专题2.6 函数的周期性和对称性
2.6.1 函数的周期性
知识点梳理
1.周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何
值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期.
2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最
小正数叫做f(x)的最小正周期.
3.函数周期性结论：
①若f(x+a)=f(x),则T=|a|；
②若f(x+a)=f(x−a),则T=2|a|；
③若f(x+a)=−f(x),则T=2|a|；
④若f(x+a)=±1
f(x) ,则T=2|a|；
⑤若f(x+a)=f(x+ b),(a≠b)则T=|a−b|；
⑥若f(x+a)=1−f(x)
1+f(x)
，则f(x)的周期都是T=2|a|；
⑦若f(x)=1-1
f(x+a)
，则f(x)的周期都是T=3|a|；
⑧若f(x+a)=1+f(x)
1−f(x)
，则f(x)的周期都是T=4|a|；
⑨若f(x+2a)= f(x+a)-f(x)，则f(x)的周期都是T=6|a|.
典型例题
例1.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)；当x∈[3,4]时，f(x)=x
2
−，则
( )
A.f(sin1
2)<f(cos1
2) B.f(sin1)<f(cos1)
C.f(sinπ
3 )>f(cosπ
3 ) D.f(sin3
2)>f(cos3
2)
解：
因为f(x)=f(x+2)，所以f(x)
周期为2，
因为当x∈[3,4]时，f(x)=x
2
−单调递增，所以x∈[ 1,0]
−
时，f(x)单调递增，
因为偶函数f(x)，所以x∈[0,1]时，f(x)单调递减，因为0<sin1
2 <cos1
2 <1，
1>sin1>cos1>0，
sinπ
3 >cosπ
3 >0，
1>sin3
2 >cos3
2 >0，
所
以
f(sin1
2)>f(cos1
2)，
f(sin1)<f(cos1)，
f(sinπ
3 )<f(cosπ
3 )，f(sin3
2)<f(cos3
2)，故选B.
例2.已知f(x+1)=1−f(x)
a+f(x)
.若f(x)是以2为最小正周期的周期函数，则a =（ ）
A. 2 B. 1 C.
1
− D.
2
−
解：因为f(x)是以2 为最小正周期的周期函数，
所以f(x+2)=1−f(x+1)
a+f(x+1) =
1−1−f(x)
a+f(x)
a+1−f(x)
a+f(x)
=a
1+2
−
f(x)
a
2+1+(a
1)
−
f(x)
=f(x)
由于该等式对所有满足定义的x恒成立，且右侧为关于f(x)的分式恒等于f(x)，
即：a
1+2
−
f(x)
a
2+1+(a
1)
−
f(x)
≡f(x)，
两边同乘分母（假设分母非零），得：a
1+2
−
f(x)=f(x)[a
2+1+(a
1)
−
f(x))
整理为关于f(x)的恒等式：(a
1)
−
f
2(x)+(a
2+1 2)
−
f(x) (
−a
1)=0
−
(a
1)
−
f
2(x)+(a
2
1)
−
f(x) (
−a
1)=0
−
为使该式对任意（允许取值的）f(x)恒成立，各项系数必须均为0：{
a
1=0
−
a
2
1=0
−
(
−a
1)=0
−
)
，解
得a =1.
（注：a =1同时满足所有方程，且此时原函数迭代关系简化为f(x+1)=1−f(x)
1+f(x)
，可验
证f(x+2)=f(x) 成立.）,故选：B.
例3. 已知函数f(x)满足f(x+π
3 )=−1
1+f(x) ,且f(
π
3 )=1，则∑
i=1
2024
f(
πi
3 )=
.
解
：
∵f(x+π
3 )=−1
1+f(x) ,
∴f(x+2π
3 )=−1
1+f(x+π
3 )
=−1
1−1
1+f(x)
=
1
−
−1
f(x) ，
∴f(x+π)=−1
1+f(x+2π
3 )
=f(x)，
所以π是f(x)的一个周期,
又f(
π
3 )=1,∴f(
2π
3 )=−1
1+f(
π
3 )
=−1
2 ,
f(π)=−1
1+f(
2π
3 )
= 2
−，
所以f(
π
3 )+f(
2π
3 )+f(π)=−3
2
.
∴
∑
i=1
2024
f(
πi
3 )=674[f(
π
3 )+f(
2π
3 )+f(π))+f(
π
3 )+f(
2π
3 )=674×(−3
2)+1−1
2 = 1010.5
−
.
