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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题04 平行线的判定与性质
【典型例题】
1．（2022·广东阳山·八年级期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠B＝38°．
【解析】
【分析】
（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明；
（2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝
∠CDG＝38°．
【详解】
（1）∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°.
∵AD∥EF .
（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
【专题训练】
一、选择题
1．（2022·全国·七年级）如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可．
【详解】
只有（3）中的∠1与∠2是对顶角．
故选B
【点睛】
本题考查了对顶角的定义，理解对顶角的定义是解题的关键．
2．（2022·福建·泉州五中七年级期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确的是（ ）
A． 1与 5是同位角 B． 3与 6是同旁内角
C． 2与 4是对顶角 D． 5与 2是内错角
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同位角、对顶角、同旁内角以及内错角的定义对各选项作出判断即可．【详解】
解：A、∠1与∠5是同位角，故本选项不符合题意；
B、∠3与∠6是同旁内角，故本选项不符合题意．
C、∠2与∠4是对顶角，故本选项不符合题意；
D、∠5与 2不是内错角，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了同位角、对顶角、同旁内角、内错角的定义，解答此题的关键是确定三线八角，可直接从
截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的
几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
3．（2021·北京广渠门中学教育集团七年级期中）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝100°，∠2＝
60°．要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线的性质可求解旋转后的∠1的对顶角为120°，将其与∠1的原角度相比较即可求解．
【详解】
解：如图，当 时，∠2+∠3＝180°
∵∠2＝60°
∴∠3＝120°
∵∠1＝∠3∴∠1＝120°
∵现在木条a与木条c的夹角∠1＝100°
∴木条a顺时针旋转的度数至少是120°﹣100°＝20°
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角，平行线的性质．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．
4．（2022·福建省福州杨桥中学七年级期末）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，
AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，则∠DBC的度数为（ ）
A．45° B．25° C．15° D．20°
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°-30°=15°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD的度数是解题关键．
5．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）八年级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线
有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线 等反射以后沿着与直线 平行的方向射出，若
， ，则 的度数为（ ）°A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得 ，进而根据 即可求解
【详解】
解：
故选C
【点睛】
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2021·福建石狮·七年级期末）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，则∠CHG的大小为 _____．
【答案】130°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用邻补角的性质可求解．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝130°．故答案为：130°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，邻补角，属于基础题．
7．（2021·北京房山·七年级期末）如图A，C，E共线，请你添加一个条件，使AB CD，这个条件是
______，你的依据是_____．
【答案】 ∠ECD=∠A 同位角相等，两直线平行（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理添加即可．
【详解】
解：∵∠ECD=∠A，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
故答案为：∠ECD=∠A；同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
8．（2021·上海奉贤·七年级期末）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝34°，则∠2
＝_____°．
【答案】56
【解析】
【分析】
先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠1＝34°，∴∠3＝90°﹣34°＝56°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠3＝56°．
故答案为：56．
【点睛】
本题考查平行线的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考
常考题型．
9．（2021·上海松江·七年级期中）如图，已知直线a、b被直线l所截，a∥b，且∠1＝（3x+16）°，∠2＝
（2x﹣11）°，那么∠1＝___度．
【答案】121
【解析】
【分析】
根据两直线平行同旁内角互补列方程求解．
【详解】
解：∵a//b，
∴∠1+∠2＝180°，
（3x+16）+（2x﹣11）=180，
解得x=35，
∴∠1＝(3×35+16)°=121°，
故答案为：121．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，根据题意列出方程求出x是解答本题的关键．
10．（2022·全国·七年级）如图，E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠3=∠4；②∠C+∠ABC=180°；③∠A=∠CDE；④∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是________．（填序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理，逐一判断，即可得到答案．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴①不符合题意；
