文档文本内容
3.6 导数与其他知识相结合的问题
5 大考点汇总
考点01 导数与三角函数结合的相关问题
考点02 导数与数列结合的相关问题
考点03 导数与统计概率结合的相关问题
考点04 导数与立体几何结合的相关问题
考点05 导数与解析几何结合的相关问题
题型专练
考点01 导数与三角函数结合的相关问题
1．设函数
，
．
(1)求
的图象在点
处的切线方程；
(2)证明：
；
(3)设
，
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)令
，则
，
.
令
，
，
所以
在
上单调递增，
，
所以
在
上单调递增，
，
所以
.
(3)由（2）知
，即
时，
，
所以
．
令
，
，则
，
代入上式得
，
所以
，
所以
．
【分析】（1）根据导数的几何意义，求得
的图象在点
处的切线的斜率，从而得到切线方程；
（2）构造函数
，利用导数分析
的单调性，利用单调性可得
，从而证得
；
（3）利用（2）的结论，可得
时，
，结合均值不等式可得
；令
，
，利用放缩法及裂项相消求和法可证得
．
【详解】（1）由
，
，
得
，
所以
，
所以
的图象在点
处的切线方程为
，即
．
（2）略
（3）略
2．若
、
，且
，则下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，
，
，其中
，利用导数分析这两个函数
的单调性，可得出
，再结合函数
的单调性判断可得出
、
的大小关系，构造函数
，其中
，利用导数分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出
的范围，再
利用函数
的单调性并结合零点存在定理可得出
的范围，据此可判断D 选项.
【详解】因为
，则
，
，
构造函数
，其中
，则
，
故函数
在
上为增函数，即当
时，
，即
，
因为
，则
，所以
，
构造函数
，其中
，则
，
故函数
在
上为增函数，
由题意可知
，
，故
，
因为
，
，故
，
构造函数
，其中
，则
，
所以函数
在
上为增函数，且
，
因为
，则
，
所以
，
又因为
，所以
，故
，D 错.
3．已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：对任意
，都有
；
(3)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）对任意的
，当
时，要证
，只需证明
，变形为
，构造函数
，利用导数分析该函
数的单调性，即可证得结论成立；
（3）由（2）得出
，令
，可得出
，证明出
，令
，可得出
，结合不等式的性质得出
，再利用累加法可证得结论成立.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
所以
，而
，
则
在点
处的切线方程为
.
（2）任意的
，当
时，
，
故只需证
对任意的
恒成立，整理得
，
构造函数
，其中
，
则
，
所以函数
在
上为减函数，故当
时，
，即
，
故对任意的
，
，
故当
时，对任意
，都有
.
（3）由（2）知，当
时，
，即
，
令
，则
，
因为
，所以
，
构造函数
，其中
，则
，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
所以
，即
，当且仅当
时，等号成立，
令
，得
，即
，
整理得
，
则
，
即
，
所以
，
，
，
，
累加得
，
故
.
4．（多选）函数
，则（ ）
A．
B．
C．
存在对称轴
D．
存在对称中心
【答案】ABC
【分析】通过
可发现函数
具有对称轴及最大值，再利用函数对称中
心的特点去分析
是否具有对称中心，将
化为
，通过构造函数
，结合导数与单调性得到
，都有
，进一步证明
即可.
【详解】函数解析式可化为：
，
则
，选项A 正确；
因为函数
的图象关于直线
对称，且函数
的图象也关于直线
对称，
故曲线
也关于直线
对称，选项C 正确；
要证
，即证
.
当
时，左右两边均为0，等式成立.
令
，则
，则
在
上单调递增.
当
时，
，所以
.
当
时，
，所以
，所以
.
因此，
，都有
，当
时等号成立.
所以，当
时，有
，
又
，
所以
成立，
综上，
成立，选项B 正确；
对于D 选项，若存在一点
使得
关于点
对称，则
，
通过分析发现
不可能为常数，故选项D 错误.
5．已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，证明：
，
；
(3)已知
，证明：
．
【答案】(1)极大值为
，无极小值；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题知定义域为
，进而求导研究函数单调性即可求解函数极值；
（2）构造函数
，
，利用导数研究函数的单调性得
时，
单调递增；
时，
单调递减，再结合
，
符号即可证明.
（3）结合（1），令
，
，进而结合
得
，再累加求和
即可证明不等式左侧部分；再结合（2）得
，再累加求和即可证明不等式右侧部分.