例4.已知f（x）是定义域为R 的偶函数，f（5.5）＝4，g（x）＝（x﹣1）f（x），若g
（x+1）
是偶函数，则g（﹣0.5）＝
．
解：因为g（x+1）是偶函数，又因为g（x+1）＝xf（x+1），
其中y＝x 为奇函数，所以y＝f（x+1）必为奇函数，
即有f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（﹣x）＝﹣f（x+2），
又因为f（﹣x）＝f（x），所以f（x+2）＝﹣f（x），
f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函数y＝f（x）的周期为4，
由g（x+1）是偶函数，可得g（﹣x+1）＝g（x+1），即g（﹣x）＝g（x+2），
所以g（﹣0.5）＝g（2.5）＝1.5f（2.5）＝1.5f（﹣2.5）＝1.5f（﹣2.5+4×2）＝1.5f（5.5）
＝6．故答案为：6．
例5.已知函数f（x）的定义域为R，f（x）＝g（x﹣1）+2，若函数g（x）为奇函数，g
（x+1）
为偶函数，且f（2）＝1，则∑
k =1
23
g(k )=（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
解：根据题意，因为函数g（x）为奇函数，所以有g（﹣x）＝﹣g（x），g（0）＝0，
又因为g（x+1）为偶函数，所以g（x+1）＝g（﹣x+1），g（2）＝g（0）＝0，
于是有g（x+2）＝g（﹣x）＝﹣g（x）⇒g（x+4）＝g（x），
所以函数g（x）的周期为4，因为g（x）＝f（x+1）﹣2，f（2）＝1，
所以g（1）＝f（1+1）﹣2＝﹣1，g（3）＝g（﹣1）＝﹣g（1）＝1，g（4）＝g（0）
＝0，
所以g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝0，
于
是
∑
k =1
23
g(k )=5×[ g(1)+ g(2)+ g(3)+ g(4)]+ g(1)+ g(2)+ g(3)=0−1+0+1=0，
故选：B．
随堂演练
1.在R 上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2−x)，若f(x)在区间[1,2]上是减
函数，则f(x)（ ）
A. 在区间[
2
−
上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B. 在区间[
2
−
上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C. 在区间[
2
−
上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D. 在区间[
2
−
上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
解：因为函数f(x)是偶函数，而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，所以f(x)
在区间[
2
−
上是增函数. 又因为f(x)=f(2−x)，且f(x)=f(−x)，故有
f(−x)=f(2−x)，即函数周期为2.所以区间[3,4]上的单调性和区间[1,2]上单调性相
同，即在区间[3,4]上是减函数.故选B.
2.已知f(x)是定义域为R 的奇函数且满足f(x)+f(2−x)=0,则f(20)= ( )
A. 1
− B.0 C.1 D.±1
解：由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)=−f(x)，且f(0)=0，
又由f(x)满足f(x)+f(2−x)=0，即f(2−x)=−f(x)，则有f(2−x)=f(−x)，可
得f(x+2)=f(x)，
即函数f(x)是周期为2的周期函数，故f(20)=f(0)=0.故选：B.
3.已知f(x)在R 上是奇函数，且f(x+4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x
2，则
f(7)= ( )
A. 2
− B.2 C. 98
−
D.98
解：∵f(x+4)=f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，由于f(x)为奇函数，
∴f(7)=f(7 4×2)=
−
f(
1)=
−
−
f(1)，而f(1)=2，即f(7)= 2
−. 故选：A.
4. 定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x+3)=f(1−x)，当x∈[0,2]时，
f(x)= m e
x
1
−，则f(31)=（ ）
A. e+1 B. e
1
− C. 1−e D. −e
解：因为定义在R上的奇函数f(x), 满足f(x+3)=f(1−x),
所
以
f(x+3)=f(1−x)=−f(x
1)=
−
−
f(x
4+3)=
−
−
f[1 (
−x
4)]=
−
−
f(5−x)=f(x
5),
−
故f(x)的周期为8, 当x∈[0,2] 时, f(x)= m e
x
1
−, 则f(0)= m
1=0
−
,所以m =1,
所以f(31)=f(
1)=
−
−
f(1)=1−e.故选: C.
