文档文本内容
微专题：二次求导函数处理问题
【考点梳理】
二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函
数零点“求之不得”的问题。
方法 二次求导
使用情景 对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至根本
解不出.
设 ，再求 ，求出 的解，即得到 函数 的单调
解题步骤
性，得到函数 的最值，即可得到 的正负情况，即可得到函数 的单调性.
【典例分析】
典例1．设函数 的导函数为 ．
(1)当 时，研究 的单调性；
(2)讨论 极值点的个数．
典例2．已知函数 .
(1)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
(2)若 ， 是 的两个极值点，且 ，证明： .
典例3．已知函数f（x）＝2ax﹣ln（x+1）+1，a∈R．
(1)讨论（x）的单调性；
(2)当x＞0，0＜a≤1时，求证：eax＞f（x）．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
4．函数 ， 有两个不同的极值点 ， ，
(1)求实数a的取值范围；
(2)当 的取值范围为 时，总存在两组不同的数对 使得方程 成立，
求实数 的取值范围.
5．已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)设 ，若 有且仅有两个实根 ，证明： ．
6．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 有两个不同的零点 （ ），
（ⅰ）求证； （ 为自然对数的底数）；
（ⅱ）若 满足 ，求a的最大值.
7．已知函数 ．
(1)求证：函数 在定义域上单调递增；
(2)设区间 （其中 ），证明：存在实数 ，使得函数 在区间I上总
存在极值点．
8．已知函数 ，且0是 的一个极值点．
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，求 的取值范围．
9．设a为实数，函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)判断函数 零点的个数．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．已知函数 ．
(1)若函数 在 处的切线过点 ，求a的值；
(2)设函数 ，若 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
【高分突破】
11．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明： ．（注 ， ）
12．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 有两个零点 ，若 ，证明： ．
13．已知函数 ．
(1)求证： ；
(2)若 恒成立，求实数 ．
14．已知函数 ．
(1)当 且 时，试判断函数 的单调性；
(2)若 在 上是单调函数，求ab的最小值．
15．已知函数 ， .
(1)若函数 在区间 上的最小值为3，求实数 的值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．已知函数 ．
(1)若 时，过点 作曲线 的切线l，求l的方程；
(2)若函数 在 处取极小值，求a的取值范围．
17．设函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)当 时， 恒成立，求整数 的最大值.
18．已知函数 ， ， .
(1)当 时，求证： 对于任意正实数x恒成立.
(2)若函数 在 上有且仅有两个极值点，求实数t的取值范围.
19．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 ， ，求a的取值范围．
20．已知函数 ， .
(1)求 的极大值；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.
21．已知函数 ．
(1)求证： 在 上单调递减
(2)若对于任意 ，都有 恒成立，求正实数a的取值范围．
22．已知函数 （其中 为自然对数的底数）.
(1)若曲线 在点 处的切线与x轴交于点 ，求a的值；
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)求证： 时， 存在唯一极值点 ，且 .
23．设函数 .
(1)证明不等式： ；
(2) ，若 为函数g（x）的两个不等于1的极值点，设 ，
，记直线PQ的斜率为k，求证： .
24．已知函数f（x）＝ex＋ax·sinx．
(1)求y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
(2)当a＝－2时，设函数g（x）＝ ，若x 是g（x）在（0，π）上的一个极值点，求证：x 是函数g（x）在
0 0
（0，π）上的唯一极小值点，且e－2<g（x）<e－ ．
0
25．已知函数 ，其中 ．
(1)若函数 在 单调递增，求m的取值范围；
(2)已知函数 存在两个极值点（ ），当 时，求 的取值范围．
26．（1）讨论 ， 的单调性：
（2）已知 ， ，证明： 时， ．
27．已知函数 ， .
(1)若函数 在区间 上的最大值为20，求实数a的值；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.
28．已知函数 ，其中 .
(1)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若函数 存在两个极值点 ，当 时，求 的取值范围.
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．已知函数 ，其中 ，e是自然对数的底数，
(1)当 时，求f（x）的单调区间；
(2)若f（x）在R上恰有三个零点，求a的取值范围.
30．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数k的取值范围．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．(1)p（x）在（0，+∞）上单调递减.
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
(1)求导得到 的解析式， 分别求一阶导数和二阶导数，令二阶导数为零，当 变化时 、 的变
化如列表所示，从而得到 的单调性.(2)分 ， ， 三种情况讨论，分别列出表格，写出
单调性及极值.
（1）（ ， 则令 得
，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ，当a≤ 时，
，则 在（0，+∞）上恒小于等于0，所以 在（0，+∞）上单调递减.