∵∠C+∠ABC=180°，
∴AB∥CD；
∴②符合题意；
∵∠A=∠CDE，
∴AB∥CD；
∴③符合题意；
∵∠1=∠2，
∴AB∥CD．
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．平行线的判定：内错角相等，两
直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
三、解答题
11．（2022·吉林·长春外国语学校七年级期末）如图，已知AB CD，BE平分∠ABC，∠CDE = 150°，求
∠C的度数．【答案】∠C的度数为120°
【解析】
【分析】
首先由∠CDE=150°和平角的概念得到∠CDB=30°；然后根据两直线平行，内错角相等得到
∠ABD=∠CDB=30°，进而根据角平分线的定义求出∠ABC=60°，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可
求出∠C的度数．
【详解】
解：∵∠CDE=150°，
∴∠CDB=180°-∠CDE=30°，
又∵AB CD，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=60°，
∵AB CD，
∴∠C=180°-∠ABC=120°．
【点睛】
本题考查平行线基本性质与邻补角关系，基础知识牢固是本题解题关键．
12．（2021·上海市罗南中学七年级期中）如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和
∠ABC，且DE∥BF，那么AB与DC平行吗？为什么？
【答案】AB∥DC，理由见解析.【解析】
【分析】
根据平行线的性质推出∠DEA＝∠FBA，再根据角平分线性质推出∠CDE＝∠FBA，等量代换得到∠CDE
＝∠DEA，根据平行线的判定推出即可．
【详解】
解：AB∥DC，理由如下：
∵DE∥BF，
∴∠DEA＝∠FBA，
∵∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，
∴∠CDE＝ ∠CDA＝ ∠CBA＝∠FBA＝∠DEA，
∴AB∥DC．
【点睛】
本题主要考查对平行线的性质和判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能推出∠CDE＝∠DEA是解
此题的关键．
13．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）完成下面的证明：
已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知）
∴∠ ＝90°（ ）
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）
∴∠1+∠BAC+∠B＝ （ ）
即∠ +∠B＝180°
∴AD∥BC（ ）
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据垂直的定义可得 ，再根据角的和差可得 ，从而可得
，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】
证明：∵ （已知），
∴ （垂直的定义），
∵ ， （已知），
∴ （等量关系），
即 ，
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
【点睛】
本题考查了垂直、平行线的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
14．（2021·上海奉贤·七年级期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长
线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ （ ）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝ °（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ °．
∴ （ ）．
【答案】2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】
由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，结合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同
旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC．
【详解】
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线的定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝116°（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
此题考查了角平分线的定义，角的计算，平行线的判定．正确掌握线段、角、相交线与平行线的知识是解
题的关键，还需掌握推理能力．
15．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB与CD平行吗？
BC与DE呢？
观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．
解∵∠1＝60°（已知）
∠ABC＝∠1 （① ）
∴∠ABC＝60°（等量代换）
又∵∠2＝120°（已知）
∴（② ）+∠2＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD （③ ）
又∵∠2+∠BCD＝（④ °）∴∠BCD＝60°（等式的性质）
∵∠D＝60°（已知）
∴∠BCD＝∠D （⑤ ）
∴BC∥DE （⑥ ）
【答案】对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】
先求出∠ABC＝60°，即可证明∠ABC+∠2＝180°得到AB∥CD，然后求出∠BCD＝∠D 即可证明BC∥DE．
【详解】
解∵∠1＝60°（已知）
∠ABC＝∠1 （对顶角相等），
∴∠ABC＝60°（等量代换），
又∵∠2＝120°（已知），
∴∠ABC+∠2＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行），
又∵∠2+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°（等式的性质），
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D （等量代换），
∴BC∥DE （内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件．
16．（2022·云南·昆明市第三中学七年级期末）如图，直线 ，把一块三角尺（ ，
）按如图1方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点．(1)①∠PDC、∠MEC、∠C之间有怎样的数量关系？请说明理由：
②若 ，则∠BDF=______；
(2)将图1三角尺进行适当转动，得如图2，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，接
EG，且有 ，求 的值．
【答案】(1)① ，见解析；② ；(2)
【解析】
【分析】
（1）①如图，过 作 证明 可得 从而可得答案；
②先求解 结合 求解 再利用对
顶角的性质可得答案；
（2）设 可得 由（1）得： 而
求解 再代入进行计算即可.
(1)解：① 理由如下：
如图，过 作② ，
故答案为：
(2)解：设
由（1）得： 而
【点睛】
本题考查的是对顶角的性质，平行公理的应用，平行线的性质，证明 是解本题的
关键.
