文档文本内容
第08 讲基本不等式及其应用
（知识清单+7 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
a+b≥2❑√ab求最值、不等式变式、三元不等式a+b+c≥3
3√abc
单选题、多
选题
5 分/6 分
1 的代换+a+b≥2❑√ab、凑配定值、几何最值+ab≤( a+b
2
)
2
单选题、填
空题
5 分
ab≤( a+b
2
)
2
应用及求范围、a+b≥2❑√ab易错辨析
单选、填空
5 分
a
2+b
2≥2❑√ab放缩及结合导数、证明+a+b≥2❑√ab求参
解答题（小
问）、解答
题
4-10 分
【知识点01】基本不等式：❑√ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝
b 时，等号成立.
(3)其中a＋b
2
叫做正数a，b 的算术平均数，❑√ab叫做正数a，b 的几何平均数.
【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）若a,b∈ℝ，则
❑√ab≤a+b
2
；（2）若a>0,b>0，则a+b
2
≥❑√ab，当a=b=2时取等号。
解析：（1）错误，忽略“一正”前提，若a=−1,b=−2，❑√ab= ❑√2，a+b
2
=−3
2，此时
❑√ab> a+b
2
；
（2）正确，满足“一正”，且当a=b=2时，2+2
2
=2，❑√2×2=2，等号成立。
【知识点02】利用基本不等式求最值
(1)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2❑√P.
(2)已知x，y 都是正数，如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值1
4 S 2 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
【例2】已知x>0，y >0，且2 x + y =1，求1
x + 1
y 的最小值。
解析：利用1 的代换，将1替换为2 x + y，得：
1
x + 1
y =( 1
x + 1
y )(2 x + y)=2+ y
x + 2 x
y +1=3+ y
x + 2 x
y
由基本不等式，y
x + 2 x
y ≥2❑√
y
x ⋅2 x
y =2❑√2，当且仅当y
x = 2 x
y ，即y = ❑√2 x，结合2 x + y =1，解得x = 2−❑√2
2
，
y = ❑√2−1时，等号成立。
故1
x + 1
y 的最小值为3+2❑√2。
【知识点03】基本不等式的应用
求代数式最值、比较大小、证明不等式、解决几何及实际问题（周长、面积、利润最值等），常与函数、导数
结合考查。
易错提醒：忽略“一正、二定、三相等”任一条件，会导致最值求解错误；分式型最值需先凑配定值，再套用
公式。
【例3】已知x>0，y >0，且2 x + y =1，求1
x + 1
y 的最小值。
解析：利用1 的代换，将1替换为2 x + y，得：
1
x + 1
y =( 1
x + 1
y )(2 x + y)=2+ y
x + 2 x
y +1=3+ y
x + 2 x
y
由基本不等式，y
x + 2 x
y ≥2❑√
y
x ⋅2 x
y =2❑√2，当且仅当y
x = 2 x
y ，即y = ❑√2 x，结合2 x + y =1，解得x = 2−❑√2
2
，
y = ❑√2−1时，等号成立。
故1
x + 1
y 的最小值为3+2❑√2。
【题型一】由基本不等式比较大小
【例1】（2025·云南·一模）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的性质比较
,根据基本不等式比较
.
【详解】因为
，所以
，
所以
，即
，即
，
又因为
，
所以
，即
，
综上，
，
故选:A.
【变式1】（2025·广东·一模）已知
，设命题
，命题
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合基本不等式即可证明充分性成立，用特值检验即可说明必要性不成立.
【详解】取
,满足
,但
，必要性不成立，
由基本不等式得
,由题可知
,则
,解得
,充分性成立，
则
是
的充分不必要条件，
故选：A
【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为
，若圆柱
和圆台的高和体积都相等，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据圆台和圆柱的体积公式，得出
，做差可判断
，再结合基本不等式，可得
.即可得到答案.
【详解】不妨设圆柱和圆台的高为，由体积公式可知
，即
；
.