【详解】（1）解：当
时，
，定义域为
，
，
所以，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值
，无极小值.
（2）解：当
时，
，
令
，
，
所以
，
令
，
，则
，
因为函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
所以函数
在
单调递减，
又函数
在
单调递减，
所以
在
单调递减，
因为
，
，
所以，存在
，使得
，即
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
因为
，
，
，
所以存在
，使得
，即
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
因为
，
，
所以
在
恒成立，即
，
所以，
，
，证毕.
（3）证明：先证
.
由（1）知，当
时，
在
上单调递减，
故当
时，
，即
令
，则
，即
令
，
恒成立，所以
在
单调递减，
所以
，即
，故当
时，
，
令
，则
所以
，即
所以，
，
即
.
下证：
.
由（2）知，
，
，即
，
，
令
，则
所以
，即
综上，
，证毕.
6．已知函数
，其中
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求a 的值；
(2)证明：当
时，
；
(3)设
，若
对任意
恒成立，求m 的最大值．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)2.
【分析】（1）求出函数
的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即可.
（2）由（1）求出
，多次求导确定函数
在
的单调性即可得证.
（3）令
，将不等式等价变形，取
并结合（2）的信息确定
，在构造函数，结合（2）
中信息确定函数单调性而求得整数
的最大值.
【详解】（1）函数
，求导得
，则
，而
，
因此曲线
在点
处的切线方程为
，依题意，
，
所以
.
（2）由（1）知函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，
函数
，即
在
上单调递减，而
，
则存在
，使得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又
，
即当
时，
，即
，当且仅当
时取等号，
因此函数
在
上单调递增，
，
所以当
时，
.
（3）不等式
，
令
，由
，得
，原不等式等价于
，
依题意，不等式
对任意
恒成立，
令
，则
，由（2）知
，因此
，
而
，则
，令函数
，由（2）知
，
则
，
，令函数
，
求导得
，当且仅当
时取等号，
函数
在
上单调递减，
，因此
对任意
恒成立，
即当
时，不等式
对任意
恒成立，
所以整数
的最大值为2.
考点02 导数与数列结合的相关问题
7．已知有穷数列
满足
， 其中
，且最后一项
(1)当
，且
时，求
的取值范围；
(2)当
时，如果
足够大，
（i）证明：数列
为单调递减数列；
（ii）探究数列
中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；
(2)
（i）
，
记
，则
，
因为
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故当
时，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，
所以
，即
，所以
为单调递减数列.
（ii）存在一组
【分析】（1）根据
解不等式即可；
（2）（i）构造函数
，利用导数证明其单调递减即可；（ii）利用递推关系代入
消去
，然后令
，构造函数
，利用导数证明其单调递
增，结合零点存在性定理即可得解.
【详解】（1）因为
，且
，所以
，
解得
，即
的取值范围为
.
（2）（i）略
（ii）假设存在连续三项
成等差数列，则
，
又
，所以
，
，
代入
得
，
令
，则
，整理得
，
令
，则
，
由（i）可知，
，即
，整理得
，
则
，即函数
在
上单调递增，
又
时
，
时
，
故存在
使得
，
因为
足够大，所以取
，即
时，
成等差数列，
由上述证明过程和数列
单调递减可知，数列
中有且只有一组连续三项构成等差数列.
8．已知函数
（
），
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
恒成立，求
的值；
(3)已知数列
，满足
，记
，若对任意的正整数
，不等式
成立，其中
为整
数，求
最小值．
【答案】(1)
在
上单调递增，
上单调递减
(2)
(3)3
【分析】（1）对函数
求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间.
（2）构造新函数
，对
分类讨论，结合
即可得解
（3）利用（2）的结论，通过放缩法得到
的上界，再结合
时的值，确定
的最小值.
【详解】（1）由题意函数
，
，求导可得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，
上单调递减，
（2）因为
，所以
，其中
，
令
，则
恒成立，
，且
，
当
时，令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
若
，则
在
上单调递增，所以
时，
，与题设矛盾；
若
，则
在
上单调递减，所以
时，
，与题设矛盾；
若
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，满足题意；
综上所述
．
（3）因为
，所以
，
由（2）可知当
时
，即
，
所以
当且仅当
时取等号，所以
，
．
，
所以
，即：对于任意正整数
，
恒成立，
且因为
为整数，且对于任意正整数
，
成立，
当
时，
，所以
不能恒成立，
所以m 的最小值为3．
9．已知函数
.