（2）①若 ，则 ， 在（0，+∞）上单调递增，
又因为当 时， ；当 时， ，所以 有唯一零点，记为 ，
极小值
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 有1个极小值点，无极大值点.②若a＜0，则令
得 ，
第 7 页所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ，（Ⅰ）若
，即 ，则 在（0，+∞）上恒小于等于0，所以p（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值点.
（Ⅱ）若 ，即 ＜a＜0，则因为当 时， ；当 时， ，所以
在 和 内各有一个零点，分别记为 和 ，
p（x） 极小值 极大值
所以P（x）在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，p（x）有1个极小值点，1个极
大值点.综上，若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增， 有1个极小值点，无极大值点；
若a≤ ，则p（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值点；若 ＜a＜0，则P（x）在 上单调递减，在
上单调递增，在 上单调递减，p（x）有1个极小值点，1个极大值点.
2．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)同构函数，利用函数的单调性即可求解；
(2)转化 为导函数的零点，再构造函数，利用函数的单调性可以求解.
(1)
因为 恒成立，所以 ，
即 .
令函数 ，则 恒成立.
令函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
第 8 页所以 ， ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 等价于 ，即 恒成立，
令函数 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
故 的取值范围是 ；
(2)
因为 是 的两个极值点，所以 是方程 的两个根，
令 ，则 ，有（1）的讨论可知，
若 存在两个零点， ，且 ，
由 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
即需证 恒成立，
由 可得 ，
令 ，则 ， ，
所以 等价于 ，即 ，
令函数 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
故 ；
第 9 页【点睛】
同构函数是解决第一问的关键，第二问中构造函数解决双变量的问题是技巧，对于双变量问题必须转化为单变量
才好解决.
3．(1)当a≤0时，f（x）在 上单调递减；
当a＞0时，f（x）在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，分a≤0，a＞0讨论导函数的正负，进而得到单调性；
（2）构造g（x）＝eax-2ax+ln（x+1）-1，求出其导函数及二阶导函数依次判断导函数的正负情况，得到函数的单
调性，结合隐零点知识得到原函数的最小值，得证不等式恒成立.
(1)
f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝2a﹣ ，
①当a≤0时，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，f′（x）＝ ，
由f′（x）＞0，解得x＞ ，由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜ ，
即f（x）在 上单调递减，在 上单调递增．
综上所述，当a≤0时，f（x）在 上单调递减；
当a＞0时，f（x）在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)
证明：eax＞f（x），即eax-2ax+ln（x+1）-1＞0，
令g（x）＝eax-2ax+ln（x+1）-1，x＞0，则g′（x）＝aeax-2a+ ，
令h（x）＝aeax-2a+ ，则h′（x）＝a2eax- ，
令φ（x）＝a2eax- ，则φ′（x）＝a3eax+ ＞0，
所以φ（x）即h′（x）在（0，+∞）上单调递增，又h′（0）＝a2-1，
①当a＝1时，h′（0）＝0，则h′（x）＞0恒成立，即h（x）在
（0，+∞）上单调递增，则有h（x）＞h（0）＝2-2＝0；
②当0＜a＜1时，h′（0）＝a2-1＜0，
h′（x）＝a2eax- ＞a2eax-1，则h′（ ）＞1-1＝0，
第 10 页即存在x＞0使得h′（x）＝0，即 ，
0 0
且h（x）≥h（x）＝ + -2a＝ -2a＝ ＞0，
0
即h（x）≥0，
综上所述，h（x）≥0恒成立，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝0，即eax＞f（x）．
4．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由已知可得 有且只有两个可用二分法求解的根，由此列不等式求实数a的取值范围；(2)设 ，
由条件可得方程 在 上有两个根，由此可求 的取值范围.
(1)
，令 ，
， ， 单调递增，即 单调递增，
， ， 单调递减，即 单调递减，
因为 有两个不同的极值点 ， ，
所以 有且只有两个可用二分法求解的根，
所以 ，所以 ，所以 ，
又当 时， ，所以方程 在 上存在一个根，
设 ，则 ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号；
所以当 时， ，当且仅当 时取等号；
所以当 时， ，
所以方程 在 上存在一个根，
第 11 页所以 时， 有两个不同的极值点.
