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7.7 空间几何的外接球（精练）（基础版）
题组一 汉堡模型
1．（2023·全国·高三专题练习）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为
，则该四棱柱的高为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】设球的半径为 ，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得 故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）圆柱内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的
体积为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设球 的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
所以 ，解得： ，则球 的体积为 故选：A
3．（2022·全国·模拟预测）已知在三棱锥 中， 平面SBC， ， ，
，则该三棱锥外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，将三棱锥 补成以AC为侧棱的直棱柱，设△BCS外接圆圆心为 ，半径为r，设
△ADE外接圆圆心为 ，连接 ， ， ，取 的中点O，则点O为三棱锥 外接球球心，连接CO，设该三棱锥外接球半径为R，在△BCS中， ，所以 .在
中， ，所以该三棱锥外接球体积为 ，
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，已知 平面 ， ，且 ，
， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 平面 ， ，知三棱锥 可补形为以 ， 为长宽高的长方体，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球的半径为 ，则 ，所以 ．
故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习（文））我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其
中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球 的球面
上，且该“鳖臑”的高为 ，底面是腰长为 的等腰直角三角形．则球 的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
在三棱锥 中， 平面 ， 且 ， ，
因为 平面 ， 、 、 平面 ，则 ， ， ，
， ， 平面 ， 平面 ， ，
所以，三棱锥 的四个面都是直角三角形，且 ，
，
设线段 的中点为 ，则 ，
所以，点 为三棱锥 的外接球球心，
设球 的半径为 ，则 ，因此，球 的表面积为 .
故选：A.
题组二 墙角模型
1．（2022·沈阳市）（多选）一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体
积可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD【解析】设长方体未知的两棱长分别为 ，则 ， ，
设外接球半径为 ，则 ，
球体积为 ， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ．故选：BCD．
2．（2022·黑龙江）长方体 的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球 的球面上，
则球 的表面积为______.
【答案】
【解析】因为长方体的外接球 的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，
所以长方体的外接球 的直径 ，
故长方体的外接球 的半径为 ，
所以球 的表面积为 .故答案为：
3．（2022·贵溪市）棱长为 的正四面体的外接球体积为___________.
【答案】
【解析】如图，棱长为 的正四面体可以嵌入到棱长为 的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的
立方体的外接球相同.
设立方体的外接球半径为 ，则 ，所以立方体外接球的体积 .
故正四面体的外接球体积为 .
故答案为：
4．（2022·云南）在三棱锥 中，已知 ， ， 两两垂直，且 ， ，
，则三棱锥 的外接球的表面积为
【答案】
【解析】以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体 被平面ABC所截的三棱锥
符合要求，如图：
长方体 与三棱锥 有相同外接球，其外接球直径为长方体体对角线 长，
设外接球的半径为 ，则 ，
则所求表面积 .5．（2022·吉林长春市）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长
为4，则其外接球的表面积为
【答案】
【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为 ，
因此其外接球的半径为 ，则其表面积为 ，故选:B.
6．（2022·河南）在四面体 中， 平面 ，三内角 ， ， 成等差数列，
， ，则该四面体的外接球的表面积为
【答案】
【解析】由题意，内角 成等差数列，可得 ,
因为 ，可得 ，即 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的，
根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得 ，解得 ，
所以该四面体的外接球的表面积为 .题组三 斗笠模型
1．（2022·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球
的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为 ，则展开后扇形的弧长为 ，
再设圆锥的底面圆半径为 ，可得 ，即 ，
圆锥的高为 ，
设圆锥外接球的半径为 ，则 ，解得 ．
圆锥的体积为 ，
圆锥外接球的体积 ，
∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为 ．故选：C．2．（2022广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为
，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设底面半径为 ，圆锥母线为 ，所以 ，所以 ，
如图， 是圆锥轴截面，外接圆 是球的大圆， 是圆锥底面的圆心，
设球半径为 ，则 ， ，所以 ，
如图1， ，即 ，
解得 ，不符合题意，
当为如图2时，即 ，
解得 ，所以球表面积为 ．
故选：A．
3．（2022·宁夏银川市）已知一个圆锥的底面圆面积为 ，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等
于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，母线长为 ，圆锥的外接球半径为 ，
则 ，可得 ，
由于圆锥的侧面展开图是半圆，则 ，可得 ， ，
由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，
所以， ，解得 ,
因此，该圆锥的外接球的表面积为 .
故选：B.
4．（2022·河南）一圆台的两底面半径分别为 ，高为 ，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设该圆台的外接球的球心为 ，半径为 ，
则 或 ，解得 ，
所以该圆台的外接球的表面积为 .
故选：C.
5．（2022·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，面积为
，则球 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设圆锥母线为 ，底面半径为 ，
则 ，解得 ，
如图， 是圆锥轴截面，外接圆 是球的大圆，设球半径为 ，
， ，
， ，
所以球表面积为 ．
故选：A．
题组四 L模型
1．（2022·安徽·巢湖市第一中学）已知三棱锥 中，平面 平面 ，且 ，
，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A．64π B．128π C．40π D．80π
【答案】D
【解析】由题意得， 平面 ，将三棱锥补成三棱柱 ，如图，则三棱柱 的外接球即为所求.
设外接球的球心为 ，则 的外心为 ，则 ，
又 ，则外接球的半径 ，
表面积 ，故选：D
2．（2022·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习（理））已知三棱锥 中， ，
，平面 平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
因为 ，所以 为 的外接圆圆心，
又因为 ， 为 的中点，所以 .
因为平面 平面 ，所以 平面 ，
所以三棱锥 的外接球球心在直线 上.
在 上取一点 ，使得 ，即 为三棱锥 的外接球球心，设 ， ，所以 ，
.
在 中， ，
所以 ，解得 ，
所以三棱锥的外接球的表面积为 .
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
【解析】
如图所示：设点D为AB的中点，O为 外接圆的圆心，∵ ，∴O在CD上，且
，
，∴ ，∵平面 平面ABC，平面 平面 ，
平面ABC，∴ 平面PAB，
又AB， 平面PAB，∴ ， ，在 中， ，D为AB的中点，∴
，
∴ ，∴O即为三棱锥 外接球的球心，且外接球半径 ，∴该三棱锥外接球的表面积 .
故答案为： .
4．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））在三棱锥 中， ，
平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，
则 外接圆圆心 在DE上，且 ，
解得 ，设三棱锥 外接球球心为O，
连接 ， ，过 作 ，垂足为 ，
由平面 平面 ，得 ，故四边形 为矩形，
因为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，设三棱锥 外接球半径为R，
有 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 .
故选：D.
5．（2022·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥 中、平面 平面 ， ，且
，则三棱维 的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， 为直角三角形，故 在三棱维 的外接球的一个切面圆上， 为该圆
直径；
又平面 平面 ，故外接球的球心 在 所在的平面内，又 ，故
为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上 ， 点到线段 的距离为 ，
设外接球的半径为 ，则 ，
解得 ，则外接球的表面积为 .
故选：C.6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知四棱锥 中，平面 平面
ABCD，其中 为正方形， 是边长为2的等边三角形，则四棱锥 外接球的表面积为
（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 交 于 ，球心 在底面的射影必为点 ，取 的中点 ，在截面 中，连接 ，
如图，
在等边 中， 的中点为 ，
所以 ，又平面 平面 ， 是交线，
所以 平面 ，且 ，
设 ，外接球半径为 ，
则在正方形 中， ， ，
在 中， ，而在截面 中， ，
由 可得：
解得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