(1)若
，求证：
；
(2)设数列
的通项公式
，
是其前
项和，求证：
；
(3)设等差数列
的公差
，
是其前
项和，且
，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由
结合两角和与差的正弦公式可得
，进而结合二倍角公
式求证即可；
（2）将
裂项并求和可得
，利用正弦函数的性质放缩求证即可；
（3）结合三角恒等变换公式及等差数列的前
项和可得
，
，…，
，进而得到
，令
，利用导数分析其单调性，进而求解即可.
【详解】（1）证明：由
，
则
，
即
，则
，
即
，而
，则
，即
，则
.
（2）证明：由
，
则
，
因为
，所以
，
而
，
，则
.
（3）由
为等差数列，
则
，
同理可得，
，…，
，
则
，
令
，
则
，
而
，
，
则
，所以
在
上单调递增，则方程
有且仅有一个解，
所以
，
则
.
10．已知函数
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
时，
恒成立，求实数
的最大值；
(3)设
，
为数列
的前
项积，求证：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数
的导数，利用给定导数值求出
的值.
（2）令
并将不等式作等价变形，构造函数
，再利用导数求出
恒成立的
值
范围即可.
（3）由已知可得
，再结合（2）的结论变形，利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）函数
，求导得
，
由
，得
，所以
.
（2）令
，由
，得
，由
，令函数
，
求导得
，函数
在
上单调递减，
，
当
时，
，
，则函数
在
上单调递增，
，
恒成立，因此
；
当
时，
，而当
时，
，
则存在
，使得
，当
时，
，
，
函数
在
上单调递减，此时
，不符合题意，
所以实数
的取值范围是
，
的最大值为4.
（3）依题意，
，
，
，则
，
由（2）得
，
，则当
时，
，
因此
，所以
.
11．已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)当
时，数列
，且
，
；
①求数列
的前
项和
；
②证明：
．
【答案】(1)当
时，函数
无极值．当
时，函数
极大值为
，无极小值
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）根据导数与单调性、极值的关系求解即可.
（2）①求出
及
，结合裂项相消法求解即可.
②结合①可得
，结合（1）可得
，构造函数
，结合导数与单调性、最值的关系得到
，进而得到
，利用并项相消法求和证明即可.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
．
当
时，因为
，所以
恒成立，则函数
在
内单调递减，无极值．
当
时，令
，得
，
则当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
内单调递增，在
内单调递减，
函数
的极大值为
，无极小值．
综上所述，当
时，函数
无极值．
当
时，函数
极大值为
，无极小值．
（2）①当
时，
，
，
所以
．
②证明：由①知
，所以
，
且由（1）知当
时，
的极大值即最大值为
，
所以，
恒成立，即
，当且仅当
时等号成立．
令
，则
，
，
所以
，
．
令
，则
恒成立，
所以函数
在
内单调递增，
则当
时，
，即
．
所以
，
．
所以
所以
．得证．
12．已知函数
，正项数列
满足
．
(1)求函数
的最值与零点；
(2)判断数列
的单调性并说明理由；
(3)设数列
的前n 项和为
，求证：
．
【答案】(1)
在
处取得最大值，最大值为0，无最小值；
仅有一个零点0.
(2)数列
为递减数列，理由见详解；
(3)证明见详解
【分析】（1）先对
求导，判断导数正负，结合单调性，进而可求最值和零点；
（2）先利用作差法得到
，利用（1）可得到数列
的单调性即可；
（3）令
，求导，进而令
，利用导数得到
，再利用累乘法结
合放缩法可得
，利用等比数列前
项和公式求解得证.
【详解】（1）因为
，
，
当
时，
，即
单调递增，
当
时，
，即
单调递减，
且
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
处取得最大值，最大值为0，无最小值；
仅有一个零点0.
（2）数列
为递减数列，理由如下：
由题意，
，
由（1）知
在
上单调递减，则
，即
，
令
，则
，所以
，即
，
又函数
在R 上是单调递增函数，所以
，所以数列
为递减数列.
（3）令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
所以当
时，
，即
.
所以
，故
在
上单调递增，且
，
令
，则
，即
，又
，
所以
，所以
，即
，
当
时，
，又
，
所以
，
所以
.
