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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章空间向量与立体几何+直线方程。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在空间直角坐标系中， 关于 轴的对称点为点 ，若点 关于 平面的对称点为点
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出 关于 轴的对称点 ，点 关于 平面的对称点 ，再计算 的值．
【详解】空间直角坐标系中， 关于 轴的对称点为 ，
点 关于 平面的对称点为点 ，
所以 ．
故选：B．
2．若直线 ： 与直线 ： 平行，则 ＝（ ）
A． B． 或3 C． D．3
【答案】B
【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求 的值即可.
【详解】因为两直线平行，所以：
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 或 .
故选：B
3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，
已知四棱锥 是阳马， 平面 ，且 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算原则求解即可.
【详解】由题意， ，
，
则 ，
故选：D.
4．直线 经过点 ，在两坐标轴上的截距互为相反数，则 的所有可能取值之和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】由直线 经过点 得 ，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反
列式计算即可.
【详解】由题意，因为直线 经过点 ，所以 ，则直线 .
当 时，直线 在 轴上不存在截距，不满足题意；
所以 ，令 ，则 ，令 ，则 .
由题意 ，化简得 ，解得 或 ，
故 的所有可能取值之和为 .
故选：C.
5．已知两点 ， ，动点 在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解.
【详解】由 ， 可得： ，
则直线AB的方程为： ，即 .
又因为动点 在线段AB上运动，
所以 ，
则 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 . 最大值为3.
故选：C.
6． ， ， 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ， ， ， 分别是射线 ，
， 上的点，且 ， ， ，D，E，F分别为 ， ， 的中点，则点E到直
线 的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用 ， ， 表示出 与 ，由点E到直线 的距离为 可计算得到
答案
【详解】
如图所示， 为 的中点，则 ，
，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
点E到直线DF的距离为 ．
故选：C
7．在等腰直角 中， ，点 是边 上异于端点的一点，光线从点 出发经 ， 边
反射后又回到点 ，若光线 经过 的重心，则 的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立如图所示的直角坐标系，得 ，设 ，求出 关于直线 的对称点 的坐
标， 关于 轴的对称点 的坐标，由反射性质得 四点共线，求得直线 方程，由 在直线
上可求得 ，然后计算 即可．
【详解】
4 / 22
学科网（北京）股份有限公司建立如图所求的直角坐标系，得 ， ，
则直线 方程为 ，
且 的重心为 ，即 ，
设 ， 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，则 ，
易知 关于 轴的对称点为 ，
根据光线反射原理知 四点共线，且 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
又直线 过 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ， ， ,
所以 ，
所以 的周长为 .
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把 的三边转化到同一条直线上，利用直线方
程求得点 的坐标.
8．如图，在直三棱柱 中， ， ， 是线段 的中点，在 内
有一动点 （包括边界），则 的最小值是（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立适当的空间直角坐标系 ，因为 位于 的同侧，设 关于平面 的对称点为
，根据 求解.
【详解】以 为原点， 所在直线为 轴，过点 且平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设A关于平面 的对称点为 ， ，
则 ， ．
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
6 / 22
学科网（北京）股份有限公司所以A与 到平面 的距离 ，
即 ①．
又 ，所以 ，即 ②．
由①②得 ，由 可得 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若两直线 的倾斜角分别为 ，斜率分别是 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AD
【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误.
【详解】A：由 表明斜率存在，则 ，
由正切函数在 上，倾斜角和斜率一一对应，故 ，对；
B：若 ， 时，相应的倾斜角 ， ，不满足 ，错；
C：由正切函数的图象知：
当 和 时， ；
当 ， 时， ；
当 或 时， 或 不存在，错；
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学科网（北京）股份有限公司D：因为 ，结合正切函数的图象知 ， ，
所以 ，对.
故选：AD
A B C D
1 1 1 1
10．已知正方体 的棱长为4，动点 在正方体表面 上（不包括边界），则下列说
法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 ∥面
B．存在点 ，使得 面
C．若 与 的夹角为 ，则点 的轨迹长度为
D．若 为面 的中心，则 的最小值为
【答案】ACD
【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明 ∥ 即可得出结论；B项，求出
面 的法向量，计算出 面 时点 的坐标，即可得出结论；C项，求出点 的轨迹，即可求出
点 的轨迹长度；D项，作出 取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出
的最小值.