5.已知f(x)是定义在R 上的函数，若函数f(x+1)为偶函数，函数f(x+2)为奇函数，则
∑
k=1
2023
f(k)=（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
1
−
解：因为函数f(x+1)为偶函数, 所以f(1−x)=f(1+x),函数f(x)的图象关于直线x=1
对称,
又函数f(x+2)为奇函数,所以f(−x+2)+f(x+2)=0,所以函数f(x)的图象关于(2,0)对
称,
所以f(−x+3)+f(x+1)=0,所以f(−x+3)=−f( (
−x+1)),
即f(x)=−f(x+2),所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，则函数f(x)的一个周期为4,对
f(−x+2)+f(x+2)=0,
令x=0,则f(2)+f(2)=0, 所以f(2)=0,
令x=1,则f(3)+f(1)=0, 又f(0)=f(2)=0, 所以f(4)=0, f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0
,
所
以
∑
k=1
2023
f(k)=505[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=505×0+0+0+0=0.
故选：A.
6. 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1,则
∑
k=1
22
f(k)=( )
A.
3
− B.
2
− C. 0 D. 1
解：
因为f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)
，令x=1,y=0 可得，2f(1)=f(1)f(0)
，
所以f(0)=2
，令x=0 可得，f(y)+f(−y)=2f(y)，
即
f(y)=f(−y)，
所
以
函
数
f(x)为
偶
函
数
，
令
y=1得
，
f(x+1)+f(x
1)=
−
f(x)f(1)=f(x)
即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)
从而可知f(x+2)=−f(x
1)
−
，f(x
1)=
−
−
f(x
4)
−
，
故f(x+2)=f(x
4)
−
，即f(x)=f(x+6)，
所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)=f(1)−f(0)=1−
，
f(3)=f(2)−f(1)=
1
−
−，f(4)=f( 2)=
−
f(2)= 1,
−
f(5)=f( 1)=
−
f(1)=1，
f(6)=f(0)=2，
所以一个周期内的：f(1)+f(2)+
+
⋯f(6)=0
由于22 除以6 余4，所以∑
k=1
22
f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=−3，故选: A.
7. 已知定义域为R 的函数f(x)满足f(x+1)=3f(x),且当x∈[0,1]时，
f(x)=4x(x
1)
−
，则当x∈[ 2,0]
−
时，f(x)的最小值为( )
A. −1
81
B. −1
27
C. −1
9
D. −1
3
解：当x∈(0,1)时,f(x)=4x(x
1)=4
−
x
2
4
−x=4(x−1
2)
2
1,
−
易知当x=1
2
时，f(x)min= 1,
−
因为f(x+1)=3f(x),则f(x
1)=
−
1
3 f(x),
当x∈( 1,0)时,
−
ymin=1
3 ×(
1)=
−
−
1
3 ;当x∈(
2, 1]时,
−
−
ymin=(
1
3)
2
×(
1
−
1
9 .
综上：x∈( 2,0)时,
−
ymin=−1
3 .
8. 函数f ( x)对于任意实数x满足条件f ( x +2)=
1
f ( x)，若f (1)=−5，则f (f (5))=
.
解：由f ( x +2)=
1
f ( x)得：f ( x + 4)=
1
f ( x +2) = f ( x)
所以f (5)= f (1)=−5，则f (f (5))= f (−5)= f (−1)=
1
f (−1+2) =−1
5.故答案为：−1
5
.
9. 定义R 上的函数f(x)满足f(x)=1
f(x+4)
，且当x∈[0,4]时，f(x)=x+1，则
f(2023)= .
解：由f(x)=1
f(x+4)
可得f(x+4)=1
f(x+8)
, 所以f(x+8)=1
f(x+4) =f(x), 故
f(x)为周期函数,
且周期为8,f(2023)=f( 1)=
−
1
f(3) =1
4
,故答案为: 1
4
.
10.已知f(x+2)为偶函数，且f(x+2)+f(x)= 6
−，则f(2027)= .
解：因为f(x+2)为偶函数,
所以f(x+2)=f(−x+2),又f(x+2)+f(x)= 6
−,
所以f(−x+2)+f(x)= 6
−,因为f(x+2)+f(x)= 6
−,
所以f(x+4)+f(x+2)= 6
−,所以f(x+4)=f(x),
所以函数f(x)为周期函数, 周期为4,
所以f(2027)=f(3)=f( 1)
−
,由f(−x+2)+f(x)= 6
−,
可得f(1)+f(1)= 6
−,由f(x+2)+f(x)= 6
−,
可得f(1)+f(
1
−
,所以f(1)=f(
1
−
,
所以f(2027)= 3
−
,故答案为:
3
−.