圆台中
，故
，即
，
，选项A 错误，选项B 正确.
由基本不等式，结合
，得
，平方后得到
，选项CD 错误.
故选：B
【变式3】（多选）（2025·四川泸州·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式及不等式的性质依次判断各项的正误.
【详解】用
替代
中的
，得到
，当且仅当
时取等号，故A 正确；
取
，则
，故B 错误；
，当且仅当
时取等号，故C 正确；
因为
，所以
，
即
，当且仅当
时取等号，故D 正确.
故选：ACD
【题型二】由基本不等式证明不等关系
【例1】（2025·四川眉山·模拟预测）已知
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可.
【详解】当
时，满足
，此时
；
由
，且
，
，得
，当且仅当
时等号成立.
故“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：A.
【变式1】（2024·河南·模拟预测）若
，则使
成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D 均错误，再利用基本不等式计算可得C 正确.
【详解】对于A，易知当
时满足
，但此时
不成立，可知A 错误；
对于B，当
，可知
成立，但
不成立，可知B 错误；
对于C，由
可得
，即可得
，即充分性成立；
当
时，满足
，但此时
不成立，即必要性不成立，可得C 正确；
对于D，当
时，易知
成立，此时
不成立，可得D 错误.
故选：C
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知非零向量
满足
，若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算可得
，即可根据不等式得
，进而可判断必要
性，举反例即可求解不充分性.
【详解】
,
由于
，所以
，
故
能得到
，
但
不一定能得到
，比如
，满足
，但无法得到
，
故“
”是“
”的必要不充分条件，
故选：B
【变式3】（2024·青海·一模）已知正数
满足
．求证：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据
，结合基本不等式，即可得证；
（2）由
，结合基本不等式，即可得证.
【详解】（1）证明：因为正数
满足
，
由
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，
即
，所以
，当且仅当
时，等号成立.
（2）证明：由
，
当且仅当
，即
，等号成立.
所以
.
【题型三】基本不等式求积的最大值
【例3】（2026·四川绵阳·三模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由题可知
，
若
，则
，当且仅当“
”时取“
”，
则
；
若取
，满足
，但
，
故“
”是“
”必要不充分条件.
【变式1】（2025·山西吕梁·模拟预测）若
且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
【答案】B
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】由基本不等式可得：
，
所以
，当且仅当
时等号成立；
所以
的最大值为
；
故选：B
【变式2】（2026·广东湛江·二模）已知正数
，
满足
，则
的最大值为______.
【答案】12
【详解】由
，得
，
所以
，当且仅当
，
时等号成立.
【变式3】（2026·福建龙岩·三模）在
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
边上的中线
的长为2，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理以及特殊角的三角函数值求解即可.
（2）根据向量的模以及基本不等式得
，再根据三角形面积公式求最值.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
所以
，
所以
，
，
因为
，
．
（2）因为
是
边上的中线，所以
，
两边平方：
，
由（1）得
，
代入已知条件得：
，
整理得 a
2+b
2+ab=16≥3ab，
所以ab≤16
3
．
所以
，当且仅当
时，
取到等号，所以
面积的最大值为
．
【题型四】基本不等式求积的最小值
【例4】（2026·浙江宁波·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案.
【详解】若
，则
，充分性成立；
若
，取
，满足条件，
则
，不满足
，故必要性不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
【变式1】（2026·河南开封·模拟预测）若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【分析】先代数变形得
，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得：
，
，
当
，即
时，等号成立.
【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知
，则
的最小值为__________．
【答案】9
【分析】对
进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值.
【详解】因为
，则
，
.
所以
.
当且仅当
时，即
等号成立.
因此，
的最小值为9.
【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为_____.
【答案】3
【分析】设
，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得.
【详解】设
，因
，则
，
且
，
因
，当且仅当
时取等，
即
时，也即
时，
取得最小值4，此时
的最小值为3.