【详解】由题意，
在正方体 中，棱长为4，
A B C D
1 1 1 1
动点 在正方体表面 上（不包括边界），
连接 ，设 的中点为 ，连接 ，设两线段交点为 ，连接 ，
建立空间直角坐标系如下图所示，
A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),D(0,0,0),E(2,2,0),F(2,2,4)，
A (4,0,4),B (4,4,4),C (0,4,4),D (0,0,4).∴⃗A E=(−2,2,−4),⃗FC=(−2,2,−4)，∴ ∥ ，
1 1 1 1 1
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学科网（北京）股份有限公司∵ 面 ， 面 ，∴ ∥面 ，∴当点 在F(2,2,4)处时， 面 ，
∴存在点 ，使得 ∥面 ，故A正确；
B项，在面 中，⃗DA =(4,0,4),⃗DB=(4,4,0)，设面 的法向量为 ，
1
{⃗DA ⋅⃗n =0 {4x +4z =0 {x +z =0
1 1 即 1 1 ，解得 1 1 ，当 时， ，
⃗DB⋅⃗n =0 4x +4 y =0 x + y =0
1 1 1 1 1
A B C D
若 面 ，则⃗AP=t⃗n =(−t,t,t)，P=t⃗n =(4−t,t,t)，∵动点 在正方体表面 1 1 1 1上，
1 1
∴ ，此时P=(0,4,4)，与 重合，∵点 不在边界上，故不存在点 ，使得 面 ，B错误；
C项，因为 ， 与 的夹角为 ，所以 与 所成的角为 ，
π
则∠A AP=
1 6
由几何知识得，点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆的四分之一（即 ），
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴点 的轨迹长度为： ，C正确；
D项， 为面 的中心，作点 关于平面 的对称点 ，
连接A M，当 最小时， ，
2
9 / 22
学科网（北京）股份有限公司∴A (4,0,8)， ，
2
∴AP＋PM=A P＋PM=A M=√(4−0) 2+(0−2) 2+(8−2) 2=2√14，D正确.
2 2
故选：ACD.
11．定义点 到直线 的有向距离为 .已知点 到直线
的有向距离分别是 以下命题不正确的是（ ）
A．若 ，则直线 与直线 平行
B．若 ，则直线 与直线 垂直
C．若 ，则直线 与直线 垂直
D．若 ，则直线 与直线 相交
【答案】BCD
【分析】根据有向距离的定义可得直线 的方程，故可判断A的正误，根据反例可判断BCD的正误.
【详解】设 ，
对于A， 即为 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 的方程为： ，
因为 ，直线 与直线 平行，故A正确；
对于B，设直线 ，取 ，
则 ，但 ，此时直线 与直线 不垂直，故B错误；
此时 也成立，故C错误；
对于D，仍取直线 ，取 ，
此时 ，故 成立，此时 与直线 重合，故D错误.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若两条平行直线 ： 与 ： 之间的距离是 ，则直线 在x轴上的截距为
．
【答案】 或13
【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案．
【详解】由题意， ，因为 ，所以 ，解得 ，所以 ： ，即 ，
由两平行直线间的距离公式得 ，解得 或 ．
在 中，令 ，得 ，故直线 在x轴上的截距为 或13.
故答案为： 或13.
13．如图，二面角 的棱上有两个点 ，线段 与 分别在这个二面角两个面内，并且都垂
直于棱 ．若二面角 的平面角为 ，且 ， ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出 的长.
→ → → → → → → →
【详解】由条件知 CA·AB=0,BD·AB=0,CD=CA+AB+BD ，
→ → π
又二面角α−l−β的平面角为 ，则¿BD,AC>= ，所以
3
| C → D | 2 = | C → A | 2 + | A → B | 2 + | B → D | 2 +2C → A·A → B+2A → B·B → D+2C → A·B → D=62+42+52+2×6×5cos ( π− π) =47，
3
| → |
所以 CD =√47 ．
故答案为： .
14．棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内一个动点（包括边
界），且 平面 ，则当三棱锥 体积取最大时，其外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】先过 作平面 的平行面从而确定点 的轨迹，再确定三棱锥 体积取最大时 的位
置，进而找到球心所在方位即可求解.
【详解】如图，当点 位于 的中点时，取 中点G，连接 ，
则由正方体性质有 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又 且都在面 ，所以平面 平面 ，
又 面 ，所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的轨迹是以 的中点为端点的线段 ，
因为 ，
所以当F点离平面 距离最远时三棱锥 体积最大，
此时，点 与 的中点 重合，
取 中点O，连接 ，则由正方体性质可得 平面 ，
所以三棱锥 的外接球球心在 所在直线上，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，球心为 ，则
于是 ， ，所以外接球半径为 ，
所以 .故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知直线 过点 ，且直线 的倾斜角比直线 的倾斜角大 ．
(1)求直线 的方程；
(2)若点 在直线 上，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线 的斜率，应用点斜式写出直线方程；
（2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）因为直线 的斜率为 ，所以其倾斜角为 ，
则 的倾斜角为 ，可知 的斜率 ，
所以 的方程为 ，即 ；（6分）
（2） 表示 与点 连线的斜率 ，
又 是直线 在 部分上的动点，如下图示：
则 ，直线AB的斜率不存在，则 ，
即 的取值范围为 .（13分）
16.（15分）如图，在几何体 中，平面 平面 ， ， ， ， ，
∥ .
(1)若 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 为等边三角形，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，通过证明四边形 为平行四边形得到 ，再利用
线面平行的判定定理即可证得结论；
（2）法一：延长 ， 交于 ，连接 ，由此作出二面角 的平面角 .并证明，再求
的余弦值即可.
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学科网（北京）股份有限公司法二：先证得 两两垂直，以 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即
可.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ，则 为 的中位线.
∴GF//CD， 又 且 . 四边形 为平行四边形.
