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2.5 对数运算及对数函数（精练题组版）
题组一 对数运算
1．（24-25·贵州）计算
.
【答案】4
【解析】
.故答案为：4.
【点睛】关键点点睛：变形得到
，
，构造
，由函
数单调性进行求解；或由函数的对称性进行求解
2.（24-25 安徽）计算
= ．
【答案】6
【解析】原式
，故答案为：6．
3．（2025·山西晋中·模拟预测）已知
，则
.
【答案】2026
【解析】法一：
，
，
设
，则
，
由于
在R 上单调递增，故
，
故
；
法二：
，
设
与
的交点为
，
与
的交点为
，
由于
和
为反函数，
即
和
关于
对称，
而
和
垂直，
关于
对称，
联立
，解得
，
所以
与
关于
对称，
故
，所以
.
故答案为：2026
4.（2024 山东）计算化简：
(1)
(2)
(3)
； (4)
．
（5）
. （6）
；
（7）
； （8）
；
【答案】(1)
(2)8 (3) (4)
（5）
（6）
（7）0（8）1
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
；
（4）
.
（5）原式
.
（6）原式
；
（7）原式
；
（8）原式
；
5.（2025 湖北）已知
，
，试用
，
表示
.
【答案】
【解析】因为
，
所以
.
题组二 对数型函数的定义域
1．（24-25 北京·期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于函数
，有
，解得
且
，因此，函数
的定义域为
.
故选：A.
2．（24-25 ·云南昭通）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得：
，即
，解得
，故选：A.
3．（24-25 湖南）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，解得
.故选：C
4．（24-25 北京）函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】对于函数
，有
，解得
且
，
因此，函数
的定义域为
.故答案为：
.
5．（24-25 安徽）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是 .
【答案】
【解析】要使函数有意义，则
，
，取交集得
.故答案为：
.
题组三 对数型函数的单调性
1.．（24-25 云南昆明 ）函数
的单调递减区间为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，可得：
或
，易知当
时，
单调递减；
再由对数型复合函数的单调性可知：
在
上单调递减；故选：B
2．（24-25 辽宁）函数
的增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，则
，分解因式可得
，
解得
，所以函数
的定义域为
，
由函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
且函数
在
上单调递减，
则函数
的增区间为
.
故选：D.
3．（24-25 湖南 ）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题得由
，得
，
解得
，即函数定义域为
，
因为函数
是增函数，故求函数
的单调递增区间即求函数
在
上的单调递增区间，
令
，则
，
所以函数
的递增区间为
.
故选：D.
4．（24-25 山东 ）设
，
，q：函数
在
上单调递减，则
成立是
成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为
：
，
.
所以
成立的充分必要条件是：
或
，解得
.
又
成立的充分必要条件为：
.
所以
成立是
成立的必要不充分条件.
故选：B
5．（2025·河南·模拟预测）已知函数
在定义域内单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
在
上单调递增，则值域为
，
由
对称轴为
，
当
时，
开口向上，则
，显然
成立；
当
时，
在
上单调递增，且
，显然
成立；
当
时，
开口向下，则
，则
；
综上，
.
故选：D
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，而
在
上单调递增，
复合函数的单调性可知，函数
在
上单调递增，且
在
上恒成立，
故
，解得
，故选：B．
7．（24-25 河北）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，易知
在其定义域上单调递减，
在
上单调递减，则
在
上单调递增，
且
在
上恒成立，
则
，解得
，
所以实数的取值范围是
.
故选：C.
8．（24-25 高三下·河南焦作·阶段练习）函数
在
上单调递减，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
及
，解得
，
所以
，故
在
上单调递增，
所以
，
，综上可得
，
故选：B.
9．（24-25 高三下·河北·阶段练习）已知函数
在
上单调递增，
在
上单
调递减，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，函数
在
上单调递增，则
在
上单调递增，
令
，则
在
上单调递减，所以
且
，
故选：B.
10．（2025·河南鹤壁·一模）已知
且
，若函数
与
在区间
上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可知
，
因为
在区间
上单调递增，所以
，即
，
当
时，有
，得
，不成立舍去；
当
时，有
，则
显然成立，故
.