11. 函数f(x)满足f(x+4)=f(x)（x∈R），且在区间( 2,2]
−
上，
f(x)={
cosπx
2
,
0<x≤2,
|
1
2 x+2),
2<
−
x≤0,)
则f(f(15))的值为 .
解
：
由
f(x+4)=f(x)得
函
数
f(x)的
周
期
为
4,
所
以
f(15)=f(16 1)=
−
f( 1)=
−
| 1+
−
1
2)=1
2 ,
因此f(f(15))=f(
1
2)=cosπ
4
=
❑√2
2
.故答案为：
❑√2
2
.
12. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x+4)=f(x
2)
−
. 若当x∈[ 3,0]
−
时，
f(x)=6
−x，则 f(919)= .
解：由f(x+4)=f(x
2)
−
，移项得f(x+6)=f(x)，故f(x)是周期为6的周期函数.因此
f(919)=f(6×153+1)=f(1).故f(919)=6.
13.若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px−p
2 )(x∈R),则f(x)的一个正
周期为 .
解：令μ=px−p
2
，则px=μ+p
2
.依题意有f(μ+p
2 )=f(μ)对任意实数μ成立，且
p
2 >0为常数，
故f(x)是周期函数，p
2
是它的一个正周期.则答案为:p
2
.
2.6.2 函数的对称性
知识点梳理
1.函数的对称性：
（1）若函数y =f(x)的图像关于直线x=a 对称，则有f(a+x)= f(a-x)或者f(x)= f(2a-x).
（2）若函数y =f(x+a)是偶函数，则f(x+a)= f(-x+a)，即x=a 是该函数图像的对称轴.
（3）若函数y =f(x)的图像关于点（a,0）中心对称，则有f(a+x)=-f(a-x)或f(x)=-f(2a-x).
（4）若函数y =f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)=- f(x+a),即（a,0）是该函数图像的对称中
心.
（5）若函数y =f(x)的图像关于点（a,b）中心对称，则有f(a+x)+f(a-x)=2b 或f(x)+f(2a-
x)=2b.
2.对称性、周期性判断口诀：同周异对（x 同号：周期性；x 异号：对称性）.
典型例题
例1.关于函数f(x)=sinx+1
sinx
有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=π
2
对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
解：
①
对于命题
, f(π
6
)=1
2 +2=5
2
, f(−π
6
)=1
2
2=
−
−5
2
.所以f(π
6
)≠f(−π
6
),
f(π
6
)≠−f(−π
6
),故f(x)的图像不关于y轴对称,也不关于原点对称.
①
命题
错误.
②
对于命题
,函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.
f(−x)=sin(−x)+1
sin(−x) = sin
−
x−1
sinx = (sin
−
x+1
sinx )=−f(x).所以,函数
f(x)的图像关于原点对称,
②
命题
正确.
③
对
于
命
题
,∵f(π
2 −x)=sin(π
2
−x)+1
sin(π
2
−x)
=cosx+1
cosx
,
f(π
2
+x)=sin(π
2
+x)+1
sin(π
2
+x)
=cosx+1
cosx .
则f(π
2 −x)=f(π
2
+x).所以,函数f(x)的图像关于直线x=π
2
对称,
③
命题
正确.
④
对于命题
,当−π<x<0时, sinx<0,则f(x)=sinx+1
sinx <0<2.
④
命题
错误.
故答案为:
.
②③
例
2.
已
知
函
数
f(x),g(x)的
定
义
域
均
为
R
，
且
f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x
4)=7.
−
若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，且g(2)=4，则∑
k=1
22
f(k)=( )
A. 21
−
B. 22
−
C. 23
−
D. 24
−
解：因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称,所以g(2−x)=g(x+2).
因为g(x)−f(x
4)=7
−
,所以g(x+2)−f(x
2)=7
−
,即g(x+2)=7+f(x
2)
−
.
因为f(x)+g(2−x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5.代入得f(x)+[7+f(x
2)]=5
−
,
即f(x)+f(x
2)
−
.所以f(3)+f(5)+ +
⋯f(21)=(−
.
f(4)+f(6)+ +
⋯f(22)=(−
.
因为f(x)+g(2−x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即f(0)=1.所以f(2)=
2
−
−
f(0)= 3
−.
因为g(x)−f(x
4)=7
−
,所以g(x+4)−f(x)=7,又因为f(x)+g(2−x)=5,
联立得g(2−x)+g(x+4)=12.所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称.