(2)
因为 ， ，
所以
令 ，与 ，
解得： ， ，则
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 ， ， 单调递增， ，
所以 ， 单调递增，
而 ， 所以
令 ， ，
令 ， ，
当 ， ， 单调递增， ，
， 单调递增，
令 ， ，
令 ， ，
当 ， ， 单调递增， ， ， 单调递增，
所以数对 与t一一对应
存在两组不同的数对 使得方程 成立，
等价于存在两组不同的数对 使得 成立，
等价于存在两个不同的 使得 成立，
令 ， ， 单调递减， ， 单调递增，
第 12 页， ， ，
，
所以
【点睛】
(1)可导函数y＝f(x)在点x 处取得极值的充要条件是f′(x)＝0，且在x 左侧与右侧f′(x)的符号不同．
0 0 0
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
5．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解；
（2）根据导数正负与函数的单调性的关系及函数零点的存在性定理，利用已知条件结合函数极值及函数值，得出
的范围，进而得出 ，结合函数 的单调性即可求解.
(1)
的定义域为 ． ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
故 是 在 的唯一最小值点．
所以 ．
(2)
， 定义域为 ，
因为 ．所以 在 单调递增，
又 ， ，故存在 ，使得 ．
所以当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
因为 有且仅有两个实根 ，所以 ，
又 ， ，且
所以 ，故 ．
第 13 页又
又 在 单调递减，故 是 在 的唯一根，
故 ．所以 ．
【点睛】
解决此题的关键第一问利用导数法求函数的最值的步骤即可求解，第二问利用求二阶导数及函数零点的存在性定
理得出函数 的单调性，根据函数的极值及函数值，得出 的范围，进而得出 ，结合函数 的单调性即
可.
6．(1)当 时， 的单调递增区间是 ，无递减区间；当 时， 的单调递增区间是 ，单
调递减区间是 .
(2)（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】
（1）求导 ，分类讨论参数 和 时，函数的单调性即可；
（2）（ⅰ）利用参数分离可得 ，令 ，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可
证得结论；
（ⅱ）由已知 ，设 ，可得 ，设 ，利用导数研究函数的
单调性，可求额 ，再利用 的单调性可求得 ，进而求得结果.
（1）（1）求导， ，当 时， 恒成立， 的单调递增区间是 ，
无递减区间.当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，所以 的单调递增区间是
，单调递减区间是 .
（2）（ⅰ）令 ，得 ，设 ，求导 ，令 ，
解得 ，则
第 14 页x
+ 0 -
极大值
当 时， 取得极大值，且 且当 时， ，当 时， ，如图，
数形结合可知 ，即 .（ⅱ）因为 ，即
，且 ，不妨设 ，将 代入 中，得
，即 .设 ，则 ，令 ，则
，∴ 在 上单调递减，即 ，从而有 ，得 在
上单调递减，由已知条件得 ，即 ，∴ 在 上单调递减，即
，得 ， ，即 .又因为 ，设 ，由
（ⅰ）知， 在 上单调递增，而 ，所以 在 上也单调递增，得
，得 ，即 .综上，a的最大值是 .
【点睛】
方法点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值，利用导数研究含参函数的零点有两种方法：
（1）利用导数研究函数 的极（最）值，转换为函数 的图像与x轴的交点问题，应用分类讨论思想，在
含参函数含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；
（2）参数分离，即由 分离参变量，得到 ，转化为研究 与直线 的图像的交点问题.
7．(1)证明见解析
第 15 页(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对函数 求导，利用导数的正负研究函数的单调性即可得证；
（2）分析要使得 在区间 上总存在极值点，则需满足 ，进而构造函数 ，利用导数
研究函数的单调性，可得实数 的取值范围，由此得证.
(1)
∵ ，则 ，
设 ，则 ，令 ，解得
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
故当 时，函数 取得极小值，且 ，即
所以 ，所以函数 在定义域上单调递增.
(2)
由 （其中 ），易知 ，
由（1）可知 在 上单调递增， ．
由 ，求导 ，
其中 ，求导 ，
即 在 上单调递增，故 ．
令 ，由上可知 在 单调递增．
要使得 在区间 上总存在极值点，则需满足 ，
而 恒成立 恒成立，
于是 ，∴ ，
而 ，
又 ，
第 16 页∴ 单调递减，且 ，
故 ，∴ ，
∴ 单调递增，且 ，
故 ，即 ，
∴函数 在 上单调递增；
∵ 在 上单调递增，故 ······①
又 ，故要使得 恒成
立，
则只需 ，
同理可得 ······②
且 ，由①②可知，
存在当 时，函数 在区间 上总存在极值点.
【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，判断函数的单调性，对函数 求导，若
，则函数单调递增；若 ，则函数单调递减，考查学生的计算能力与逻辑思维能力，属于难题.
8．(1)函数 的递增区间有 ，递减区间有 ；
(2) 的取值范围为 .