又
在区间
上单调递增，
在
时恒成立，
所以
在
时恒成立，
因为
，则有
，即
，
则得
，即
，解得
或
，
又
，所以
.
故选：D.
11．（24-25 辽宁 ）函数
的单调递减区间是 .
【答案】
/
【解析】由
，得
，则函数
的定义域为
，
令
，
，则
，
函数
的对称轴为
，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
因为
为增函数，根据复合函数同增异减，
要使函数
单调递减，则需函数
单调递减，
所以原函数的单调递减区间为
.
故答案为：
12．（24-25 高三下·四川雅安·开学考试）函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
(或
)
【解析】函数
的定义域为
，
令
在定义域上为增函数，则
在
上单调递增，
由复合函数单调性的同增异减原则可得，当
1，即
时，函数
单调递增，
即函数
单调递增区间为
．
故答案为：
(或
)
13．（24-25 广西崇左·期末）函数
的单调递减区间为 ．
【答案】
（或
）
【解析】由
，得
，因为函数
在
上单调递增，
是减函数，根据复合函数的单调性可得
的单调递减区间为
．
故答案为：
（或
）.
14．（24-25 安徽 ）已知关于
的函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】令
，则
，
因为
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，且
，
所以
，解得
，
故答案为：
15．（24-25 安徽）已知函数
在
上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令
，因为
在区间
上是减函数，且
在
上是增函数，
所以
在区间
上是减函数，且
在区间
上恒成立，
所以
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
16．（24-25 高三下·湖南·阶段练习）若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】当
时，函数
的图象如下：
符合题意，
当
时，函数
的图象如下：
不符合题意，
结合图象的平移，则实数a 的范围为：
．
故答案为：
题组四 对数型函数单调性的应用---比较大小
1．（24-25 贵州）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
在定义域
上单调递减，又
，所以
，
又
在定义域
上单调递增，所以
.故选：B
2．（2025·北京海淀·一模）已知四个数
，
，
，
，其中最小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】易知
，所以可得
，即
；
再由基本不等式可得
，即
；显然
，即
；
因此可得
，即最小的是.故选：C
3．（24-25 江西）已知
，
，
，
，则（ ）
A．
，且
B．
，且
C．
，且
D．
，且
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
又
，得到
，
则
，即
，
因为
，
，
所以
，综上可得
，且
，故D 正确.
故选：D.
4．（2025·天津河西·一模）设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
；
；
，
则
故选：A
5．（2025·陕西汉中·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
．
构造函数
，则
，
易证函数
为增函数，
（
，令
，所以
时，
为增函数.）
所以
，所以
，所以
，即
．
故选：C.
6．（2025·安徽·一模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，A，B 均错误.
，C 正确，D 错误.
故选：C
7．（2025·辽宁辽阳·一模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
因为
，
所以
，则
.
故选：A.
8．（2024·天津滨海新·三模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
所以
.
故选：C.
9．（2025·广东深圳·二模）若
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，
又
在
上单调递增，
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
故选：B.
10．（2025·云南·一模）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
所以
，即
，即
，
又因为
，
所以
，即
，
综上，
，
故选:A.
11．（24-25 高三上·安徽黄山·阶段练习）定义在
上的函数
满足
，又
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以当
时，则
，
则函数
在
上单调递减，
而
，
所以
，即
.
故选：A.
12．（2024·重庆·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
，
所以
，
又
，
所以
，所以
.
故选：B
题组五 对数型函数单调性的应用---解不等式
1．（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】由
，得
，
所以
，即
，
所以不等式
的解集为
．
故答案为：
.
2．（24-25 江西 ）已知函数
，则满足不等式
的
的取值范围为
．
【答案】
或
．
【解析】由
，得
的定义域为
，
又
，故
为偶函数，
而当
时，易知
单调递增，
在
上也单调递增，
故
在
上单调递增，
则由
，得
，解得
或
．
故答案为：
或
．
3.（24-25 湖南长沙）已知函数
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】由题可知函数
的定义域为
，
∵
，
∴
是偶函数，
∴由
可得
，即
．
当
时，
，∵
和
在
上都是单调递增的，
∴
在
上单调递增，
又∵
，由函数
的定义域知
有
，
∴由
可得
，
所以
或
，
解得：
或
．
综上，不等式的解集为
．
4．（24-25 江西）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】定义域
，
，所以
在
上单调递增，
又因为
，所以
，解得
，即
的取值范围是
.
