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微专题：二次求导函数处理问题
【考点梳理】
二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函
数零点“求之不得”的问题。
方法 二次求导
使用情景 对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至根本
解不出.
设 ，再求 ，求出 的解，即得到 函数 的单调
解题步骤
性，得到函数 的最值，即可得到 的正负情况，即可得到函数 的单调性.
【典例分析】
典例1．设函数 的导函数为 ．
(1)当 时，研究 的单调性；
(2)讨论 极值点的个数．
典例2．已知函数 .
(1)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
(2)若 ， 是 的两个极值点，且 ，证明： .
典例3．已知函数f（x）＝2ax﹣ln（x+1）+1，a∈R．
(1)讨论（x）的单调性；
(2)当x＞0，0＜a≤1时，求证：eax＞f（x）．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
4．函数 ， 有两个不同的极值点 ， ，
(1)求实数a的取值范围；
(2)当 的取值范围为 时，总存在两组不同的数对 使得方程 成立，
求实数 的取值范围.
5．已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)设 ，若 有且仅有两个实根 ，证明： ．
6．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 有两个不同的零点 （ ），
（ⅰ）求证； （ 为自然对数的底数）；
（ⅱ）若 满足 ，求a的最大值.
7．已知函数 ．
(1)求证：函数 在定义域上单调递增；
(2)设区间 （其中 ），证明：存在实数 ，使得函数 在区间I上总
存在极值点．
8．已知函数 ，且0是 的一个极值点．
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，求 的取值范围．
9．设a为实数，函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)判断函数 零点的个数．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．已知函数 ．
(1)若函数 在 处的切线过点 ，求a的值；
(2)设函数 ，若 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
【高分突破】
11．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明： ．（注 ， ）
12．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 有两个零点 ，若 ，证明： ．
13．已知函数 ．
(1)求证： ；
(2)若 恒成立，求实数 ．
14．已知函数 ．
(1)当 且 时，试判断函数 的单调性；
(2)若 在 上是单调函数，求ab的最小值．
15．已知函数 ， .
(1)若函数 在区间 上的最小值为3，求实数 的值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．已知函数 ．
(1)若 时，过点 作曲线 的切线l，求l的方程；
(2)若函数 在 处取极小值，求a的取值范围．
17．设函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)当 时， 恒成立，求整数 的最大值.
18．已知函数 ， ， .
(1)当 时，求证： 对于任意正实数x恒成立.
(2)若函数 在 上有且仅有两个极值点，求实数t的取值范围.
19．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 ， ，求a的取值范围．
20．已知函数 ， .
(1)求 的极大值；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.
21．已知函数 ．
(1)求证： 在 上单调递减
(2)若对于任意 ，都有 恒成立，求正实数a的取值范围．
22．已知函数 （其中 为自然对数的底数）.
(1)若曲线 在点 处的切线与x轴交于点 ，求a的值；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)求证： 时， 存在唯一极值点 ，且 .
23．设函数 .
(1)证明不等式： ；
(2) ，若 为函数g（x）的两个不等于1的极值点，设 ，
，记直线PQ的斜率为k，求证： .
24．已知函数f（x）＝ex＋ax·sinx．
(1)求y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
(2)当a＝－2时，设函数g（x）＝ ，若x 是g（x）在（0，π）上的一个极值点，求证：x 是函数g（x）在
0 0
（0，π）上的唯一极小值点，且e－20，即 在 上单调递增，
∴ 在（0，π）上有唯一极小值点x 且 ，∴g（x）h（1）＝e，
0
又∵－2sin x∈（－2，－2sin 1），∴g（x）＝ －2sin x>e－2，
0 0 0
综上，e－2