【解析】
【分析】
(1)根据极值点的性质列方程求 ，再根据函数的单调性与导数的关系求单调区间；(2)化简不等式，由条件可得
，构造函数，讨论求其最值，由此可得结果.
(1)
函数 的定义域为 ，
因为0是 的一个极值点，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
且 ，
第 17 页令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减，又
当 时， ， ，函数 单调递减，
当 时， ， ，函数 单调递增，
所以 为函数的极大值点，
所以 ，且函数 的递增区间有 ，递减区间有 ；
(2)
由(1) ，
所以 可化为 ，
当 时，不等式 可化为 ，可得 ,
当 时，不等式 可化为 ，
设 或 ，则 ，
设 ，则
所以 单调递增，又 ，
所以当 时， ， ，
当 ， ， ，
所以函数 在 和 上都为增函数，
取 ， ，
设 ，则
当 时， ，
所以 单调递增，而 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，
所以 或 的最小值为h(-1),即 ，
所以当 时， 没有最小值，
但其取值能无限趋近 ，
又 恒成立，
第 18 页所以 ，所以 ，
综上 .
【点睛】
不等式恒成立问题的解决的关键在于转化为函数的最值问题，是否分离参数取决于分离参数是否有利于问题的解
决.
9．(1)减区间为 ，无增区间.
(2)当 ，函数 在 上没有零点；当 ，函数 在 上有1个零点；当 ，函数
在 上有2个零点.
【解析】
【分析】
(1)利用二次求导研究函数 的单调性，进而得出结果；
(2)利用分类讨论的思想，根据函数 与 具有相同的零点，结合导数分别研究当 、 、
时 的单调性，利用零点的存在性定理即可判断函数 的零点个数，进而得出结果.
(1)
函数 的定义域为 ，
当 时， ，
则 ，且 ，
有 ，令 ，
所以当 时 ，则 单调递增，
当 时 ，则 单调递减，
所以 ，即 ，
则函数 在 上单调递减，
即函数 的减区间为 ，无增区间；
(2)
由(1)知当 时函数 在 上单调递减，
又 ，此时函数 只有1个零点；
因为函数 的定义域为 ，所以 与 具有相同的零点，
令 ，
第 19 页则 ，
当 时， ，令 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，此时函数 无零点，即函数 无零点；
当 时，令 或 ，
若 ，则 ，列表如下：
1
- 0 + 0 -
极小值 极大值
当 时，
，
当 即 时， ，
，又 ，
此时函数 有1个零点，则函数 有1个零点；
若 ，则 ，列表如下：
1
- 0 + 0 -
极小值 极大值
所以 ，
又 ， ，则此时函数 有2个零点，即函数 有2个零点；
综上，当 时，函数 在 上没有零点，
当 时，函数 在 上有1个零点，
第 20 页当 时，函数 在 上有2个零点.
【点睛】
与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的
大致图像，讨论其图像与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图
像的交点问题．
10．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义列方程求a的值；
（2）化简 ，利用导数求出 ，分类讨论，分别求出 ，令 求解即可.
(1)
∵ ，∴ ， ，
又 ，所以切线方程为
因为切线过点 ，所以 ，故 ．
(2)
，
，设 ，则
∵ ，∴ ， 在 上单调递增， ，
①当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
则 ，∴ ，故 ．
②当 ，即 时， ， ， ，
即 ，
时， ， 在 上单调递减，
时， ， 在 上单调递增，
则 ，∴ ，∴ ．
由 ，令函数 ，且 ，
， 在 上单调递增， ，∵ ，∴
．
综上，实数a的取值范围是 ．
【点睛】
对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x) ；
max
第 21 页
⇔(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x) .
min
11．(1)函数 ⇔在 上单调递减，在 上单调递增
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，分别讨论 和 ，利用函数导数研究函数的单调性即可；
（2）由（1）知， 在 处取得最小值，要证 ，即证 时，
，构造函数 ，证明 在 上大于等于 即可.
(1)
由题意得，函数 的定义域为 ，
则 ，
， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
综上所述：函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
由（1）知， 在 处取得唯一极小值，即最小值，所以 ，
欲证当 时， ，
即证当 时， ，
令 ， ，
则 ，又令 ， ，
则 恒成立，所以 在 上单调递减，
又 , ，即 ，
存在唯一 使得 恒成立，
当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减；
所以 的最小值在 或 处取得，又因为 ，
第 22 页所以 ，
即当 时， ，
故当 时， .
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1) 恒成立 ；
(2) 恒成立 ；
12．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导得 ，对导函数进行分情况讨论其正负，即可得 的单调性. （2）通
过函数有两个零点，转化成 ，然后根据比例，构造出 ，得到
，进而构造函数 ，利用导数处理单调性，进而可求.