故答案为：
.
5．（24-25 辽宁）已知函数
，若不等式
对任意实数
恒
成立，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由于
，即
恒成立，
故
的定义域为R，
又
，
故
为R 上的奇函数；
而
在R 上单调递增，
故
在R 上单调递增，
又不等式
对任意实数
恒成立，
即
对任意实数
恒成立，
即
对任意实数
恒成立，
即
对任意实数
恒成立，
而
，当且仅当
即
时取等号，
故
，
故答案为：
题组六 对数型函数的值域
1．（24-25 重庆·期末）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，当且仅当
时等号成立，
所以
，故
值域为
.
故选：D
2．（24-25 重庆）若函数
的值域为R，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，需使
取遍一切正数，
故需使
，解得
或
.
故选：C.
3．（24-25 高三上·广东·开学考试）已知
的值域为
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，又
值域为
，
能取遍所有正数，
，解得
.
故选：D.
4．（24-25 江苏）设函数
，若存在
，满足
，则实数
的最
小值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在
上单调递减，
所以
因为存在
，满足
，
所以
，即
，
，
故选：D.
5．（24-25 江苏）已知函数
的定义域为
，若存在
，满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，且
在
单调递减，所以
的最小值为
，
可得
，且
，
所以
在
上单调递增，所以
因为存在
，满足
，
则
，
所以
，
故
，解得：
，
故选：D.
6．（2025 湖北武汉）函数
的值域为： .
【答案】
【解析】因为
，所以
，所以函数
的值域为
.
故答案为：
7．（24-25 安徽芜湖）函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
，所以
，即
的值域为
．
故答案为：
.
8．（24-25 陕西）已知函数
，若
，使得
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
在区间
单调递增，可知此时函数值域为
，再由
，
当
时，可知
在区间
上单调递增，所以此时函数值域为
，
因为
，使得
，所以有
，即
，解得
，
由于此时
，所以有
，
当
时，可知
在区间
上单调递减，所以此时函数值域为
，
因为
，使得
，所以有
，即
，解得
，
由于此时
，所以有
，
当
时，可知
，
因为
，所以对
，总能使得
，即
，满足题意，
综上所述可得：
的取值范围是
.
故答案为：
.
9．（24-25 湖南）已知函数
，
，则函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】因
，
，
，
则由
，解得：
，
即函数
的定义域为
，
设
，则
，且
在
上单调递增，
故当
时，即
时，
；当
，即
时，
，
因
，故函数
的值域为
.
故答案为：
.
10．（24-25 上海）已知函数
有最小值，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
上的最小值为2，
由
在
上单调递增，值域为
，
所以要使
有最小值，则有
，即
，则
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
综上，
.
故答案为：
11．（24-25 高三上·浙江杭州·期末）设
，且
，函数
的值域为
，则实
数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
所以
，即
；
要使得函数
的值域为
，
所以当
时，
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
12．（24-25 甘肃 ）已知函数
的值域为
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为
的值域为
，
所以函数
的值域
满足
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
13．（2025 浙江）已知函数
，
，则函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】
，
，
的定义域为
，解得
，
所以函数
的定义域为
，
，
又
，又
，
，即函数
的值域为
.
故答案为：
.
14．（24-25 上海·阶段练习）函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】令
则
，
，
，
.
，
.
结合反比例函数的图象,如图可知：
.
故答案为：
.
题组七 对数型函数过定点
1．（24-25 上海）函数
的图像过定点 .
【答案】
【解析】令
，则
，所以函数图象过定点
，故答案为：
.
2．（2025·上海宝山·二模）已知函数
且
)的图像经过定点
，则点
的坐标
为
【答案】
【解析】令
，可得
.
所以定点
的坐标为
.
故答案为：
.
3．（2025 云南昭通·期末）已知函数
（
，
）的图象恒过定点A，若点A 在一次
函数
的图象上，其中
，
，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】由函数
（
，
）可知定点
，
又因为点A 在一次函数上，所以
，
所以
，
当且仅当
，
时等号成立.