又 平面 ， 平面 ∥平面 .(6分）
（2）法一：延长 ， 交于 ，连接
是等边三角形， 为 的中点, 又 且 .
为 的中位线, 为 的中点又 为 的中点， 为 的中位线， ，
.
∵平面 平面ACD，平面 平面ACD=AC， 平面 平面 .
平面 ， .因此，二面角 的平面角为 .
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 . （15分）
法二：∵平面 平面ACD，平面 平面 ， 平面 .
平面 . 又 等边三角形， 为 的中点
所以 两两垂直，以 为原点，如图建立空间直角坐标系.
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， 所以 ， ， ，
{ 3 y+4z=0
{⃗AD⋅⃗n=0
设 为平面 的一个法向量，则 即 3√3x 3 y
⃗AE⋅⃗n=0 + +2z=0
2 2
令 ，解得 设 为平面 的一个法向量.易得 .
|⃗n⋅⃗m| 3
设平面 与平面 夹角为 ，
cosθ=|cos⟨⃗n,⃗m⟩|= =
.
|⃗n||⃗m| 5
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .（15分）
17.（15分）
已知 的三个顶点是 ．
(1)若直线 过点 ，且点 ， 到直线 的距离相等，求直线 的方程；
(2)若直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点， 为坐标原点，求三角形 面积取
最小值时直线 的方程．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）分别讨论当直线 与 平行，当直线 通过 的中点 两种情况下，根据已知条件
分别求出直线 的方程.
（2）利用基本不等式的性质求出三角形 面积的最小值.
【详解】（1）因为点 到直线 的距离相等，所以直线 与 平行或通过 的中点，
①当直线 与 平行，因为 ，且 过点 ，所以 方程为 ，即 ；
（3分）
②当直线 通过 的中点 ，所以 ，所以 的方程为 ，即
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学科网（北京）股份有限公司．
综上：直线 的方程为 或 ．（7分）
（2）由题意设 ，其中 为正数，可设直线 的方程为 ，
因为直线 过点 ，所以 ，由基本不等式可得 ，
所以 ，
当且仅当 即 时， 取得最小值24，所以 面积 ，
所以当 时， 面积最小，此时直线 的方程为 ，即 ．（15分）
18.（17分）
如图，圆台 的一个轴截面为等腰梯形 ， 为底面圆周上异于 、 的点．
(1)求该圆台的侧面积 ；
(2)若 是线段 的中点，求证：直线 平面 ；
(3)若 ，设直线 为平面 与平面 的交线，设 平面 ，点 在线段 上（不
含端点），直线 与平面 所成的角大小为 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司(3)
【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解；
（2）取 中点 ，连接 ，通过证明四边形 为平行四边形得到 ，然后根据线面
平行的判定定理完成证明；
（3）延长 交于点 ，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出 ，再根据二次函数
的性质求解出最大值即可.
【详解】（1）因为 ，
所以圆台的侧面积为 ；（3分）
（2）取 中点 ，连接 ，如图，
因为 为 中点，所以 ，
在等腰梯形 中， ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；（9分）
（3）延长 交于点 ，作直线 ，
因为 两点分别在平面 与平面 内，
所以直线 即为直线 ，
又 平面 ，
所以 点，即为点 ，
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学科网（北京）股份有限公司，则 ，
以直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形 中， ，
此梯形的高为 ，
因为 ，所以 为 的中位线，
则 ，
所以 ，
设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，
则有： ，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
综上所述， 的最大值为 .（17分）
19.（17分）
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一
平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列
问题：在三棱锥 中，若 ，则称这样的三棱锥为完美三棱锥.
(1)在三棱锥 中， ，求证：该三棱锥是完美三棱锥；
(2)已知三棱锥中， 为正三角形， .
①若 ，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由；
②若 ，且该三棱锥 为完美三棱锥，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)①不是，证明见详解；②
【分析】（1）根据空间性向量基本定理，以 为基底并结合完美三棱锥的定义化简得到
，再结合向量垂直的性质得到
证明等式即可.
（2）①结合题意得到对应向量的数量积，再利用完美三棱锥的定义判断即可.
②由棱锥 为完美三棱锥可得 长，由两点间距离公式求得 点坐标，进而求出关键平面的法向
量，最后利用二面角的向量求法得到余弦值即可.
【详解】（1）由题意结合空间向量的线性运算化简得
，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
故该三棱锥是完美三棱锥，（4分）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司①该三棱锥不是完美三棱锥， 为正三角形， ，故 ，
，又 ，
得到 ，由勾股定理逆定理得 ，
即 ，同理可得 ，
所以 ，
则该三棱锥不是完美三棱锥.（10分）
②如图，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，
因为 ，由余弦定理得 ，
所以 ， ，
因为该三棱锥 为完美三棱锥，
所以 ，
，
解得 ，由余弦定理得 ，解得 ，
设 ， ，解得 ，
即 ，设平面 的一个法向量 ，
则 ，不妨取 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量 ，则 ，
不妨取 ，则 ，则 ，
由图可知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 .(17分）
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学科网（北京）股份有限公司