(1)
）
令 ，则 ，且对称轴
而
易知当 时 在 单调递减，在 单调递增
当 时 在 单调递减.
(2)
有两个零点 且 ，则 ，
设 ， ，
，
第 23 页，所以 ，
，
设 ， ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，所以函数 在 上递增，
，则 ，
在 递增，又 ，
，
故 ．
【点睛】
本题考查了含参函数的单调性，最值问题，方程与函数零点的综合问题，利用导数解决单调性的问题，分情况讨
论，转化，构造函数证明不等式，二阶求导等综合性的函数知识，在做题时要理清思路，是一道导数的综合题.
13．(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）方法1：证 ，即证 ，利用导数求得单调性，分别得到 ，
即证；
方法2：令 ，易得 在 上单调递增，由零点的存在性定理可得存在唯一的
，使得 ，
则 结合基本不等式即可证明；
（2）构造 ， ；则 ， 时， 在 上为单调增函数，
分别讨论 ， ， 即可.
(1)
的定义域为 ．
方法1：要证 ，即证 ．
记 ， ，
第 24 页由于 ，当 时， ，则 在 上为单调减函数，
当 时， ，则 在 上为单调增函数，所以 ．
又 ，令 ，得 ，
当 时， ，则 在 上为增函数，
当 时， ，则 在 上为减函数，
所以 ，得证．
方法2： ，令 ，因为 ，
所以 在区间 上为单调增函数，
又 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ．
因为 在区间 上为单调减函数，在区间 上为单调增函数，
且满足 ， ，
所以
，得证．
(2)
令 ，则 ， ；
则 ， 时， 在 上为单调增函数
①当 时， ，且 ，
所以函数 在区间 上为单调减函数，在区间 上为单调增函数，
即 ，符合题意．
②当 时， ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，且 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
第 25 页且 在区间 上为单调减函数，在区间 上为单调增函数，
所以当 时， ，即 不恒成立，不合题意．
③当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
且 在区间 上为单调减函数，在区间 上为单调增函数，
所以当 时， ，即 不恒成立，不合题意．
综上， ．
【点睛】
（1）证明单变量不等式时，构造两个函数，证明其中一个函数最小值大于另一个函数的最大值为重要的方法之一；
也可以通过“隐零点”达到证明的目的．
（2）“切点型零点”问题往往通过先猜后证的方式简化思维量、运算量．
14．(1) 在 上递增.
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合二次求导的方程求得 的单调性；
（2）由 ，结合二次求导的方法，对 进行分类讨论，利用构造函数法，求得 的最小值.
(1)
且 ， ，
令
所以在区间 递减；在区间 递增.
所以 ，
所以 在 上递增.
(2)
，
依题意可知： 在 上单调，则 在 上递增，
所以 ①在 上恒成立.
，
当 时， ，
第 26 页当 时， ， 在 上递增，
，与①矛盾.
当 时，在区间 递减；在区间 递增，
所以 时， 的最小值 ，
，
构造函数 ，
所以 在区间 递减；在区间 递增.
所以当 时， 也即 取得最小值为 .
【点睛】
在利用导数研究函数的过程中，若一次求导无法解决问题，可考虑利用二次求导的方法来进行求解.求解过程中要
注意导函数和原函数间的对应关系.
15．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据函数 的导数 ，分别讨论 时，函数 的单调性，即可确定函数
在区间 上的最值点，列式即可解出；
（2）根据分离参数可知，不等式 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立，利用
导数求出函数 在 上的最小值，即可得到实数 的取值范围.
(1)
因为 ， ， ，
所以当 时，则 在 上单调递增， 的最小值为 不符合，舍去；
当 时，则 在 上单调递减，在 上单调递增，在 的最小值为 ，则
不符合，舍去；
当 时， 在 上单调递减， 的最小值为 ，则 ．
(2)
在 上恒成立，即 在 上恒成立，
设 ， ， ，设 ， 在 上恒为
第 27 页正，则 在 上单调递增， ，则 在 上单调递增， .
所以 ，即实数 的取值范围为 .
16．(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，然后设切点的坐标为 ，然后得到斜率并写出切线方程，再将点（0,0）代入切线方
程解出 ，最后得到切线方程；
（2）先求出导函数 ，且发现 ，然后设 并求出导函数 ，进而分 ， ，
和 四种情况进行讨论得到 的单调性，进一步得到 的单调性，讨论出函数 在 处的
极值，最后得到答案.