故答案为：
4．（2025·安徽滁州·一模）已知函数
恒过定点
，则
.
【答案】
【解析】令
，则
，又
，所以
过定点
，
即
，
，所以
故答案为：
题组八 对数型函数图像
1．（2025 高三·全国·专题练习）函数
与
在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵函数
为减函数，且其图象必过点
，∴排除A、D．
∵
的图象是由
的图象上移1 个单位得到的，
因此
为增函数，且图象必过点
，∴可排除C．
故选：B．
2．（24-25 江苏）图中曲线是对数函数
的图象，已知a 取
，
，
，
四个值，则相应于
，
，
，
的a 值依次为（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】B
【解析】由已知图中曲线是对数函数
的图象，画出直线
，
与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数，
可得
，
，
，
的a 值从小到大依次为：
，
，
，
，
由a 取
，
，
，
四个值，
故
，
，
，
的a 值依次为
，
，
，
，
故选：B.
3．（24-25 湖北）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易知函数
的定义域为
，
因为
，所以，函数
为奇函数，排除D.
又当
时，
，则
，排除C.
又
，排除B.
故选：A.
4．（24-25 山西·期末）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，
因为
，
所以函数
为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD.
又当
时，
，故排除A.
故选：C.
5．（24-25 安徽）函数：①
；②
；③
；④
的图象
（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号是（ ）
A．①④③②
B．①④②③
C．④①②③
D．③④②①
【答案】B
【解析】
，对应的图象为从左到右第一个，
令
，得
，故
定义域为
，
且
，
对应的图象为从左到右第三个，
，对应的图象为从左到右第四个，
令
，解得
或
，故
的定义域为
，
，
由复合函数可知，
在
上单调递减，
在
上单调递增，对应的图象为从左到右第二个，
按照从左到右图象对应的函数序号是①④②③.故选：B
题组九 对数函数的对称性
1.（2023·河南·校联考模拟预测）若函数
为奇函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
因为
为奇函数，所以
，
即
，所以
，
经检验，
满足题意,
所以
，所以
.
故选：B.
2.（2025·湖南）“
”是“函数
是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当函数
为奇函数，
则
，解得
.
所以“
”是“函数
为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.
3.（2025·安徽）若
为奇函数，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
为奇函数，所以
的定义域关于原点对称，
显然当
时，
没意义，所以当
时，
也没意义，但
是有意义的，所以必定
是
，即
，
，
，
即
，
则
，是奇函数，
；故选：C.
4．（2025·甘肃）已知函数
，则
______．
【答案】2
【解析】因为
（
），
所以
，
所以
，
故答案为：2
题组十 反函数
1．（2025·吉林）函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
关于直线
对称的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
为
的反函数图象上的任意一点，
则
关于
的对称点
一定在
的图象上，
又因为
的图象与函数
的图象关于直线
对称，
所以
关于直线
的对称点
在
图象上，
所以必有
，即
，
所以
的反函数为：
故选：D
2.（2025·上海）已知
，函数
的反函数为
，且
，则
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
．
故答案为：
3．（2025·吉林）已知函数
（
且
）的反函数
过点
，设
，则
不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】根据反函数定义可知
，由题可知
故
，
，即
，根据解析式可知
在
为增函数，
可列不等式
故答案为：
4．（2025·河南开封·二模）已知直线
与函数
，
的图象分别交于
，
两点，则
取最小值时，
，最小值为 ．
【答案】
【解析】由
可得，
，即
，
所以函数
，
互为反函数，图象关于直线
对称，
因直线
互相垂直，
所以问题可转化为求
上点
到直线
距离的最小值的2 倍，
因为
，
令
，
则
，当
时，
，
当
时，
，所以函数在
上单调递减，在
上单调递增，
故当
时，
有最小值3，
此时
，
故答案为：
5．（2025·全国·模拟预测）已知
若函数
的图像上存在关于直线
对称的
点，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
与
的图像关于直线
对称，
所以若函数
的图像上存在关于直线
对称的点，
则方程
在
上有实根，即方程
在
上有实根．
设
，则由复合函数的单调性易得
在
上单调递增，
所以
，所以实数
的取值范围是
．
故答案为：
题组十一 对数函数的实际应用
1．（2025·广东）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记
为实际声压，通常我们用声压级
（单位：
分贝）来定义声音的强弱，声压级
与声压
存在近似函数关系：
，其中
为常数,且常数
为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压
为穿软底鞋走路的声压
的
倍，且穿硬底鞋走路的声压级为
分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级
的倍.若住宅区夜间声压
级超过
分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】由题意
，得
，
则
，因此
，
，则
，
，则
.
