文档文本内容
专题1：立体几何展开图与最短路径问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：展开图.........................................................................2
考点二：弧长与扇形面积公式....................................................... 2
考点三：最短路径问题解题思路.................................................... 2
考点四：长方体最短路径结论....................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：展开图问题................................................................... 3
题型二：长方体最短路径............................................................. 4
题型三：其他棱柱最短路径.......................................................... 4
题型四：圆锥最短路径................................................................ 5
题型五：棱锥最短路径................................................................ 5
题型六：圆柱最短路径................................................................ 6
题型七：台体中最短路径问题....................................................... 7
题型八：周长最小问题................................................................ 8
题型九：线段和最小问题............................................................. 8
模块三：综合巩固.........................................................................9
图8
专题1：立体几何展开图与最短路径问题
模块一：基础知识
考点一：展开图
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图
考点二：弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r ，弧长为l ，
)
2
0
(
或n °为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
类别/度量单位
角度制
弧度制
扇形的弧长
180
r
n
l
r
l
扇形的面积
360
2
r
n
S
2
2
1
2
1
r
lr
S
考点三：最短路径问题解题思路
1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面
2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直
线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。
考点四：长方体最短路径结论
在长方体的长、宽、高中，最长的棱作为一条直角边，较短的两条棱之和作为另一条直角边，所得的
斜边长即为“斜对顶点”的表面最短路线长.
证明：已知，如图8，是一个长方体，其长、宽、高分别为x 、y 、z ，并记：
2
2
2
2
2
1
(
)
2
l
x
y
z
x
y
z
yz
；
2
2
2
2
2
2
(
)
2
l
y
x
z
x
y
z
xz
；
2
2
2
2
2
3
(
)
2
l
z
x
y
x
y
z
xy
.
若
0
x
y
，
0
x
z
，则有xz
yz
，xy
yz
，从而1
2
l
l
，1
3
l
l
；
若
0
y
x
，
0
y
z
，则有xy
xz
，yz
xz
，从而2
1
l
l
，2
3
l
l
；
若
0
z
x
，
0
z
y
，则有xz
xy
，zy
xy
，从而3
2
l
l
，3
1
l
l
．
由此，我们得到了长方体中两个
．．．．．．“．斜对顶点
．．．．”．的表面最短路线长问题的求解公式
．．．．．．．．．．．．．．．：
如果用a、b、c 分别表示经过长方体同一个顶点的三条棱长，且
,
a
b a
c
，那么“斜对顶点”的表
面最短路线长
2
2
(
)
l
a
b
c
．
特别的，当a
b
c
，即图形是正方体时，根据上述求解公式我们还可以得到：
推论：如果一个正方体的棱长为a ，那么它的两个“斜对顶点”的表面最短路线长
5
l
a
．
模块二：题型分类
题型一：展开图问题
1.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（
）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
2.如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1 格、第2 格、第3 格、
第4 格、第5 格，这时小正方体朝上面的字是__________．
3.如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是_______.
①�与�
②�与�
③�与�
④�与�
4.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（
）
A．
B．
C．
D．
题型二：长方体最短路径
1.正方体的棱长为5，一只蚂蚁要从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点C1 处，请你求出蚂蚁需要
爬行的最短路程的长．
2.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表
面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（
）．
A．5 21
B．25
C．10 5
5
D．35
3.已知长方体����−�1�1�1�1中，��= 5，��1 = 4，��= 3，从点A 出发沿着表面运动到�1的最短路
线长是______．
题型三：其他棱柱最短路径
1.如图所示，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2
AB
，
1
2
AA
，由顶点B 沿棱柱侧面(经过棱
1
AA )到达顶点
1
C ，与
1
AA 的交点记为M ，则从点B 经点M 到
1
C 的最短路线长为（
）
A．2 2
B．2 5
C．4
D．4 5
A
5
20
10
C
B
5
20
15
10
C
A
B
2.已知正六棱柱
1
1
1
1
1
1
ABCDEF
A B C D E F
的底面边长为
3 ，侧棱长为1，则动点从A 沿侧面移到点
1
D 时的
最短的路程是多长？
3.已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面边长为2，高为5，从点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达
1A 点
的最短路线长度为______.