【题型五】基本不等式“1"的妙用求最值
【例5】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数
，正数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．5
C．8
D．9
【答案】D
【详解】因为函数
的定义域为
，
，所以
是奇函数；
又
，所以
，
又
，所以
在
上单调递增，所以
，即
；
又
均为正数，所以
，
当且仅当
时，即
，
时等号成立，
故
的最小值为9，故D 正确.
【变式1】（多选）（2026·辽宁朝阳·三模）已知正实数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由对数的运算可判断A，由基本不等式结合乘1 法可判断BCD.
【详解】由题意可知
，所以
，A 项正确；
，当且仅当
时取等，B 项正确；
所以
，当且仅当
时取等，C 项正确；
，当且仅当
时取等，D 项错误．
【变式2】（2026·福建南平·二模）若
，
，且
，则
的最小值为________.
【答案】5
【分析】根据题意得
，对
整理，再利用基本不等式求解.
【详解】由
得
，所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，当且仅当时
等号成立，
所以
的最小值为5.
【变式3】（2025·海南·模拟预测）在
中，角
所对应的边分别为
且满足
．
(1)求
的大小；
(2)角
的平分线
与边
相交于点
，且
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简即可；
（2）根据
得出
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由
得
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，
即
，
即
，
因为
，所以
，
若
，则
矛盾，故
，所以
，
而
，所以
．
（2）因角
的平分线为
，则
，
因
，且
，则
，
∴
，∴
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号．
所以
的最小值为
．
【题型六】条件等式求最值
【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
且
，则
的最小值是（ ）
A．3
B．9
C．5
D．25
【答案】D
【详解】因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
解得
，当且仅当
时等号成立，所以
的最小值为25．
【变式1】（多选）（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，
即可判断；对于B，利用
即可判断；对于C，对式子
两边同
时平方可得
，根据
的范围即可判断；对于D，由
可得
，根据二次函
数的性质即可判断.
【详解】选项A，由
，可得
，即
，故A 正确；
选项B，利用基本不等式可知
，整理可得
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，故B 错误；
选项C，整理式子
，可得
，
两边同时平方得
，即
，
因为
，所以
，当且仅当
，
时，等号成立，故C 正确；
选项D，由
，可得
，得
，
则
，
函数
是开口向上的二次函数，对称轴为
，
所以
，故D 正确.
【变式2】（2026·贵州贵阳·二模）若
，且
，则ab 的最小值是______．
【答案】4
【详解】因
，则
，整理得
，
解得
，即
，当且仅当
时取等，
故当
时，ab 取得最小值为4.
【变式3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知正数a，b，c 满足
．
(1)若
，证明：
；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由题意可得
，结合不等式
分析证明；
（2）由等式
可得
，进而求最值.
【详解】（1）因为正数a，b，c 满足
，
若
，则
，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
.
（2）因为
，即
．
同理可得
，
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
【题型七】基本(均值)不等式的应用
【例7】（2026·广东江门·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】C
【分析】方法一：条件等式可化为
，再结合关系
利用基本不等式求结论；
方法二：由条件等式可得
，消元变形可得
，再利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】（方法一）由
，可得
，
因为
，
，所以
，
，
则
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
的最小值为13．
（方法二）由
，可得
，因为
，所以
，
则
，
当且仅当16
b−1 =b−1，即
时，等号成立，
故
的最小值为13．
【变式1】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形
ABCD 和EFGH 构成的面积为
的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为
；在四个
相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价
为
．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
根据十字形地域的面积，得出
的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域
造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时
的长.
【详解】设
则
，所以
，
所以
，
因为
，即
且
，解得
，
所以
.
故
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当
时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为
元.
故选：B
【变式2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数
，
满足
，则
的最大值为______.
【答案】8
【分析】将已知等式变形为
，利用基本不等式建立
与
的关系，从而求得
的最大值.
【详解】因为
，
为正数，所以
，
根据基本不等式可得
，(当且仅当16
，即
时等号成立)；
则
，即16
，
因为16
，所以
，可得
.
即
的最大值为8.