故选：A.
2．（2025 江苏）
年月
日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国
岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士
宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在
年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为
《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也
曾研究过这个何题，并得到小于数字
的素数个数大约可以表示为
的结论.若根据欧拉得出的结论，
估计
以内的素数个数为（ ）（素数即质数，
，计算结果取整数）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以，估计
以内的素数个数为
.
故选：B.
3．（2025·北京石景山·一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数
（a，k 为常数）来描述，
其中S（单位：克）代表t 分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7 克的糖块放入到一定量的水中，在第5
分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5 克，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，当
时，
，
当
时，
，则
，
则
，即
.
故选：A.
4．（2025·福建·模拟预测）在一定条件下，大气压强
（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足
如下函数关系式：
为正常数）．已知海拔高度0 米处的大气压强为1000 百帕，海拔高度10000
米处的大气压强为250 百帕，那么，若大气压强增加1 倍，则海拔高度降低（ ）
A．100 米
B．2500 米
C．5000 米
D．7500 米
【答案】C
【解析】由题意可得
，
所以
，
，
设大气压强从250 百帕增加1 倍到500 百帕，海拔高度降低
米，
则
，所以
，
所以
，即
，
所以
，所以
.
故选：C.
5．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等
是在地球
上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M 是假设把恒星放在距离地球10 秒差距（10 秒差距
≈32.6 光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等
和绝对星等M 满足
，其
中
是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A 距离地球约32.6 光年，恒星B 距离地球约326 光年，恒星A，B
的视星等满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意
，
，
两式相减可得：
，
又
，
所以
，
所以
，
故选：C
6．（2025·陕西·模拟预测）2025 年1 月西藏定日发生6.8 级地震，已知
（里氏震级）的计算公式为
（其中
是被测地震最大振幅，常数
是“标准地震”的振幅），5 级地震给人的震感已比较明
显，则定日这次地震的最大振幅大约是5 级地震最大振幅的（ ）倍．（参考数据：
）
A．1.8
B．18
C．63
D．128
【答案】C
【解析】由
，则
，即
，
当
时，地震最大振幅为
，
当
时，地震最大振幅为
，
则
.
故选：C.
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个
中子组成，并带有放射性，会发生
衰变，其半衰期是12.43 年.样本中氚的质量
随时间(单位:年)的衰变规
律满足
，其中
表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:
)
A．
B．经过
年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若
年后，样本中氚元素的含量为
，则
【答案】CD
【解析】由题意得
，故有
，
左右同时取对数得
，故得
，故A 错误，
当
时，
，故B 错误，
而当
时，
，
得到经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
，故C 正确，
由题意得
，化简得
，
，
将
代入其中，可得
，故D 正确.
故选：CD
题组十二 对数函数的综合应
1．（24-25 四川）已知函数
是奇函数，且
．
(1)求
的值；
(2)判断
的单调性，并证明；
(3)若对任意实数
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
在
上单调递增，证明见解析
(3)
【解析】（1）因为函数
是一个奇函数，
所以
，即
，
可得
，即
，
所以
，则
，解得
或
.
当
时，
，此时
，不符合题意；
当
时，
，此时
，满足题意，
综上，
；
（2）
在
上单调递增，证明如下：
不妨设
，
所以
，
又
，所以
，所以
，
所以
，所以
，即
，
所以
在
上单调递增，
又
是奇函数且定义域为
，所以
在
上单调递增；
（3）若对任意实数
，不等式
恒成立，
即
，
又
是奇函数，所以
，
又
在
上单调递增，所以
对任意实数
恒成立，
又
，
所以当
时，
取得最大值
，所以
，
解得
，即
的取值范围是
.