题型四：圆锥最短路径
1.如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的
中点C，则小虫爬行的最短距离为（
）
A．2 5
B．2 3
C．4 2
D．2 3
2.已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发
点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为____________．
3.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬
行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为4 3 ，则这个圆锥的体积为（
）
A．128 2π
81
B．32 35π
27
C．15π
3
D．8 3
3
题型五：棱锥最短路径
1.如图，在正三棱锥
P
ABC 中，
30
APB
BPC
CPA
，
4
PA
PB
PC
，一只虫子从A 点出发，
绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.
2.已知正四棱锥P
ABCD
的侧棱长为4，且
30
APB
，若一只蚂蚁从点A 出发沿着该四棱锥的侧面爬
行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为____.
3.如图，正三棱锥V
ABC
中，
2,
2
AB
BC
AC
VA
VB
VC
，点
,
M N 分别为
,
VA BC 的中点，一
只蚂蚁从点M 出发，沿三棱锥侧面爬行到点N ，求：
（1）该三棱锥的体积与表面积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长.
4.空间四边形����的各边与两条对角线的长都为1，点�在边��上移动，点�在边��上移动，则点�，�
的最短距离为______．
5.在正四棱锥�−����中，��= ��= 4，�为��的中点，�为��的中点，则从点�沿着四棱锥的表面到
点�的最短路径的长度为（
）
A．2 7
B．2 6
C．4
D．3
题型六：圆柱最短路径
1.如图，已知圆柱底面圆的半径为2
，高为2，AB，CD 分别是两底面的直径，AD，BC 是母线.若一只小虫
从A 点出发，从侧面爬行到C 点则小虫爬行路线的最短长度是（
）.
A．2
B．2 2
C．3
D．3 3
2.如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，
90
AOB
，则在此圆柱侧面上，从B 到C 的路径中，最短路
径的长度为_______.
3.在①
6
AD
；②四边形ABCD 的面积为24；③四边形ABCD的周长为20；这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中，并作答，
如图，四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，
4
AB
，且__________．
（1）求该圆柱的体积：
（2）若用一细绳从点A 绕圆柱一周后到达D 处（如图），求细绳的最短长度．
题型七：台体中最短路径问题
1.（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为�上= 1，�下= 2，母线��长为2，点�
为��的中点，则（
）
A．圆台的体积为
7 3
3 π
B．圆台的侧面积为12π
C．圆台母线��与底面所成角为60°
D．在圆台的侧面上，从点�到点�的最短路径长为4
2.如图，在直角梯形ABCD中，AB CD ，AB BC ，
2
2
AB
CD
，
3
AD
，以BC 边所在的直线为
轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A 绕着几何体的侧面爬行一周回到点A ，求蚂蚁爬行的最短距离．
3.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为1
1
r ，2
2
r
，母线AB 长为2，E 为AB 的中点．
（1）求圆台的体积与侧面积之比；．
（2）在圆台的侧面上，求从点C 到点E 的最短路径长．
题型八：周长最小问题
1.在直三棱柱���−�1�1�1中，��1 = 3，��= ��= 1，��=
2，E 是棱��1上的一点，则△�1��的周
长的最小值为（
）
A．11 + 3
B．11 + 2 3
C．11 +
13
D．11 +
14
2.如图，棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，点P，Q 分别为面A1B1C1D1 和线段B1C
上动点，则△PEQ 周长的最小值为（
）
A．2 2 B．10 C．11 D．2 3
3.如图，在正三棱柱�1�1�1 −���中，AB＝2，��1＝2 3，D，F 分别是棱AB，��1的中点，E 为棱AC 上
的动点，则△DEF 周长的最小值为_____．
题型九：线段和最小问题
1.在正方体����−�1�1�1�1中，棱长为2，E 为��的中点，点P 在平面���1�1内运动，则��+ ��1的
最小值为（
）
A．3
B．2 3 C．3 2 D．5
2.如图，在棱长为1 的正方体中����−�1�1�1�1，若点�, �分别为线段��1，��1上的动点，点�为底面
����上的动点，则��+ ��的最小值为（
）
A．
2
3B．
2
2
C．
3+1
3
D．1
3.在正方体����−�1�1�1�1中，棱长为2，E 为��的中点，点P 在平面���1�1内运动，则��+ ��1的
最小值为________
4.如图，三棱柱���−�1�1�1中，��1 ⊥底面���，∠���= 90°，��= 6, ��= ��1 =
2, �是��1上一动
点，则��+ ��1的最小值是_______．
模块三：综合巩固
1.如图，两个图形都是立体图形的平面展开图，你能分别说出这两个立体图形的名称吗？
2.将3 个6cm×6cm 的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所
示，将这6 个部分接入一个边长为3 2cm 的正六边形上，如图（2）所示.若该平面图沿着正六边形的边
折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为______cm3.