故答案为：8
【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的
使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4 年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占
地面积
（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费
（单位：万元）与设备
占地面积
之间的函数关系为
，将该企业的净水设备购置费与安装后4 年需缴水费之和合计为
（单位：万元）.
(1)要使
不超过7.2 万元，求设备占地面积
的取值范围；
(2)设备占地面积
为多少时，
的值最小？
【答案】(1)
(2)设备占地面积为
时，y 的值最小
【分析】（1）由题意得
，解不等式
即可得解.
（2）将
变形为
，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得
，
令
即
，整理得
即
，
所以解得
，
所以设备占地面积
的取值范围为
.
（2）
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以设备占地面积为
时，
的值最小.
【解题大招01】凑配定值法
当代数式无明显定值时，通过“加项、减项”凑配出和定或积定，满足基本不等式“二定”要求，优先凑配与变量相
关的定值项，规避符号错误。
易错提醒：凑配时需保证凑配项与原变量符号一致，避免出现负数项导致公式失效。
【例1】已知x>1，求y = x +
4
x−1的最小值。
解析：由x>1，得x−1>0（满足“一正”），凑配定值：
y = x +
4
x−1 =( x−1)+
4
x−1 +1
此时( x−1)与
4
x−1积为定值4，由基本不等式：
( x−1)+
4
x−1 ≥2❑√( x−1)⋅
4
x−1 = 4
当且仅当x−1=
4
x−1，即x =3（满足“三相等”）时，等号成立。
故y的最小值为4+1=5。
【解题大招02】“1 的代换”法
已知mx +ny =1（m,n>0，x , y >0），求a
x + b
y （a,b>0）的最值，将“1”替换为mx +ny，展开后利用基本不等
式求最值。
【例2】已知x>0, y >0，且3 x +2 y =6，求1
x + 1
y 的最小值。
解析：先将已知条件变形为“1”的形式：3 x +2 y
6
=1，即x
2 + y
3 =1。
进行1 的代换：
1
x + 1
y =( 1
x + 1
y )( x
2 + y
3 )= 1
2 + y
3 x + x
2 y + 1
3 = 5
6 + y
3 x + x
2 y
由基本不等式，y
3 x + x
2 y ≥2❑√
y
3 x ⋅x
2 y =2❑√
1
6 =
❑√6
3
。
当且仅当y
3 x = x
2 y ，结合3 x +2 y =6，解得x = 6 ❑√6−12
5
，y = 18−6 ❑√6
5
时，等号成立。
故1
x + 1
y 的最小值为5
6 +
❑√6
3
。
【解题大招03】分类讨论法（适配含负变量、参数型最值）
当变量含负数、参数时，先分类转化为“正数”，再套用基本不等式；参数型需按参数影响“一正、二定、三相等”
的条件分类求解，避免漏解。
【例3】求y = x + 1
x （x≠0）的最值。
解析：分两类讨论，保证“一正”前提：
① 当x>0时，由基本不等式，y = x + 1
x ≥2❑√x⋅1
x =2，当且仅当x =1时，取最小值2；
② 当x<0时，令t =−x>0，则y =−t + 1
−t =−(t + 1
t )。
由基本不等式，t + 1
t ≥2，故−(t + 1
t )≤−2，当且仅当t =1（即x =−1）时，取最大值-2。
综上：y的最大值为-2，最小值为2。
【解题大招04】结合几何意义法（适配几何背景最值）
将代数式转化为几何量（周长、面积、距离等），利用基本不等式求几何量的最值，核心是找到几何量对应的
“和定”或“积定”关系。
【例4】已知矩形的周长为16，求该矩形面积的最大值。
解析：设矩形的长为a，宽为b（a>0,b>0），由周长为16，得2(a+b)=16，即a+b=8（和定）。
矩形面积S =ab，由基本不等式“和定积最大”：
ab≤( a+b
2
)
2
=( 8
2 )
2
=16
当且仅当a=b= 4（即矩形为正方形）时，等号成立。
故矩形面积的最大值为16。
【解题大招05】不等式链应用法（适配大小比较、范围求解）
利用均值不等式链
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
（a>0,b>0），快速比较大小、求解代数式取值范围，等号均
在a=b时成立。
【例5】已知a>0,b>0，且a+b=2，比较❑√ab、
2
1
a + 1
b
、a+b
2
的大小，并求❑√
a
2+b
2
2
的最小值。
解析：① 大小比较：由不等式链，
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2
，代入a+b=2，得
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤1；
② 求❑√
a
2+b
2
2
的最小值：由a
2+b
2=(a+b)
2−2ab= 4−2ab，代入得：
❑√
a
2+b
2
2
= ❑√
4−2ab
2
= ❑√2−ab
由❑√ab≤1，得ab≤1，故2−ab≥1，即❑√2−ab≥1。
当且仅当a=b=1时，等号成立，故❑√
a
2+b
2
2
的最小值为1。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知平面向量满足
，
，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量的模，通过将模进行平方得到等式，然后化简求出
的余弦值，进而根据向量夹角的范围和基
本不等式的性质求出
的取值范围.