2．（24-25 贵州遵义·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
的值域为
，求a 的取值范围；
(3)是否存在实数
使得函数
在区间
上单调递减？若存在，写出一个符合题意的
值；若不存在，说
明理由.
【答案】(1)单调增区间是
，单调减区间时
；
(2)
(3)不存在，理由见解析；
【解析】（1）当
时，
，
由
，可得：
或
，
易知
，在
单调递增，在
单调递减，
又
单调递增，
所以
的单调增区间是
，单调减区间时
；
（2）当
时，
，显然满足值域为
，
当
时，要使得
的值域为
，需满足：
，
解得：
，
综上可知：若
的值域为
，a 的取值范围是
；
（3）不存在，理由如下：
若函数
在区间
上单调递减，
需满足：
在
上单调递减，且
在
恒成立，
若
在
上单调递减，
满足，
当
时，需满足
，即
，
当
时，需满足
，恒成立，
综上可得：
在
上单调递减a 的取值范围是
，
若
在
恒成立，
即
，
令
，易知
在对称轴
处取到最大值
，
所以
，
显然
在
上单调递减与
在
恒成立，不能同时成立，
所以不存在实数
使得函数
在区间
上单调递减.
3．（24-25 湖南）设
且
，已知函数
.
(1)判断
的奇偶性，并说明理由；
(2)令函数
，解关于
的不等式
.
【答案】(1)偶函数，理由见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）
是偶函数.
证明：
，
且
，即定义域为
，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）
为偶函数，
令
.
当
时，
在
上单调递增，
在区间
上单调递减，
由
，得
且
解得
.
当
时，
在
上单调递减，
在区间
上单调递增，
由
，得
且
解得
.
综上所述：当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
.
4．（24-25 江西宜春·阶段练习）设
，
.
(1)判断
的奇偶性，并证明；
(2)推理并写出
的单调区间；
(3)当
时，函数
的图象恒在函数
的上方，求
的取值范围.
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)增区间是
，减区间是
；
(3)
.
【解析】（1）
时，
显然恒成立；
时，
，
所以
的定义域是
，
又
，即
，
所以
是奇函数.
（2）增区间是
，减区间是
，证明如下：
任取
，且
，则
，
易知
在
上单调递增，且
，则
，
所以
，即
，所以
在
上单调递减，
，
当
，即
时，
单调递增，由复合函数的单调性知
递增；
当
，即
时，
单调递减，由复合函数的单调性知
递减，
所以
的增区间是
，减区间是
.
（3）令
，则
，即
在
上恒成立，
令
，设
，对称轴为
，
所以
在
上单调递减，从而
，
所以
的取值范围是
.
5．（24-25 安徽·阶段练习）已知
为奇函数，
为常数.
(1)求
的值；
(2)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由于
，函数
为奇函数，
故
，即
，
则
，即
，
则
，
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，令
，则
或
，
即函数定义域为
，
，即函数为奇函数，符合题意，
故
；
（2）对于区间
上的每一个
的值，不等式
恒成立，
即对于区间
上的每一个
的值，不等式
恒成立，所以
，
令
，则
在
上单调递增，
而
在
上单调递增，故
在
上单调递增，
在
上单调递增，故
在
上单调递增，
则
的最小值为
，
故
.
6．（2025·上海崇明·二模）已知
．
(1)是否存在实数a，使得函数
是偶函数？若存在，求实数a 的值，若不存在，请说明理由；
(2)若
且
，解关于x 的不等式
．
【答案】(1)存在实数
，使得函数
是偶函数
(2)答案见解析
【解析】（1）存在实数
，使得函数
是偶函数.
要使函数
有意义，须满足
，即
，
显然
，即
，函数
的定义域
.
当
时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在
且
，此时函数
不是偶函数.
当
时，
，
函数
的定义域为
，对于任意的
，都有
，
并且
因此函数
是一个偶函数
综上所述，存在实数
，使得函数
是偶函数
（2）由
，得
所以
且
①．
由①得，
.
因为
且
，
所以当
时，
，
当
时，
.
综上可得：当
时，不等式
的解集为
；当
时，不等式
的解集
为
.
