解锁 “高考数学学科素养”专题系列——15 函数四大基本思想之一——函
数与方程，函数的模型与应用
函数对其它知识有广泛的应用，而函数的零点就是其中的链接点.它从不同的角度，将数与形，函数
与方程有机的联系在一起,构建函数以及函数模型更是解决一些具体问题的有理工具.
用函数的观点看待方程、不等式、代数式，使静止问题转化为用动态的观点看待方程、不等式、代
数式，尤其把方程看成函数变化过程中的一个特殊状态，方程的根是函数的零点，解方程
的根
就是求函数
的零点.
解锁一：函数与方程的本质属性
1.函数零点的概念: 对于函数
，我们把使
f ( x)=0
的实数x
叫做函数
的零点.
2.解锁定义
(1)为什么教材没有给出“函数与方程”的定义？
函数与方程式数学中的两个核心概念，它们既有本质区别，又存在深刻的内在联系.函数的本质是
描述变量之间的对应关系，方程的核心则是含有未知数的等式。从定义上看，函数强调的是变量之间
的动态对应关系，而方程则侧重于求解未知数的静态等式；从研究对象上看，函数研究的是变量之间
的依赖关系，而方程研究的是未知数的具体值；从变量关系上看，函数中的变量关系是单向的，即自
变量决定因变量，且每个自变量对应唯一的因变量，方程中的变量关系可以是多向的；从求解方式上
看，函数的求解通常涉及分析其性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。方程的求解则是通过代
数运算找到未知数的值.这里我们关注的是联系,即研究函数
与对应的方程
的公共点“函
数的零点”与“方程的根”.
(2)本节内容不排除引进函数与方程的思想.
函数思想:用运动、变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，即静(参数)
中求动(变量)，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象、性质分析问题，转化问题，使问题获得解
决.
方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系，即动(变量)中求静(方程)，研究运动中的不变量，
建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使
问题得以解决．
(3)函数零点与方程根的关系
联系：方程f ( x)=0 有实数根⇔函数y=f ( x)的图象与x 轴有交点⇔函数y=f ( x)有零点.因
此，实数
是函数y=f ( x)的零点⇔
是方程f ( x)=0 的根；
区别:
①书写形式：“
”、“
”；
②对于多项式方程
的重根的个数按重复计算，而重根叫
做
一个零点；
③对象不同，一个是函数，一个是方程.
3.函数零点存在性的判定方法:
(1)零点存在性定理；
说明：零点存在性定理的具体内容是：如果函数
在区间
上的图象是连续不断的一条
曲线，并且有
，那么，函数
在区间
内有零点.即存在
，使得
，这个
也就是方程
的根.
(2)观察法：利用函数的性质观察出方程的根；
(3)图象与
轴交点；
(4)分离为两个函数的图象交点问题.
探点.①函数
的零点个数为 ；
②在下列区间中，函数
的零点所在的区间为
解①探究1(观察法):因为函数
是增函数，且
，所以函数
零点个数
为 ;
探究2（零点存在定理）：
，由零点存在
性定理知，函数
至少有一个零点，又函数
单调递增，所以函数
零点的个数为；
②探究1 ：因为
，所以
所以
的零点所在的区间为
，故选
.
探究2:由
得
，设
.利用函数图象的几何特征可知选
.
4.重要结论：
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，
而是方程f(x)＝0 的实根.
(2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，
所以f(a)·f(b)<0 是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
(3)周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
5.函数零点个数的判定方法
(1)一元二次
法;
(2)分解因式求根法;
(3)函数性质结合零点存在定理法;
探点.若函数
在区间
上是增函数，且
，则方程
在区间
内
至少有一个实根
至多有一个实根
没有实根
必有唯一的实根
探究：选
.
(4)分离为两个函数的图象交点.
(5)导数法.
说明:
①用图形法要注意函数的定义域、单调性、凸凹性、连续性、指数爆炸；
②方法选择要灵活.
探点1.判定下列函数零点的个数
❶
❷
❶探究: 图形法，注意指数爆炸，零点有
个；
❷探究 1(图形法):令
，则
，作出函数
的图象可知有
一个交点，所以函数
的零点有且只有一个.
探究2 (函数性质法):
单调递减，且图象连续，又
，所以
，由零点存在定理知函数
的零点有且只有一个.
探点2.已知函数
与
的图象上存在关于
轴对称的点,
则
的取值范围是( )
探究:设函数
图象上一点
关于
轴的对称点
在函数
的图象上,
则
，即
,得 .令
,则
在
上有解.因为
,故
在
上为增函数,则
,
从而有
,故选
.
探点3.已知函数
，记
，若函数
不存在零点，则实数
的取值范围是
探究:选
.当
时，
，不存在零点，此时
恒成立，
所以
，解得
；因为
在
上单调递增，所以
，
恒成立，即
恒成立，即
；同理可得
恒成立，所
以
，即
无实根，函数
，不成立零点，综上，实
数
的取值范围是
.