考点03 导数与统计概率结合的相关问题
13．已知甲口袋有
（
，
）个红球和2 个白球，乙口袋有
（
，
）个红球和2 个白球，
小明从甲口袋有放回地连续摸球2 次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2 次，每次摸出
一个球．
(1)当
，
时，
①求小明4 次摸球中，至少摸出1 个白球的概率；
②设小明4 次摸球中，摸出白球的个数为
，求
的数学期望；
(2)当
时，设小明4 次摸球中，恰有3 次摸出红球的概率为
，求
的最大值.
【答案】(1)①
；②
(2)
【分析】（1）①根据“正难则反”的原则结合独立事件的乘法公式计算求解；②列举随机变量
的可能取
值，计算对应概率后，再根据数学期望计算公式计算求解；
（2）设小明每次摸出一个红球的概率为
，则
，其中
，则
，求
导，根据导数计算可得最值.
【详解】（1）①易知小明从甲口袋中有放回摸出一个白球的概率为
，从乙口袋中摸出一个白球的概率为
，
设“小明4 次摸球中，至少摸出一个白球”为事件
，则“小明4 次摸球都是红球”为事件
，
则
，
所以
②
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
由①得
，
，
，
，
，
所以
；
（2）易知此时连续摸4 次相当于4 次独立重复性试验，
设小明每次摸出一个红球的概率为
，则
，其中
，
则
，
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
时，
最大，此时，
，解得
．
故当
时，概率最大．此时
14．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
；
(3)从编号1 到100 的100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20 次，设抽到的20
个号码互不相同的概率为
，证明：
．
【答案】(1)函数
在
上单调递增；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数并确定正负，进而确定函数的单调性.
（2）由（1）的结论，利用单调性推理得证.
（3）借助排列计数问题求出概率，再利用放缩法及（2）的结论推理得证.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
所以函数
在
上单调递增.
（2）当
时，由（1）知，函数
在
上单调递增，
所以
.
（3）依题意，抽取的20 个号码互不相同的概率为
，
而
，同理
，
，
，
，
因此
，即
，
不等式
，
由（2）知，当
时，
，取
，得
，
即
，则
，因此
，
所以
.
15．为促进销售，某生产商联合商超对定价为100 元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商
超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10 元或20 元的“基础优惠券”（摸到10 元“基础优惠
券”的概率为0.6，摸到20 元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得
一张能叠加使用的20 元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为
.已知摸奖与闯关优惠
活动的结果相互独立.
(1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为
（单位：元），求
的分布列和
；
(2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.
记生产商销售一件该产品的期望利润为
（单位：元），消费者购买该产品的概率为
.已知
，商品成本为41 元.试求
的最大值及取得最大值时
的值.（结果保留1 位小
数）
注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望）
【答案】(1)分布列如下：
60
70
80
90
数学期望
(2)
的最大值为11.7，取得最大值时
的值为
.
【分析】（1）分为四种情况，对四种情况依次分析即可；
（2）优惠券成本=基础优惠券+进阶优惠券，再利用公式求导计算最大值即可.
【详解】（1）由题可知，
可能取值为：60、70、80、90.
，
，
，
，
所以消费者购买一件该产品的实际支付金额
的分布列为：
60
70
80
90
数学期望为：
.
（2）设优惠券实际成本为
，则
且支付金额的期望
，
所以
，
即：
求导得：
，
令
，解得：
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得最大值，此时
，
即：
的最大值约为11.7，取得最大值时
的值约为
.
16．某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为
，正常的概率为
.现对一批
芯片开展批量抽样检测，连续抽取
件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量
.
(1)连续抽取4 件芯片，在至少出现2 件故障芯片的条件下，求恰好出现3 件故障芯片的概率；
(2)当
时，记恰好出现2 件故障芯片的概率为
.若对任意
，恒有
，
求实数
的最小整数值；
(3)若始终满足
，求证：对任意正整数
，都有
.
【答案】(1)
(2)1
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意知
，当
时，再根据二项分布，结合条件概率求解即可；
（2）由题意知
，再根据导数求解最值即可得答案；
（3）由题知
，
，
，令
，进而将问题转化为证
明
，再构造函数
，
，证明
，
，最后结合不等式放缩得
即可证明.
【详解】（1）解：因为连续取
件芯片，故障芯片的件数为随机变量
，芯片独立出厂,
所以
服从二项分布，即
，故当连续抽取4 件芯片时，
所以
且
，
所以
.