因为函数g(x)的定义域为R, 所以g(3)=6. 因为f(x)+g(x+2)=5, 所以
f(1)=5−g(3)= 1
−.
所
以
∑
k=1
22
f(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+
+
⋯f(21)]+[f(4)+f(6)+
+
⋯f(22)]=
1
3
−
−
−
例3.已知函数f(x)=ln x+ln(2−x)，则（ ）
A.f(x)在(0,2)单调递增
B.f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图像关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称
解：由题意知,f(2−x)=ln(2−x)+lnx=f(x),所以f(x)的图像关于直线x=1对称. 故
C 正确, D 错误.
又f(x)=ln[x(2−x)] (0<x<2). 由复合函数的单调性可知f(x)在(0,1)上单调递增,
在(1,2)上单调递减,所以A, B 错误. 故选：C.
随堂演练
1.若函数f(x)=4
x
4
−
2
x(x−a)
2 的图象关于点(1,0)对称，则a =（ ）
A. 0 B. -1 C. 1 D. 2
解: ∵f(x)的图像关于点(1,0)对称,∴f(0)+f(2)=0, 即3
−
a
2 +12
4(2−a)
2 =0.解得a =1.
∴f(x)=4
x
4
−
2
x(x
1
−)
2 .经检验知f(x)的图像关于点(1,0)对称,故选: C.
2.设函数f(x)=2−x
2+x
，则下列函数中为奇函数的是 ( )
A.f(x
2)+1
−
B.f(x
2)+2
−
C.f(x+2)+2 D.
f(x+2)+1
解：因为f(x)=2−x
2+x =
(
−x+2)+4
2+x
= 1+
−
4
x+2
.
定义域为{x|x≠2}
−
.
则f(
4
−
−x)+f(x)= 1+
−
4
4
−
−x+2
1+
−
4
x+2 = 2(
−
x≠2).
−
所以函数f(x)的对称中心为(
2
−
,所以将函数f(x)向右平移2个单位, 向上平移1个
单位,得到函数y=f(x
2)+1
−
.该函数的对称中心为(0,0),故函数y=f(x
2)+1
−
为奇函数.
故选: A.
3.定义在R 上的函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)=3
x
1
−，则下
列关系成立的是（ ）
A.f(
1
3)<f(
3
2)<f(
2
3) B.f(
2
3)<f(
3
2)<f(
1
3)
C.f(
2
3)<f(
1
3)<f(
3
2) D.f(
3
2)<f(
2
3)<f(
1
3)
解：定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x=1对称,所以f(1−x)=f(1+ x).
所以f(3
2 )=f(1
2 ).因为当x≥1时,f(x)=3
x
1
−为单调递增函数,
定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x=1对称,
所以当x<1时,f(x)单调递减. 所以1
3 <1
2 <2
3
. 所以f(2
3 )<f(1
2 )<f(1
3 ), 即
f(2
3 )<f(3
2 )<f(1
3 ).故选：B.
4.设函数f(x)=|x+1|+|x−a|的图像关于直线x=1对称，则a的值为（ ）
A.
1
− B. 1 C. 2 D. 3
解：因为函数f(x)=|x+1|+|x−a|的图像关于直线x=1对称, 所以点( 1,
−
f( 1))
−
与
点(a,f(a)),关于直线x=1对称. 1+
−
a
2
=1,a =3.故选：D.
5.已知函数f(x)=1
e
x+a
的图象关于点(1,f(1))对称，则a =（ ）
A. 1 B. 2 C. e D. e
2
解：由对称中心性质可知函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=2f(1). 即
1
e
x+a
+1
e
2−x+a
=2
e+a .
整理可得e
3−x+e
x+1+2ae=2e
x+ae
x+ae
2−x,
即e(e
2−x+e
x
2
−e)=a(e
x+e
2−x
2
−e),解得a =e.故选: C.
6.函数f(x)=x
x
1
−
的对称中心为 .
解：因为f(x)=x
x
1
−
=x
1+1
−
x
1
−
=1+1
x
1
−
.
则f(x)=x
x
1
−
的图像可以由函数y=1
x
向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到.
因为y=1
x
为奇函数,函数图像关于原点(0,0)对称, 所以f(x)关于(1,1)对称.
7.
已
知
f(x)=x
2
1+x
2 ，
则
f(1)+f(2)+f(1
2 )+f(3)+f(1
3 )+f(4)+f(1
4 )=
.
