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2.4 函数的对称性
1.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴
对称.
(2)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x ＝
a ;若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)的图象的对称中
心为( a ,0)
.
2.若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a 对称;
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点( a ,0)
对称.
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y 轴
对称;
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x 轴
对称;
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称.
常用的结论
对称性的四个常用结论
(1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于x＝a 对称.
(2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b
2
对称.
特别地,当a＝b 时,即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时,则y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b,则y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当b＝0 时,即f(a＋x)
＋f(a－x)＝0 或f(x)＋f(2a－x)＝0 时,则y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称.
考点一 判断或证明函数的对称性
考点二 由对称性求函数的解析式
考点三 由对称性研究单调性
考点四 由函数对称性求函数值或参数
考点一 判断或证明函数的对称性
1．（25-26 高二下·湖南长沙·期中）（多选）定义在
上的函数
满足
为偶函数，且
，
则下列说法中正确的有（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的图象关于
成中心对称
D．
【答案】BCD
【分析】先根据
为偶函数，可得到
的图象关于直线
对称，再根据
可得到
的图象关于直线
对称，进而可得到
的周期，再判断各个选项的正确性.
【详解】
为偶函数，
，
即
，
的图象关于直线
对称，
即函数
的图象关于直线
对称，故A 错误；
又
，
，
故函数
关于
中心对称，故C 正确；
而函数
有对称轴
，有对称中心点
，由对称性可得函数
关于直线
对称，故B 正确；
又
，
，
所以函数
为周期函数，周期是
，故D 正确．
2．（2026·吉林延边·三模）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)证明：函数
的图象是中心对称图形；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当
时，求得
，求得
，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）根据题意，求得
，求得
，即可得证；
【详解】（1）解：当
时，
，可得
，
又由
，可得
，
所以函数
的图象在
处的切线方程
，即
.
（2）解：由函数
，
可得
，
所以
，
即
，即
，
所以函数
的图象关于点
中心对称.
3．（2026·辽宁锦州·二模）（多选）函数
，则（ ）
A．
B．
C．
存在对称轴D．
存在对称中心
【答案】ABC
【分析】通过
可发现函数
具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特
点去分析
是否具有对称中心，将
化为
，通过构造函数
，结
合导数与单调性得到
，都有
，进一步证明
即可.
【详解】函数解析式可化为：
，
则
，选项A 正确；
因为函数
的图象关于直线
对称，且函数
的图象也关于直线
对称，
故曲线
也关于直线
对称，选项C 正确；
要证
，即证
.
当
时，左右两边均为0，等式成立.
令
，则
，则
在
上单调递增.
当
时，
，所以
.
当
时，
，所以
，所以
.
因此，
，都有
，当
时等号成立.
所以，当
时，有
，
又
，
所以
成立，
综上，
成立，选项B 正确；
对于D 选项，若存在一点
使得
关于点
对称，则
，
通过分析发现
不可能为常数，故选项D 错误.
4．（25-26 高二下·江苏苏州·月考）已知函数
.
(1)若
为中心对称图形，求a 的值以及对称中心坐标；
(2)当
时，
，求a 的取值范围.
【答案】(1)
，对称中心
【分析】（1）求出
的定义域，根据中心对称性可得对称中心的横坐标必为
，结合中心对称的定义求解；
【详解】（1）由
，则
，即
，得
或
，
所以函数
的定义域为
，
所以
，
若
为中心对称图形，其对称中心的横坐标必为
，设对称中心为
，
则满足
，
，
所以
，得
，
当
时，
，因此对称中心的坐标为
.
5．（25-26 高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．存在
，使得曲线
关于某点对称
B．存在
，使得曲线
关于某直线对称
C．存在
，使得曲线
关于某点对称
D．存在
，使得曲线
关于某直线对称
【答案】D
【详解】由
，得
或
，
则函数
的定义域为
若曲线
存在对称轴或对称中心，则对称轴或对称中心必在直线
上.
因为
，
当
时，
，所以此时
关于直线
对称.
又因为
不可能恒等于某个常数，
所以
不可能关于某个点对称.
考点二 由对称性求函数的解析式
6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式；
(2)当
时，求
的最大值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由对称性可得
，计算即可得；
（2）求导后可得函数单调性，即可得其最大值；
【详解】（1）由题意得，
；
（2）由题意得，
，
，令
，解得
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的最大值为
；
7．（25-26 高三上·安徽·期中）已知函数
满足
．
(1)证明：
；
(2)判断
的单调性，并写出推理过程；
(3)若函数
的图象与函数
的图象关于点
对称，求
的解析式．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
在
上单调递增，在
上单调递减，理由见详解；
(3)
.