【详解】因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
．
故选：B.
2．（2026·安徽滁州·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为4.
3．（2026·甘肃酒泉·二模）已知
，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值.
【详解】因为
，所以
，且
，
所以
，
当且仅当
且
时等号成立，由
得
（
舍去），
代入
，解得
，
所以当
时，
的最小值为
.
二、多选题
4．（2025·广东·模拟预测）已知
，则下列命题一定为真命题的有（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】利用对数函数的性质可判定A，利用反例可判定B，利用不等式的性质可判定出，根据基本不等式可判定D.
【详解】对于A，因为函数
单调递增，又
，所以
，故A 正确；
对于B，当
时，
，故B 错误；
对于C，由不等式的传递性可知
，故C 正确；
对于D，由
得
，又
，所以
，即
.
又
，即
，则
，即
，又
，故
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2025·四川·模拟预测）已知
，则
的最小值为___________．
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】由
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为1.
故答案为：1
6．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n 满足
，则
的最小值为________．
【答案】2
【详解】因
，则
，当且仅当
时取等号.
则
即
，解得
，（
舍去）
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为2.
四、解答题
7．（2026·陕西商洛·一模）在
中，内角
的对边分别是
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得
，通过同角三角函数的基本关系求得
的值；
（2）利用基本不等式可得
，从而求出
的面积的最大值.
【详解】（1）由
，得
，
所以由余弦定理，得
，
因为
中，
，所以
，
，所以
.
（2）由
和
，得
，
因为
，当且仅当
时取等号，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的面积
，
即
的面积的最大值为
.
8．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)求使
成立的
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
可知
， 化简利用基本不等式可求得结果；
（2）由题意可得
，根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】（1）
，
当
时，
，
因为
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为
（2）因为
，若
，所以
，
得
或
解得
或
，即
的取值范围是
．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·广西崇左·一模）若
，则
的（ ）
A．最小值为4
B．最小值为6
C．最大值为4
D．最大值为6
【答案】B
【详解】由
，得
，则
，
当且仅当
，即
时取等号成立，
所以
的最小值为6，无最大值.
2．（2026·江苏·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，若
，
，则当角
取得
最大值时，
的周长为（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理，将角化边，可得
，再由余弦定理结合不等式，可求得角
的最大值为
，再
根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长.
【详解】由题意，
，
根据余弦定理，可得
，化简得
，即
，
所以
，
根据基本不等式，可得
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
又
，由余弦函数的性质，可知
单调递减，所以
，
所以角
的最大值为
，且
，
又由余弦定理得，
，
所以
，又
，所以
，所以
，
所以
的周长为
，所以B 正确.
二、多选题
3．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可.
【详解】选项A. 由基本不等式
，则
，平方得
，当且仅当
时等号成立，A 正确.