解：
因为f(x)=x
2
1+x
2 , 所以f(x)+f(1
x )=x
2
1+x
2 +
(1
x )
2
1+(1
x )
2 =x
2
1+x
2 +1
x
2+1
=x
2+1
x
2+1
=1.
则f(2)+f(1
2 )=2
2
1+2
2 +
(1
2 )
2
1+(1
2 )
2 =1.f(3)+f(1
3 )=3
2
1+3
2 +
(1
3 )
2
1+(1
3 )
2 =1.
f(1)=1
2
.所以f(1)+f(2)+f(1
2 )+f(3)+f(1
3 )+f(4)+f(1
4 )=1
2 +1+1+1=7
2 .故答案
为: 7
2
.
8.若函数f(x)=2
|x−a|（其中a∈R满足f(1+x)=f(1−x)，且f(x)在[m ,+∞)单调递
增，则实数m的最小值等于 .
解：根据f(1+x)=f(1−x)可知函数f(x)的图像关于直线x=1对称,可知a =1,
从而可以确定函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,从而有[m ,+∞) [1,+∞)
⊆
,
所以m ≥1,故m的最小值等于1.
9.若函数f(x)=(1−x
2)(x
2+ax+ b)的图像关于直线x= 2
−对称，则f(x)的最大值是
.
解：依题意,f(x
2)
−
为偶函数,f(x
2)=(
−
−
x
2+4x
3)[
−
x
2+(a
4)
−
x+4 2
−a+ b]
展开式中x
3的系数为8−a,故a =8. x的系数为28+4 b
11
−
a,故b=15.
令f
′(x)=0,得x
3+6x
2+7x
2=0
−
,对称轴为
2
−可知,将该式分解为(x+2)(x
2+4x
1)=0
−
,
可知其在❑√5
2
−和−❑√5
2
−处取到最大值,带入f(x),可知最大值为16.
10.已知函数f(x)=(x
2
−a)lg(1−1
x)的图像关于直线x=b对称，则a+ b= .
解：函数f(x)=(x
2
−a)lg(1
x
1)
−
的定义域为( ∞,0)∪(1,+∞)
−
.
函数f(x)的图像关于直线x= b对称,得f(x)的定义域关于b对称,则b=0+1
2
=1
2
.
此时必有f( 1)=
−
f(2),即(
1 2
−
−a)lg2=(2 2
−
a)lg1
2
,解得a =1
4
.
此
时
f(1−x)=(1−x−1
2 )lg(1
1−x
1)=(
−
1
2 −x)lgx
1−x =(x−1
2 )lg(1−1
x )=f(x).
因此函数f(x)的图像关于直线x=1
2
对称,即a =1
4 ,b=1
2
满足题意,所以a+ b=3
4
.故答案为:
3
4
.
2.6.3 函数的的对称性与周期性的关系
知识点梳理
1.已知两个对称轴推周期：f(x)关于直线x=a,x= b对称则T=2|b−a|.
2. 已知两个对称中心推周期：f(x)关于两点A(a,y0)、B(b,y0)都对称, 则
T=2|b−a|.
3.已知一个对称中心和一个对称轴推周期:f(x)关于A(a,y0)和直线x= b都对称,则
T=4|b−a|.
典型例题
例1.若定义在R 上的函数f(x)满足f(|x|)=f(x)，且f(2+x)+f(2−x)=6，f(3)=6
，则下列结论错误的是（ ）
A.f(8+x)=f(x)
B.f(x)的图象关于直线x=4对称
C.f(201)=3
D.y=f(x+2) 3
−是奇函数
解：由f(|x|)=f(x)⇒f(−x)=f(x),所以f(2−x)=f(x
2)
−
，
又f(2+x)+f(2−x)=6,所以f(4+x)+f(x)=6，
且f(8+x)+f(4+x)=6,所以f(8+x)=f(x),故A 正确.
由A 可得, f(x)是周期为8 的函数,f(201)=f(1).
又由f(2+x)+f(2−x)=6,f(3)=6,得f(3)+f(1)=6，
所以f(201)=f(1)=0,故C 错误.
对于D,由f(2+x)+f(2−x)=6⇒f(x)的图像关于点(2,3)对称,所以y=f(x+2) 3
−的
图像关于原点对称, 故D 正确,故选:C.
例2.定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，函数g(x)=f(x) 2
−x的图象关于
直线x=2对称，若f(0)=0，则f(1)+f(2)+ +
⋯f(50)= .