(1)
时， ．
设切点 ，则 ，
故切线l的方程为 ，
由于切线l过点 ，则 ，
即 ，解得 ，故切线方程为 ．
(2)
， ，
令 ，则 ，
①当 时，可知 ， 在 上单调递增，又 ，
则 时， 即 ， 单调递减， 时， 即 ， 单调递增
故 在 时取得极小值，故 满足条件．
②当 时，则 在 上为增函数，又 ，
若 ， ，当 时 ， 即 单调递减，当 时 ， 即
单调递增，而 ，于是 ，即函数 在 上单调递增，不合题意；
若 ， ，而 ，则存在 使得 ，且 时 ，则 即
单调递减，又 ，故 时 ， 单调递增， 时 ， 单调递减，
此时 为 的极大值点，不合题意．
第 28 页若 ，则 ，限定 ，故 ，于是当 且 时，
，那么存在 ，使得 .
所以 时， ， 在 上单调递增，而 ，于是， 时， 即
， 单调递减， 时， 即 ， 单调递增，此时 为 的极小值点，
符合题意．
综上所述：函数 在 处取极小值时a的取值范围是 ．
【点睛】
本题难度较大，首先需要对函数进行二次求导，紧紧抓住“导函数的正负确定原函数的增减”；其次，“
时”这一步函数的放缩有一定的技巧性，平常注意归纳总结.
17．(1)单调增区间为 ，单调减区间为
(2)2
【解析】
【分析】
（1）求导，分别解不等式 ， 可得；
（2）分离参数，将恒成立问题转化为函数 的最值问题，通过二次求导可得导函数单调性，结合导函数的零点
可得函数 的单调区间，从而可得最值，然后可得.
(1)
，
由 解得 ，由 解得 ，
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为
(2)
当 时，
所以
记 ，
则
记
因为当 时， ，所以 在 上单调递增，
，所以存在 ，
记 ，则 …①
第 29 页所以当 时， ，即 ，此时 单调递减，
当 时， ，即 ，此时 单调递增
所以当 时， 由最小值 …②
将①代入②可得
所以 ，因为a为整数，所以a的最大值为2.
18．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数讨论 的最值情况，证明 的最小值大于0即可；
（2）对t分类讨论，利用导数讨论 的单调性，结合零点存在定理，讨论 的变号零点个数情况即可
(1)
由题， ，故 ，令 ，则 ，
当 时，可知 ，易得在 ，在 ，故 ，又
，又 ，故 ，即
，得证；
(2)
由（1）得，原问题等价于 在 上有且仅有两个变号零点，
i.当 时， ， 递增，不符合情况；
ii.当 时，由 ，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，所以 ，
故 在 上有且仅有两个变号零点的充要条件为 ，解得 ，
iii.当 时， ， 递减，不符合情况；
综上所述，当 时， 在 上有且仅有两个变号零点，即函数 在 上有且仅有两个极值点
19．(1)
第 30 页(2)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可得切线方程；
（2）由题意可构造函数令 ，利用导数，结合分类讨论的思想，确定函数 的单调性，根
据单调性由 求解可得.
(1)
， ，
又 ，
故 在点 处的切线方程为 ．
(2)
当 ，令 ，
得 ， ，
令 ，则 ．
①若 时，得 ，则 在 上单调递增，
故 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
从而 ，不符合题意；
②若 ，令 ，得 ．
（ⅰ）若 ，则 ，当 时， ， 在 上单调递增，从而
，所以 在 上单调递增，此时 ，不符合题意；
（ⅱ）若 ，则 ， 在 上恒成立，所 在 上单调递减，
，从而 在 上单调递减，所以 ，所以 恒成立．
综上所述，a的取值范围是 ．
【点睛】
关键点点睛：由原不等式 在 时恒成立，转化为 在 时恒成立，是
解决问题的第一步，再利用导数，分析 的单调性，即 函数值的正负，由于含有参数，分类讨论是解题的
关键和难点.
第 31 页20．(1)当 时， 无极值；当 时， 有极大值 .
(2)
【解析】
【分析】
（1）分 ， ，利用导数讨论其单调性可得；
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求函数最值问题，通过二次求导可判断导函数的单调性，结合导函数的零点
可得所构造函数的单调区间，然后可解.
(1)
的定义域为
当 时， 恒成立， 在定义域上单调递增，无极值；
当 时，由 解得 ， 在 上单调递增，
由 解得 ， 在 上单调递减，
所以当 时， 有极大值
综上，当 时， 无极值；当 时， 有极大值 ，无极小值.