3.长方体����−�1�1�1�1中，��= 2，��= 4，��1 = 1，则一只小虫从�点沿长方体的表面爬到�1点
的最短距离是___________．
4.如图，正三棱柱���−�1�1�1的底面是边长为3 的正三角形，侧棱��1 = 4，一小虫从点A 途经三个侧
面爬到点�1，则小虫爬行的最短距离为（
）
A．4
B．5
C．97 D．153
5.如图所示，已知在圆锥SO 中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM＝x，从点
M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离__（用x 表示）．
6.如图，在三棱锥�−���中，��⊥平面���, ��= 4 米，��= 3 米，��与底面���所成角的正切值为2.
已知蚂蚁从点�出发，沿着侧面���走到��上的一点，再沿着侧面���继续走到棱��上，则这只蚂蚁从点
�出发到达棱��的最短路程为_______米，这只蚂蚁的最短路线与��的交点到底面���的距离为______米.
7.已知圆柱底面圆的半径为1，高为3，矩形ABCD 为圆柱的轴截面，一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行一
圈半到达C 点，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
8.有一根高为3，底面半径为1 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 圈，并使铁丝的两个端点落
在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
9.如图圆台
1
2
O O ，在轴截面ABCD中，
1
AB
AD
BC
，且
2
CD
AB
．
（1）求圆台的体积；
（2）求沿着该圆台侧面，从点C 到AD 中点的最短距离；
10.如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径
1
4cm
O A
，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半
径为2cm ，这个平面与母线OA交于点B ，线段AB 的长为8cm .
（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；
（2）把一根绳从线段AB 的中点M 开始沿着侧面绕一圈到点A ，求这根绳最短时的长度.
11.如图，����−�'�'�'�'为正方体，任作平面�与对角线��'垂直，使得�与正方体的每个面都有公共点，
记这样得到的截面多边形的面积为�，周长为�，则（
）
A．�为定值，�不为定值
B．�不为定值，�为定值
C．�与�均为定值
D．�与�均不为定值
12.《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一侧棱垂真于底面的四棱锥”.
现有阳马�−����，��⊥平面����，��= 1，��= 3，��=
3，��上有一点E，使截面���的周长最
短，则��与��所成角的余弦值等于（
）
A．−
2
4
B．−
2
5
C．
2
5D．
2
4
13.如图，在棱长为1 的正方体����−�1�1�1�1中，�, �分别为棱�1�1, �1�1的中点，若点�, �, �分别为
线段��1, ��, ��1上的动点，则��+ ��的最小值为_____．
14.已知，如图，正方体����−�1�1�1�1棱长为1，�为�1�上的动点，则��+ ��1的最小值为__________.
15.在长方体����−�1�1�1�1中，棱��= 6，��= ��1 =
2，点�是线段��1上的一动点，则��+ ��1
的最小值是___________