解：因为f(x)的图象关于点(1,1)对称, 所以f(−x)+f(x+2)=2,则
f(−x)
2(
−
−
x)+f(x+2) 2(
−
x+2)= 2
−，
即g(−x)+g(x+2)= 2,
−
又g(x)的图象关于直线x=2对称,
则g(x+4)=g(−x),所以g(x+4)+g(x+2)= 2
−,即g(x+2)+g(x)= 2
−,
可得g(x+4)=g(x),则g(x)是以4为周期的函数.
因为g(0)=f(0) 2×0=0
−
,由f(−x)+f(x+2)=2, 令x=−1, 得f(1)=1,
所以g(1)=f(1)−
, g(2)=
2
−
−
g(0)= 2
−,g(3)=g(1)= 1
−,
所
以
f(1)+f(2)+
+
⋯f(50)=g(1)+g(2)+
+
⋯g(50)+2(1+2+
+50)=
⋯
−
故答案为: 2499.
随堂演练
1.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x
4)=
−
−
f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，
则（ ）
A.f( 25)<
−
f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f( 25)
−
C.f(11)<f(80)<f( 25)
−
D.f( 25)<
−
f(80)<f(11)
解：因为f(x)满足f(x
4)=
−
−
f(x),所以f(x
8)=
−
f(x),所以函数f(x)是以8为周
期的周期函数,
则f( 25)=
−
f( 1),
−
f(80)=f(0),f(11)=f(3).
由f(x)
是定义在
R
上的奇函数, 且满足f(x
4)=
−
−
f(x), 得
f(11)=f(3)=−f( 1)=
−
f(1),
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数, f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在区间
[ 2,2]
−
上是增函数, 所以f( 1)<
−
f(0)<f(1),即f( 25)<
−
f(80)<f(11).故选：D.
2.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（ ）
A.f(−1
2)=0 B.f( 1)=0
−
C.f(2)=0 D.f(4)=0
解：
因为函数f(x+2) 为偶函数, 则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x).
因为函数f(2x+1)为奇函数, 则f(1 2
−x)=−f(2x+1),所以f(1−x)=−f(x+1)，
所以f(x+3)=−f(x+1)=f(x
1)
−
,即f(x)=f(x+4),故函数f(x)是以4 为周期的周期
函数.
因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,故f(
1)=
−
−
f(1)=0.其它三个选
项未知.故选: B.
3.函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x
1)
−
都是奇函数，则( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数
解
：
∵f(x+1)与
f(x
1)
−
都
是
奇
函
数
,∴f(−x+1)=−f(x+1),
f(−x
1)=
−
−
f(x
1)
−
,∴函数 f(x)关于点(1,0)、及点( 1,0)
−
对称,函数f(x)是周
期T=2[1−
的周期函数.
∴f(−x
1+4)=
−
−
f(x
1+4)
−
, f(−x+3)=−f(x+3),即f(x+3)是奇函数.故选：D.
4.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为偶函数，f(x+2) 1
−为奇函数.若f(1)=0，
则 ∑
k=1
26
f(k)=( )
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
解：f(x+1)为偶函数，则f(x+1)=f(−x+1)则f(x)关于x=1对称，f(x+2) 1
−为奇
函数，
则f(−x+2)
1=
−
−
f(x+2)+1，即f(−x+2)+f(x+2)=2，则关于点(2,1)对称，
则由其关于x=1对称有f(x)=f(−x+2)，则f(x)+f(x+2)=2，
则f(x+2)+f(x+4)=2，作差有f(x)=f(x+4)，
∴f(x)为周期函数，且周期为4，因为f(1)+f(3)=2，f(1)=0，则f(3)=2，
因为f(0)=f(2)，f(0)+f(2)=2，则f(0)=f(2)=1，
f(4)=f(0)=1，
则
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，
∴∑
k=1
24
f(k)=24，∑
k=1
26
f(k)=24+0+1=25，故选：C.
5.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，
f(x)=a x
2+ b。若f(0)+f(3)=6，则f(
9
2)=( )
A. −9
4
B. −3
2
C. 7
4
D. 5
2
解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(−x+1)=−f(x+1) ①
因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(−x+2) ②.
