文档内容
第 06 讲 用空间向量研究距离、夹角问题
模块一 思维导图串知识 1．掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相
模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题；
模块三 核心考点举一反三 2．掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与
模块四 小试牛刀过关测 平面所成的角、二面角的大小；
3．体会向量方法在研究立体几何问题中的作用，
提升数学运算和直观想象的核心素养.
知识点 1 用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为 ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量 在直线l上的投影向
量为 ，则点P到直线l的距离为 （如图）．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离
求得.
2、点到平面的距离
已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的任一点， 是平面 外一点，过点 作则平面 的垂线
，交平面 于点 ，则点 到平面 的距离为 （如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
ABn
直线 与平面 之间的距离：d ，其中 ， 是平面 的法向量．
a |n | Aa,B n
ABn
两平行平面 之间的距离：d ，其中 ， 是平面 的法向量．
, |n | A,B n
知识点 2 用向量法求空间角
1、异面直线所成角
若 分别为直线 的方向向量， 为直线 的夹角，则 .
2、直线与平面所成角
1、夹角定义：设 是直线 的方向向量, 是平面 的法向量,直线与平面的夹角为 ．则
．
2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：
（1）建立适当的空间直角坐标系，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标，
（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，
（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．
3、求两条异面直线所成角的两个关注点
（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．
（2）范围：异面直线所成角的范围是 ，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值．
3、平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为这两
个平面的夹角.
若 分别为平面 的法向量， 为平面 的夹角，则 .
【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。
考点一：求点到直线的距离
例1．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知 ，
则点A到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
.故选：A.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式1-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线 过点 ，且方向向量为 ，则点
到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】点 ，点 .
又 直线 的方向向量为
所以点 到 的距离 .故选：B.
【变式1-2】（23-24高二下·广东·月考）AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中 ，
， ， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ，则 ， ，
所以 .故选：B
【变式1-3】（23-24高二下·江西·月考）已知正方体 的棱长为 是棱 的中点，若
点 在线段 上运动，则点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在棱长为2的正方体 中，以 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则有 ，则 ，
设点 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则点 到直线 的距离
当且仅当 时取等号，则点 到直线 的距离的最小值为 .故选：D.
考点二：求点到平面的距离
例2. （23-24高二上·陕西渭南·月考）已知平面 的一个法向量 ，点 在平面
内，则点 到平面 的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】由题得 ，
所以 到平面 的距离为 ，故选：C.
【变式2-1】（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
点 分别为 的中点， 是线段 的中点， ，则直线 到平面
的距离为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知 ， ， 两两垂直，则以 为坐标原点，
， ， 的放向分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立如空间直角坐标系.
由题意，得
所以 .设 为平面 的法向量，
则 令 ，得 .
又 ，所以 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
设为 ，因为 ，所以 .
故选：D
【变式2-2】（22-23高二下·江苏淮安·期中）在边长为1的正方体 中．平面 与平面
之间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，令 得 ，故 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司显然平面 平面 ，
所以平面 与平面 之间的距离 ．
故选：A
【变式2-3】（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱 所有棱长均为 ， ，
侧面 与底面 垂直， 、 分别是线段 、 的中点．
(1)求证： ；
(2)若点 为棱 上靠近 的三等分点，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接 ，因为三棱柱 所有棱长均为2，则 为等边三角形，
因为 为 中点，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，可得 ，
由题设知四边形 为菱形，则 ，
因为 ， 分别为 ， 中点，则 ，可得 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）连接 ，因为 ， ，所以 为正三角形，所以 ，
又侧面 与底面 垂直， 平面 ，侧面 底面 ，
所以 平面 ，所以 ， ， 两两垂直．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
点 为棱 上靠近 的三等分点，故 ，
可得 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，可得 ，
所以点 到平面 的距离为 ；
考点三：利用空间向量求线线角
例3. （23-24高二下·广西南宁·月考）已知点 ， ， ， ，则异
面直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】设两条异面直线所成的角为 ，
且这两条异面直线的方向向量分别是 ， ，
则 ，且 ，
所以 ，即异面直线 与 所成角的正弦值为 .故选：D
【变式3-1】（23-24高二上·广东佛山·月考）在三棱锥 中，已知 平面
分别为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以 为原点，以 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设异面直线 与 所成角的大小为 ，则 .故选：C.