(2)
因为 恒成立，
所以 恒成立，
记
则
记
因为 ，所以
所以 在 上单调递减，
又因为
所以，当 时， ，即 ， 单调递增
当 时， ，即 ， 单调递减
所以，当 时， 有最大值 .
所以 ，
即实数a的取值范围为
第 32 页21．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导函数得 时， ，由此得证；
（2）将问题等价于 对于任意 恒成立，令 ，求导函数
，令 ，分 ， 两种情况，运用导函数讨论函数
的单调性和最值，从而得函数 的单调性和最值，由此可求得正实数a的取值范围．
(1)
证明：因为 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故 在 上单调递减．
(2)
解：不等式 等价于 对于任意 恒成立，
即 对于任意 恒成立，
当 时 ，则有 对于任意 恒成立，即 ，
令 ，则 ，
令 ，
所以 ，
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上为减函数，
故 ，故 在 上为减函数，
所以 ．
若 ，则 ，
因为 为不间断函数，故存在 ，使得 时， ，
故当 时， ，这与题设矛盾．
所以 ，又 ，故正实数a的取值范围为 ．
22．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
第 33 页（1）根据导数的几何意义得出切线方程，再结合点在切线上即可求解；
（2）根据已知条件及函数导数极值的定义，再利用导数研究函数极值即可证明.
(1)
因为 ，所以 ，
又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
令 ，得 ，
因为切线与x轴正半轴交于点 ，所以 ，
所以 ；
(2)
因为 ，设 ，
因为 ，所以 时， ，
故 在 上是减函数，
因为 ，若 ，则 时， ，
当 时， ，若 ，则 ，
故当 时， ，
所以 有唯一零点 ，
当 时，即 ，故 为增函数，
当 时，即 ，故 为减函数.
所以 存在唯一极大值点 ，
又因 ，即 ，
所以 等价于
所以 ，因为 是增函数，
故
【点睛】
解决此类型题第一问直接利用导数的几何意义写出切线方程结合点在切线上即可；第二问利用函数极值的定义及
导数法求函数的极值即可，但由于此题求函数的一阶导数后函数是超越函数无法求函数的零点，因此需要在一阶
导数的基础上继续求导，进而研究函数的问题就很容易.
第 34 页23．(1)证明过程见解析；
(2)证明过程见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的定义域对所证明的不等式进行变形，通过构造函数，利用导数的性质，结合二次求导法进行证明
即可；
（2）对函数g（x）进行求导，根据导数的性质和极值点的定义，结合一元二次方程根与系数关系，通过构造新函
数，结合导数的性质进行证明即可.
(1)
因为 ，所以要证明 成立，
只需要证明 成立，即证明 成立.
设 ， ，
设 ， ，
因为 ， 所以 单调递增，所以有 ，
即 单调递增，所以有 ，即 ，
所以有 ；
(2)
，
，
令 ，因为 为函数g（x）的两个不等于1的极值点，
所以为 是方程 不相等的两个正实根，
所以有： ，
不妨设 ，则 ， ，
由直线斜率公式可得：
，
第 35 页，
所以 ，
设 ，
，
设 ，
设 ， ，
函数 对称轴为： ，当 时，函数 单调递减，
故有 ，所以函数 单调递减，
有 ，
所以函数 是减函数，故 ，而
所以 ，所以 .
【点睛】
关键点睛：利用换元法，通过构造新函数，结合导数的性质是解题的关键.
24．(1)x－y＋1＝0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导得在x＝0处的导数值，进而得切线的斜率，根据点斜式即可求切线方程.
（2）求导，通过导函数的正负，确定原函数的单调性，然后确定极值.根据不等式，即可求解.
(1)
由已知得 ＝ex＋a（sin x＋xcos x），而 ，f（0）＝1，
故 在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0．
(2)
当a＝－2时，由题意得 ， ，则 ，
令φ（x）＝g′（x），则 ，当 时， ∴g′（x）在（0，π）上单调递增，
第 36 页∵g′（1）＝－2cos 1<0， ∴ ，使g′（x）＝0，
0
∴当 时，g′（x）<0，即 在 上单调递减，
当 时，g′（x）>0，即 在 上单调递增，
∴ 在（0，π）上有唯一极小值点x 且 ，∴g（x）<g（1）＝e－2sin 1< ．
0 0
设 ， 时， ，则 在 上单调递增，
∴h（x）＝ >h（1）＝e，
0
又∵－2sin x∈（－2，－2sin 1），∴g（x）＝ －2sin x>e－2，
0 0 0
综上，e－2<g（x）< ．
0
25．(1) ;
(2) .
