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3 26
26
；（2）存在，
1
2
D F
FD
.
【解析】（1）∵
1
1
1
1
ABCD
A B C D
是正四棱柱，
∴
1
1
A A C C
∥
，四边形
1
1
AC CA是矩形，∴
1
1
AC
AC
∥
，
∴求异面直线
1
1
AC 与EC 所成角的余弦值即是求AC 与EC 所成角的余弦值，
在
AEC
△
中，
13
3
EC
EA
，
2
AC
，
∴
2
2
2
c
2
3 26
2
26
13
2
2
3
os
EC
AC
AE
E
A
AC
CE
C
；
（2）如图，当点F 为
1
D D 的三等分点（靠近D 点）时，使得
1B F ∥平面ACE ，
作
1B E 的中点G ，连接
1B F ，GD ，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，
由棱柱的性质可知
1
FD B G
∥
，∴四边形
1
FB GD 是平行四边形，∴
1
B F
GD
∥
，
又∵点E ，O分别是GB ，BD 的中点，∴OE
GD
∥
，
由平面公理4 可得
1
B F
OE
∥
，又∵OE 平面ACE ，
1B F 平面ACE ，
∴
1B F ∥平面ACE ，此时
1
2
D F
FD
．
23.如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点M 是线段
1
1
B D 上的一个动点,
,
E F 分别是
,
BC CM 的中点.
（1）求证：EF // 平面
1
1
BDD B ；
（2）在棱CD 上是否存在一点G ，使得平面GEF // 平面
1
1
BDD B ？若存在，求出CG
GD 的值；若不存在，请
说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；
1
CG
GD .
【解析】（1）连接BM ，如下图所示，
BE
EC
，CF
FM
，EF // BM ，
又EF 平面
1
1
BDD B ，BM 平面
1
1
BDD B ，
∴EF // 平面
1
1
BDD B ；
（2）当G 为棱CD 中点时，平面GEF // 平面
1
1
BDD B ，
理由如下：
E
为BC 中点，∴EG // BD ，
又EG 平面
1
1
BDD B ，BD 平面
1
1
BDD B ，
∴EG // 平面
1
1
BDD B ,
又由（1）EF // 平面
1
1
BDD B , EG
EF
E
，
∴平面GEF // 平面
1
1
BDD B ，且
1
CG
GD .
24.如图，在直棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，点E，F 分别为
1
1
A B ，BC 的中点，点G 是线段AF 上的动点．确定点G
的位置，使得平面
1
/ /
AC E
平面
1
B CG ，并给予证明
【答案】G 为ABC
的重心（或G 为线段AF 靠近F 的三等分点等）时，平面
1
/ /
AC E
平面
1
B CG ，证明见
解析
【解析】证明：如图所示：
取AB 中点D，连接CD 交AF 于G，
即G 为ABC
的重心（或G 为线段AF 靠近F 的三等分点等）时，平面
1
/ /
AC E
平面
1
B CG ．
证明：连接DE．
因为在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D，E 分别为AB，
1
1
A B 的中点，
所以
1
/ /
DE
CC ，且
1
DE
CC
，则四边形
1
DEC C 是平行四边形，故
1 / /
EC
DC
又DC 平面
1
B CD ，
1
EC 平面
1
B CD
所以
1 / /
EC
平面
1
B CD ．
因为在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D，E 分别是AB，
1
1
A B 的中点，
则
1
/ /
B E
AD 且
1B E
AD
，四边形
1B EAD 是平行四边形，
所以
1
/ /
EA
DB ．又
1
DB 平面
1
B CD ，EA 平面
1
B CD ，
所以
/ /
EA
平面
1
B CD ．
又EA 平面
1
AC E ，
1
EC 平面
1
AC E ，
1
EA
EC
E
，
所以平面
1
/ /
AC E
平面
1
B CG ．
