文档内容
专题 01 空间几何体的外接球与内切球问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................3
题型一：内切球等体积法..................................................................................3
题型二：内切球独立截面法..............................................................................3
题型三：外接球公式法......................................................................................4
题型四：外接球补型法......................................................................................4
题型五：外接球单面定球心法..........................................................................5
题型六：外接球双面定球心法..........................................................................6
三、专项训练...........................................................................................................7
一、必备秘籍
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面
体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是
多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即： ，可求出 .
类型二 球的外接问题1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
P P P
c c c
A b C
C C
a b
B A a B b A a B
图1 图2 图3
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD
，AD=BC，AC=BD）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥 中，选中底面 ，确定其外接
圆圆心 （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心
）；
②过外心 做（找）底面 的垂线，如图中 面 ,则球心一定在直线（注意不一定在线段
上） 上；
③计算求半径 :在直线 上任取一点 如图：则 ，利用公式 可计算
出球半径 .
P
4、双面定球心法（两次单面定球心）
O
2 O
A
如图：在三棱锥 中：
O
H 1
①选定底面 ，定 外接圆圆心
B C
②选定面 ，定 外接圆圆心③分别过 做面 的垂线，和 做面 的垂线，两垂线交点即为外接球球心 .
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
1．（22·23·全国·专题练习）正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的
半径之比为（ ）
A．1：3 B．1： C． D．
2．（22·23下·朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为
．
3．（23·24上·萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四
面体表面上的一个动点，则 的取值范围为 .
4．（22·23上·张家口·期中）球O为正四面体 的内切球， ， 是球O的直径，点M在正四
面体 的表面运动，则 的最大值为 ．
5．（22·23上·河南·阶段练习）已知正四面体 的棱长为12，球 内切于正四面体 是球
上关于球心 对称的两个点，则 的最大值为 .
6．（22·23上·扬州·期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四
棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳
马”的内切球表面积为 ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为 ．
题型二：内切球独立截面法
1．（23·24上·淮安·开学考试）球 是圆锥 的内切球，若球 的半径为 ，则圆锥 体积的最小值为
（ ）
A． B． C． D．2．（22·23下·咸宁·期末）已知球 内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台
的上、下底面半径 ，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（22·23·全国·专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为 ，当该圆锥
体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 .
4．（23·24上·佛山·开学考试）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为 ，当该
圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为 ．
5．（22·23下·成都·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为
.
题型三：外接球公式法
1．（16·17·全国·单元测试）若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积
为 ( )
A．50π B．100π C．150π D．200π
2．（22·23·全国·专题练习）设球 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球 的截面，
则最小截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（14·15上·佛山·阶段练习）正方体的外接球（正方体的八个顶点都在球面上）与其内切球（正方体的
六个面都与球相切）的体积之比是 ．
题型四：外接球补型法
1．（23·24上·成都·开学考试）在三棱锥 中， ， 则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．（22·23下·揭阳·期中）在三棱锥 中， ， ， ，则该三
棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（23·24上·成都·开学考试）已知四面体 满足 ， ， ，且
该四面体 的外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22·23下·黔西·阶段练习）正三棱锥 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接
球的半径之比为 .
5．（22·23下·黔西·期中）如图，已知在三棱锥 中， ， ，且
，求该三棱锥外接球的表面积是 ．
题型五：外接球单面定球心法
1．（23·24上·汉中·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面
为 外接圆的圆心， 为三棱锥 外接球的球心， ，则三棱锥 的外接球 的
表面积为 ．2．（23·24上·秦皇岛·开学考试）三棱锥 中， 在底面的射影 为 的内心，若
， ，则四面体 的外接球表面积为 .
3．（22·23下·石家庄·阶段练习）已知球 是正四面体 的外接球， 为棱 的中点， 是棱
上的一点，且 ，则球 与四面体 的体积比为 .
4．（22·23下·淄博·期末）已知四棱锥 的底面 是矩形，侧面 为等边三角形，平面
平面 ，其中 ， ，则四棱锥 的外接球表面积为 .
题型六：外接球双面定球心法
1．（22·23上·抚州·期中）已知菱形 的各边长为 .如图所示，将 沿 折起，使得
点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 .若 是线段 的中点，点 在三棱锥
的外接球上运动，且始终保持 则点 的轨迹的面积为 .
2．（22·23·赣州·模拟预测）如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中 ，把
沿着DE翻折至 的位置，得到四棱锥 ，则当四棱锥 的体积最大时，四
棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 .3．（22·23下·湖南·期末）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材
开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示
的四边形 中， ， ， ， .第二步：以 为折痕将 折
起，得到三棱锥 ，如图（二）.第三步：折成的二面角 的大小为 ，则活动结束后计
算得到三棱锥 外接球的表面积为 .
三、专项训练
一、单选题
1．（22·23下·河南·模拟预测）已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表
面积为（ ）.
A． B． C． D．
2．（22·23下·宁德·期中）正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23·24上·河北·开学考试）长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面
上，这个球的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（22·23下·临夏·期末）已知四棱锥 的体积为 ，侧棱 底面 ，且四边形 是
边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．5．（23·24上·广东·阶段练习）如图，在边长为2的正方形 中， 分别是 的中点，将
， ， 分别沿 ， ， 折起，使得 三点重合于点 ，若三棱锥
的所有顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（23·24上·安徽·开学考试）在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半
径为1，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（23·24上·莆田·阶段练习）三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，
为 中点且 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（22·23·九江·一模）三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三角形，若平面
平面 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（23·24·柳州·模拟预测）已知圆锥的底面直径为 ，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的
体积为 .
10．（22·23·唐山·二模）已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下
底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为 ．
11．（22·23·大同·模拟预测）四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑 中， 平面
， ， ，鳌臑 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 ．12．（23·24上·辽宁·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为 ，则该圆锥的内切球的
体积为 .
13．（23·24上·成都·阶段练习）已知三棱锥 底面 是边长为 的等边三角形，平面 底面
， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
14．（23·24上·遂宁·阶段练习）已知正三棱柱 的六个顶点在球 上，又球 与此三棱柱的
个面都相切，则球 与球 的表面积之比为 .
15．（22·23下·赣州·阶段练习）已知圆锥的内切球半径为 ，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该
圆锥的体积为 ．