【变式3-2】（23-24高二下·江苏宿迁·月考）如图，在直三棱柱 中， ，
，M是 的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若 ，则
异面直线CM与 所成角的余弦值为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，设 ，则有 ，
， ，由 得 ，
， ， ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选：C.
【变式3-3】（23-24高二上·江西·月考）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生
在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其
直观图如图所示， ， ， 、 、 、 分别是棱 、 、 、
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正方体 中，以 为原点，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
因为 ， ，
则 、 、 、 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值是 .故选：B.
考点四：利用空间向量求线面角
例4. （23-24高二上·广东湛江·月考）直线 的方向向量与 共线，平面 的一个法向量为
，则直线 和平面 的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线 和平面 的夹角为 ，则 ，
所以直线 和平面 的夹角的余弦值是 .故选：B
【变式4-1】（23-24高二上·安徽亳州·月考）将边长为1的正方形 及其内部绕 旋转一周形成圆
柱，如图， 长为 ， 长为 ，其中 与C在平面 的同侧，则直线 与平面 所成
的角的正弦值为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意， ， ，
如图所示，建立空间直角坐标系．
则 ，
∴
平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
∴ ．故选：D．
【变式4-2】（23-24高二下·辽宁·月考）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
分别是棱 ， ， 的中点， ， ，则直线 与平面 所成角的余弦值为
（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，又 平面 ， 平面 ，则 ，
以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
，
， ， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，所以 .故选：A
【变式4-3】（23-24高二下·广西·月考）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里
面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆
形的柱体．若 垂直于半圆柱下底面半圆所在平面， 为弧 的中点，则直线
与平面 所成角的正弦值为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在半圆柱下底面半圆所在平面内过 作直线 的垂线，
由于 垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，
则以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
于是 ， ，
又 为 的中点，则 ， ，
, ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 故选：D
考点五：利用空间向量求二面角
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司例5. （23-24高二上·浙江·期中）正方体 中，二面角 的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别以 为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，可得 ，
则 ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ，
取 ，得 ，故 ，
又 平面 ，故平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .故选：D.
【变式5-1】（23-24高二下·福建龙岩·月考）如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是
底面边长的 倍， 平面 ， 为侧棱 上的点，则二面角 的余弦值为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 ，设 交 于点 ，则 平面 ，
以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设底面边长为 ，则 ，
显然 是平面 的一个法向量，
因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
设二面角 为 ，
所以 .故选：B.
【变式5-2】（22-23高二下·江苏盐城·期中）在三棱锥 中，平面 平面
是 的中点. ，则二面角 的余弦值为
（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 平面 平面 ，且 为交线， ， 平面 ，
平面 ，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ，在Rt 中， ，
所以 ，
.
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 .
设二面角 的平面角为 ，
则 .故选：C
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式5-3】（23-24高二下·甘肃武威·月考）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ，底面
是正方形， 是 的中点， 在线段 上，且 .
(1)求证：
(2)求平面 与平面 所夹二面角余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】（1）连接 四边形 是正方形
平面 平面
平面 平面
平面 平面
.
（2）由（1）知 两两垂直如图，
以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系.
不妨设
则
平面
平面 的一个法向量为 ，
设 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则
平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 所夹二面角的平面角为
则
平面 与平面 所夹二面角余弦值为 .