探点4.已知函数
则
零点的个数为 ；
若
是函数
的一个零点，则
探究:
,分类讨论可知
，所以
在
单调递增，而
，所以
只有的一个零点，且零点在
，所以
.
6.零点唯一性的判定方法
(1)利用函数的单调性；
(2)配方法；
(3)利用函数图象关系；
(4)利用导数，搞清函数图象的走向.
探点.已知函数
有唯一解，则实数
的值为
探究:令
，则
，函数
与函数
的图象均关于
对称，因为方程有唯一解，所以只能
在
处取到，而
时
，所以，
，解得
，故选择
.
悟惑:一般地，函数
的图象关于
对称.
7.求函数零点的方法
(1)代数法:
①分解因式求根;
②配方开方;
O
-8
x=2
y
x
探点.函数
的零点为 .
探究:因为
，所以方程
的实根为
，所以所求函数的零点为.
③利用函数单调性或奇偶性求根；
(2)几何法：
通过观图预测，再进行验证.
①画一个函数图象，研究其与
轴的交点；
②画两个函数的图象研究两个函数图象的交点.
8.零点的逆向问题
探点1.已知函数
在
上有零点，则
的取值范围为
.
探究1(值域法):由
得
，若
，则
，从而
，设
，则
，所以
在
，所以
的取值范围为
或
.
探究2(根的分布):若
，则
，仅有一个零点
；设
，则
或
，解得
或
或
,综上
的取值范围为
或
.
探究3(求补):繁.
探点2.已知函数
函数
，其中
，若函数
恰有4 个零点，则
的取值范围是
答案：
9.复合函数零点的结论
若函数
在定义域内是单调递增函数，则有
(1)
有解等价于
有解；
(2)
有解等价于
有解；
(3)
无解等价于
无解；
(4)
无解等价于
无解.
探点1.已知函数
，若方程
无解，给出下列命题：
①方程
一定无实根；
②若
，若不等式
对一切实数
恒成立；
③若
，则必存在实数
，使
；
④若
，则不等式
对一切实数
恒成立，其中正确命题的序号为
.
探究:
①方程
一定无实根的充要条件是对任意实数
都有
,即
,
由一元二次函数的图象性质知当
时
，当
时，
.若
,则
，若
，则
，所以方程
一定无实根，即①正确；
②若
，则
恒成立,所以不等式
成立；
③若
，则
恒成立,所以不等式
成立，所以不存在实数
，使
.
；
④若
，则
，可知
，所以
恒成立.
故正确命题的序号为①②④.
探点2.若f ( x)和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程
有实数解，则g[ f ( x)]
不可能是
探究:设
是方程
的一个实数解，则
，所以
，
设
，则上式变为
，所以
至少有一个实根,
选项中的函数均
符合条件，而
无实数解，故选
.
10.零点分布的解题策略
(1)求根法
探点.若关于
的方程
的两个实根均在
上，则实数
的取值范围
为
.
探究1(求根法):已知方程可变为
,所以已知方程的两个实根分别为
,由同意知
,解得
,故所求实数
的取值范围为
.
探究2(图象法)：设函数
，则由题意知
，解得
，所以所求实数
的取值范围为
.
(2)二分法
(3)两条曲线的交点
(4)图象法.
特例：一元二次方程根的分布的常见类型及其图象解法.
结论1:x1>0 ，x2>0 ⇔
, 或
. 如图
(1);
结论2:x1<0 ，x2<0 ⇔
, 或
. 如图
(2);
结论3:x1<0<x2⇔
,或
.如图(3);
结论4:① x1=0 ，x2>0 ⇔c=0 ,且
b
a <0
,或
.如图(4);
②x1<0 ，x2=0 ⇔c=0 ,且
b
a >0
,或
.如图(5);
一元二次方程的非零分布——
分布
设一元二次方程ax 2+bx +c=0 （a≠0 ）的两实根为x1，x2 ，且x1≤x2,k 为常数.则一元二次
方程根的k 分布（即x1，x2 相对于k 的位置）有以下若干结论.
（Ⅰ）
为一个值
结论1:k<x1≤x2⇔
.如图(6);
结论2:x1≤x2<k ⇔
{Δ=b
2
−4ac≥0¿{af(k)>0¿¿¿¿
.如图(7);
结论3:x1<k<x2⇔af (k )<0 .如图(8);
（Ⅱ）
为两个值（
）
结论4:k1<x1（或x2 ）¿k2⇔f (k1)f (k2)<0 .如图(9);
结论5:k1<x1≤x2<k2⇔
.如图(10);
结论6:
或
.
如图(11);
(Ⅲ)
为三个值（
）
结论7:
,或
.