（2）解：当
时，
故恰好出现2 件故障芯片的概率为
，
，
所以
，
故当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
所以
，
若对任意
，恒有
，则实数
的最小整数值为1.
（3）证明：因为
，
，所以
，
，
所以
令
，则
，
，
故要证
，只需证
，
只需证
，只需证
只需证
，
令
，
，
则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
又
，
所以，
，
因为
，
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
成立，证毕.
17．蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数
（单位：个）和平均温度
（单位：℃）有关．
现收集到一只蝗虫的产卵数
（个）和温度
的8 组观测数据，制成图1 所示的散点图．现用两种模型
①
，②
分别进行拟合．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
24
2.9
646
179
422688
62.65
70308
表中
；
(1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由）
根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出
关于
的回归方程．
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到
以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他
情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到
以上的概率为
，该地今后
年恰好需要2 次人工防治的概率为
．
①求
取得最大值时对应的概率
；
②当
取最大值时，设该地今后5 年需要人工防治的次数为
，求
的均值和方差．
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【答案】(1)模型②，
(2)①
；②
，
．
【分析】（1）利用散点图的特征确定所选模型，再利用给定数据求出回归方程.
（2）①求出
，再利用导数求出最大值对应
；②由①的结论求出每年需要人工防治的概率，再利用
二项分布的期望、方差公式计算即可.
【详解】（1）由散点图知，卵数
随温度
的变化是按指数形式变化，而非线性变化，因此模型②更合适，
令
，则
，由所给参考数据得，
，
，因此
关于
的线性回归方程为
，
所以产卵数
关于温度
的回归方程为
.
（2）①依题意，
，
求导得
，
令
，得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
取得最大值时对应的概率
；
②由①知，当
时，
取最大值，当
时，
，
每年需要人工防治的概率
，且
服从二项分布
，
所以
，
.
18．在平面直角坐标系中，一质点M 从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向
四个方向移动的概率均为
．例如在1 秒末，点M 会等可能地出现在
，
，
，
四点处．
(1)已知点M 在第2 秒末没有回到原点，求此时点M 位于坐标轴上的概率；
(2)记第n 秒末点M 回到原点的概率为
．
①求
，
，并利用公式
，求
；
②令
，记
为数列
的前n 项和，若对任意实数
，存在
，使得
，则称点M 是常返
的．利用公式：
，证明：点M 是常返的．
【答案】(1)
(2)①
；
；
；
②证明：由
可知：
则
所以
，
令
（
），则
，
即函数
在
上单调递减，
所以
，即
，则
，
则对任意正整数
都有
，
所以
记
为不超过x 的最大整数，
则对任意的实数
，当
时，
，即
，
综上，当
时，
成立，所以点M 是常返的．
【分析】（1）记事件A：点M 在第2 秒末没有回到原点，事件B：点M 位于坐标轴上，计算
即可；
（2）①分四个方向各移动一次、左右方向各移动两次、上下方向各移动两次三种情况求
；设左右各移动
次，上下各移动
次，即可求出
，再利用组合公式化简；
②利用公式化简得出
，得出
，构造函数
，研究其
单调性求出
，即可得出
，最后化简得出
，取
即可求证.
【详解】（1）记事件A：点M 在第2 秒末没有回到原点，事件B：点M 位于坐标轴上，
由于在第2 秒末点M 回到原点的情况有4 种，则事件A 包含的情况共有
种，
其中点M 没有回到原点且在坐标轴上的情况有4 种，即点
，
，
，
这四种情况．则
，
故点M 在第2 秒末没有回到原点，且此时点M 位于坐标轴上的概率为
．
（2）①点M 在第2 秒末回到原点，
；⋯
点M 在第4 秒末回到原点有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有
种，
左右方向各移动两次的情况有
种，上下方向各移动两次的情况有
种，
所以
；
若点M 在第
秒末回到原点，则需左右移动次数相等，且上下移动次数也相等，
设左右各移动i（
）次，则上下各移动
次，
所以
.