令x=1
①
，由
得:f(0)=−f(2)= (4
−
a+ b)，
②
由
得:f(3)=f(1)=a+ b，因为f(0)+f(3)=6，
所以(4
−
a+ b)+a+ b=6⇒a = 2
−，令x=0，
①
由
得:f(1)=−f(1)⇒f(1)=0⇒b=2，所以f(x)= 2
−x
2+2.
f(
9
2)=f(
5
2 +2)=f(−5
2 +2)=f(−1
2)，
f(−1
2)=f(−3
2 +1)=−f(
3
2 +1)=−f(
5
2)，
−f(
5
2)=−f(
1
2 +2)=−f(−1
2 +2)=−f(
3
2)，
所以f(
9
2)=−f(
3
2)=5
2 .故选:D.
6.已知f(x)是定义域为( ∞,+∞)
−
的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x).若f(1)=2，则
f(1)+f(2)+f(3)
+
+
⋯f(50)=( )
A.
50
−
B. 0 C. 2 D. 50
解：因为f(x)是定义域为( ∞,+∞)
−
的奇函数，且f(1−x)=f(1+ x)，所以
f(1+ x)=−f(x
1)
−
,
∴f(3+x)=−f(x+1)=f(x
1)∴
−
T=4
，
因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)
，
因
为
f(3)=−f(1)，
f(4)=−f(2)，
所
以
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
∴f(2)=f(
2)=
−
−
f(2)
∴f(2)=0，从而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2.故选：C.
7.已知可导函数f(x)的定义域为R，f(
x
2
1
−)为奇函数，设g(x)是f(x)的导函数，若
g(2x+1)为奇函数，且g(0)=1
2 ，则∑
k=1
10
k g(2k)=( )
A. 13
2
B. −13
2
C. 11
2
D. −11
2
解：因为f(
x
2
1
−)为奇函数,则f(
x
2
1
−)=−f(−x
2
1
−),即f(x
1)=
−
−
f(−x
1)
−
，
两边求导得f
′(x
1)=
−
f
′(−x
1)
−
,则g(x
1)=
−
g(−x
1)
−
,可知g(x)关于直线x= 1
−
对称,
又因为g(2x+1)为奇函数,则g(2x+1)+g( 2
−x+1)=0,即g(x+1)+g(−x+1)=0,
可知g(x)关于点(1,0)对称.令x=1,可得g(2)+g(0)=0,即g(2)=−g(0)=−1
2 ,
由g(x
1)=
−
g(−x
1)
−
可得g(x)=g(−x
2)
−
,由g(x+1)+g(−x+1)=0,
可得g(x)+g(−x+2)=0, 即g(x)=−g(−x+2), 可得g(−x
2)=
−
−
g(−x+2), 即
g(x+4)=−g(x).
令
x=0,
可
得
g(4)=−g(0)=−1
2
;
令
x=2,
可
得
g(6)=−g(2)=1
2
;
且
g(x+8)=−g(x+4)=
[
−
−
g(x)]=g(x),
可
知
8
为
g(x)的
周
期
,
可
知
g(8k+2)=g(8k+4)=−1
2 ,g(8k+6)=g(8k+8)=1
2 ,k∈Z,
所以∑
k=1
10
kg(2k)=−1
2 (1+2+5+6+9+10)+1
2 (3+4+7+8)=−11
2
.故选：D.
8. 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)=−f(2−x)，f(x+2)为偶函数，当
x∈[1,2]时，f(x)=a x
2+ b，若f(0)+f(3)=6，则f(
25
3 )=( )
A.32
9
B.11
3
C.−4
3
D.−17
9
解：因为f(x)=−f(2−x) ①,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.
因为f(x+2)为偶函数,所以f(−x+2)=f(x+2) ②,则函数f(x)的图象关于直线x=2对
称.
①
由
②得：f(x+2)=−f(x), 则f(x+4)=−f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4,
所以f(
25
3 )=f(8+1
3)=f(
1
3).
由f(−x+1)=−f(x+1),令x=0,得f(1)=0,即a+ b=0③.
已知f(0)+f(3)=6,由函数f(x)的图象关于直线x=2对称,得f(3)=f(1)=0.
又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,得f(0)=−f(2).
所以f(0)+f(3)=−f(2)=6,即f(2)= 6
−,所以4a+ b= 6
−④.
联立③④解得a = 2
−, b=2,故当x∈[1,2]时, f(x)= 2
−x
2+2.
由f(x)的图象关于点(1,0)对称, 可得f(
1
3)=−f(
5
3)=−[ 2×
−
(
5
3)
2
+2)=32
9 .故选: A.