如图(12);
(Ⅳ)
为四个值（
）
结论8:
⇔
.如图(13).
探点1.已知函数
，关于
的不等式
有且只有两个整数解，则实数
的取值范围是 .
探究:由
知
表示过两点
和
的直线的斜率，所以
，且当
满足
时，
才可以去正整数.若
，则已知不等式变为
，解得
，
可取无数多个整数，不符合题意；若
，则已知不等式可变为
,
可取无数多个整数,不符合题意;若
，则已知不等式可变为
，要
使关于
的不等式
有且只有两个整数解，只需
，解得
，故实数
的取值范围是
.
探点2.已知二次函数
.
(1)若
，且
，试证明
必有两个零点，若两个零点为
，求
的取
值范围；
(2)若对
且
，方程
有两个不等实根，证明
必有一实根属于
．
证明：(1)因为
，所以
.又因为
，所以
，即
.所以
，所以方程
有两个不等实根，所以函数
有两个零点．由
，
及
知
，所以
.因为
是函数
的两个零
点，所以
，所以
.因为
，所以
,故
的取值范围为
.
(2)设
，则
.因为
，所以
，所以
必有一实根属于
，即方程
有两
个不等实根，证明必有一实根属于
．
11.零点的应用
(1)求、设多项式函数的解析式；
(2)求函数的定义域；
(3)解不等式或判定符号；
(4)与方程根个数有关的问题；
(5)利用函数的零点研究方程的根；
(6)曲线交点
探点.设
，若关于
的函数
在
上有零点，求
的取值范围．
探究1:令
，则
.所以
．因为
，所以
.
所以
即
.
探究2 ：因为
．所以
．所以
，解得
，即
．又因为
，所以
，
解得
，即
.
3.函数与方程的本质属性
函数的本质是一种数学模型，它描述了两个集合之间变量间的“单值对应”映射关系，强调动态依赖，
核心是变量关系。方程的本质是表示两个函数式相等的等式，无变量对应关系的限制，方程侧重静态等
式的求解，核心是等式成立的条件.
解锁二：二分法
1.二分法的定义: 对于在区间
上连续不断且
的函数
，通过不断地把函
数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分
法
2.给定精确度ε，用二分法求函数
的零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间
，验证
，给定精度ε；
(2)求区间
的中点
；
(3)计算
:
若
，则
就是函数的零点；
若
，则令
（此时零点
）；
若
，则令
（此时零点
）；
(4)判断是否达到精度
；即若
，则得到零点近似值
（或
）；否则重复步骤
．
说明:
①不等式
成立的最小正整数
即为取中点的次数，即利用二分法求值时，当区间长度
小于精确度
时，运算即告结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一值.
② “精确度”与“精确到”是两个不同的概念,精确度是区间的长度要求,最后的结果不能四舍五入，
而精确到只需区间两个端点的值满足条件即取近似值之后相同，此时四舍五入的值即为零点的近似解.
探点.用二分法求函数
的一个零点，其参考数据
如右：据此数据，可得
的一个零点的近似值(精确到
)为________．
探究:
③方程的根是函数零点的准确值，必须利用解方程的手段求解，若求近似解，则不必去解方程，而
用二分法.
探点.若函数
有两个零点，则实数
的取值范围是________．
探究:令
分
两种情况，在同一坐标系中画出两个
函数的图象，如图，若函数
有两个不同的零点，则函数
的图象有两个不同的
交点，根据画出的图象只有当
时符合题目要求,故实数
的取值范围是
.
④二分法研究零点的分布，即方程根的分布，因此，两条函数图象的交点范围就可以类比二分法.
探点.曲线
与
的交点横坐标的取值范围为（精确度为）
探究:由图象，借用二分法的思想，可知选
解锁三：求解函数与方程问题的原则
1.求解函数与方程问题的原则
第一步:先明确研究对象；
第二步:寻找变量或参数的取值条件；
第三步:是否可利用函数或方程的有关理论易于求解？
第四步：是，直接求解；否，先分离构造一个函数，后整合构建两个函数，最后重组成函数方程求
解.；
第五步:回答问题.
探点1.若仅有一个常数
使得对于任意的
，都有
满足方程
，
这时
的取值的范围为
.
探究:题目给出的方程中含有
等多个字母，而条件中是对任意的
都有
，
这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于
的函数，再进一步研究函数的性质.
由区间的定义知
，解得
.由已知
，得
,
，函数为反
比例函数在
上为单调递减，所以其值域为
，因为对于任意的
,都
有
所以
，整理得
，因为有且只有一个常数
符合题意，所以
，解得
，所以
的取值的集合为
探点2.
,若关于
的方程
有解，则
a
b 的取值范围为 .
探究:分离求值域不易，构造函数方程有解.已知方程
可变
,即
,
可求得
a
b 的取值范围为
.