【分析】（1）在条件式中将
用
替代，联立方程组求得
，计算得证；
（2）先判断
是偶函数，再根据复合函数的单调性判断；
（3）设函数
图象上任意一点
的坐标为
，点
关于点
的对称点
的坐标为
，可得
，由
运算得解.
【详解】（1）在
中，将
用
替代，
则
，即
.
联立
和
，
解得
.
因此
.
（2）因为函数
的定义域为
，
，
所以
是偶函数，
又
，
因为
在
内单调递增，
所以
在
内单调递减，因此
在
内单调递减.
由于
是偶函数，所以
在
内单调递增.
（3）设函数
图象上任意一点
的坐标为
，点
关于点
的对称点
的坐标为
.
由
，得
.
因为点
在函数
的图象上，所以
.
即
，
.
故
.
8．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
，与函数
关于原点对称
(1)求函数
的解析式
(2)已知
，求
的最大值及
取最大值时
的值．
【答案】(1)
；
(2)
时，
取得最大值13
【分析】（1）在
任取一点
，则
在函数
上，代入化简后即得函数
的解析式；
（2）由题可得
，结合题意可得
，利用二次函数的性质即可求得函
数最大值.
【详解】（1）由题可得函数
与函数
关于原点对称，
则在
任取一点
，则
在函数
上，
则得
，故
.
（2）由题
函数
的定义域为
，要使函数
有意义，
需使
，解得
，即
，
所以
，
当
，即
时，
.
故当
时，函数
取得最大值
.
9．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式.
【答案】
【分析】在函数
上取点
，设
为
关于点
的对称点，利用对称关系列出变换方程
组，求得
，代入
，整理即得
的解析式.
【详解】设
为
上任一点，
为
关于点
的对称点，
则
解得
因为点
在
的图象上，所以
.
把
代入上式，可得
，整理得
，
即
.
10．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
与
的图象关于点
对称，则
______．
【答案】
【分析】设
是
上一点，关于点
的对称点为
，得到
，将其代入函数
的解析式，即可求得
的解析式.
【详解】设
是
图象上任意一点，且点
关于点
的对称点为
，
可得
，解得
，
将其代入函数
，可得
，所以
，
即
.
故答案为：
.
考点三 由对称性研究单调性
11．（2026·重庆·一模）已知函数
，若关于
的不等式
成立，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可.
【详解】
，即
，
，
令
，解得：
，
当
时，
，
，则
在区间
单调递增；
当
时，
，
在区间
单调递减；
，
即
，
关于
对称，
，
，即
，
两边平方得
，
解得
，
则实数
的取值范围是
.
12．（25-26 高二下·湖南郴州·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调递增，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义，结合对称性及已知确定函数的单调性，再将不等式转化为不等式组求解.
【详解】由函数
是定义在
上的偶函数，得
，即函数
的图象关于直线
对称，
由函数
在
上单调递增，得函数
在
上单调递减，
且
，则当
或
时，
；当
时，
，
不等式
等价于
或
，
即
或
，解得
或
，
所以
的解集为
.
13．（25-26 高三上·广东惠州·月考）（多选）已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上单调递增
【答案】ABD
【分析】由奇函数的定义判断A，由函数解析式判断B，由奇函数及周期求得
判断C 选项，由函数在
的
解析式得函数的单调区间，结合对称性得到函数在
上单调性，判断D 选项.
【详解】∵函数
是定义在R 上的奇函数，
∴
且
，A 选项正确；
∵
，
，B 选项正确；
∵
，
∴当
时，
，C 选项错误；
∵
，
∴
，即
，
∴函数
关于点
中心对称，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，∴
，
又∵函数
关于点
中心对称，
∴
在
上单调递增，D 选项正确.
故选：ABD.
14．（25-26 高三上·广东·阶段检测）已知函数
的定义域为
，图象关于
对称，且
，对于任意
的
，都有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合函数的单调性，对称性进行判断即可.
【详解】由题可知，
在
上单调递增，又因为
关于
对称，
在
上单调递减.
，
关于
对称，
.
对于A、B、C：
在
上单调递减，
，
，故A 正确，B、C 错误；
对于D：
在
上单调递增，
，
，故D 错误.
故选：A.