②略
考点04 导数与立体几何结合的相关问题
19．如图，在四面体
中，点
在平面
内的射影
恰在棱
上，
为
的中点，
，
，
和
的面积均为．
(1)若
，且
与
均为锐角，证明：
平面
；
(2)若将
，
，
三点在空间中的位置固定，试分析
点的轨迹是什么曲线；
(3)求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)椭圆（直线
与此椭圆的两个交点除外）
(3)
【分析】（1）根据几何知识得
，再利用三角形面积公式得
，进而利用余弦定理得
，则有
，最后利用线面垂直的性质定理证明即可；
（2）根据面积得点D 到直线AB 的距离为1，进而有
在以直线
为轴，底面半径为1 的圆柱的侧面上运
动，结合线面角的概念即可求出点
的运动轨迹；
（3）建立空间直角坐标系，求出椭圆方程及焦点坐标，设
，在
中，由余弦定理得
，同理可得
.方法一：结合
，利用基本不等式中常数代换技
巧求解最小值；方法二：先求得
，令
，令
，利用导数法求
解最小值即可.
【详解】（1）因为点
在平面
内的射影
恰在棱
上，所以
，
又因为
，所以
，
因为
和
的面积均为，所以
因为
与
均为锐角，所以
，
再根据余弦定理可知
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
；
（2）因为
的面积为，
，所以点D 到直线AB 的距离为1，
因此
在以直线
为轴，底面半径为1 的圆柱的侧面上运动.
由题意知
平面
，
，所以直线
与平面
所成的角为
.
如图，平面
与圆柱斜交，则平面
与圆柱侧面的交线就是点
的运动轨迹，
易知该交线为椭圆（直线
与此椭圆的两个交点除外）.
（3）以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，
的方向为
轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
下面求椭圆方程：由圆柱的底面半径
，可知椭圆的短半轴长为1，
由
，可知椭圆的长半轴长
，
所以椭圆方程为
，记该椭圆为
.
又
，即
，所以
为
的一个焦点，
设
的另一个焦点为
，则
，
设
，在
中，由余弦定理知
，
解得
.
直线
与
的另一个交点即为
，同理可得
.
下面求
的最值：
方法一：注意到
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
因此
.
方法二：
，令
，令
，
则
，设
，则
（另一值舍去）.
当
时，
，当
时，
，
因此
为
的极小值点，也是最小值点，故
.
20．已知点
为空间一定点，圆锥
（
为底面的中心 ）表面上的所有点到点
的距离均不超过3，则当
该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可知圆锥
的顶点及底面圆周上的所有点均在以定点
为球心，3 为半径的球面上，设圆
锥
的底面圆周的半径为，球心
到圆锥底面的距离为
，根据条件得到与
的关系，再结合圆锥体积
公式求出体积最大时和
的值，最后计算侧面积即可.
【详解】因为圆锥
表面上所有点到点
的距离均不超过3，
所以圆锥
表面上所有点均在以定点
为球心，3 为半径的球内或球面上，
要使圆锥
的体积最大，则圆锥
的顶点及底面圆周上的所有点均在球面上，
且球心
在圆锥的内部，此时圆锥
的轴截面如图所示.
设圆锥
的底面圆周的半径为，球心
到圆锥底面的距离为
，
则
，所以
，
圆锥
的体积
，
则
.
由
，得
； 由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
，
此时该圆锥的母线长为
，从而其侧面积
.
故选：A.
21．在三棱锥
中，等边三角形
的边长为
，
，
，点
为
的中点．
(1)证明：
；
(2)设点
在底面
上的投影为
，求三棱锥
体积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设
的中点为
，连接
、
，证明出
平面
，结合线面垂直的性质可证得结
论成立；
（2）过点
在平面
内作
的垂线，垂足为点
，连接
、
，证明出
面
，可知
为
点
在底面
上的投影，设
，其中
，求出三棱锥
体积
.
方法一：计算得出
，然后利用四元基本不等式可求得
的最大值；
方法二：设
，其中
，利用导数法可求得
的最大值.
【详解】（1）设
的中点为
，连接
、
．
因为三角形
为等边三角形，所以
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
（2）过点
在平面
内作
的垂线，垂足为点
，连接
、
，证明如下：
由（1）得，
平面
，且
平面
，所以
，
又因为
，
，
、
平面
，
所以
平面
，即
为点
在底面
上的投影．
因为
是边长为
的等边三角形，
，则
，
因为
，
，
，所以
，
由（1）可知
，设
，其中
，
则
，
，
所以
，
三角形
的面积
，
则三棱锥
体积
，
法一：四元均值不等式
，
即
，当且仅当
，即
时，即
时，等号成立．
法二：导数法
设
，
，
则
，
令
，即
，解得
，
由
，即
，解得
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
即
．
22．在三棱锥
中，
，直线
与平面
所成的角为
，则三棱锥
体积的最大值为__________.