考点六：空间角的探索性问题
例6. （23-24高二上·江西新余·期末）在四棱锥 中，已知 ， ， ，
， ， ， 是线段 上的点．
(1)求证： 底面 ；
(2)是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)证明见解析;(2)存在，且
【解析】（1）证明：在 中， ， ，
所以 .
在 中， ， ， ，
由余弦定理有： ，
所以， ，所以 ，所以 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又因为 ， ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
在 中： ， ， ，则 ，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以 面 .
（2）解：因为 平面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有 、 、 、 、 ，
设 ，其中 ，
则 ， ， ，
设 为面 的法向量，
则有 ，取 ，则 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
由题意可得 ，
可得 ，因为 ，所以 .
因此，存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ，且 .
【变式6-1】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，
， ， ，点 为 的中点.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使直线 与平面 所成的角正弦值为 ，若存在求出 的长，
若不存在说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在求出 的长 .
【解析】（1）取 的中点 ,连接
∵ ,∴ 是等腰三角形，
∵点 为 的中点.
∴. , , ∵ ,
可得四边形 是平行四边形，∴ ,
又∵ 平面 平面 ，∴. 平面 ;
（2）
取 中点为 ，连接 ,
则有 ,因为 所以
因为平面 平面 ，交线为 ,
平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，所以 ,
且在等腰三角形 中， ，
所以以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司假设 上存在一点 ，设
则
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 则 ，
所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
即 ，
整理得， ，解得 或 （舍去），
故得到 的长为 .
【变式6-2】（23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱 的底面是菱形，
，且直线 与平面 所成角为 ．
(1)求直四棱柱 的高；
(2)在棱 上是否能找到一点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ？若能，求出 的值；
若不能，说明理由．
【答案】(1) ;(2)能，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】（1）设 ，
因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故 两两垂直，
如图，以 分别为 轴正方向建立空间直角坐标系 ，
因为菱形 中， ，
所以 ，设 ，
则 ， ，
所以
设平面 的一个法向量为 ，则由 ,得 ，
令 得， ，
所以 ，
因为直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，即 ，解得 ．
（2）假设能找到这样的点 ，
设 ，且 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，则由 ,得 ，
令 得， ，
则 ，
由平面 与平面 的夹角为 ，
可得 ，即 ，解得 ，
所以能找到这样的点 ，
此时， ，故 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式6-3】（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图1， ， ，且 ，D是
中点，沿 将 折起到 的位置（如图2），使得 ．
(1)求证：面 面 ；
(2)若线段 上存在一点M，使得平面 与平面 夹角的余弦值是 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】（1）因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2） 面 面 ，面 面 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故以D为坐标原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，
在平面 内过D点作 的垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系 ．
，
， ， ，
则平面 的一个法向量 ，
设 ，则 ，
，
设面 的一个法向量为 ，
，即 ，
令 ，得 ，
平面 与平面 夹角记为 ，
则 ，解得 ．
所以 .
一、单选题
1．（23-24高二上·广东佛山·月考）已知点 ， ， ，则点 到直线 的距离为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】设点 到直线 的距离为 ，因为 ， ，
所以 ，故 .故选：B.
2．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量 ，且 平面 平面 ，若平
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司面 与平面 的夹角的余弦值为 ，则实数 的值为（ ）
A． 或－1 B． 或1 C．－1或2 D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，解得 或1．故选：B．
3．（23-24高二下·江苏连云港·月考）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 ，
的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所
示的空间
直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
故选：D．
4．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知 是圆锥 的底面直径，C是底面圆周上的点， ，
， ，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意：圆锥的高 ，
以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系 ：
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，得 ，设 与平面 所成角为 ，
则 ，
即 与平面 所成角的正弦值为 .故选：D.
5．（23-24高二上·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体 中， 分别是 的中点，
则直线 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】D
【解析】如图建立空间直角坐标系，则 ， ，
所以 ,
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
所以直线 到平面 的距离为 .
故选：D.