15．（25-26 高三上·安徽阜阳·期中）已知函数
，使得
成立的
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数解析式得到函数的对称轴，以及函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性得到不等式，解得
的取值范围.
【详解】∵
，
，
即
，所以函数图象关于直线
对称，
当
时，
，函数
在
内单调递增，
∵
，∴
，
解得
.
故选：C.
16．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，且
，都有
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到函数
的图象关于
对称，且在
上单调递减，在
上单调递增，结合
函数的单调性和对称性，即可求解.
【详解】由函数
满足
，可得函数
的图象关于
对称，
又由
，都有
，
根据函数单调性的定义，可得函数
在
上单调递减，
结合对称性知：函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，
又因为
，所以
.
故选：B.
考点四 由函数对称性求函数值或参数
17．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．2
C．0
D．1
【答案】C
【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出
，再代入解析式得出
，最后代回验证即可.
【详解】令
，由
，得
或
，故函数
的定义域为
．
由曲线关于直线
对称，得定义域关于直线
对称，则
，
此时必有
，即
，解得
，
此时
，
因此函数
的图象关于直线
对称，即
，
满足题意，故
．
18．（2026·山东·二模）已知函数
的图象关于点
对称，则
_______________．
【答案】2
【详解】
，关于点
对称，
由题意可知函数
关于点
对称，所以解得
.
19．（25-26 高二下·浙江·期中）已知函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【分析】分别化简计算
，再由对称性，列出关于
的方程组，求解即得.
【详解】对于函数
,
由
,
而
,
由该图象关于直线
对称,可得
,
则对应项系数相等,即
,
解得
,则
.
20．（2026·湖北·一模）已知函数
为奇函数，且
为偶函数，当
时，有
，则
（ ）
A．2025
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断出函数的周期，结合
可求
的值.
【详解】因为
为奇函数，故
，
因为
为偶函数，故
，
故
，所以
，
故
是周期函数且周期为4，而
，
故
，
而
，故
.
21．（25-26 高二下·广西来宾·月考）若函数
的图像关于点
中心对称，则有序数对
为
________.
【答案】
【分析】根据中心对称的定义可得
，代入运算求解即可.
【详解】因为函数
的图像关于点
中心对称，
则
，即
，
整理可得
，
结合
的任意性可知
，可得
，
所以有序数对
为
.
22．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
的图象关于坐标原点对称，则
的值
为（ ）
A．20
B．50
C．70
D．90
【答案】D
【分析】先利用二项式定理化简
，再根据函数奇偶性的定义求解即得.
【详解】依题意，可知函数
为奇函数，满足
.
因
，
，
则
，
由
，因
不恒为0，故得
，即
.
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数
的定义域为
，则“函数
的图象关于点
中心对称”是
“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由已知条件，看“
的图象关于点
中心对称”与“
”是否可以互相推导，进而判断前者
是后者的什么条件.
【详解】若定义域为
函数
的图象关于点
中心对称，则
，
当
时，
，则
，
但
不能推出函数
的图象关于点
中心对称，
所以“
的图象关于点
中心对称”是“
”的充分不必要条件.
2．（25-26 高三下·北京·阶段检测）设函数
，下列说法正确的是（ ）
A．存在实数
，使得曲线
为轴对称图形；
B．存在实数
，使得曲线
为中心对称图形；
C．存在实数
，使得曲线
为轴对称图形；
D．存在实数
，使得曲线
为中心对称图形.
【答案】C
【分析】由函数的对称性进行判断求解．
【详解】对于A，B 两项，函数
的定义域为
，则曲线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
故A，B 都是错误；
C.令
（
或
），
由对称性知，若存在对称轴或对称中心，必在直线
上，
考虑
（
或
），
当
时，
，
所以
，
所以
关于
对称，故C 正确；
D.考虑
（
或
），
所以不存在实数
，使得
，
即不存在实数
，使得曲线
为中心对称图形，故D 错误.
3．（2026·北京东城·二模）已知函数
与
的图象关于
轴对称，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】函数
图象上任意一点
关于
轴对称的点为
，
代入
中得
，即
，得
.
4．（2026·广东广州·二模）若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】B
【分析】根据两个函数图象关于直线
对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为
的
解析式，最后根据题意得到关于
的方程，求解
.
【详解】因为两个函数图象关于直线
对称，
所以
是
的反函数，
对
整理得：
，
，
交换
可得反函数：
，
又因为
，所以
，
化简可得：
，即
，
两边取以3 为底的对数，则
.