【答案】
/
【分析】设
，得到点
在以
为焦点的椭圆上，当
在该椭圆的上顶点
时，
的面积最大，
取
的中点
，求得
，设点
到平面
的距离为，得到
，求得
，设
且
，利用导数即可求解.
【详解】不妨设
，由
中
，可得
，
又由
，故点
在以
为焦点，且2 为长半轴长的椭圆上，
当
在该椭圆的上顶点
时，
的面积最大，此时
，
取
的中点
，可得
，
则
，
设点
到平面
的距离为，
因为直线
与平面
所成的角为
，可得
，
所以
，
设
且
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
，
所以
，
当且仅当
，且
时，等号成立，
所以三棱锥
体积的最大值为
.
故答案为：
23．已知一个实心圆锥几何体的体积为V₁，从中挖去一个体积为V₂ 的半球，且球心在圆锥底面上，则
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据圆锥和半球的体积公式表示为
，然后通过导数求出其最大值.
【详解】设圆锥底面半径为
，高为 ，半球半径为 ，
圆锥体积
，半球体积
，体积比为
因为底面中点（球心）到母线HM 的距离等于半球半径 ，由等积法可得
，
令
（
），则
，则
，
将 代入体积比
，
设
（
），令
，则
，
f
' (u)=
2[(u+1)
3
2 −u⋅3
2 (u+1)
1
2 ]
(u+1)
3
=
2(1−1
2 u)
(u+1)
5
2
令
，解得
（即
，
），
当
,
，
单调递增，当
,
，
单调递减，
所以当
，
取得最大值，
此时
取得最大值：
.
24．已知圆锥SO 的底面为单位圆，其体积为
是底面圆O 的直径，圆O 内有一条动弦MN 垂直于AB，
过MN 作平面
与母线SA 交于点
，当
时，
面积的最大值为______________．
【答案】
【分析】弦MN 交AB 于点
,设
，则
的面积为：
,利用导数求
解最值即可.
【详解】如图，
弦MN 交AB 于点
，当
时，
平面
，平面
平面
，
则
，
由圆锥SO 的底面为单位圆，其体积为
，
得
，得
，则
，
设
，
则
，得
，得
，
，
则
的面积为：
，
则
，
由
，得
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
则当
时，
取得极大值，也为最大值，
故
的最大值为：
.
考点05 导数与解析几何结合的相关问题
25．已知直线
与抛物线
交于
两点，过
分别作抛物线
的两条切线，两条切
线交于点
；过点
作直线
的垂线，与椭圆
交于
两点（点
在点
上方）．
(1)证明：点
在一条定直线上；
(2)记
的面积分别为
，求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将
代入
得到
，再由
求导，得到两条切线方程，求交
点即可；
（2）由（1）得到
，从而得到垂线方程
，代入椭圆方程，求得点M，N 的坐标，从而得到
点M，N 到直线
的距离，表示
求解．
【详解】（1）如图所示：
代入
，得：
，
设
，则
；
导函数为
，所以在点
处的切线方程为
，
化简得
，同理得
，
所以两直线交点为
，所以
，
故点
在定直线
上．
（2）
，
由（1）得
，所以垂线
，即
，代入椭圆
，
得：
，因为点
在点
上方，所以
；
到直线
的距离
；
同理可得
到直线
的距离
．
．
当
，即
时，
．
，所以
；
当
时，
，
所以
，设
，
设
；
，所以
在
上单调递增；
所以
，故
，当且仅当
，即
时取到“
”，
显然
，所以
的最小值为
．
26．已知椭圆
的离心率为
，且
经过点
．
(1)求
的方程．
(2)已知
是
的左、右顶点，
是
的短轴上的动点（与短轴端点和原点
均不重合），点
满足
，直线
与
的另一个交点为
，直线
与
的另一个交点为
（与
不重合）．
（i）证明：直线
与
轴相交于定点；
（ii）当
的面积最大时，求
的值．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
．
【分析】（1）根据离心率和所过点可求方程；
（2）（i）根据直线和椭圆的方程求出
的坐标，结合斜率关系可得定点；
（ii）求出
的面积表达式，利用导数可求答案.
