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特训 09 多面体与求内切外接问题（八大题型）
一、 外接球问题
若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面 体的外接球
问题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置 问题，其中球心位置的
确定是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。
如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球
的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论：
结论 1： 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。
结论 2 ：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。
结论 3 ：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。
结论 4： 正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。
结论 5 ：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
二、 内切球问题
若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这
个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。 并非所有多面体都有内切
球，下面介绍几种常见多面体内切球问题：
1. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。
2. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。
目录：
01 ：三棱柱
02 ：四棱锥
03 ：棱台
04 ：侧棱垂直于底面
05 ：正方体、长方体
06 ：其他多面体
07 ：三棱锥
08 ：折叠问题
01 ：三棱柱
1．在一个封闭的直三棱柱 内有一个体积为V的球，若 ， ， ，
，则球的体积的最大值为（ ）A． B． C． D．
2．在正三棱柱 中， ， 为线段 上动点， 为 边中点，则三棱锥
外接球表面积的最小值为 .
3．已知正三棱柱的底面边长为 ，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，
如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球 的球面上，则球 的体积为
（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在直三棱柱 中，侧棱长为 ， ， ，点 在上底面 （包
含边界）上运动，则三棱锥 外接球半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
02 ：四棱锥
5．四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为矩形， ， ， ，若四棱锥 的外接球表面积为 ，则四棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
6．已知正四棱锥 的侧棱长为 ，且二面角 的正切值为 ，则它的外接球表面积
为（ ）
A． B． C． D．
03 ：棱台
7．已知正四棱台 ，半球的球心 在底面 的中心，且半球与该棱台的各棱
均相切，则半球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在正三棱台 中， ， ，二面角 的正弦值为 ，则
的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
04 ：侧棱垂直于底面
9．如图，四棱锥 中， 面 ，四边形 为正方形， ， 与平面 所成
角的大小为 ，且 ，则四棱锥 的外接球表面积为（ ）
A．26π B．28π
C．34π D．14π10．如图，在四面体 中， 与 均是边长为 的等边三角形，二面角 的大小
为 ，则四面体 的外接球表面积为 .
05 ：正方体、长方体
11．已知正方体 的棱长为4，点 是棱 的中点， 为四边形 内（包括边界）的
一动点，且满足 平面 ， 的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，盒内有一个半径为1的小
球，若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（ ）
A． B．
C． D．
06 ：其他多面体
13．如图1，一圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，以 为中心作正六边形 ，以正六边形的各边
为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆 上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图
形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该
正六棱台的高为 ，则其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
14．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，
在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看
作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体 的棱
长为 ，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线 与 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ；
③若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 ；
④若点 为四边形 的中心，点 为此八面体表面上动点，且 ，则动点 的轨迹长度为
.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
07 ：三棱锥
15．若三棱锥 的所有顶点都在半径为2的球 的球面上， 为球 的直径，且 ，则该三棱锥的最大体积为（ ）
A． B． C．3 D．
16．在正三棱锥 中， 分别为 的中点， 为棱 上的一点，且 ，
，若 ，则此正三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17（多选）．已知三棱锥 的底面 是直角三角形， 平面 ， ，则
（ ）
A．三棱锥 外接球的表面积为
B．三棱锥 外接球的表面积为
C．三棱锥 内切球的半径为
D．三棱锥 内切球的半径为
18（多选）．如图，在正三棱锥 中， ， 分别是棱 的中点， 是棱
上的任意一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．异面直线 与 所成角的余弦值为
C． 的最小值为
D．三棱锥 内切球的半径是19．如图，正三棱锥 的侧面和底面 所成角为 ，正三棱锥 的侧面和底面 所成
角为 和 位于平面 的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则
， 的最大值为 .
08 ：折叠问题
20．在 中， ，过点 作 ，垂足为点 ，将 沿直线 翻
折，使点 与点 间的距离为3，此时四面体 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
21．如图1，在矩形ABCD中， ， ，M是边BC上的一点，将 沿着AM折起，使点B
到达点P的位置.
(1)如图2，若M是BC的中点，点N是线段PD的中点，求证： 平面PAM；
(2)如图3，若点P在平面AMCD内的射影H落在线段AD上.
①求证： 平面PAD；
②求点M的位置，使三棱锥 的外接球的体积最大，并求出最大值.一、单选题
1．（2024·新疆·三模）设四棱台 的上、下底面积分别为 ， ，侧面积为 ，若一个小
球与该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的
中点， ， 与平面 所成的角为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东·模拟预测）建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底
小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建
盏的上半部分抽象成圆台 ，已知该圆台的上､下底面积分别为 和 ，高超过 ，该圆台
上､下底面圆周上的各个点均在球 的表面上，且球 的表面积为 ，则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．
5．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形 中， ， ，将 沿对角线 折起，使点 到
达 的位置，且二面角 为直二面角，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北荆州·模拟预测）三棱锥 的四个顶点在球O的球面上， ， ， ，
顶点P到 的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在 的内部，则球O的表面积等于
（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北沧州·三模）《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体
（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体 的棱长
为 ， 为棱 上的动点，则当三棱锥 的外接球的体积最小时，三棱锥 的体积为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江·模拟预测）如图1，直角梯形 中， ，取
中点 ，将 沿 翻折（如图2），记四面体 的外接球为球 （ 为球心）. 是球 上
一动点，当直线 与直线 所成角最大时，四面体 体积的最大值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，G为 的中点，则下列
结论正确的有（ ）
A．CG与 所成角的余弦值为
B． 与平面 的交点H是 的重心
C．三棱锥 的外接球的体积为
D． 与平面 所成角的正弦值为
10．（2024·浙江绍兴·三模）平行四边形ABCD中 ，且 ，AB、CD的中点分别为
E、F，将 沿DE向上翻折得到 ，使P在面BCDE上的投影在四边形BCDE内，且P到面BCDE的距离为 ，连接PC、PF、EF、PB，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．三棱锥 的外接球表面积为
D．点Q在线段PE上运动，则 的最小值为
11．（2024·山东济宁·三模）如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别是棱
， 上的动点（异于顶点）， ， 为 的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．直三棱柱 体积的最大值为
B．三棱锥 与三棱锥 的体积相等
C．当 ，且 时，三棱锥 外接球的表面积为
D．设直线 ， 与平面 分别相交于点 ， ，若 ，则 的最小值为
三、填空题
12．（2024·安徽芜湖·三模）在棱长为4的正方体 中，点 是棱 的中点，则四面体
的外接球的体积为 ．
13．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中 ， ，且 .记直线 ， 与平面 所成角分别为 ， ，已知 ，当三棱锥 的体积最小时，则三棱锥 外
接球的表面积为 .
14．（2024·江西新余·二模）如图1，在直角梯形 中， ， ， ， ，
，点E，F分别为边 ， 上的点，且 ， .将四边形 沿 折起，如图
2，使得平面 平面 ，点M是四边形 内（含边界）的动点，且直线 与平面 所
成的角和直线 与平面 所成的角相等，则当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外
接球的表面积为 .