5．（2026·河北唐山·二模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
在
上单调递增
C．
的最小正周期是
D．
的一条对称轴为
【答案】BD
【分析】A 利用奇偶性的定义求证；B 利用
在
上的单调性判断；C 举反例；D 求证
即可.
【详解】令
，得
，故
的定义域为
，关于原点对称，
因为
，所以
为奇函数，故A 错误；
因为
在
上单调递增，且
，
所以
在
上单调递减，故
在
上单调递增，故B 正确；
因为
，
，所以
，故C 错误；
，
所以
的一条对称轴为
，故D 正确.
6．（25-26 高一下·贵州遵义·月考）（多选）已知函数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
在
上单调递增
B．
为奇函数
C．
的一条对称轴为
D．
的一个对称中心为
【答案】ABD
【分析】对A，根据复合函数单调性判断；对B，利用奇函数定义判断；对C，举反例说明；对D，利用函数对称
性定义判断.
【详解】对于A，
，
单调递增，
，则
单调递增，
所以
在
上单调递增，故A 正确；
对于B，因为
，
，
所以函数
为奇函数，故B 正确；
对于C，因为
，
，所以
，
所以
不是函数
的对称轴，故C 错误；
对于D，因为
，
所以函数
的一个对称中心为
，故D 正确.
7．（2026·陕西榆林·三模）已知直线
经过函数
的图象的对称中心，则
的最小值为__________.
【答案】4
【分析】求出函数
的对称中心并代入直线中得
，
化为
并结合
，利用基本不
等式即可求得最值.
【详解】因为
，
所以函数
的图象的对称中心为
，
将点
代入直线
，得
，
则
，
当且仅当
时取等号，
故
的最小值为4.
8．（2026·河南商丘·模拟预测）若函数
，其中
，则曲线
的对称中心的坐标为______.
【答案】
【详解】依题意，
，
，
令
，则
，
令
，解得
，
而
，故
，
验证
为函数
的对称中心：
因为
，
所以函数
的对称中心的坐标为
．
9．（2026·河北张家口·一模）已知函数
满足
，当
时，
，则不等式
的解集为______．
【答案】
【分析】根据函数的对称性与单调性的关系列不等式组求解即可.
【详解】根据题意，因为函数
满足
，所以函数
的对称轴为直线
，
因为函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，
则函数
在
上单调递减，
由
得
，
等价于
或
，
解得
或
，所以不等式
的解集为
.
10．（2025 高三·全国·竞赛）设实数
满足：函数
图象的对称中心为
，则
________.
【答案】1
【分析】根据题意可知
在函数的图象上，又根据对称性可知
也在函数图象上，代入函数解析式可解得
的值，从而得解.
【详解】由题可知点
在函数的图象上，
设
关于对称中心
对称的点为
，
则
，得
，
所以点
也在函数图象上，
则
，
解得
.
故答案为：1
11．（25-26 高二下·广东广州·期中）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接求出导函数
，计算
和
，由点斜式得直线方程并整理为一般式；
（2）利用中心对称的定义结合对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）令
，解得
，
则
的定义域为
，
当
时，
，可得
，
而
，又
，
所以切线方程为
，即
；
（2）由题意得
，
，
则
，
可得
关于
中心对称，即曲线
是中心对称图形.
12．（2026·四川泸州·模拟预测）已知
，函数
.
(1)当
时，函数
为减函数，求实数
的最小值;
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将原函数单调性问题转化为导函数恒成立问题，再求出
，进而建立不等式求解参数范围，
最后得到最值即可；
（2）利用函数的对称性证明即可；
【详解】（1）当
时，记
，
其中
，则
，
因为函数
为减函数，所以
恒成立
因为
，当且仅当
时等号成立，故
，
而
成立，可得
，解得
，故
的最小值为
.
（2）令
，解得
，则函数定义域为
，
因为
，
所以
关于点
中心对称，即曲线
是中心对称图形.
13．（25-26 高一下·河南·月考）已知函数
．
(1)当
时，用定义法证明：
是增函数；
(2)当
时，曲线
与曲线
的图象关于直线
1 对称，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用增函数的定义证明即可；
（2）根据对称的性质可得
与
值域相同，且
即可求解.
【详解】（1）当
时，函数
，
任意取
，且
，则
，
因为
，
，故
，
所以
是增函数．
（2）因为曲线
与曲线
的图象关于直线
1 对称，
则
与
值域相同，所以
，
由于曲线
与曲线
在
处的函数值相同，
则
，解得
，
，
故
．