【详解】（1）设
的半焦距为
．
由离心率为
，可得
，
又
经过点
，所以
，得
．
故
的方程为
．
（2）（i）由题意知
．
因为
，所以
．
直线
，与椭圆方程联立得
，
则
，又
，所以
，
从而
，所以
．
直线
，与椭圆方程联立，得
，
则
，又
，所以
，
从而
，所以
．
若直线
与
轴相交于点
，
则有
，得
，
因为
，上式化简可得
，
因此，直线
与
轴相交于定点
．
（ii）由题意知
的面积为
．
由对称性，不妨取
，又因为
，所以
，所以
．
令
，则
，解得
（负值舍去）．
当
时，
，
当
时，
，
故当
取最大值时，
．
27．已知椭圆
与双曲线
有相同的左、右焦点
，若
点
是
与
在第一象限内的交点，且
，设
与
的离心率分别为
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆和双曲线定义，可得
，进而可得
，化简可得
，所以
，令
，换元后可得
，根据函数单调性，
即可求得其最值.
【详解】设椭圆与双曲线的焦距为
，即
，
由椭圆与双曲线的定义可得
可得
，
，
因为
，所以
，则
，即
，故
，
又
，
，则
，
所以
，
令
，则
，
设函数
，
则
，
因为
，所以
，
所以函数
在
上为增函数，所以
，
则
，故
的取值范围是
.
28．如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已
知
，
互为共轭双曲线，且
，
的离心率分别为
，
，则
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意设
，
的标准方程，再用
，
表示出
，
，代入
后，利用函数的单调性
求出最大值.
【详解】设双曲线
的标准方程为
，
，则双曲线
的标准方程为
，
，
所以
，
，
所以
，
设
，则
，
设
，则
，
令
，解得
，又因为
，所以
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以当
，函数
有最大值
，
所以
的最大值为
.
29．已知抛物线
上的点
到焦点
距离的最小值为
．
(1)求
的方程；
(2)若点
，
在
上，且线段
的中点在直线
上，点
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线定义可知抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值.
（2）抛物线方程和直线
方程联立，用韦达定理表示根的关系，再利用弦长公式，点到直线的距离公式
求出
的底和高，最后利用导数即可求出
面积的最大值.
【详解】（1）抛物线
的焦点
，准线为
，
抛物线上的动点
到焦点
距离的最小值即为动点
到准线
距离的最小值，即
，即
，故
的方程为
．
（2）由题意可知直线
斜率存在，设
的方程为
，与抛物线
联立消去
可得
，则
，
，
则
，
的中点
在直线
上，
即
，即
，
由弦长公式可知
，
点
到直线
的距离为
，
即
的面积为
，
令
，
，则
，
则
，
令
，则
令
可得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
因此
在
处取得最大值，即
的最大值为
，
即
面积的最大值为
．
30．对于抛物线
过原点
作斜率为
的直线，交抛物线
于另一点
.作
关于
轴
的对称点
过点
作的平行直线
，交抛物线C 于另一点
.作
关于
轴对称点
以此类推构造点
记
的坐标为
(1)若
，求点
的坐标；
(2)证明：数列
是等差数列；
(3)求
的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
的面积的最大值为
【分析】（1）求出直线的方程联立直线与抛物线方程解出即可；
（2）先求出直线
的方程， 结合抛物线方程以及等差数列的定义证明即可；
（3）利用点到直线的距离公式以及两点间的距离公式、三角形面积公式、函数导数求解即可.
【详解】（1）由题意如图所示：
若
，则直线的斜率为
，抛物线方程为：
，
又直线过原点
，所以直线的方程为：
，
联立
，消去
得：
，解得：
或
，
当
时，
，此时该点为坐标原点，
当
时，
，即
.
（2）证明：由题意如图所示：
由直线的方程为：
代入
中化简得：
，
解得：
或
，
当
时，
，此时该点为坐标原点，
当
时，
，即
，
由题意知直线与直线
平行，所以直线
的斜率为
，
由点
关于
轴对称后得点
，
且
在直线
上，所以直线
的方程为：
，
又点
在直线
上，所以
，①
又点
也在抛物线
上，
所以
，代入①得：
所以
，
因为
，所以
，
所以数列
为首项为
，公差为
的等差数列.
（3）由题意如图所示：
由题意可知：
，
且
，
，
则直线
的斜率为：
，
所以直线
的方程为：
，
即
，
所以点
到直线
的距离为：
将
代入上式可得：
由（2）得：
，
所以
，
又
，
所以
的面积为：
,
设
，则
，
令
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
.