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导数，由题意转化为不等式恒成立，分离参数，构造函数利用导数求最小值即可；
（2）根据所给极值点得出 ，换元后可得 构造函数，利用导数研究函数单调性，
由单调性求范围即可.
(1)
， ，
函数 在 单调递增， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，令 ，则 时， ，
所以 在 时，单调递增，所以 ，
所以 ，即 .
(2)
因为函数 存在两个极值点（ ），
所以 ，可得 ，令 ，则 ，
第 37 页所以 取对数可得
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 在 恒成立，
所以 在 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
即
【点睛】
关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据极值点的定义得出 ，进而换元 ，求出
构造函数，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出 的范围.
26．（1）见解析，（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由导数分析单调性
（2）由导数与二阶导数，结合零点存在性定理分析单调性后求最小值证明
【详解】
（1） ，
时，
①当 时， ， 在 上单调递增，
②当 时，令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
③当 时， ， 在 上单调递减．
（2）当 时，
令 ，
， ，
第 38 页，则 在 上单调递增．
，取 ，
由零点存在性定理，存在 使得 ，有 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
故 ，
故 时， ．
27．(1) 或
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用导数研究函数当 、 、 、 时的单调性，分别求出函数的最大值 ，令
，解出对应的a即可；
(2)将原问题转化为 在 上恒成立，令 ，利用二次求导研究函数
的单调性，求出 即可.
(1)
函数 的定义域为R， ，
①当 时， ，故函数 单调递增，
有 ，解得 ；
②当 时，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的增区间为 ， ，减区间为 .
当 即 时，
函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
得 或 .
第 39 页解得 （舍去）或 舍去）；
当 即 时，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
得 ，解得 （舍去）；
当 即 时，
函数 在 上单调递减，
得 ，解得 .
综上知 或 ；
(2)
可化为 ，
整理，得 ，
即 在 上恒成立，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
所以当 时 ；当 时 ，
故函数 的增区间为 ，减区间为 ，
所以 ，得 ，
即实数a的取值范围为 .
28．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出 ，由函数 在 上单调递增，转化为 在 上恒成立.令
第 40 页，利用导数判断出 在 上单调递增，求出 ，即可求出 的取值范
围；
(2)先判断出 时 有两个极值点 ，且 .得到 .令 ，则 ，得
到 ， .令 利用二次求导判断出 在 上递增.
求出 ，得到 的取值范围是 .
(1)
因为 ，所以 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
故令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
(2)
.
对函数 ，设 上一点为 ，
过点 的切线方程为 ，
将 代入上式得 ，
所以过 的 的切线方程为
所以，要使 与 有两个交点，则 .
此时 有两个极值点 ，且 .
，
令 ，则 ，所以 ，
第 41 页所以 ，即 ，所以 ，
令 ，令 ，
所以 在 上递增.
因为 ，所以 在 上恒成立.所以 在 上恒成立.
所以 在 上递增.
又 ，
所以当 时， ，
所以 的取值范围是 .
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主
要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
29．(1)单调递增区间为R，无递减区间.
(2)
【解析】
【分析】
（1）二次求导，得到 ，故求f（x）的单调递增区间为R，无递减区间；（2）参变分离后，构造函数
，通过求导，研究其函数图象，数形结合求出a的取值范围.
(1)
当 时 ，则
令 ，则
令 ，得
∴当 时， ，g（x）在 上单调递减；
当 1时， ，g（x）在 上单调递增.
∴ ，故
∴f（x）单调递增区间为R，无递减区间.
第 42 页(2)
∵ ，∴f（x）的零点
令 ，可得
设 ，则
令 ，得
∴当 ，h（x）单调递增；
当 时. ，h（x）单调递减；
当 ）时， ，h（x）单调递增.
因为 恒成立，且 作出h（x）的大致图像，如图所示，
由图像可知，当 时，直线 与曲线 有三个交点，即f（x）有三个不同的零点，
∴a的取值范围是
30．(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）二次求导，利用二次导数的符号判定一次导数的单调性及符号变化，进而确定原函数的单调性；
（2）作差构造函数，证明函数 的最小值非负，求导，讨论 的符号和 的单调性进行求解.
(1)
解：因为 ，
所以 ，
所以
因为
第 43 页所以函数 为增函数，又 ，
所以当 时 ，当 时， ，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
(2)
解：将 化为 ，
设 ，
则 ，
由（1）可知， 是 上的增函数，且 ，
①当 时， ，函数 在区间 上单调递增，
故 ，符合题意；
②当 时， ，故存在 ，使得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，不等式不恒成立．
综上，实数k的取值范围为 ．
第 44 页第 45 页