6．（22-23高二上·吉林长春·期中）如图，在正三棱柱 中， ，则平面 与平面
夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取 的中点 ，连接 ，过点 作 ，
因为正三棱柱 ，所以平面 平面 ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 两两互相垂直，
故以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，则 ，
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
则 ，设 ，则 ，
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
则 ，令 ， ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
故选：A.
二、多选题
7．（23-24高二上·山西大同·期末）已知空间四点 ， ， ， ，则下列四
个结论中正确的是（ ）
A． B．
C．点 到直线 的距离为 D．点 到平面 的距离为
【答案】AB
【解析】对于A中，由 ， ，可得 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，由空间的距离公式，可得 ，所以B正确；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于C中，取向量 ， ，
可得 ， ，所以点 到直线 的距离为 ，所以C错误；
对于D中，由向量 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ,
令 ，可得 ， ，所以 ，
所以点 到平面 的距离为 ，所以D错误．
故选：AB．
8．（23-24高二上·山东泰安·月考）已知正方体 的棱长为1，点E，O分别是 ，
的中点，点P在正方体内部且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．BE与 所成角的正弦值是 B．点O到平面 的距离是
C．平面 与平面 间的距离为 D．点P到直线AB的距离为
【答案】ACD
【解析】如图，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
， ，所以 ， ．
对于A，设BE与 所成角 ，
则 ， ，故A正确；
对于B，易知 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 .
所以平面 的一个法向量 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则点O到平面 的距离 ，
故B错误；
对于C， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，所以 ，令 ，
所以 ，所以点 到平面 的距离 ．
因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ， ，
平面 ，所以平面 平面 ，
所以平面 与平面 间的距离等于点 到平面 的距离，即为 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ， ，
则 ，所以点P到AB的距离 ，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题
9．（23-24高二下·江西·月考）设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线
与平面 所成角的大小为 .
【答案】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】因为直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，又 ，所以 .故答案为：
10．（23-24高二下·河南濮阳·月考）如图，已知正方体 的棱长为1， 为棱 的中点，
则点 到平面 的距离为 ．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 .
设平面 的一个法向量为 ，
,
则 ，
令 ，则 .
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
即点到平面 的距离为 .
故答案为： .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若 ， ，
，则点 到平面 的距离为 .
【答案】
【解析】由题意可得 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，即 ，
可取 ，则 、 ，即 ，
则点 到平面 的距离为 .
故答案为： .
四、解答题
12．（22-23高二上·广东东莞·月考）如图，在正方体 中，已知棱长为4，点E，F分别在
， 上， .
(1)求异面直线AE和 所成角的余弦值;
(2)求直线AE和平面 所成角的正弦值；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)求平面 和平面 所成角的余弦值.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【解析】（1）在正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
于是 ， ，
所以异面直线AE和 所成角的余弦值 .
（2）由（1）知， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
于是 ，
所以直线AE和平面 所成角的正弦值 .
（3）由（2）知，平面 的法向量 ，显然平面 为 ，
则 ，
所以平面 和平面 所成角的余弦值为 .
13．（23-24高二下·江苏泰州·月考）如图，在三棱柱 中， ，侧面
是正方形，二面角 的大小是 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求 到平面 的距离．
(2)线段 上是否存在一个点D，使直线 与平面 所成角为 ？若存在，求出 的长；若不存
在说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在，
【解析】（1）记 的中点分别为 ，
由 是正方形可知 ，
又 ，所以 ，
因为二面角 的大小是 ，所以 ，
由三棱柱性质可知， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
作 于点 ，
因为，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 即为所求，
所以 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）以 的方向分别为x，y轴的正方向，过点F作垂直于平面 的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
易知， ，
则 ，
则 ，
设 ，
则 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，取 ，得 ，
记直线 与平面 所成角为 ，
则
，
当 ，即 时， 取得最小值4，
故 ，
所以，当 时，直线 与平面 所成角为 .
此时 ，
所以 .
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