探点3.
在
上有解，则实数
的取值范围为 .
探究:已知方程可变为
，解得
或
.因为
，所以
，所以
或
，解得
，故实数
的取值范围为
.
题思: 重组成函数方程常见类型有：对数之积，指数之和，方式方程等.
2.利用模拟函数研究问题的原则
第一步:搞清研究对象；
第二步:确定相关量的条件；
第三步：判定是否已知函数解析式？
第四步：是，先用相同的已知数据待定出函数解析式，后用剩余的相同数据检验误差的大小，小者
为佳;否，先画散点图，后选择函数模型，再用待定系数法求函数模型，最后检验，若符合实际要求，
可用此函数模型解释实际问题，若不符合实际要求，则继续选择函数模型，重新操作过程.
第五步：回答问题.
探点.在某个物理实验中，测量得变量
和变量
的几
组数据，如下表：
则对
最适合的拟合函数是
探究:画散点图可知，选
.
变式:在某个物理实验中，测量得变量
和变量
的几
组数据，如下表：
则对
最适合的拟合函数
，恰当函数 ？
探究:用前三组数据待求解析式，用第四组数据检验误差最小的为佳.
3.解函数应用题的解题原则
第一步:搞清做什么事？怎样才算完成这件事？
第二步:探究问题所属类型；
第三步：是否已知函数解析式？怎样利用不变量列式？
第四步：是，利用已给的函数解析式构建所求问题的函数解析式，研究解题问题；否，设量构建函
数，求解问题；
第五步：回答问题.
探点.等边三角形
的边长为
，将它沿平行于
的线
段
折起，使平面
平面
，若折叠后
的长
度为
，则
的最小值为
探究:在此问题中，
在三角形
中的位置是变化的，
由此变化引起翻折后
、
的变化，
从而导致
的变化，进而形成了折叠后
的长度的变化.设
，则
，由此易知
时，
取得最小值为
，故选
.
解锁四：函数的模型及其应用
1.几类基本函数模型.如右:
2.指数爆炸、对数徘徊、幂数介于其中.
幂、指、对数三种不同增长函数（
）模型在区间
上
，
尽
管
函
数
都是增函数，但它
们的增长速度不同，而且不在同一“档次”
上.随着
的增大，无论
比
大多少，尽
管在一定范围内
会小于
，但由于
的增长速率快于
的增长速率，因而总存在一个常数
使得当
时有
；而对数
函数
的增长速率，无论
比
的大小如何，总会慢于
的增长率，因而总存在一个常数
使得当
时有
，故总存在一个常数
使得当
时，总有
.
探点.函数
的零点个数为
.
探究：指数爆炸知，有
的零点.
3.解函数实际应用题的一般步骤:
(1)明题，搞清做什么事，怎样才算完成这件事；
(2)建模；
(3)求模；
(4)运算;
(5)回答问题.
说明:
①已知型的建模，设量列式；未知型的建模，先收集数据、后画散点
图、再选择模型、求解模型、检验模型或求解问题、回答问题；
②应用模型的程序
③常见的应用模型
❶一、二次函数；
❷三次函数、无理函数；
❸指、对、幂、三角函数；
❹
.
④常见的应用问题：
❶营销问题：利润
销售价
进货价;
❷行程问题：路程
;
❸增长（降低）率问题、单利问题: 设本金为
，期利率为
，则
期后本利和
；复利问题: 设本金为
，期利率为
，经
期后，本利和
;
❹几何问题:与平几、解几、立体相关问题，注意变量的取值条件;
❺工程设计问题；
❻决策问题；
❼与函数零点相关的科学问题.
探点1.某市出租车收费标准如下：起步价为
元，起步里程为
(不超过
按起步价付费)；
超过
但不超过
时，超过部分按每千米
元收费；超过
时，超过部分按每千米
元
收费，另每次乘坐需付燃油附加费元．现某人乘坐一次出租车付费
元，则此次出租车行驶了
______
.
探究:设乘客每次乘坐出租车需付费用
元,则依题意
令
，解得
.
悟惑:本题属于行程问题.
探点2.某地区的一种特色水果上市时间能持续
个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈
连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数: ①
；②
；③
(以上三式中，
均为常数，且
).
(1)为准确研究其价格走势，应选择哪种价格模拟函数？
(2)若
，求出所选函数
的解析式（注:函数的定义域是
，其中
表示
月日，
表示
月日，
）；
(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在那几个月内价格下跌？
分析:利用函数的单调性研究问题.
探究:
(1)因为
是单调函数，
是单调函数，
中的
，令
得
或
，所以
有两个零点，从而
可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选
为其模拟函数.
(2) 由
及
得
，解得
或
（舍去），所以
.
(3)
得
，所以函数
在区间
上单调递减，故预测该水
果在
月份价格下跌.