选项B.对
平方得
，由A 知
，
因此
， 因为
，开方得
，
当且仅当
时等号成立，B 正确.
选项C.
，由
，所以
，即
，C 错误.
选项D.
，因此
，所以
，D 错误.
三、填空题
4．（2026·安徽·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为________．
【答案】
【详解】由题意得，
，
所以
，
当且仅当
，
，即
时，等号成立．
5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知
为正实数，且直线
与曲线
相切，则
的最大值为
__________.
【答案】
/0.5
【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可.
【详解】由直线
与曲线
相切，
设切点为
，由
，且切线的斜率为，
所以
，
代入曲线方程中得：
，
所以切点为
，代入直线方程中得：
，
因为
，所以
.
当
时取等号，所以
的最大值为
.则
的最大值为
.
四、解答题
6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知
的角
对边分别为
，
.
(1)求角
的大小.
(2)设点
是
的中点，若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，进而可得
，可求
；
（2）延长
到
，满足
，连接
，在
中，由余弦定理化简整理得到
，结合基
本不等式，求得
，再由三角形的性质，即可求得
的取值范围.
【详解】（1）
，
，
由正弦定理可得：
，
，
, 即
，
，
．
（2）如图，延长
到
，满足
，连接
，
则
为平行四边形，且
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，可得
，即
，
由基本不等式得：
，
即
，即
，可得
，
（当且仅当
取等号号），
又由
，即
，
故
的取值范围是
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·浙江·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．5
D．9
【答案】B
【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
二、多选题
2．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则“
”是“
”的充要条件
C．
的最小值为3
D．若
，则
【答案】AC
【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不
等式的性质判断D.
【详解】对于A，解不等式
，得
，因此
，A 正确；
对于B，当
时，
或
，即
能推出
，但
不能推出
，
因此“
”是“
”的充分不必要条件，B 错误；
对于C，
，
当且仅当
，即
时取等号，因此
的最小值为3，C 正确；
对于D，
，当
时，
，D 错误.
三、填空题
3．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y 满足
，则
的最小值为______.
【答案】
【分析】根据题意得
，再结合基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】因为正数x，y 满足
，所以
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
四、解答题
4．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
.
(1)求a，b 的值并求解不等式
的解集；
(2)当
，
且满足
时，有
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
；解集为
.
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出
，
的值，进而求解不等式.
（2）根据基本不等式求出
的最值，结合不等式恒成立即可求出范围.
【详解】（1）由题意知，1 和2 是
的两个根，且
，
所以
，
，解得
，
.
将
，
代入
可得，
，即
，
解得
或
.
所以解集为
.
（2）由（1）知，
（
，
），
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为8.
又
恒成立，故
恒成立，即
，解得
.
的取值范围为
.
5．（2026·河北沧州·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
.
(1)若
，求
的大小；
(2)若
，点
为
边上的点，且满足
，求
的最小值；
(3)若
，点
为
边上的中点，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)18
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式，化简得出
的值，进而求
得角
；
（2）由角平分线性质及面积关系推出
，由“1”的代换将
变形，运用基本不等式求出其最小值；
（3）先由
推出
，设
，在两个三角形中用正弦定理联立，推导出
，
再通过辅助角法求该三角函数的最大值，进而得到
的最大值.
【详解】（1）由题
，利用正弦定理可得
，
因为
，所以
，
所以
，又
，所以
，
又因为
，所以
.
（2）因为
，所以
为角
的平分线，
因为
，可得
，
又
为角平分线，可得
，
所以
，所以
，
故
，
由
及
可得，当且仅当
时，等号成立，所以
的最小值为18.
（3）因为
，即
，
所以
，可得
，
设
，在
和
中，利用正弦定理可得，
两式联立可得，
，即
，即
，
则
，即
，
则
，
因为
，则令
，
则
，其中
，所以
为锐角，
则
，得
，当
时，化简得
，
因为
，则
，则
，所以
，
故当
，即
时，
有最大值
，此时
，故
的最大值为
.
